2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第五章　§5.3　平面向量的数量积含答案

2025数学步步高大一轮复习讲义人教A版第五章§5.3平面向量的数量积§5.3平面向量的数量积课标要求1.理解平面向量数量积的含义及其几何意义.2.了解平面向量的数量积与投影向量的关系.3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题．知识梳理1．向量的夹角已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．2．平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a与b的数量积，记作a·b.3．平面向量数量积的几何意义设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(CD,\s\up6(→))＝b，过eq\o(AB,\s\up6(→))的起点A和终点B，分别作eq\o(CD,\s\up6(→))所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到eq\o(A1B1,\s\up6(→))，我们称上述变换为向量a向向量b投影，eq\o(A1B1,\s\up6(→))叫做向量a在向量b上的投影向量．记为|a|cosθe.4．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a.(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.几何表示坐标表示数量积a·b＝|a||b|cosθa·b＝x1x2＋y1y2模|a|＝eq\r(a·a)|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))夹角cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)cosθ＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2)))a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0|a·b|与|a||b|的关系|a·b|≤|a||b||x1x2＋y1y2|≤eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))常用结论1．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2；(2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2.2．有关向量夹角的两个结论(1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0.(2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π.3．向量a在向量b上的投影向量为eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|).自主诊断1．判断下列结论是否正确．(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个向量的夹角的范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(×)(2)若a，b共线，则a·b＝|a|·|b|.(×)(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(√)(4)若a·b＝a·c，则b＝c.(×)2．(必修第二册P60T8改编)已知向量m＝(2x,1)与向量n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))垂直，则x等于()A.eq\f(1,4)B．－eq\f(1,4)C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)答案C解析∵m＝(2x,1)与n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))垂直，∴m·n＝(2x,1)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)))＝x－eq\f(1,2)＝0，即x＝eq\f(1,2).3．(2023·郑州模拟)已知向量a，b满足|b|＝2|a|＝2，且a与b的夹角为eq\f(2π,3)，则(2a＋b)·a等于()A．12B．4C．3D．1答案D解析因为|b|＝2|a|＝2，所以(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝2|a|2＋|a||b|·coseq\f(2π,3)＝2＋2×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝1.4．(必修第二册P18例10改编)已知a＝(1，eq\r(2))，|b|＝2eq\r(3)，a·b＝－3，则a与b的夹角为________．答案120°解析设a与b的夹角为θ，因为a＝(1，eq\r(2))，|b|＝2eq\r(3)，a·b＝－3，所以cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－3,\r(3)×2\r(3))＝－eq\f(1,2)，因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a与b的夹角为120°.题型一平面向量数量积的基本运算例1(1)(2023·安康模拟)已知四边形ABCD为平行四边形，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(3)，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝2，eq\o(DN,\s\up6(→))＝2eq\o(NC,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝3eq\o(MC,\s\up6(→))，则eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))等于()A．7B．1C.eq\f(3,4)D.eq\f(1,4)答案D解析如图，eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(NM,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→)))·(eq\o(NC,\s\up6(→))＋eq\o(CM,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(3,4)\o(BC,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))－\f(1,4)\o(BC,\s\up6(→))))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))2－eq\f(3,16)eq\o(BC,\s\up6(→))2＝eq\f(1,3)×3－eq\f(3,16)×4＝eq\f(1,4).(2)在梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝AB＝2DC＝2，E为BC的中点，F为AE的中点，则eq\o(CF,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))等于()A.eq\f(31,16)B.eq\f(33,16)C.eq\f(35,16)D.eq\f(37,16)答案B解析以A为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，1))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，\f(1,2)))，所以eq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,4)，－\f(3,2)))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，－\f(3,2)))，所以eq\o(CF,\s\up6(→))·eq\o(DF,\s\up6(→))＝－eq\f(1,4)×eq\f(3,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝eq\f(33,16).思维升华计算平面向量数量积的主要方法(1)利用定义：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)利用坐标运算，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(3)利用基底法求数量积．(4)灵活运用平面向量数量积的几何意义．跟踪训练1(1)如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AD＝1，点E在边AB上，且eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝3，则BE等于()A．1 B．2C.eq\f(1,2) D.eq\f(3,2)答案C解析以B为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则C(2,0)，D(1,2)，设E(0，x)，则eq\o(CE,\s\up6(→))＝(－2，x)，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－1,2)，则eq\o(CD,\s\up6(→))·eq\o(CE,\s\up6(→))＝2＋2x＝3，解得x＝eq\f(1,2)，即BE＝eq\f(1,2).(2)(2023·唐山模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，∠BAD＝eq\f(π,3)，E是边BC的中点，F是CD上靠近D的三等分点，若eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝8，则|eq\o(AD,\s\up6(→))|等于()A．4B．4eq\r(2)C．4eq\r(3)D．8答案A解析记|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝m，因为AB＝2，且四边形ABCD为平行四边形，所以eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·(eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CF,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))－\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(2,3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AD,\s\up6(→))|cos∠BAD－eq\f(2,3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＋eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝eq\f(2m,3)－eq\f(8,3)＋eq\f(m2,2)＝8，解得m＝－eq\f(16,3)(舍)或m＝4.即|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝4.题型二平面向量数量积的应用命题点1向量的模例2(2023·新高考全国Ⅱ)已知向量a，b满足|a－b|＝eq\r(3)，|a＋b|＝|2a－b|，则|b|＝________.答案eq\r(3)解析方法一因为|a＋b|＝|2a－b|，即(a＋b)2＝(2a－b)2，则a2＋2a·b＋b2＝4a2－4a·b＋b2，整理得a2－2a·b＝0，又因为|a－b|＝eq\r(3)，即(a－b)2＝3，则a2－2a·b＋b2＝b2＝3，所以|b|＝eq\r(3).方法二设c＝a－b，则|c|＝eq\r(3)，a＋b＝c＋2b,2a－b＝2c＋b，由题意可得，(c＋2b)2＝(2c＋b)2，则c2＋4c·b＋4b2＝4c2＋4c·b＋b2，整理得c2＝b2，即|b|＝|c|＝eq\r(3).命题点2向量的夹角例3(2023·深圳模拟)已知a，b为单位向量，且|3a－5b|＝7，则a与a－b的夹角为()A.eq\f(π,3)B.eq\f(2π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(5π,6)答案C解析因为a，b为单位向量，由|3a－5b|＝7，所以(3a－5b)2＝49⇔9a2－30a·b＋25b2＝49，即9－30a·b＋25＝49⇒a·b＝－eq\f(1,2)，设a与a－b的夹角为θ，则cosθ＝eq\f(a·a－b,|a||a－b|)＝eq\f(a2－a·b,|a|×\r(a－b2))＝eq\f(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2))),\r(1－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＋1))＝eq\f(\r(3),2)，又θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,6).命题点3向量的垂直例4(2023·新高考全国Ⅰ)已知向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，若(a＋λb)⊥(a＋μb)，则()A．λ＋μ＝1 B．λ＋μ＝－1C．λμ＝1 D．λμ＝－1答案D解析因为a＝(1,1)，b＝(1，－1)，所以a＋λb＝(1＋λ，1－λ)，a＋μb＝(1＋μ，1－μ)，由(a＋λb)⊥(a＋μb)，可得(a＋λb)·(a＋μb)＝0，即(1＋λ)(1＋μ)＋(1－λ)(1－μ)＝0，整理得λμ＝－1.命题点4向量的投影例5(1)已知向量a与b的夹角为eq\f(π,3)，|a|＝2，|b|＝1，则向量a在b上的投影向量为()A．bB.eq\f(1,2)bC．aD.eq\f(1,2)a答案A解析由题意知，|a|＝2，且向量a与b的夹角为eq\f(π,3)，所以向量a在b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)＝b.(2)已知非零向量a，b满足b＝(eq\r(3)，1)，〈a，b〉＝eq\f(π,3)，若(a－b)⊥a，则向量a在b方向上的投影向量的坐标为______．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\f(1,4)))解析由已知可得，|b|＝eq\r(\r(3)2＋12)＝2.因为(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝a2－a·b＝|a|2－|a||b|coseq\f(π,3)＝|a|2－|a|＝0，解得|a|＝1或|a|＝0(舍去)，所以向量a在b方向上的投影向量为|a|coseq\f(π,3)·eq\f(b,|b|)＝eq\f(1,4)b，坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\f(1,4))).思维升华(1)求平面向量的模的方法①公式法：利用|a|＝eq\r(a·a)及(a±b)2＝|a|2±2a·b＋|b|2；②几何法：利用向量的几何意义．(2)求平面向量的夹角的方法①定义法：cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)；②坐标法．(3)两个向量垂直的充要条件a⊥b⇔a·b＝0⇔|a－b|＝|a＋b|(其中a≠0，b≠0)．跟踪训练2(1)已知非零向量a，b满足|b|＝eq\r(2)|a|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，则a与b的夹角为()A．45°B．135°C．60°D．120°答案B解析根据题意，设a与b的夹角为θ，因为(a－b)⊥(3a＋2b)，|b|＝eq\r(2)|a|，所以(a－b)·(3a＋2b)＝3a2－a·b－2b2＝－a·b－a2＝0，变形可得a·b＝－a2.则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－a2,|a|·\r(2)|a|)＝－eq\f(\r(2),2).又0°≤θ≤180°，所以θ＝135°.(2)(多选)已知向量a＝(m，－1)，b＝(－2,1)，则下列说法正确的是()A．若m＝1，则|a－b|＝eq\r(13)B．若a⊥b，则m＝2C．“m<－eq\f(1,2)”是“a与b的夹角为锐角”的充要条件D．若m＝－1，则b在a上的投影向量的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)))答案ACD解析对于选项A，因为m＝1，所以a＝(1，－1)，又b＝(－2,1)，所以a－b＝(3，－2)，故|a－b|＝eq\r(32＋－22)＝eq\r(13)，所以选项A正确；对于选项B，因为a⊥b，所以－2m－1＝0，解得m＝－eq\f(1,2)，所以选项B错误；对于选项C，当a与b的夹角为锐角时，由cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)>0，得a·b>0，即－2m－1>0，得m<－eq\f(1,2)；当m<－eq\f(1,2)时，可得cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)>0，而〈a，b〉∈[0，π]，又当a∥b时，m－2＝0得m＝2，此时a＝(2，－1)，b＝(－2,1)，a，b反向共线，所以〈a，b〉∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，即“m<－eq\f(1,2)”可以得出“a与b的夹角为锐角”，所以选项C正确；对于选项D，当m＝－1时，a＝(－1，－1)，b＝(－2,1)，b在a上的投影向量为eq\f(a·b,|a|)·eq\f(a,|a|)＝eq\f(2－1,2)×(－1，－1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，－\f(1,2)))，所以选项D正确．题型三平面向量的实际应用例6(多选)(2023·东莞模拟)在日常生活中，我们会看到两个人共提一个行李包的情况．假设行李包所受的重力为G，所受的两个拉力分别为F1，F2，若|F1|＝|F2|，且F1与F2的夹角为θ，则以下结论正确的是()A．|F1|的最小值为eq\f(1,2)|G|B．θ的范围为[0，π]C．当θ＝eq\f(π,2)时，|F1|＝eq\f(\r(2),2)|G|D．当θ＝eq\f(2π,3)时，|F1|＝|G|答案ACD解析由题意知，F1＋F2＋G＝0，可得F1＋F2＝－G，两边同时平方得|G|2＝|F1|2＋|F2|2＋2|F1||F2|cosθ＝2|F1|2＋2|F1|2cosθ，所以|F1|2＝eq\f(|G|2,21＋cosθ).当θ＝0时，|F1|min＝eq\f(1,2)|G|；当θ＝eq\f(π,2)时，|F1|＝eq\f(\r(2),2)|G|；当θ＝eq\f(2π,3)时，|F1|＝|G|，故A，C，D正确；当θ＝π时，竖直方向上没有分力与重力平衡，不成立，所以θ∈[0，π)，故B错误．思维升华用向量方法解决实际问题的步骤跟踪训练3长江流域内某地南北两岸平行，已知游船在静水中的航行速度v1的大小|v1|＝10km/h，水流的速度v2的大小|v2|＝6km/h，如图，设v1和v2所成的角为θ(0<θ<π)，若游船从A航行到正北方向上位于北岸的码头B处，则cosθ等于()A．－eq\f(2,5)B．－eq\f(3,5)C．－eq\f(4,5)D.eq\f(4,5)答案B解析由题意知(v1＋v2)·v2＝0，则v1·v2＋veq\o\al(2,2)＝|v1||v2|·cosθ＋veq\o\al(2,2)＝60cosθ＋36＝0，所以cosθ＝－eq\f(3,5).课时精练一、单项选择题1．(2023·黔西模拟)已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝eq\r(3)，|a－2b|＝3，则a·(a＋b)等于()A．－2B．－1C．1D．2答案D解析由题意，得|a－2b|2＝9，即a2＋4b2－4a·b＝9，即13－4a·b＝9，∴a·b＝1，故a·(a＋b)＝a2＋a·b＝1＋1＝2.2．(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，c〉，则t等于()A．－6B．－5C．5D．6答案C解析由题意，得c＝a＋tb＝(3＋t,4)，所以a·c＝3×(3＋t)＋4×4＝25＋3t，b·c＝1×(3＋t)＋0×4＝3＋t.因为〈a，c〉＝〈b，c〉，所以cos〈a，c〉＝cos〈b，c〉，即eq\f(a·c,|a||c|)＝eq\f(b·c,|b||c|)，即eq\f(25＋3t,5)＝3＋t，解得t＝5.3．(2023·大同模拟)平面向量a与b相互垂直，已知a＝(6，－8)，|b|＝5，且b与向量(1,0)的夹角是钝角，则b等于()A．(－3，－4) B．(4,3)C．(－4,3) D．(－4，－3)答案D解析设b＝(x，y)，∵a⊥b，∴a·b＝6x－8y＝0，①∵b与向量(1,0)夹角为钝角，∴x<0，②又|b|＝eq\r(x2＋y2)＝5，③由①②③解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4,y＝－3，))∴b＝(－4，－3)．4．已知向量a＝(λ＋1,2)，b＝(1，－λ)，若a⊥b，则向量c＝(1,2)在向量a＋b上的投影向量的坐标为()A．(3,1) B．(1,3)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(3,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2)))答案D解析依题意得a＝(λ＋1,2)，b＝(1，－λ)，a·b＝0，所以λ＋1－2λ＝0，解得λ＝1，所以a＝(2,2)，b＝(1，－1)，所以a＋b＝(3,1)，则向量c＝(1,2)在向量a＋b上的投影向量的坐标为eq\f(c·a＋b,|a＋b|)·eq\f(a＋b,|a＋b|)＝eq\f(3×1＋1×2,\r(32＋12))·eq\f(3，1,\r(32＋12))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(1,2))).5．(2023·泰州模拟)已知平面单位向量a，b，c满足〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝eq\f(2π,3)，则|3a＋2b＋c|等于()A．0B．1C.eq\r(3)D.eq\r(6)答案C解析∵|3a＋2b＋c|2＝(3a＋2b＋c)2＝9a2＋4b2＋c2＋12a·b＋6a·c＋4b·c＝3，∴|3a＋2b＋c|＝eq\r(3).6．(2023·佛山模拟)在△ABC中，设|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))，那么动点M的轨迹必通过△ABC的()A．垂心 B．内心C．重心 D．外心答案D解析设线段BC的中点为D，则eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AD,\s\up6(→))，因为|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))，所以(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，即2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))，即eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(AM,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(DM,\s\up6(→))＝0，即DM⊥BC，所以DM垂直且平分线段BC，因此动点M的轨迹是BC的垂直平分线，必通过△ABC的外心．二、多项选择题7．(2024·亳州模拟)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))的可能取值是()A．－2B．2C．4D．8答案BC解析如图，取A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，易知正六边形的每个内角为120°，所以∠CBx＝60°，则A(0,0)，B(2,0)，C(3，eq\r(3))，F(－1，eq\r(3))．设P(x，y)，则eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x，y)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,0)，且－1<x<3.所以eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x，y)·(2,0)＝2x∈(－2,6)．8．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，c＝(m－2，－n)，其中m，n均为正数，且(a－b)∥c，则下列说法正确的是()A．a与b的夹角为钝角B．向量a在b上的投影向量为eq\f(\r(2),2)bC．2m＋n＝4D．mn的最大值为2答案CD解析对于A，向量a＝(2,1)，b＝(1，－1)，则a·b＝2－1＝1>0，又a，b不共线，所以a，b的夹角为锐角，故A错误；对于B，向量a在b上的投影向量为eq\f(a·b,|b|)·eq\f(b,|b|)＝eq\f(1,2)b，故B错误；对于C，a－b＝(1,2)，若(a－b)∥c，则－n＝2(m－2)，变形可得2m＋n＝4，故C正确；对于D，由2m＋n＝4，且m，n均为正数，得mn＝eq\f(1,2)(2m·n)≤eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2m＋n,2)))2＝2，当且仅当m＝1，n＝2时，等号成立，即mn的最大值为2，故D正确．三、填空题9．已知向量a＝(2,3)，b＝(－3，－2)，写出一个与a－b垂直的非零向量c＝________.答案(1，－1)(答案不唯一)解析由题意可知a－b＝(5,5)．设c＝(x，y)，则(a－b)·c＝5x＋5y＝0.取x＝1，则y＝－1，所以与a－b垂直的非零向量可以为c＝(1，－1)．(答案不唯一)10.在如图所示的天平中，左、右两个秤盘均被3根细绳均匀地固定在横梁上．在其中一个秤盘中放入重量为60N的物品，在另一个秤盘中放入重量60N的砝码，天平平衡.3根细绳通过秤盘分担对物品的拉力(拉力分别为F1，F2，F3)，若3根细绳两两之间的夹角均为eq\f(π,3)，不考虑秤盘和细绳本身的重量，则F1的大小为________N.答案10eq\r(6)解析依题意，|F1|＝|F2|＝|F3|且|F1＋F2＋F3|＝60，所以|F1＋F2＋F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋|F3|2＋2F1·F2＋2F2·F3＋2F3·F1＝3600，即3|F1|2＋3×2|F1|2×eq\f(1,2)＝3600，解得|F1|＝10eq\r(6).11．(2024·抚州模拟)定义：|a×b|＝|a||b|sinθ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－8，则|a×b|等于________．答案6解析设向量a与b的夹角为θ∈[0，π]，则cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－8,2×5)＝－eq\f(4,5)，因为θ∈[0，π]，可得sinθ＝eq\r(1－cos2θ)＝eq\f(3,5)，故|a×b|＝|a||b|sinθ＝2×5×eq\f(3,5)＝6.12．(2023·西安模拟)已知在△ABC中，AB＝4，AC＝6，其外接圆的圆心为O，则eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.答案10解析如图，设BC的中点为D，连接OD，AD，则eq\o(AO,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝(eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DO,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＋eq\o(DO,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(|eq\o(AC,\s\up6(→))|2－|eq\o(AB,\s\up6(→))|2)＝10.四、解答题13．(2023·白银模拟)如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝2，∠BAD＝eq\f(π,3)，E是BC边的中点．(1)试用eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AD,\s\up6(→))表示eq\o(AE,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))；(2)求eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))的值．解(1)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))＋\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)).(2)由题意可知，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝eq\f(\f(1,2)|\o(AB,\s\up6(→))|－|\o(DC,\s\up6(→))|,cos\f(π,3))＝eq\f(\f(1,2),\f(1,2))＝1，eq\o(DB,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))，所以eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(3,4)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－eq\f(1,2)|eq\o(AD,\s\up6(→))|2－eq\f(1,4)|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AD,\s\up6(→))|·coseq\f(π,3)＝eq\f(3,4)×4－eq\f(1,2)×1－eq\f(1,4)×2×1×eq\f(1,2)＝eq\f(9,4).14．(2023·青岛模拟)如图，正方形ABCD的边长为6，E是AB的中点，F是BC边上靠近点B的三等分点，AF与DE交于点M.(1)求∠EMF的余弦值；(2)设eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AF,\s\up6(→))，求λ的值及点M的坐标．解(1)如图所示，建立以点A为原点的平面直角坐标系，则D(0,6)，E(3,0)，A(0,0)，F(6,2)，∴eq\o(DE,\s\up6(→))＝(3，－6)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝(6,2)，由于∠EMF就是eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))的夹角，∴cos∠EMF＝cos〈eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))〉＝eq\f(18－12,\r(9＋36)·\r(36＋4))＝eq\f(\r(2),10)，∴∠EMF的余弦值为eq\f(\r(2),10).(2)∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AF,\s\up6(→))，则eq\o(AM,\s\up6(→))＝(6λ，2λ)，则M(6λ，2λ)，又D，M，E三点共线，则设eq\o(DM,\s\up6(→))＝teq\o(DE,\s\up6(→))，0<t<1，即(6λ，2λ－6)＝t(3，－6)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6λ＝3t，,2λ－6＝－6t，))解得λ＝eq\f(3,7)，故Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,7)，\f(6,7))).15．(2024·永州模拟)窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的汉族传统民间艺术之一．图1是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，如图2所示其外框是边长为2的正六边形ABCDEF，内部圆的圆心为该正六边形的中心O，圆O的半径为1，点P在圆O上运动，则eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))的最小值为()A．－1B．－2C．1D．2答案D解析如图，以O为坐标原点，BE所在直线为x轴，AF的垂直平分线所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设点P(cosθ，sinθ)(0≤θ≤2π)，由题意知，E(2,0)，O(0,0)，则eq\o(PE,\s\up6(→))＝(2－cosθ，－sinθ)，eq\o(OE,\s\up6(→))＝(2,0)，所以eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))＝4－2cosθ，当cosθ＝1，即θ＝0时，eq\o(PE,\s\up6(→))·eq\o(OE,\s\up6(→))取最小值2.16．(2023·浙江金丽衢十二校联考)在△ABC中，AB＝7，BC＝8，AC＝9，AM和AN分别是BC边上的高和中线，则eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A．14B．15C．16D．17答案C解析如图，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(BM,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，则有eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(AC,\s\up6(→))＝(1－λ)a＋λb，由余弦定理得cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(72＋92－82,2×7×9)＝eq\f(11,21)，∵eq\o(AM,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，即[(1－λ)a＋λb]·(b－a)＝(1－2λ)a·b－(1－λ)a2＋λb2＝0，其中a·b＝|a||b|cos∠BAC＝63×eq\f(11,21)＝33，a2＝49，b2＝81，解得λ＝eq\f(1,4)，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(BC,\s\up6(→))2＝16.§5.4平面向量中的综合问题重点解读平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合．其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围等．题型一平面向量在几何中的应用例1(1)(多选)(2023·武汉模拟)在△ABC所在平面内有三点O，N，P，则下列命题正确的是()A．若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))，则P是△ABC的垂心B．若eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))，则直线AP必过△ABC的外心C．若|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，则O为△ABC的外心D．若eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＋eq\o(NC,\s\up6(→))＝0，则N是△ABC的重心答案ACD解析对于A，由题意可得eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))＝eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，所以PB⊥AC，同理可得PA⊥BC，PC⊥AB，故P为△ABC的垂心，故A正确；对于B，如图设eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)，eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)，则|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝1，以AE，AF为邻边作平行四边形AEQF，则平行四边形AEQF为菱形，则eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)，所以eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))＝λeq\o(AQ,\s\up6(→))，又因为AQ平分∠BAC，故AP必经过△ABC的内心，故B错误；对于C，因为|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，所以O到△ABC的三个顶点距离相等，所以O为△ABC的外心，故C正确；对于D，记AB，BC，CA的中点分别为D，E，F，由题意eq\o(NA,\s\up6(→))＋eq\o(NB,\s\up6(→))＝2eq\o(ND,\s\up6(→))＝－eq\o(NC,\s\up6(→))，则NC＝2ND，同理可得NA＝2NE，NB＝2NF，则N是△ABC的重心，故D正确．(2)(2023·南宁模拟)△ABC的外心O满足eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\r(2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，则△ABC的面积为()A.eq\f(2＋\r(2),2)B.eq\f(1＋\r(2),2)C.eq\r(2)D．2答案B解析设AB的中点为D，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\r(2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝0可化为2eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\r(2)eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即为eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\r(2)eq\o(OD,\s\up6(→))，∴O，D，C三点共线且CD⊥AB，∴△ABC为等腰三角形，由垂径定理得|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(OD,\s\up6(→))|2＋|eq\o(AD,\s\up6(→))|2，设△ABC外接圆的半径为R，则R2＝eq\f(R,2)2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2，解得R＝1，CD＝1＋eq\f(\r(2),2)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)|AB||CD|＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(\r(2),2)))＝eq\f(1＋\r(2),2).思维升华用向量方法解决平面几何问题的步骤平面几何问题eq\o(→,\s\up7(设向量))向量问题eq\o(→,\s\up7(计算))解决向量问题eq\o(→,\s\up7(还原))解决几何问题．跟踪训练1(1)在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝(3，eq\r(3))，且满足eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))|)＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)，则|eq\o(AC,\s\up6(→))|等于()A．2B．6C.eq\r(3)D．2eq\r(3)答案D解析由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＝(3，eq\r(3))，得四边形ABCD为平行四边形，设m，n，p都是单位向量且m＋n＝p，则(m＋n)2＝p2，即1＋2m·n＋1＝1，则m·n＝－eq\f(1,2)⇒cos〈m，n〉＝－eq\f(1,2)，所以〈m，n〉＝120°，因此由eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋eq\f(\o(AD,\s\up6(→)),|\o(AD,\s\up6(→))|)＝eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)知∠BAD＝120°，且AC是∠BAD的平分线，因此四边形ABCD是菱形，而|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2eq\r(3)，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).(2)在△ABC中，AC＝9，∠A＝60°，点D满足eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，AD＝eq\r(37)，则BC的长为()A．3eq\r(7)B．3eq\r(6)C．3eq\r(3)D．6答案A解析因为eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(DB,\s\up6(→))，所以eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))，设AB＝x，x>0，则|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(AB,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AC,\s\up6(→))))2，得37＝eq\f(4,9)x2＋eq\f(4,9)×x×9cos60°＋eq\f(1,9)×92，即2x2＋9x－126＝0，解得x＝6(舍负)，即AB＝6，所以|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(\o(\s\up7(),\s\do5())|\o(AB,\s\up6(→))|2＋|\o(AC,\s\up6(→))|2－2|\o(AB,\s\up6(→))||\o(AC,\s\up6(→))|cos60°)＝eq\r(62＋92－2×6×9×\f(1,2))＝3eq\r(7).题型二和向量有关的最值(范围)问题命题点1与平面向量基本定理有关的最值(范围)问题例2如图，在△ABC中，点P满足2eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(PC,\s\up6(→))，过点P的直线与AB，AC所在的直线分别交于点M，N，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝yeq\o(AC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，则2x＋y的最小值为()A．3B．3eq\r(2)C．1D.eq\f(1,3)答案A解析由题意知，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(\o(BC,\s\up6(→)),3)＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→))－\o(AB,\s\up6(→)),3)＝eq\f(2\o(AB,\s\up6(→)),3)＋eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),3)，又eq\o(AM,\s\up6(→))＝xeq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AN,\s\up6(→))＝yeq\o(AC,\s\up6(→))(x>0，y>0)，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2\o(AM,\s\up6(→)),3x)＋eq\f(\o(AN,\s\up6(→)),3y)，由M，P，N三点共线，得eq\f(2,3x)＋eq\f(1,3y)＝1，∴2x＋y＝(2x＋y)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3x)＋\f(1,3y)))＝eq\f(5,3)＋eq\f(2x,3y)＋eq\f(2y,3x)≥eq\f(5,3)＋2eq\r(\f(2x,3y)·\f(2y,3x))＝3，当且仅当x＝y时，等号成立．故2x＋y的最小值为3.命题点2与数量积有关的最值(范围)问题例3(2024·开封模拟)已知等边△ABC的边长为eq\r(3)，P为△ABC所在平面内的动点，且|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝1，则eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(9,2))) B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(11,2)))C．[1,4] D．[1,7]答案B解析方法一如图，建立平面直角坐标系，设P(cosθ，sinθ)，θ∈[0,2π]，∴B(eq\r(3)，0)，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2)))，∴eq\o(PB,\s\up6(→))＝(eq\r(3)－cosθ，－sinθ)，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－cosθ，\f(3,2)－sinθ))，∴eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝(eq\r(3)－cosθ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－cosθ))－sinθeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－sinθ))＝eq\f(5,2)－eq\f(3\r(3),2)cosθ－eq\f(3,2)sinθ＝eq\f(5,2)－3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))，∵θ∈[0,2π]，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,3)))∈[－1,1]，∴eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(11,2))).方法二如图，建立平面直角坐标系，则Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，0))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，0))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,2)))，设P(x，y)，则点P在以A为圆心，1为半径的圆上，即点P的轨迹方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(3),2)))2＋y2＝1，而eq\o(PB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－x，－y))，eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x，\f(3,2)－y))，故eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))＝x2－eq\f(\r(3),2)x＋y2－eq\f(3,2)y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(\r(3),4)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(3,4)))2－eq\f(3,4)，综上，只需求出定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\f(3,4)))与圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(\r(3),2)))2＋y2＝1上点的距离的平方的范围即可，而圆心A与定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\f(3,4)))的距离d＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)＋\f(\r(3),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2)＝eq\f(3,2)，故定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),4)，\f(3,4)))与圆上点的距离的范围为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(5,2)))，∴eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(PC,\s\up6(→))∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(11,2))).命题点3与模有关的最值(范围)问题例4已知a，b是单位向量，a·b＝0，且向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的取值范围是()A．[eq\r(2)－1，eq\r(2)＋1] B．[eq\r(2)－1，eq\r(2)]C．[eq\r(2)，eq\r(2)＋1] D．[2－eq\r(2)，2＋eq\r(2)]答案A解析a，b是单位向量，a·b＝0，设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，|c－a－b|＝|(x－1，y－1)|＝eq\r(x－12＋y－12)＝1，∴(x－1)2＋(y－1)2＝1，∴|c|表示以(1,1)为圆心，1为半径的圆上的点到原点的距离，故eq\r(12＋12)－1≤|c|≤eq\r(12＋12)＋1，∴eq\r(2)－1≤|c|≤eq\r(2)＋1.思维升华向量求最值(范围)的常用方法(1)利用三角函数求最值(范围)．(2)利用基本不等式求最值(范围)．(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值(范围)．(4)数形结合，应用图形的几何性质求最值．跟踪训练2(1)已知向量a，b，c，|a|＝|b|＝1，a⊥b且(c－a)⊥(c－b)，则|c|的最大值为________．答案eq\r(2)解析方法一设a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝(x，y)，则c－a＝(x－1，y)，c－b＝(x，y－1)，∵(c－a)⊥(c－b)，∴x(x－1)＋y(y－1)＝0，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y－\f(1,2)))2＝eq\f(1,2)，则点(x，y)在以点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))为圆心，eq\f(\r(2),2)为半径的圆上，|c|＝eq\r(x2＋y2)≤OP＋eq\f(\r(2),2)＝eq\r(2).方法二如图，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝c－a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝c－b，则AC⊥BC，又OA⊥OB，则四边形OBCA四点共圆，则(OC)max为圆直径AB，又AB＝eq\r(OA2＋OB2)＝eq\r(2)，∴|c|max＝(OC)max＝eq\r(2).(2)(多选)在直角△ABC中，斜边AB＝2，P为△ABC所在平面内一点，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)sin2θ·eq\o(AB,\s\up6(→))＋cos2θ·eq\o(AC,\s\up6(→))(其中θ∈R)，则()A.eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))的取值范围是(0,4)B．点P经过△ABC的外心C．点P所在轨迹的长度为2D.eq\o(PC,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))答案ABD解析由eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))2，又斜边AB＝2，则|eq\o(AC,\s\up6(→))|∈(0,2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))∈(0,4)，A正确；若O为AB中点，则eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，故eq\o(AP,\s\up6(→))＝sin2θ·eq\o(AO,\s\up6(→))＋cos2θ·eq\o(AC,\s\up6(→))，又sin2θ＋cos2θ＝1，所以O，P，C共线，故P在线段OC上，轨迹长为1，又O是△ABC的外心，所以B正确，C错误；又eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PO,\s\up6(→))，则eq\o(PC,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(PO,\s\up6(→))＝－2|eq\o(PC,\s\up6(→))||eq\o(PO,\s\up6(→))|，又|eq\o(PC,\s\up6(→))|＋|eq\o(PO,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝1，则|eq\o(PC,\s\up6(→))||eq\o(PO,\s\up6(→))|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|\o(PC,\s\up6(→))|＋|\o(PO,\s\up6(→))|,2)))2＝eq\f(1,4)，当且仅当|eq\o(PC,\s\up6(→))|＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)时，等号成立，所以eq\o(PC,\s\up6(→))·(eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→)))＝－2|eq\o(PC,\s\up6(→))||eq\o(PO,\s\up6(→))|∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，0))，D正确．课时精练一、单项选择题1．(2023·邢台模拟)在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4,2)，则四边形ABCD的面积S等于()A.eq\f(5,2)B．5C．10D．20答案B解析因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4,2)，所以eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝1×(－4)＋2×2＝0，则AC⊥BD，又|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(－42＋22)＝2eq\r(5)，所以四边形ABCD的面积S＝eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))||eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×2eq\r(5)＝5.2．已知△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，点D为AC的中点，点M为边BC上一动点，则eq\o(MD,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))的最小值为()A．－eq\f(3,2)B．－eq\f(7,4)C．－eq\f(9,4)D．－eq\f(5,4)答案C解析因为AB＝AC＝10，所以△ABC是等腰三角形，以BC所在直线为x轴，BC的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图，则C(6,0)，A(0,8)，D(3,4)，设M(x,0)，－6≤x≤6，则eq\o(MD,\s\up6(→))＝(3－x,4)，eq\o(MC,\s\up6(→))＝(6－x,0)，所以eq\o(MD,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))＝(3－x,4)·(6－x,0)＝x2－9x＋18，因此，当x＝eq\f(9,2)时，eq\o(MD,\s\up6(→))·eq\o(MC,\s\up6(→))取得最小值－eq\f(9,4).3．(2023·绵阳模拟)已知圆C的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，点P在直线y＝x＋3上，线段AB为圆C的直径，则|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|的最小值为()A.eq\f(3\r(2),2)B．3eq\r(2)C．4eq\r(2)D．3答案B解析因为C为AB的中点，所以eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＝2eq\o(PC,\s\up6(→))，从而|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|2eq\o(PC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(PC,\s\up6(→))|，可知|eq\o(PC,\s\up6(→))|的最小值为点C到直线y＝x＋3的距离，d＝eq\f(|1－1＋3|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))|min＝2×eq\f(3\r(2),2)＝3eq\r(2).4．(2023·上饶模拟)如图，AB是圆O的一条直径且AB＝2，EF是圆O的一条弦，且EF＝1，点P在线段EF上，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))的最小值是()A.eq\f(1,2)B．－eq\f(1,4)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(3,4)答案B解析由题意可得，eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))·(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝(eq\o(PO,\s\up6(→))＋eq\o(OA,\s\up6(→)))·(eq\o(PO,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－|eq\o(OA,\s\up6(→))|2＝|eq\o(PO,\s\up6(→))|2－1，为使eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))最小，只需|eq\o(PO,\s\up6(→))|最小，只需OP⊥EF，根据圆的性质可得，此时P为EF中点，又EF＝1，因此|eq\o(PO,\s\up6(→))|min＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2)