2024年高二数学暑期培优讲义 第06讲 椭圆及其性质（教师版）

第第页第六讲椭圆及其性质考试要求1.理解椭圆的定义、几何图形、标准方程.2.掌握椭圆的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.掌握椭圆的简单应用．知识梳理1．椭圆的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．两个定点F1，F2叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离|F1F2|叫做椭圆的焦距．2．椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)范围﹣a≤x≤a且﹣b≤y≤b﹣b≤x≤b且﹣a≤y≤a顶点A1(﹣a，0)，A2(a，0)B1(0，﹣b)，B2(0，b)A1(0，﹣a)，A2(0，a)B1(﹣b，0)，B2(b，0)轴长短轴长为2b，长轴长为2a焦点F1(﹣c，0)，F2(c，0)F1(0，﹣c)，F2(0，c)焦距|F1F2|＝2c对称性对称轴：x轴和y轴，对称中心：原点离心率e＝eq\f(c,a)(0<e<1)a，b，c的关系a2＝b2＋c2常用结论椭圆的焦点三角形椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．如图所示，设∠F1PF2＝θ.(1)当P为短轴端点时，θ最大，SKIPIF1<0最大．(2)SKIPIF1<0＝eq\f(1,2)|PF1||PF2|sinθ＝b2taneq\f(θ,2)＝c|y0|.(3)|PF1|max＝a＋c，|PF1|min＝a﹣c.(4)|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2.(5)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2﹣2|PF1||PF2|cosθ.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆．(×)(2)椭圆是轴对称图形，也是中心对称图形．(√)(3)eq\f(y2,m2)＋eq\f(x2,n2)＝1(m≠n)表示焦点在y轴上的椭圆．(×)(4)eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)与eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的焦距相等．(√)教材改编题1．设P是椭圆eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1上的点，若F1，F2是椭圆的两个焦点，则|PF1|＋|PF2|等于()A．4B．5C．8D．10答案D解析依椭圆的定义知，|PF1|＋|PF2|＝2×5＝10.2．若椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，则该椭圆上的点到焦点距离的最大值为()A．3B．2＋eq\r(3)C．2D.eq\r(3)＋1答案A解析由题意知a＝2，b＝eq\r(3)，所以c＝1，距离的最大值为a＋c＝3.3．已知椭圆C的焦点在x轴上，且离心率为eq\f(1,2)，则C的方程可以为________．答案eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(答案不唯一)解析因为焦点在x轴上，所以设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，a>b>0，因为离心率为eq\f(1,2)，所以eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(1,4)，则eq\f(b2,a2)＝eq\f(3,4).题型一椭圆的定义及其应用例1(1)已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，设A是圆上任意一点，N(2,0)，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是()A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线答案B解析点P在线段AN的垂直平分线上，故|PA|＝|PN|.又AM是圆的半径，所以|PM|＋|PN|＝|PM|＋|PA|＝|AM|＝6>|MN|.由椭圆的定义知，P的轨迹是椭圆．(2)设点P为椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,4)＝1(a>2)上一点，F1，F2分别为C的左、右焦点，且∠F1PF2＝60°，则△PF1F2的面积为________．答案eq\f(4\r(3),3)解析由题意知，c＝eq\r(a2－4).又∠F1PF2＝60°，|F1P|＋|PF2|＝2a，|F1F2|＝2eq\r(a2－4)，∴|F1F2|2＝(|F1P|＋|PF2|)2﹣2|F1P||PF2|﹣2|F1P|·|PF2|cos60°＝4a2﹣3|F1P|·|PF2|＝4a2﹣16，∴|F1P|·|PF2|＝eq\f(16,3)，∴SKIPIF1<0＝eq\f(1,2)|F1P|·|PF2|sin60°＝eq\f(1,2)×eq\f(16,3)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4\r(3),3).延伸探究若将本例(2)中“∠F1PF2＝60°”改成“PF1⊥PF2”，求△PF1F2的面积．解∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝4(a2﹣4)＝4a2﹣16，又|PF1|＋|PF2|＝2a，∴|PF1|·|PF2|＝8，∴SKIPIF1<0＝4.教师备选1．△ABC的两个顶点为A(﹣3,0)，B(3,0)，△ABC周长为16，则顶点C的轨迹方程为()A.eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1(y≠0)B.eq\f(y2,25)＋eq\f(x2,16)＝1(y≠0)C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1(y≠0)D.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,9)＝1(y≠0)答案A解析由题知点C到A，B两点的距离之和为10，故C的轨迹为以A(﹣3,0)，B(3,0)为焦点，长轴长为10的椭圆，故2a＝10，c＝3，b2＝a2﹣c2＝16.所以方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.又A，B，C三点不能共线，所以eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1(y≠0)．2．若F1，F2是椭圆eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,7)＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为()A．7B.eq\f(7,4)C.eq\f(7,2)D.eq\f(7\r(5),2)答案C解析由题意得a＝3，b＝eq\r(7)，c＝eq\r(2)，∴|F1F2|＝2eq\r(2)，|AF1|＋|AF2|＝6.∵|AF2|2＝|AF1|2＋|F1F2|2﹣2|AF1|·|F1F2|cos45°＝|AF1|2＋8﹣4|AF1|，∴(6﹣|AF1|)2＝|AF1|2＋8﹣4|AF1|，解得|AF1|＝eq\f(7,2).∴△AF1F2的面积S＝eq\f(1,2)×2eq\r(2)×eq\f(7,2)×eq\f(\r(2),2)＝eq\f(7,2).思维升华椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程、求焦点三角形的周长、面积及求弦长、最值和离心率等．(2)通常将定义和余弦定理结合使用求解关于焦点三角形的周长和面积问题．跟踪训练1(1)已知两圆C1：(x﹣4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9.动圆M在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程是()A.eq\f(x2,64)﹣eq\f(y2,48)＝1B.eq\f(x2,48)＋eq\f(y2,64)＝1C.eq\f(x2,48)﹣eq\f(y2,64)＝1D.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1答案D解析设动圆的圆心M(x，y)，半径为r，圆M与圆C1：(x﹣4)2＋y2＝169内切，与圆C2：(x＋4)2＋y2＝9外切．所以|MC1|＝13﹣r，|MC2|＝3＋r.|MC1|＋|MC2|＝16>|C1C2|＝8，由椭圆的定义，M的轨迹是以C1，C2为焦点，长轴长为16的椭圆．则a＝8，c＝4，所以b2＝82﹣42＝48，动圆的圆心M的轨迹方程为eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,48)＝1.(2)设椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的一个焦点为F，则对于椭圆上两动点A，B，△ABF周长的最大值为()A．4＋eq\r(5)B．6C．2eq\r(5)＋2D．8答案D解析设F1为椭圆的另外一个焦点，则由椭圆的定义可得|AF|＋|BF|＋|AB|＝2a﹣|AF1|＋2a﹣|BF1|＋|AB|＝4a＋|AB|﹣|BF1|﹣|AF1|＝8＋|AB|﹣|BF1|﹣|AF1|，当A，B，F1三点共线时，|AB|﹣|BF1|﹣|AF1|＝0，当A，B，F1三点不共线时，|AB|﹣|BF1|﹣|AF1|<0，所以当A，B，F1三点共线时，△ABF的周长取得最大值8.题型二椭圆的标准方程命题点1定义法例2已知椭圆C的焦点为F1(﹣1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1答案B解析设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由椭圆定义可得|AF1|＋|AB|＋|BF1|＝4a.∵|AB|＝|BF1|，∴|AF1|＋2|AB|＝4a.又|AF2|＝2|F2B|，∴|AB|＝eq\f(3,2)|AF2|，∴|AF1|＋3|AF2|＝4a.又|AF1|＋|AF2|＝2a，∴|AF2|＝a，∴A为椭圆的短轴端点．如图，不妨设A(0，b)，又F2(1,0)，eq\o(AF2,\s\up6(→))＝2eq\o(F2B,\s\up6(→))，∴Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(b,2))).将B点坐标代入椭圆方程eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1，得eq\f(9,4a2)＋eq\f(b2,4b2)＝1，∴a2＝3，b2＝a2﹣c2＝2.∴椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1.命题点2待定系数法例3已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P1(eq\r(6)，1)，P2(﹣eq\r(3)，﹣eq\r(2))，则该椭圆的方程为________．答案eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1解析设椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．因为椭圆经过P1，P2两点，所以点P1，P2的坐标满足椭圆方程，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6m＋n＝1，,3m＋2n＝1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,9)，,n＝\f(1,3).))所以所求椭圆的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,3)＝1.教师备选1．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\f(1,2)，过F2的直线与椭圆C交于A，B两点，若△F1AB的周长为8，则椭圆方程为()A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1B.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1C.eq\f(x2,2)＋y2＝1D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1答案A解析如图，由椭圆的定义可知，△F1AB的周长为4a，所以4a＝8，a＝2，又离心率为eq\f(1,2)，所以c＝1，b2＝3，所以椭圆方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.2．设椭圆eq\f(x2,m2)＋eq\f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)的右焦点为(2,0)，离心率为eq\f(\r(2),2)，则此椭圆的方程为________．答案eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1解析椭圆的右焦点为(2,0)，所以m2﹣n2＝4，e＝eq\f(\r(2),2)＝eq\f(2,m)，所以m＝2eq\r(2)，代入m2﹣n2＝4，得n2＝4，所以椭圆方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.思维升华根据条件求椭圆方程的主要方法(1)定义法：根据题目所给条件确定动点的轨迹满足椭圆的定义．(2)待定系数法：根据题目所给的条件确定椭圆中的a，b.当不知焦点在哪一个坐标轴上时，一般可设所求椭圆的方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，不必考虑焦点位置，用待定系数法求出m，n的值即可．跟踪训练2(1)已知椭圆的两个焦点为F1(﹣eq\r(5)，0)，F2(eq\r(5)，0)，M是椭圆上一点，若MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，则该椭圆的方程是()A.eq\f(x2,7)＋eq\f(y2,2)＝1B.eq\f(x2,2)＋eq\f(y2,7)＝1C.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1D.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,9)＝1答案C解析设|MF1|＝m，|MF2|＝n，因为MF1⊥MF2，|MF1|·|MF2|＝8，|F1F2|＝2eq\r(5)，所以m2＋n2＝20，mn＝8，所以(m＋n)2＝36，所以m＋n＝2a＝6，所以a＝3.因为c＝eq\r(5)，所以b＝eq\r(a2－c2)＝2.所以椭圆的方程是eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)已知F1(﹣1,0)，F2(1,0)是椭圆C的两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为()A.eq\f(x2,2)＋y2＝1B.eq\f(x2,3)＋eq\f(y2,2)＝1C.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1答案C解析如图，|AF2|＝eq\f(1,2)|AB|＝eq\f(3,2)，|F1F2|＝2，由椭圆定义，得|AF1|＝2a﹣eq\f(3,2).①在Rt△AF1F2中，|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))2＋22.②由①②得a＝2，∴b2＝a2﹣c2＝3.∴椭圆C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.题型三椭圆的几何性质命题点1离心率例4(1)已知F是椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点，过椭圆C的下顶点且斜率为eq\f(3,4)的直线与以点F为圆心、半焦距为半径的圆相切，则椭圆C的离心率为()A.eq\f(\r(5),5)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),3)D.eq\f(\r(2),2)答案A解析过椭圆C的下顶点(0，﹣b)且斜率为eq\f(3,4)的直线方程为y＝eq\f(3,4)x﹣b，即eq\f(3,4)x﹣y﹣b＝0，F(c，0)，由点到直线距离公式，得c＝eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)c－b)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))2＋1))，即c2＝﹣eq\f(3,2)bc＋b2，即(2c﹣b)(c＋2b)＝0，则2c﹣b＝0，b＝2c.又a2＝b2＋c2，即a2＝(2c)2＋c2＝5c2，解得eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),5).(2)已知F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使∠F1PF2＝90°，则椭圆的离心率e的取值范围为()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),2)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))答案B解析若椭圆上存在点P，使得PF1⊥PF2，则以原点为圆心，F1F2为直径的圆与椭圆必有交点，如图，可得c≥b，即c2≥b2，所以2c2≥a2，即e2≥eq\f(1,2)，又e<1，所以e∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).思维升华求椭圆离心率或其范围的方法(1)直接求出a，c，利用离心率公式e＝eq\f(c,a)求解．(2)由a与b的关系求离心率，利用变形公式e＝eq\r(1－\f(b2,a2))求解．(3)构造a，c的齐次式．可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.命题点2与椭圆有关的范围(最值)例5(1)以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为()A．1B.eq\r(2)C．2D．2eq\r(2)答案D解析设a，b，c分别为椭圆的长半轴长、短半轴长、半焦距，依题意知，当三角形的高为b时，以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积最大，所以eq\f(1,2)×2cb＝1，故bc＝1，故2a＝2eq\r(b2＋c2)≥2eq\r(2bc)＝2eq\r(2)(当且仅当b＝c＝1时取等号)．(2)如图，焦点在x轴上的椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1(b>0)的离心率e＝eq\f(1,2)，F，A分别是椭圆的左焦点和右顶点，P是椭圆上任意一点，则eq\o(PF,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))的最大值为________．答案4解析由题意知a＝2，因为e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，所以c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝3，故椭圆的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.设P点的坐标为(x0，y0)，所以﹣2≤x0≤2，﹣eq\r(3)≤y0≤eq\r(3).因为F(﹣1,0)，A(2,0)，所以eq\o(PF,\s\up6(→))＝(﹣1﹣x0，﹣y0)，eq\o(PA,\s\up6(→))＝(2﹣x0，﹣y0)，所以eq\o(PF,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))＝xeq\o\al(2,0)﹣x0﹣2＋yeq\o\al(2,0)＝eq\f(1,4)xeq\o\al(2,0)﹣x0＋1＝eq\f(1,4)(x0﹣2)2，所以当x0＝﹣2时，eq\o(PF,\s\up6(→))·eq\o(PA,\s\up6(→))取得最大值4.【备选题】若点O和点F分别为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值为()A．2B．3C．6D．8答案C解析由椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1可得F(﹣1,0)，点O(0,0)．设P(x，y)(﹣2≤x≤2)．则eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝x2＋x＋y2＝x2＋x＋3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(x2,4)))＝eq\f(1,4)x2＋x＋3＝eq\f(1,4)(x＋2)2＋2，﹣2≤x≤2，当且仅当x＝2时，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))取得最大值6.思维升华与椭圆有关的最值或范围问题的求解方法(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质；(2)利用函数，尤其是二次函数；(3)利用不等式，尤其是基本不等式．跟踪训练3(1)设椭圆E的两焦点分别为F1，F2，以F1为圆心，|F1F2|为半径的圆与E交于P，Q两点．若△PF1F2为直角三角形，则E的离心率为()A.eq\r(2)﹣1B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\r(2)＋1答案A解析不妨设椭圆E的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，如图所示，∵△PF1F2为直角三角形，∴PF1⊥F1F2，又|PF1|＝|F1F2|＝2c，∴|PF2|＝2eq\r(2)c，∴|PF1|＋|PF2|＝2c＋2eq\r(2)c＝2a，∴椭圆E的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\r(2)﹣1.(2)已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(c，0)，上顶点为A(0，b)，直线x＝eq\f(a2,c)上存在一点P满足(eq\o(FP,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0，则椭圆的离心率的取值范围为()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5)－1,2)，1))D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))答案C解析取AP的中点Q，则eq\o(FQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(FP,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)))，所以(eq\o(FP,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝2eq\o(FQ,\s\up6(→))·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0，所以FQ⊥AP，所以△AFP为等腰三角形，即|FA|＝|FP|，且|FA|＝eq\r(b2＋c2)＝a.因为点P在直线x＝eq\f(a2,c)上，所以|FP|≥eq\f(a2,c)﹣c，即a≥eq\f(a2,c)﹣c，所以eq\f(a,c)≥eq\f(a2,c2)﹣1，所以e2＋e﹣1≥0，解得e≥eq\f(\r(5)－1,2)或e≤eq\f(－\r(5)－1,2).又0＜e＜1，故eq\f(\r(5)－1,2)≤e＜1.课时精练1．已知动点M到两个定点A(﹣2,0)，B(2,0)的距离之和为6，则动点M的轨迹方程为()A.eq\f(x2,9)＋y2＝1B.eq\f(y2,9)＋eq\f(x2,5)＝1C.eq\f(y2,9)＋x2＝1D.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1答案D解析由题意有6>2＋2＝4，故点M的轨迹为焦点在x轴上的椭圆，则2a＝6，c＝2，故a2＝9，所以b2＝a2﹣c2＝5，故椭圆的方程为eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,5)＝1.2．若椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴长等于焦距，则椭圆的离心率为()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2)D.eq\f(\r(2),4)答案C解析依题意可知，c＝b，又a＝eq\r(b2＋c2)＝eq\r(2)c，∴椭圆的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2).3．椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1的两个焦点分别是F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))的取值范围是()A．[﹣1,1]B．[﹣1,0]C．[0,1]D．[﹣1,2]答案C解析设F1为左焦点，则由椭圆方程得F1(﹣1,0)，F2(1,0)，设P(x，y)，﹣eq\r(2)≤x≤eq\r(2)，∴eq\o(PF1,\s\up6(→))＝(﹣1﹣x，﹣y)，eq\o(PF2,\s\up6(→))＝(1﹣x，﹣y)，则eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝x2＋y2﹣1＝eq\f(x2,2)∈[0,1]．4．设e是椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,k)＝1的离心率，且e∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，则实数k的取值范围是()A．(0,3)B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(16,3)))C．(0,3)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,3)，＋∞))D．(0,2)答案C解析当k>4时，c＝eq\r(k－4)，由条件知eq\f(1,4)<eq\f(k－4,k)<1，解得k>eq\f(16,3)；当0<k<4时，c＝eq\r(4－k)，由条件知eq\f(1,4)<eq\f(4－k,4)<1，解得0<k<3.5．(多选)已知椭圆C的中心为坐标原点，焦点F1，F2在y轴上，短轴长等于2，离心率为eq\f(\r(6),3)，过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P，Q两点，则下列说法正确的是()A．椭圆C的方程为eq\f(y2,3)＋x2＝1B．椭圆C的方程为eq\f(x2,3)＋y2＝1C．|PQ|＝eq\f(2\r(3),3)D．△PF2Q的周长为4eq\r(3)答案ACD解析由已知得，2b＝2，b＝1，eq\f(c,a)＝eq\f(\r(6),3)，又a2＝b2＋c2，解得a2＝3.∴椭圆方程为x2＋eq\f(y2,3)＝1，如图．∴|PQ|＝eq\f(2b2,a)＝eq\f(2,\r(3))＝eq\f(2\r(3),3)，△PF2Q的周长为4a＝4eq\r(3).6．(多选)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|＝2，点P(1,1)在椭圆内部，点Q在椭圆上，则以下说法正确的是()A．|QF1|＋|QP|的最小值为2a﹣1B．椭圆C的短轴长可能为2C．椭圆C的离心率的取值范围为（0，eq\f(\r(5)－1,2)）D．若eq\o(PF1,\s\up6(→))＝eq\o(F1Q,\s\up6(→))，则椭圆C的长轴长为eq\r(5)＋eq\r(17)答案ACD解析由题意可知2c＝2，则c＝1，因为点Q在椭圆上，所以|QF1|＋|QF2|＝2a，|QF1|＋|QP|＝2a﹣|QF2|＋|QP|，又﹣1≤﹣|QF2|＋|QP|≤1，所以A正确；因为点P(1,1)在椭圆内部，所以b＞1,2b＞2，所以B错误；因为点P(1,1)在椭圆内部，所以eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)＜1，即b2＋a2﹣a2b2＜0，又c＝1，b2＝a2﹣c2，所以(a2﹣1)＋a2﹣a2(a2﹣1)＜0，化简可得a4﹣3a2＋1＞0(a>1)，解得a2＞eq\f(3＋\r(5),2)或a2＜eq\f(3－\r(5),2)(舍去)，则椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＜eq\f(1,\r(\f(3＋\r(5),2)))＝eq\f(1,\f(\r(5)＋1,2))＝eq\f(\r(5)－1,2)，又0<e<1，所以椭圆C的离心率的取值范围为（0，eq\f(\r(5)－1,2)），所以C正确；由eq\o(PF1,\s\up6(→))＝eq\o(F1Q,\s\up6(→))可得，F1为PQ的中点，而P(1,1)，F1(﹣1,0)，所以Q(﹣3，﹣1)，|QF1|＋|QF2|＝eq\r(－3＋12＋－1－02)＋eq\r(－3－12＋－1－02)＝eq\r(5)＋eq\r(17)＝2a，所以D正确．7．如图是篮球在太阳光照射下的影子，已知篮球的直径为22cm，现太阳光与地面的夹角为60°，则此椭圆形影子的离心率为________．答案eq\f(1,2)解析由图可得，椭圆的短轴长2b＝22⇒b＝11，2a＝eq\f(22,sin60°)＝eq\f(22,\f(\r(3),2))⇒a＝eq\f(22,\r(3))，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1－\f(3,4))＝eq\f(1,2).8．已知F1，F2为椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,4)＝1的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且|PQ|＝|F1F2|，则四边形PF1QF2的面积为________．答案8解析根据椭圆的对称性及|PQ|＝|F1F2|可以得到四边形PF1QF2为对角线相等的平行四边形，所以四边形PF1QF2为矩形．设|PF1|＝m，则|PF2|＝2a﹣|PF1|＝8﹣m，则|PF1|2＋|PF2|2＝m2＋(8﹣m)2＝2m2＋64﹣16m＝|F1F2|2＝4c2＝4(a2﹣b2)＝48，得m(8﹣m)＝8，所以四边形PF1QF2的面积为|PF1|×|PF2|＝m(8﹣m)＝8.9．已知椭圆的长轴长为10，两焦点F1，F2的坐标分别为(3,0)和(﹣3,0)．(1)求椭圆的标准方程；(2)若P为短轴的一个端点，求△F1PF2的面积．解(1)设椭圆的标准方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，依题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝10，,c＝3，))因此a＝5，b＝4，所以椭圆的标准方程为eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)易知|yP|＝4，又c＝3，所以SKIPIF1<0＝eq\f(1,2)|yP|×2c＝eq\f(1,2)×4×6＝12.10．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦点F1(﹣c，0)，F2(c，0)，左顶点为A，点E的坐标为(0，c)，A到直线EF2的距离为eq\f(\r(6),2)b.(1)求椭圆C的离心率；(2)若P为椭圆C上的一点，∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为eq\r(3)，求椭圆C的方程．解(1)由题意得，A(﹣a，0)，EF2：x＋y＝c，因为A到直线EF2的距离为eq\f(\r(6),2)b，即eq\f(|－a－c|,\r(12＋12))＝eq\f(\r(6),2)b，所以a＋c＝eq\r(3)b，即(a＋c)2＝3b2，又b2＝a2﹣c2，所以(a＋c)2＝3(a2﹣c2)，所以2c2＋ac﹣a2＝0，因为离心率e＝eq\f(c,a)，所以2e2＋e﹣1＝0，解得e＝eq\f(1,2)或e＝﹣1(舍)，所以椭圆C的离心率为eq\f(1,2).(2)由(1)知离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，即a＝2c，①因为∠F1PF2＝60°，△PF1F2的面积为eq\r(3)，则eq\f(1,2)|PF1||PF2|sin60°＝eq\r(3)，所以|PF1||PF2|＝4，又eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|＋|PF2|＝2a，,|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos60°＝2c2，))所以a2﹣c2＝3，②联立①②得a＝2，c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝3，所以椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.11．(多选)已知椭圆C：eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,9)＝1的左、右焦点分别是F1，F2，左、右顶点分别是A1，A2，点P是椭圆C上异于A1，A2的任意一点，则下列说法正确的是()A．|PF1|＋|PF2|＝4B．存在点P满足∠F1PF2＝90°C．直线PA1与直线PA2的斜率之积为﹣eq\f(9,16)D．若△F1PF2的面积为2eq\r(7)，则点P的横坐标为±eq\f(4\r(5),3)答案CD解析由椭圆方程知a＝4，b＝3，c＝eq\r(7)，|PF1|＋|PF2|＝2a＝8，A错误；当P在椭圆上、下顶点时，cos∠F1PF2＝eq\f(2a2－4c2,2a2)＝eq\f(1,8)>0，即∠F1PF2最大值小于eq\f(π,2)，B错误；若P(x′，y′)，则SKIPIF1<0＝eq\f(y′,x′＋4)，SKIPIF1<0＝eq\f(y′,x′－4)，有SKIPIF1<0＝eq\f(y′2,x′2－16)，而eq\f(x′2,16)＋eq\f(y′2,9)＝1，所以﹣16y′2＝9(x′2﹣16)，即有SKIPIF1<0＝﹣eq\f(9,16)，C正确；若P(x′，y′)，△F1PF2的面积为2eq\r(7)，即eq\f(2c·|y′|,2)＝2eq\r(7)，故y′＝±2，代入椭圆方程得x′＝±eq\f(4\r(5),3)，D正确．12．(多选)2021年10月16日，神舟十三号发射圆满成功，人民日报微博发了一条“跨越时空的同一天”，致敬每一代人的拼搏！已知飞船在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即飞船的向径(卫星与地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论正确的是()A．飞船向径的取值范围是[a﹣c，a＋c]B．飞船在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间C．飞船向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁D．飞船运行速度在近地点时最大，在远地点时最小答案ABD解析根据椭圆定义知飞船向径的取值范围是[a﹣c，a＋c]，A正确；当飞船在左半椭圆弧上运行时，对应的面积更大，根据面积守恒规律，知在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，B正确；eq\f(a－c,a＋c)＝eq\f(1－e,1＋e)＝eq\f(2,1＋e)﹣1，比值越大，则e越小，椭圆轨道越圆，C错误；根据面积守恒规律，飞船在近地点时向径最小，故速度最大，在远地点时向径最大，故速度最小，D正确．13．设F1，F2分别是椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点，若在直线x＝eq\f(a2,c)上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2)))B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))C.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，1))答案D解析设Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)，m))，F1(﹣c，0)，F2(c，0)，由线段PF1的中垂线过点F2得|PF2|＝|F1F2|，即eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)－c))2＋m2)＝2c，得m2＝4c2﹣eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,c)－c))2＝﹣eq\f(a4,c2)＋2a2＋3c2≥0，即3c4＋2a2c2﹣a4≥0，得3e4＋2e2﹣1≥0，解得e2≥eq\f(1,3)，又0<e<1，故eq\f(\r(3),3)≤e<1.14．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦点F1(﹣c，0)，F2(c，0)(c>0)．若过F1的直线和圆eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)c))2＋y2＝c2相切，与椭圆的第一象限交于点P，且PF2⊥x轴，则该直线的斜率是________，椭圆的离心率是________．答案eq\f(2\r(5),5)eq\f(\r(5),5)解析设过F1的直线与圆的切点为M，圆心Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c，0))，则|AM|＝c，|AF1|＝eq\f(3,2)c，所以|MF1|＝eq\f(\r(5),2)c，所以该直线的斜率k＝eq\f(|AM|,|MF1|)＝eq\f(c,\f(\r(5),2)c)＝eq\f(2\r(5),5).因为PF2⊥x轴，所以|PF2|＝eq\f(b2,a)，又|F1F2|＝2c，所以k＝eq\f(2\r(5),5)＝eq\f(\f(b2,a),2c)＝eq\f(a2－c2,2ac)＝eq\f(1－e2,2e)(0<e<1)，得e＝eq\f(\r(5),5).15．已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的短轴长为2，上顶点为A，左顶点为B，左、右焦点分别为F1，F2，且△F1AB的面积为eq\f(2－\r(3),2)，若点P为椭圆上的任意一点，则eq\f(1,|PF1|)＋eq\f(1,|PF2|)的取值范围是________．答案[1,4]解析由已知得2b＝2，故b＝1.∵△F1AB的面积为eq\f(2－\r(3),2)，∴eq\f(1,2)(a﹣c)b＝eq\f(2－\r(3),2)，∴a﹣c＝2﹣eq\r(3)，又a2﹣c2＝(a﹣c)(a＋c)＝b2＝1，∴a＝2，c＝eq\r(3)，∴eq\f(1,|PF1|)＋eq\f(1,|PF2|)＝eq\f(|PF1|＋|PF2|,|PF1||PF2|)＝eq\f(2a,|PF1|2a－|PF1|)＝eq\f(4,－|PF1|2＋4|PF1|).又2﹣eq\r(3)≤|PF1|≤2＋eq\r(3)，∴1≤﹣|PF1|2＋4|PF1|≤4，∴1≤eq\f(1,|PF1|)＋eq\f(1,|PF2|)≤4，即eq\f(1,|PF1|)＋eq\f(1,|PF2|)的取值范围为[1,4]．16．已知F1，F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，∠F1PF2＝60°.(1)求椭圆的离心率的取值范围；(2)求证：△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．(1)解不妨设椭圆的方程为eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，焦距为2c.在△F1PF2中，由余弦定理得，cos60°＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(|PF1|＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)，即eq\f(4a2－2|PF1|·|PF2|－4c2,2|PF1|·|PF2|)＝eq\f(1,2)，所以|PF1|·|PF2|＝4a2﹣2|PF1|·|PF2|﹣4c2，所以3|PF1|·|PF2|＝4b2，所以|PF1|·|PF2|＝eq\f(4b2,3).又因为|PF1|·|PF2|≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|PF1|＋|PF2|,2)))2＝a2，当且仅当|PF1|＝|PF2|时等号成立，所以3a2≥4(a2﹣c2)，所以eq\f(c,a)≥eq\f(1,2)，所以e≥eq\f(1,2).又因为0<e<1，所以所求椭圆的离心率的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).(2)证明由(1)可知|PF1|·|PF2|＝eq\f(4,3)b2，所以SKIPIF1<0＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin60°＝eq\f(1,2)×eq\f(4,3)b2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),3)b2，所以△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关．直线与椭圆考试要求1.理解直线与椭圆位置关系判断方法.2.掌握直线被椭圆所截的弦长公式.3.了解直线与椭圆相交的综合问题．知识梳理1．直线与椭圆的位置判断将直线方程与椭圆方程联立，消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，则直线与椭圆相交⇔Δ>0；直线与椭圆相切⇔Δ＝0；直线与椭圆相离⇔Δ<0.2．弦长公式设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1﹣x2|＝eq\r(1＋k2[x1＋x22－4x1x2])或|AB|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1﹣y2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,k2)))[y1＋y22－4y1y2])，k为直线斜率且k≠0.常用结论已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)．(1)通径的长度为eq\f(2b2,a).(2)过左焦点的弦AB，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则焦点弦|AB|＝2a＋e(x1＋x2)；过右焦点弦CD，C(x3，y3)，D(x4，y4)，则焦点弦|CD|＝2a﹣e(x3＋x4)．(e为椭圆的离心率)(3)A1，A2为椭圆的长轴顶点，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，则SKIPIF1<0.(4)AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，O为原点，M为AB的中点，则kOM·kAB＝﹣eq\f(b2,a2).(5)过原点的直线交椭圆于A，B两点，P是椭圆上异于A，B的任一点，则kPA·kPB＝﹣eq\f(b2,a2).(6)点P(x0，y0)在椭圆上，过点P的切线方程为eq\f(x0x,a2)＋eq\f(y0y,b2)＝1.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)椭圆通径是所有的焦点弦中最短的弦．(√)(2)直线y＝x与椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1一定相交．(√)(3)直线y＝x﹣1被椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1截得的弦长为eq\r(2).(×)(4)过椭圆上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)的直线的斜率k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).(×)教材改编题1．直线y＝x＋1与椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．无法判断答案A解析方法一(通解)联立直线与椭圆的方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋1，,\f(x2,5)＋\f(y2,4)＝1，))消去y得9x2＋10x﹣15＝0，Δ＝100﹣4×9×(﹣15)＞0，所以直线与椭圆相交．方法二(优解)直线过点(0,1)，而0＋eq\f(1,4)＜1，即点(0,1)在椭圆内部，所以可推断直线与椭圆相交．A.eq\f(4,5)B.eq\f(6,5)C.eq\f(8,5)D.eq\f(13,5)答案C解析由题意得，a2＝4，b2＝1，所以c2＝3，所以右焦点坐标为(eq\r(3)，0)，则直线l的方程为y＝x﹣eq\r(3)，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x－\r(3)，,\f(x2,4)＋y2＝1，))消y得，5x2﹣8eq\r(3)x＋8＝0，则x1＋x2＝eq\f(8\r(3),5)，x1·x2＝eq\f(8,5)，所以|AB|＝eq\r(1＋k2)·eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(2)×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8\r(3),5)))2－4×\f(8,5))＝eq\f(8,5).即弦AB的长为eq\f(8,5).3．已知椭圆eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1(a>b>0)的右顶点为A(1,0)，过其焦点且垂直于长轴的弦长为1，则椭圆方程为________．答案eq\f(y2,4)＋x2＝1解析因为椭圆eq\f(y2,a2)＋eq\f(x2,b2)＝1的右顶点为A(1,0)，所以b＝1，因为过焦点且垂直于长轴的弦长为1，所以eq\f(2b2,a)＝1，a＝2，所以椭圆方程为eq\f(y2,4)＋x2＝1.题型一直线与椭圆的位置关系例1已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1.试问当m取何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个不重合的公共点；(2)有且只有一个公共点．解将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋m，,\f(x2,4)＋\f(y2,2)＝1，))消去y并整理得9x2＋8mx＋2m2﹣4＝0.Δ＝(8m)2﹣4×9×(2m2﹣4)＝﹣8m2＋144.(1)当Δ>0，即﹣3eq\r(2)<m<3eq\r(2)时，方程有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点．(2)当Δ＝0，即m＝±3eq\r(2)时，方程有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点，即直线l与椭圆C有且只有一个公共点．教师备选(多选)直线y＝kx﹣eq\r(2)k＋eq\f(\r(6),2)与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的位置关系可能为()A．相交B．相切C．相离D．有3个公共点答案AB解析直线y＝kx﹣eq\r(2)k＋eq\f(\r(6),2)＝k(x﹣eq\r(2))＋eq\f(\r(6),2)恒过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(\r(6),2)))，又点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(\r(6),2)))在椭圆上，故直线与椭圆可能相交也可能相切．思维升华判断直线与椭圆位置关系的方法数．(2)对于过定点的直线，也可以通过定点在椭圆内部或椭圆上判定直线和椭圆有交点．跟踪训练1已知动点M到两定点F1(﹣m，0)，F2(m，0)的距离之和为4(0<m<2)，且动点M的轨迹曲线C过点Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2))).(1)求m的值；(2)若直线l：y＝kx＋eq\r(2)与曲线C有两个不同的交点A，B，求k的取值范围．解(1)由0<m<2，得2m<4，可知曲线C是以两定点F1(﹣m，0)，F2(m，0)为焦点，长半轴长为2的椭圆，所以a＝2，设曲线C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,b2)＝1，把点Neq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)，\f(1,2)))代入，得eq\f(3,4)＋eq\f(1,4b2)＝1，解得b2＝1，由c2＝a2﹣b2，解得c2＝3，所以m＝eq\r(3).(2)由(1)知曲线C的方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1，联立方程得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x2,4)＋y2＝1，,y＝kx＋\r(2)，))消去y得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)＋k2))x2＋2eq\r(2)kx＋1＝0，则有Δ＝4k2﹣1>0，得k2>eq\f(1,4).所以k>eq\f(1,2)或k<﹣eq\f(1,2)，所以k的取值范围为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞)).题型二弦长及中点弦问题命题点1弦长问题例2在平面直角坐标系Oxy中，已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)过点P(2,1)，且离心率e＝eq\f(\r(3),2).(1)求椭圆C的方程；(2)直线l的斜率为eq\f(1,2)，直线l与椭圆C交于A，B两点．若|AB|＝eq\r(5)，求直线l的方程．解(1)∵e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2－b2,a2)＝eq\f(3,4)，∴a2＝4b2.又椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)过点P(2,1)，∴eq\f(4,a2)＋eq\f(1,b2)＝1，∴a2＝8，b2＝2.故所求椭圆方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,2)＝1.(2)设l的方程为y＝eq\f(1,2)x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝\f(1,2)x＋m，,\f(x2,8)＋\f(y2,2)＝1，))整理，得x2＋2mx＋2m2﹣4＝0.∴Δ＝4m2﹣8m2＋16＞0，解得|m|＜2.∴x1＋x2＝﹣2m，x1x2＝2m2﹣4.则|AB|＝eq\r(1＋\f(1,4))×eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(54－m2)＝eq\r(5)，解得m＝±eq\r(3).所求直线l的方程为y＝eq\f(1,2)x±eq\r(3).命题点2中点弦问题例3已知P(1,1)为椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,2)＝1内一定点，经过P引一条弦，使此弦被P点平分，则此弦所在的直线方程为__________．方法二易知此弦所在直线的斜率存在，∴设斜率为k，弦所在的直线与椭圆相交于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\f(x\o\al(2,1),4)＋eq\f(y\o\al(2,1),2)＝1，①eq\f(x\o\al(2,2),4)＋eq\f(y\o\al(2,2),2)＝1，②①﹣②得eq\f(x1＋x2x1－x2,4)＋eq\f(y1＋y2y1－y2,2)＝0，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴eq\f(x1－x2,2)＋y1﹣y2＝0，又x2﹣x1≠0，∴k＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝﹣eq\f(1,2).经检验，k＝﹣eq\f(1,2)满足题意．∴此弦所在的直线方程为y﹣1＝﹣eq\f(1,2)(x﹣1)，即x＋2y﹣3＝0.教师备选已知直线l与椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1相交于A，B两点，且线段AB的中点P(1,1)．(1)求直线l的方程；(2)求△OAB的面积．解(1)由斜率公式可知kOP＝1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．代入椭圆方程得到，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),4)＋\f(y\o\al(2,1),3)＝1，,\f(x\o\al(2,2),4)＋\f(y\o\al(2,2),3)＝1))⇒eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),4)＋eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),3)＝0，化简得到﹣eq\f(3,4)×eq\f(x1＋x2,y1＋y2)＝eq\f(y1－y2,x1－x2)＝kAB，∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴kAB＝﹣eq\f(3,4)，∴直线方程为y﹣1＝﹣eq\f(3,4)(x﹣1)，∴直线l的方程为3x＋4y﹣7＝0.(2)将直线方程与椭圆方程联立，可得21x2﹣42x＋1＝0，Δ＝422﹣4×21>0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(1,21).由弦长公式得到|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1﹣x2|＝eq\r(1＋\f(9,16))×eq\r(4－\f(4,21))＝eq\f(5,4)×eq\f(4\r(105),21)＝eq\f(5\r(105),21)，再由点到直线的距离公式得到坐标原点到直线AB的距离d＝eq\f(|－7|,\r(9＋16))＝eq\f(7,5)，∴△OAB的面积S＝eq\f(1,2)×eq\f(5\r(105),21)×eq\f(7,5)＝eq\f(\r(105),6).思维升华解决圆锥曲线“中点弦”问题的思路跟踪训练2(1)已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1，过点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))的直线交椭圆C于A，B两点，若P为AB的中点，则直线AB的方程为()A．3x﹣2y﹣2＝0B．3x＋2y﹣4＝0C．3x＋4y﹣5＝0D．3x﹣4y﹣1＝0答案B解析设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，由中点坐标公式可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)＝1，,\f(y1＋y2,2)＝\f(1,2)，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝2，,y1＋y2＝1，))由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),4)＋\f(y\o\al(2,1),3)＝1，①,\f(x\o\al(2,2),4)＋\f(y\o\al(2,2),3)＝1，②))①﹣②得eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),4)＋eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),3)＝0，即eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2))＝﹣eq\f(3,4)，即eq\f(y1＋y2,x1＋x2)·eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(1,2)kAB＝﹣eq\f(3,4)，所以kAB＝﹣eq\f(3,2)，因此直线AB的方程为y﹣eq\f(1,2)＝﹣eq\f(3,2)(x﹣1)，即3x＋2y﹣4＝0.(2)已知椭圆E：eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过原点的直线l与E交于A，B两点，且AF1，BF2都与x轴垂直，则|AB|＝________.答案eq\r(13)解析由题意得c2＝a2﹣b2＝4﹣3＝1，因为直线l过原点，且交椭圆E于A，B两点，所以A与B关于原点对称，又AF1，BF2都与x轴垂直，所以设A(﹣1，y1)，B(1，﹣y1)，则|AB|＝eq\r(－1－12＋[y1－－y1]2)＝eq\r(4＋4y\o\al(2,1)).又点A在椭圆E上，所以eq\f(1,4)＋eq\f(y\o\al(2,1),3)＝1，得yeq\o\al(2,1)＝eq\f(9,4)，则|AB|＝eq\r(4＋4×\f(9,4))＝eq\r(13).题型三直线与椭圆的综合问题例4已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(3),2)，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过点P(1,0)的直线l与椭圆C交于A，B两点，若△ABO的面积为eq\f(3,5)(O为坐标原点)，求直线l的方程．解(1)由题意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,2b＝2，,c2＝a2－b2，))解得a2＝4，b2＝1.故椭圆C的标准方程为eq\f(x2,4)＋y2＝1.(2)由题意可知直线的斜率不为0，则设直线的方程为x＝my＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝my＋1，,\f(x2,4)＋y2＝1，))整理得(m2＋4)y2＋2my﹣3＝0，Δ＝(2m)2﹣4(m2＋4)×(﹣3)＝16m2＋48>0，则y1＋y2＝﹣eq\f(2m,m2＋4)，y1y2＝﹣eq\f(3,m2＋4)，故|y1﹣y2|＝eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2m,m2＋4)))2＋\f(12,m2＋4))＝eq\f(4\r(m2＋3),m2＋4)，因为△ABO的面积为eq\f(3,5)，所以eq\f(1,2)|OP||y1﹣y2|＝eq\f(1,2)×1×eq\f(4\r(m2＋3),m2＋4)＝eq\f(2\r(m2＋3),m2＋4)＝eq\f(3,5)，设t＝eq\r(m2＋3)≥eq\r(3)，则eq\f(2t,t2＋1)＝eq\f(3,5)，整理得(3t﹣1)(t﹣3)＝0，解得t＝3或t＝eq\f(1,3)(舍去)，即m＝±eq\r(6).故直线的方程为x＝±eq\r(6)y＋1，即x±eq\r(6)y﹣1＝0.教师备选已知椭圆eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的一个顶点为A(0，﹣3)，右焦点为F，且|OA|＝|OF|，其中O为原点．(1)求椭圆的方程；(2)已知点C满足3eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))，点B在椭圆上(B异于椭圆的顶点)，直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，且P为线段AB的中点．求直线AB的方程．解(1)由已知可得b＝3，记半焦距为c，由|OF|＝|OA|可得c＝b＝3，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝18，所以椭圆的方程为eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1.(2)因为直线AB与以C为圆心的圆相切于点P，所以AB⊥CP.依题意，直线AB和直线CP的斜率均存在．设直线AB的方程为y＝kx﹣3.联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－3，,\f(x2,18)＋\f(y2,9)＝1，))消去y可得(2k2＋1)x2﹣12kx＝0，解得x＝0或x＝eq\f(12k,2k2＋1).依题意，可得点B的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12k,2k2＋1)，\f(6k2－3,2k2＋1))).因为P为线段AB的中点，点A的坐标为(0，﹣3)，所以点P的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6k,2k2＋1)，\f(－3,2k2＋1))).由3eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))，得点C的坐标为(1,0)，故直线CP的斜率为eq\f(\f(－3,2k2＋1)－0,\f(6k,2k2＋1)－1)＝eq\f(3,2k2－6k＋1).又因为AB⊥CP，所以k·eq\f(3,2k2－6k＋1)＝﹣1，整理得2k2﹣3k＋1＝0，解得k＝eq\f(1,2)或k＝1.所以直线AB的方程为y＝eq\f(1,2)x﹣3或y＝x﹣3，即x﹣2y﹣6＝0或x﹣y﹣3＝0.思维升华(1)解答直线与椭圆相交的题目时，常用到“设而不求”的方法，即联立直线和椭圆的方程，消去y(或x)得一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，建立有关参变量的等量关系求解．(2)涉及直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．跟踪训练3已知椭圆C的两个焦点分别为F1(﹣1,0)，F2(1,0)，短轴的两个端点分别为B1，B2.(1)若△F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程；(2)若椭圆C的短轴长为2，过点F2的直线l与椭圆C相交于P，Q两点，且eq\o(F1P,\s\up6(→))⊥eq\o(F1Q,\s\up6(→))，求直线l的方程．解(1)由题意知，△F1B1B2为等边三角形，所以c＝eq\r(3)b，又c＝1，所以b＝eq\f(\r(3),3)，又由a2＝b2＋c2，可得a2＝eq\f(4,3)，故椭圆C的方程为eq\f(3x2,4)＋3y2＝1.(2)易知椭圆C的方程为eq\f(x2,2)＋y2＝1，当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝1，不符合题意；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x﹣1)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,\f(x2,2)＋y2＝1，))得(2k2＋1)x2﹣4k2x＋2(k2﹣1)＝0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1＋x2＝eq\f(4k2,2k2＋1)，x1x2＝eq\f(2k2－1,2k2＋1)，eq\o(F1P,\s\up6(→))＝(x1＋1，y1)，eq\o(F1Q,\s\up6(→))＝(x2＋1，y2)，因为eq\o(F1P,\s\up6(→))⊥eq\o(F1Q,\s\up6(→))，所以eq\o(F1P,\s\up6(→))·eq\o(F1Q,\s\up6(→))＝0，即(x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝x1x2＋(x1＋x2)＋1＋k2(x1﹣1)(x2﹣1)＝(k2＋1)x1x2﹣(k2﹣1)(x1＋x2)＋k2＋1＝eq\f(7k2－1,2k2＋1)＝0，解得k2＝eq\f(1,7)，即k＝±eq\f(\r(7),7)，故直线l的方程为x＋eq\r(7)y﹣1＝0或x﹣eq\r(7)y﹣1＝0.课时精练1．直线y＝x＋2与椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,3)＝1有两个公共点，则m的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1，3)∪(3，＋∞)C．(3，＋∞)D．(0，3)∪(3，＋∞)答案B解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋2，,\f(x2,m)＋\f(y2,3)＝1，))得(m＋3)x2＋4mx＋m＝0.由Δ>0且m≠3及m>0，得m>1且m≠3.2．已知椭圆M：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)，过M的右焦点F(3,0)作直线交椭圆于A，B两点，若AB的中点坐标为(2,1)，则椭圆M的方程为()A.eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,6)＝1B.eq\f(x2,4)＋y2＝1C.eq\f(x2,12)＋eq\f(y2,3)＝1D.eq\f(x2,18)＋eq\f(y2,9)＝1答案D解析直线AB的斜率k＝eq\f(1－0,2－3)＝﹣1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，代入椭圆方程可得eq\f(x\o\al(2,1),a2)＋eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,2),a2)＋eq\f(y\o\al(2,2),b2)＝1，两式相减，整理得