圆的切线证明和圆中计算附详解(2024年中考数学真题汇编)

圆的切线证明和圆中计算附详解(2024年中考数学真题汇编)1.(24年江西中考)如图,是半圆O的直径,点D是弦延长线上一点,连接,．（1)求证:是半圆O的切线.（2)当时,求的长．2.(24年山东枣庄中考)如图,在四边形中,,,．以点为圆心,以为半径作交于点,以点为圆心,以为半径作所交于点,连接交于另一点,连接．（1)求证：为所在圆的切线（2)求图中阴影部分面积．（结果保留)

3.(24年安徽中考)如图,是的外接圆,是直径上一点,的平分线交于点,交于另一点(1)求证(2)设,垂足为,若,求的长.4.(24年扬州中考)在综合实践活动中,“特殊到一般”是一种常用方法,我们可以先研究特殊情况,猜想结论,然后再研究一般情况,证明结论．如图,已知,,是的外接圆,点在上（),连接,,．【特殊化感知】（1)如图1,若,点在延长线上,则与的数量关系为________【一般化探究】（2)如图2,若,点,在同侧,判断与的数量关系并说明理由【拓展性延伸】（3)若,直接写出,,满足的数量关系．（用含的式子表示)

5.(24年苏州中考)如图,中,,D为中点,.是的外接圆．（1)求的长（2)求的半径．6.(24年湖北中考)中,,点在上,以为半径的圆交于点,交于点.(1)求证:是的切线。(2)连接交于点,若,求弧的长.

7.(24年武汉中考)如图,为等腰三角形,是底边的中点,腰与半圆相切于点,底边与半圆交于,两点．（1)求证:与半圆相切（2)连接．若,,求的值．8.(24年深圳中考)如图,在中,,为的外接圆,为的切线,为的直径,连接并延长交于点E．（1)求证:（2)若,,求的半径．

9.(24年河北中考)已知的半径为3,弦,中,．在平面上,先将和按图1位置摆放（点B与点N重合,点A在上,点C在内),随后移动,使点B在弦上移动,点A始终在上随之移动,设．（1)当点B与点N重合时,求劣弧的长.（2)当时,如图2,求点B到的距离,并求此时x的值.（3)设点O到的距离为d．①当点A在劣弧上,且过点A的切线与垂直时,求d的值.②直接写出d的最小值．10.(24年广西中考)如图,已知是的外接圆,．点D,E分别是,的中点,连接并延长至点F,使,连接．（1)求证:四边形是平行四边形（2)求证:与相切（3)若,,求的半径．

11.(24年青海中考)如图,直线经过点C,且,．（1)求证:直线是的切线;（2)若圆的半径为4,,求阴影部分的面积．12.(24年长沙中考)对于凸四边形,根据它有无外接圆(四个顶占都在同一个圆上)与内切圆(四条边都与同一个圆相切),可分为四种类型,我们不妨约定既无外接圆,又无内切圆的四边形称为“平凡型无圆”四边形只有外接圆,而无内切圆的四边形称为“外接型单圆”四边形只有内切圆,而无外接圆的四边形称为“内切型单圆”四边形既有外接圆,又有内切圆的四边形称为“完美型双圆”四边形请你根据该约定,解答下列问题(1)请你判断下列说法是否正确(在题后相应的括号中,正确的打“√”,错误的打“×”)①平行四边形一定不是“平凡型无圆”四边形;()②内角不等于90°的菱形一定是“内切型单圆”四边形()③若“完美型双圆”四边形的外接圆圆心与内切圆圆心重合,外接圆半径为,内切圆半径为,则有()(2)如图1,已知四边形内接于四条边长满足:.①该四边形是“_______”四边形(从约定的四种类型中选一种填入);②若的平分线交于点的平分线交于点,连接,求证:是的直径.(3)已知四边形是“完美型双圆”四边形,它的内切圆与分别相切于点①如图2,连接交于点P.求证:.②如图3,连接,若,求内切圆的半径及的长.

13.(24年包头中考)如图,是的直径,是的两条弦,点与点在的两侧,是上一点（),连接,且．（1)如图1,若,,求的半径;（2)如图2,若,求证:．（请用两种证法解答)14.(24年广州中考)如图,在菱形中,．点在射线上运动（不与点,点重合),关于的轴对称图形为．（1)当时,试判断线段和线段的数量和位置关系,并说明理由（2)若,为的外接圆,设的半径为．①求的取值范围②连接,直线能否与相切？如果能,求的长度:如果不能,请说明理由．

15.(24年辽宁中考)如图,是的外接圆,是的直径,点在上,,在的延长线上,．（1)如图1,求证:是的切线（2)如图2,若,,求的长．

圆的证明和计算详解1.(24年江西中考)【答案】（1)见解析（2)【小问1详解】证明:是半圆O的直径.....是半圆O的切线.【小问2详解】解:如图,连接.为等边三角形.,..．2.(24年山东枣庄中考)【答案】（1)见解析（2)【小问1详解】解：连接如图根据题意可知：,.又∵.∴.∵∴.∵.∴四边形是平行四边形.∴.∵.∴是等边三角形.∴.∴∴在以为直径的圆上.∴.∴为所在圆的切线．【小问2详解】过作于点由图可得：.在中,,∴.∴由题可知：扇形和扇形全等∴等边三角形的面积为：∴.3.(24年安徽中考)【答案】(1)证明:因为,所以又与都是所对的圆周角,故由于,则因为平分,所以又是直径,所以于是故,即.(2)解:由(1)知,,所以又,故,从而圆的半径,于是在中,所以即的长为.4.(24年扬州中考)【答案】（1).（2)（3)当在上时,.当在上时,【解析】解:∵,.∴是等边三角形,则∵是的外接圆.∴是的角平分线,则∴.∵四边形是圆内接四边形.∴.∴设交于点,则.设,则.在中,∴.∴∵是直径,则.在中,.∴∴（2)如图所示,在上截取∵.∴.∴是等边三角形.∴,则∴.∵四边形是圆内接四边形.∴.∴∵,.∴是等边三角形,则.∴又∵.∴.在中.∴.∴.∴即（3)解:①如图所示,当在上时在上截取∵∴.又∵.∴,则∴即.又∵∴.∴∴.∵.∴如图所示,作于点在中,.∴∴.∴,即②当在上时,如图所示,延长至,使得,连接∵四边形是圆内接四边形.∴.又∵∴,则.∴即又∵∴.∴.∴∵同①可得.∴.∴综上所述,当在上时,.当在上时,．5.(24年苏州中考)【答案】（1)（2)的半径为【小问1详解】解:,.．,即,D为AB中点.∴.．【小问2详解】解:过点A作,垂足为E,连接CO,并延长交⊙O于F,连接AF在中,．又.．∴在中,．.．设,则,．∵在中,.,即解得,（舍去)．,．∵.．CF为⊙O的直径.．．,即⊙O的半径为．6.(24年湖北中考)【答案】（1)见解析（2)弧的长为．【小问1详解】证明:连接在和中,.∴.∴.∵为的半径.∴是的切线.【小问2详解】解:∵.∴.设的半径为.在中,,即.解得∴,,.∴.∵∴.∴弧的长为．7.(24年武汉中考)【答案】（1)见解析（2)【小问1详解】证明:连接,,作交于,如图为等腰三角形,是底边的中点.,平分.与半圆相切于点..由..是半圆的切线.【小问2详解】解:由（1)可知,.,.,..又,在中,,..解得:8.(24年深圳中考)【答案】（1)见解析（2)【小问1详解】证明:连接并延长,交于点,连接∵,,∴垂直平分.∴,.∵为的切线,∴.∵为的直径.∴.∴四边形为矩形.∴【小问2详解】由(1)知四边形为矩形,,.∴.∴.设的半径为,则:在中,由勾股定理,得:,解得:即:的半径为．9.(24年河北中考)【答案】（1)（2)点B到的距离为;（3)①;②【小问1详解】解:如图,连接,∵的半径为3,,∴.∴为等边三角形.∴∴的长为.【小问2详解】解:过作于,过作于,连接∵.∴.∴四边形是矩形∴,.∵,.∴,而.∴∴点B到的距离为.∵,.∴.∴.∴.【小问3详解】解:①如图,∵过点A的切线与垂直.∴过圆心过作于,过作于,而.∴四边形为矩形.∴.∵,.∴.∴.∴∴,即.②如图,当为中点时.过作于,过作于.∴.∴,此时最短.如图,过作于,而∵为中点,则.∴由（2)可得.∴.∴.∵.∴.∴∴.∴设,则,∴,解得:（不符合题意的根舍去)∴的最小值为．10.(24年广西中考)【答案】（1)证明见解析（2)证明见解析（3)【小问1详解】证明:∵点D,E分别是,的中点.∴,.又∵,∴.∴,.∴,∴四边形是平行四边形【小问2详解】证明:如图,连接∵,为中点.∴∴过圆心.∵.∴.而为半径∴为的切线【小问3详解】解:如图,过作于,连接∵.∴.设,则.∴.∴.∴.∴.∴.∴.∵,,.∴∴设半径为.∴,∴,解得:.∴的半径为．11.(24年青海中考)【答案】（1)详见解析（2)【小问1详解】证明:连接∵在中,,.∴.又∵是的半径.∴直线是的切线;【小问2详解】解:由（1)知.∵.∴.∴在中,,.∴∴.∴．12.(24年长沙中考)【答案】(1)①(×);②(✔);③(✔)(2)①该四边形ABCD是“外接型单圆”四边形;②证法1:如图1,因为平分平分所以,.所以,即所以与均为半圆.所以是的直径.证法2:如图1,连接因为四边形内接于,所以因为平分平分所以.所以由同弧所对的圆周角相等可得所以,即.所以是的直径...证法3:如图2,连接因为四边形内接于,所以由题意,得由同弧所对的圆周角相等可得:所以,所以(3)①证明:如图3,连接因为是四边形的内切圆所以所以.所以在四边形中,同理可证因为四边形是“完美型双圆”四边形所以四边形有外接圆所以所以所以又因为所以所以,即②方法1:如图4,连接因为是四边形的内切圆所以.所以.所以在四边形中,同理可证.因为四边形是“完美型双圆”四边形所以四边形有外接圆.又因为所以.所以,即2方法1:如图4,连接.因为四边形是“完美型双圆”四边形所以}.又因为与分别相切于点又因为,所以.又因为,所以.所以即,解得.在中,有,即解得在,.同理可证所以即,解得.方法2:如图4,由,得即,解得.由,得即,解得13.(24年包头中考)【答案】（1)3（2)见解析【小问1详解】解∶∵.∴.∵∴,即∴.∴.∴.解得.即的半径为3.【小问2详解】证明:法一:过O作于F∴.∵.∴.又,.∴.∴.∴;法二:连接∵是直径.∴∴.∴.∴.∴.∴．14.(24年广州中考)【答案】（1),（2)①:②【小问1详解】解:,:理由如下∵在菱形中,.∴,∵.∴.∴由对折可得:.∴【小问2详解】解:①如图,设的外接圆为,连接交于．连接,,,∵四边形为菱形,.∴,,∵为等边三角形.∴∴共圆,,在上.∵.∴.过作于.∴,.∴.当时,最小,则最