青岛版初中八年级数学上册专项素养巩固训练卷(三)分类讨论思想在等腰三角形中的六大应用课件

分类讨论思想在等腰三角形中的六大应用专项素养巩固训练卷(三)类型一针对腰长和底边长进行分类讨论1.(2024山东菏泽巨野期中,10,★★☆)已知等腰三角形的两边长a,b满足|2a-3b+

5|+(2a+3b-13)2=0,则此等腰三角形的周长为

.8或7答案

8或7解析因为|2a-3b+5|+(2a+3b-13)2=0,|2a-3b+5|≥0,(2a+3b-13)2≥0,所以

解得

当2为底边长时,腰长为3,3,且2+3>3,能组成三角形,所以周长为2+3+3=8;当3为底边长时,腰长为2,2,且2+2>3,能组成三角形,所以周长

为3+2+2=7.综上,等腰三角形的周长为8或7.2.(2024山东聊城阳谷期中,22,★★☆)一个等腰三角形的周长是30cm.(1)若腰长是底边长的2倍,求各边的长.(2)若其中一条边的长是8cm,求另外两条边的长.解析

(1)设底边长为xcm,则腰长为2xcm,由等腰三角形的周长是30cm,得x+2x+2x=30,解得x=6,所以2x=2×6=12.所以各边长分别为6cm,12cm,12cm.(2)分两种情况考虑:①若底边长为8cm,则腰长为

=11(cm),8,11,11符合三角形三边关系;②若腰长为8cm,则底边长为30-8-8=14(cm),8,8,14符合三角形三边关系.所以另外两边长分别为11cm,11cm或8cm,14cm.类型二针对顶角与底角进行分类讨论3.(2024山东聊城阳谷期中,18,★★☆)在△ABC中,∠A=80°,当∠B=

时,△ABC是等腰三角形.80°或50°或20°答案

80°或50°或20°解析分三种情况:①∠B、∠A为底角,因为∠A=80°,所以当∠B=80°时,△ABC

是等腰三角形;②∠A为顶角,∠B为底角,所以当∠B=

=

=50°时,△ABC是等腰三角形;③∠B为顶角,∠A为底角,所以当∠B=180°-∠A×2=20°时,

△ABC是等腰三角形.4.(★★☆)等腰三角形的一个外角等于110°,求此三角形的各内角的度数.解析因为等腰三角形的一个外角等于110°,所以与这个外角相邻的内角是180°-110°=70°,分两种情况讨论:①70°角是顶角时,底角是

=55°,三角形的三个内角分别为55°,55°,70°;②70°角是底角时,顶角是180°-70°×2=40°,三角形的三个内角分别为70°,70°,40°.综上所述,这个三角形的内角分别为55°,55°,70°或70°,70°,40°.5.(★★☆)已知一个等腰三角形的两个内角分别为(2x-2)°和(3x-5)°,求这个等腰

三角形各内角的度数.解析分三种情况讨论:①当(2x-2)°和(3x-5)°是两个底角时,2x-2=3x-5,解得x=3,所以三个内角的度数分

别是4°,4°,172°;②当(2x-2)°角是顶角时,2x-2+2(3x-5)=180,解得x=24,所以三个内角的度数分别是

46°,67°,67°;③当(3x-5)°角是顶角时,3x-5+2(2x-2)=180°,解得x=27,所以三个内角的度数分别

是76°,52°,52°.综上,这个等腰三角形三个内角的度数分别为4°,4°,172°或46°,67°,67°或76°,52°,52°.类型三当高的位置不确定时分类讨论6.(★★☆)等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°,求这个三角形的各个

内角的度数.解析如图,AB=AC,BD⊥AC,所以∠BDC=90°.①当高与底边的夹角为25°时,高一定在△ABC的内部,如图(1)所示.因为∠DBC=

25°,所以∠C=90°-∠DBC=90°-25°=65°,所以∠ABC=∠C=65°,所以∠A=180°-65°×2=50°.②当高与另一腰的夹角为25°,且高在△ABC的内部时,如图(2)所示.因为∠ABD=

25°,所以∠A=90°-∠ABD=65°,所以∠C=∠ABC=

=57.5°.③当高与另一腰的夹角为25°,且高在△ABC的外部时,如图(3)所示.因为∠ABD=

25°,所以∠BAC=90°+∠ABD=90°+25°=115°,所以∠C=∠ABC=

=32.5°.综上,三角形各个内角的度数分别为65°,65°,50°或65°,57.5°,57.5°或115°,32.5°,32.5°.类型四当腰的垂直平分线与另一腰所在直线的交点位置不确定时,分类讨论7.(★★☆)在等腰△ABC中,AB=AC,AB边的垂直平分线与AC所在直线相交所成

的锐角为54°,则这个三角形的顶角度数为

.36°或144°答案

36°或144°解析因为AB的垂直平分线与AC所在直线相交所成的锐角为54°,所以∠DEA=

54°.①如图1,AB的垂直平分线与AC相交时,∠BAC=90°-∠DEA=36°;②如图2,AB的垂直平分线与CA的延长线相交时,∠BAC=90°+∠DEA=144°.综上所述,等腰三角形顶角的度数为36°或144°.

类型五腰上的中线引起的分类讨论8.(★★☆)等腰三角形一腰上的中线把三角形的周长分成12cm和15cm两部分,

求三角形各边的长.解析如图,设腰AB长为xcm,底边CB长为ycm,分两种情况讨论:①当AB+AD为

15cm,BC+CD为12cm时,

解得

经检验符合题意;②当AB+AD为12cm,BC+CD为15cm时,

解得

经检验符合题意.综上,三角形各边的长分别为8cm,8cm,11cm,或10cm,10cm,7cm.

类型六等腰三角形的存在性问题中,因点的位置不确定引起分类讨论9.(2024山东聊城冠县期中改编,8,★★☆)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAB=

60°,在直线BC或AC上取一点P,使得△ABP为等腰三角形,则符合条件的点的个

数是

(

)

A.7

B.8

C.5

D.6D解析

D如图,以AB为腰,B为顶角的顶点的等腰三角形有△BAP1,△BAP2,△

BAP3,以AB为腰,A为顶角的顶点的等腰三角形有△ABP3,△ABP4,△ABP5,以AB为

底边,P为顶角的顶点的等腰三角形有△ABP6,△ABP3,所以符合条件的点的个数

有6个,故选D.

10.(★★★)如图,△ABC中,AB=AC,∠B=30°,点O在BC边上运动(O不与B、C重

合),连接AO,作∠AOD=∠B,OD交AB于点D.(1)当OD∥AC时,判断△AOB的形状并证明.(2)在点O运动过程中,△AOD的形状可以是等腰三角形吗?若可以,请求出∠BDO

的度数;若不可以,请说明理由.

解析

(1)△AOB为直角三角形.理由如下:因为AB=AC,∠B=30°,所以∠C=∠B=30°,所以∠BAC=180°-30°-30°=120°.因为OD∥AC,∠AOD=∠B=30°,所以∠OAC=∠AOD=30°,所以∠BAO=120°-30°=90°,所以△AOB是直角三角形.(2)△AOD的形状可以是等腰三角形.分三种情况:①DA=DO时,∠OAD=∠AOD=30°,所以∠BDO=∠OAD+