【寒假自学课】苏教版2024年高一数学寒假第11讲二倍角的三角函数(原卷版+解析)

第11讲二倍角的三角函数【学习目标】1、以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用．2、通过二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导，体会转化化归、由一般到特殊的数学思想方法．【考点目录】考点一：二倍角的正弦公式考点二：二倍角的余弦公式考点三：二倍角的正切公式【基础知识】知识点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式1、二倍角的正弦、余弦、正切公式知识点诠释：（1）公式成立的条件是：在公式中，角可以为任意角，但公式中，只有当及时才成立；（2）倍角公式不仅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的．要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键．如：；2、和角公式、倍角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：知识点二：二倍角公式的逆用及变形1、公式的逆用；．．．2、公式的变形；降幂公式：升幂公式：知识点三：升（降）幂缩（扩）角公式升幂公式：，降幂公式：，知识点诠释：利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．【考点剖析】考点一：二倍角的正弦公式例1．(2023·全国·高一课时练习）若，且，则（

）A． B． C． D．例2．(2023·北京·高一期末）已知是第二象限角，且，则（

）A． B． C． D．例3．(2023·安徽池州·高一期末）若，则（

）A．-1 B．1 C．2 D．0或2考点二：二倍角的余弦公式例4．(2023·江西省丰城中学高一期中）若，则（

）．A． B． C． D．例5．(2023·陕西渭南·高一期末）已知角满足，且，则（

）A．1 B． C． D．例6．(2023·河北保定·高一阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．考点三：二倍角的正切公式例7．(2023·江苏苏州·高一期末）已知向量，若，则（

）A． B． C． D．例8．(2023·云南昆明·高一期末）已知，为第二象限角，则（

）A． B． C． D．例9．(2023·全国·高一课时练习）已知，则的值为（

）A． B． C． D．例10．(2023·广东佛山·高一期末）若则（

）A． B． C． D．【真题演练】1．(2023·北京·高考真题）已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增2．（2023·北京·高考真题）函数是A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为3．（2023·全国·高考真题（文））（

）A． B． C． D．4．（2023·全国·高考真题（文））若，则（

）A． B． C． D．5．（2023·全国·高考真题）若，则（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·高考真题（理））已知，且，则（

）A． B．C． D．7．（2023·全国·高考真题（文））已知∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A． B．C． D．8．(2023·湖北·高考真题（文））已知，，则（

）A． B． C． D．9．（2023·江苏·高考真题）已知=，则的值是____．10．(2023·天津·高考真题（理））已知．（1）求的值；（2）求的值．11．(2023·全国·高考真题（理））求的值．【过关检测】一、单选题1．(2023·贵州六盘水·高一期末）若，，则（

）A． B． C． D．2．(2023·湖北·襄阳四中高一阶段练习）下列各式中，值为的是（

）A． B．C． D．3．(2023·湖北武汉·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．24．(2023·全国·高一课时练习）化简的结果为（

）A． B． C． D．5．(2023·湖北武汉·高一期末）已知角，，则（

）A． B． C． D．6．(2023·全国·高一课时练习）已知，则的值为（

）A． B． C． D．7．(2023·江苏南通·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．8．(2023·江苏常州·高一期末）已知，且，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．(2023·甘肃兰州·高一期末）下列各式的值是的是（

）A． B．C． D．10．(2023·全国·高一课时练习）若，且，则下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．11．(2023·江西景德镇·高一期末）若函数，则该函数（

）A．最小值为 B．最大值为 C．在上是减函数 D．奇函数12．(2023·江苏宿迁·高一期末）下列各式中值为的是（

）A． B．C． D．三、填空题13．(2023·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习（理））函数的最大值为___________．14．(2023·全国·高一课时练习）已知，则的值为__________．15．(2023·全国·高一课时练习）若，则_______________．16．(2023·全国·高一课时练习）求值：_______________．四、解答题17．(2023·上海·复旦附中高一期末）已知向量，其中，且．（1）求和的值；（2）若，且，求角的值．18．(2023·江苏·兴化市楚水实验学校高一阶段练习）已知是方程的两根，求下列各式的值：（1）（2）；（3）．19．(2023·全国·高一专题练习）设，若，求．20．(2023·江苏苏州·高一期末）已知角的终边与单位圆交点的横坐标为，且，求下列式子的值：（1）；（2）．21．(2023·江苏·南京市中华中学高一期末）由倍角公式cos2x＝2cos2x－1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式，对于cos3x，我们有cos3x＝cos（2x＋x）＝cos2xcosx－sin2xsinx＝（2cos2x－1）cosx－2（sinxcosx）sinx＝2cos3x－cosx－2（1－cos2x）cosx＝4cos3x－3cosx可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式Pn（t），使得cosnx＝Pn（cosx），这些多项式Pn（t）称为切比雪夫多项式．（1）求证：sin3x＝3sinx－4sin3x；（2）请求出P4（t），即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x；（3）利用结论cos3x＝4cos3x－3cosx，求出sin18°的值．第11讲二倍角的三角函数【学习目标】1、以两角和正弦、余弦和正切公式为基础，推导二倍角正弦、余弦和正切公式，理解推导过程，掌握其应用．2、通过二倍角的正弦、余弦和正切公式的推导，体会转化化归、由一般到特殊的数学思想方法．【考点目录】考点一：二倍角的正弦公式考点二：二倍角的余弦公式考点三：二倍角的正切公式【基础知识】知识点一：二倍角的正弦、余弦、正切公式1、二倍角的正弦、余弦、正切公式知识点诠释：（1）公式成立的条件是：在公式中，角可以为任意角，但公式中，只有当及时才成立；（2）倍角公式不仅限于是的二倍形式，其它如是的二倍、是的二倍、是的二倍等等都是适用的．要熟悉多种形式的两个角的倍数关系，才能熟练地应用好二倍角公式，这是灵活运用公式的关键．如：；2、和角公式、倍角公式之间的内在联系在两角和的三角函数公式，，中，当时，就可得到二倍角的三角函数公式，它们的内在联系如下：知识点二：二倍角公式的逆用及变形1、公式的逆用；．．．2、公式的变形；降幂公式：升幂公式：知识点三：升（降）幂缩（扩）角公式升幂公式：，降幂公式：，知识点诠释：利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换．【考点剖析】考点一：二倍角的正弦公式例1．(2023·全国·高一课时练习）若，且，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】因为，故，所以，，且，即.所以，所以.故选：A.例2．(2023·北京·高一期末）已知是第二象限角，且，则（

）A． B． C． D．答案：B【解析】因为是第二象限角，且，则，因此，.故选：B.例3．(2023·安徽池州·高一期末）若，则（

）A．-1 B．1 C．2 D．0或2答案：D【解析】因为，所以，即，故或，当时，；当时，显然，此时.所以或故选：D考点二：二倍角的余弦公式例4．(2023·江西省丰城中学高一期中）若，则（

）.A． B． C． D．答案：C【解析】由已知，所以，故选：C.例5．(2023·陕西渭南·高一期末）已知角满足，且，则（

）A．1 B． C． D．答案：A【解析】由，得，，因为，所以，故选：A例6．(2023·河北保定·高一阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由得，因此，故选：A考点三：二倍角的正切公式例7．(2023·江苏苏州·高一期末）已知向量，若，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意可得：，整理得，即∴故选：C．例8．(2023·云南昆明·高一期末）已知，为第二象限角，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为，为第二象限角，则，所以，，因此，.故选：D.例9．(2023·全国·高一课时练习）已知，则的值为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为，所以，所以.故选：C.例10．(2023·广东佛山·高一期末）若则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】.故选：D【真题演练】1．(2023·北京·高考真题）已知函数，则（

）A．在上单调递减 B．在上单调递增C．在上单调递减 D．在上单调递增答案：C【解析】因为.对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.故选：C.2．（2023·北京·高考真题）函数是A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为答案：D【解析】由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选：D.3．（2023·全国·高考真题（文））（

）A． B． C． D．答案：D【解析】由题意，.故选：D.4．（2023·全国·高考真题（文））若，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】，，，，解得，，.故选：A.5．（2023·全国·高考真题）若，则（

）A． B． C． D．答案：C【解析】将式子进行齐次化处理得：．故选：C．6．（2023·全国·高考真题（理））已知，且，则（

）A． B．C． D．答案：A【解析】，得，即，解得或（舍去），又.故选：A.7．（2023·全国·高考真题（文））已知∈（0，），2sin2α=cos2α+1，则sinα=A． B．C． D．答案：B【解析】，．，又，，又，，故选B．8．(2023·湖北·高考真题（文））已知，，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由，又，所以，所以，又，所以或（舍去），所以.故选：A．9．（2023·江苏·高考真题）已知=，则的值是____.答案：【解析】故答案为：10．(2023·天津·高考真题（理））已知．(1)求的值；(2)求的值．【解析】（1）由题意得，解得.（2）由题意得，分子分母同除得.故原式.11．(2023·全国·高考真题（理））求的值．【解析】.【过关检测】一、单选题1．(2023·贵州六盘水·高一期末）若，，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】，由于，所以，所以.故选：D2．(2023·湖北·襄阳四中高一阶段练习）下列各式中，值为的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】，不成立；B.，不成立C.，不成立；D.，成立故选：D.3．(2023·湖北武汉·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．2答案：C【解析】依题意，，，，，，.故选：C4．(2023·全国·高一课时练习）化简的结果为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】原式.故选：B.5．(2023·湖北武汉·高一期末）已知角，，则（

）A． B． C． D．答案：B【解析】，因为角，即和，.因此可得，，，解得或2（舍去），因此．故选：B6．(2023·全国·高一课时练习）已知，则的值为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】因为，所以，所以.故选：C.7．(2023·江苏南通·高一期末）已知，则（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由，得，即，两边平方，得，即.故选：A.8．(2023·江苏常州·高一期末）已知，且，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为，所以，整理得：，，，因为，所以，所以，解得：故选：D.二、多选题9．(2023·甘肃兰州·高一期末）下列各式的值是的是（

）A． B．C． D．答案：ABC【解析】对于A，，A正确；对于B，，B正确；对于C，，C正确；对于D，，D错误.故选：ABC.10．(2023·全国·高一课时练习）若，且，则下列各式中正确的是（

）A． B．C． D．答案：AD【解析】因为，所以，解得．又，所以，从而，于是．故选：AD.11．(2023·江西景德镇·高一期末）若函数，则该函数（

）A．最小值为 B．最大值为 C．在上是减函数 D．奇函数答案：AC【解析】选项A：当时，函数取得最小值.判断正确；选项B：当时，函数取得最大值.判断错误；选项C：在上单调递减，在上单调递减，则函数在上是减函数.判断正确；选项D：由可得函数为偶函数.判断错误.故选：AC12．(2023·江苏宿迁·高一期末）下列各式中值为的是（

）A． B．C． D．答案：AC【解析】因为，故选项A正确；因为，故选项B错误；因为，故选项C正确；因为，整理得，，故选项D错误；故选：AC.三、填空题13．(2023·江西·赣州市赣县第三中学高一阶段练习（理））函数的最大值为___________.答案：【解析】，当时，.故答案为：.14．(2023·全国·高一课时练习）已知，则的值为__________．答案：【解析】因为，所以．故答案为：.15．(2023·全国·高一课时练习）若，则_______________．答案：【解析】

，由于，所以，当时，，原式，当时，，原式，综上，原式．故答案为：.16．(2023·全国·高一课时练习）求值：_______________.答案：【解析】.故答案为：四、解