高考数学一轮复习考点探究与题型突破第12讲对数与对数函数(原卷版+解析)

第12讲对数与对数函数1.对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①alogaN＝；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝；②logaeq\f(M,N)＝；③logaMn＝(n∈R).(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：值域：当x＝1时，y＝0，即过定点当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是在(0，＋∞)上是4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线对称.它们的定义域和值域正好互换.考点1对数的化简求值[名师点睛]1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.[典例]1．(2023·浙江绍兴·模拟预测）己知，则_______；_________．2．(2023·全国·高三专题练习）化简求值（1）；（2）；.（3）；．（4）.3．(2023·全国·高三专题练习）（1）计算；（2）已知，求实数x的值；（3）若，，用a，b，表示．[举一反三]1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）设a，b，c都是正数，且，那么（

）A． B． C． D．2．(2023·山东滨州·二模）__________．3．(2023·全国·高三专题练习）（1）2log32－log3＋log38－；（2）(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．4．(2023·全国·高三专题练习）化简求值：（1）．（2）；（3）.（4）（5）．5．(2023·全国·高三专题练习）（1）求的值.（2）已知，，试用，表示考点2对数函数的图象及应用[名师点睛]1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.[典例]1．(2023·山东潍坊·二模）已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（

）A． B． C． D．2．(2023·广东广州·二模）函数的所有零点之和为__________．[举一反三]1．(2023·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（

）A． B．C． D．2．(2023·江苏·二模）已知实数，，满足，则下列关系式中不可能成立的是（

）A． B．C． D．考点3对数函数的性质及应用[名师点睛]1．比较对数值的大小与解形如logaf(x)>logag(x)的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果a的取值不确定，需要分a>1与0＜a＜1两种情况讨论．2．与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．[典例]1．(2023·浙江金华·三模）若函数，设，，，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．2．(2023·福建莆田·三模）已知，则（

）A． B．C． D．3．(2023·湖北·二模）已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（

）A． B．C． D．4．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数在上为增函数 B．函数的值域为C．函数是奇函数 D．函数是偶函数5．(2023·全国·高三专题练习）知函数（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）若函数在上恒有意义，求的取值范围；（3）是否存在实数，使得函数在区间上为增函数，且最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由[举一反三]1．(2023·湖南·岳阳一中一模）设，，，则（

）A． B．C． D．2．(2023·北京房山·二模）已知函数，则不等式的解集为(

)A． B．C． D．3．(2023·北京昌平·二模）已知函数，则关于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．4．(2023·北京丰台·二模）已知偶函数在区间上单调递减．若，则x的取值范围是（

）A． B．C． D．5．(2023·河北·高三阶段练习）已知函数，则的解集为（

）A． B． C． D．6．(2023·重庆·模拟预测）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．7．(2023·江苏·高三专题练习）已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（多选）(2023·江苏·高三专题练习）已知函数，下列四个命题正确的是（

）.A．函数为偶函数B．若，其中，，，则C．函数在上为单调递增函数D．若，则9．（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，.给出下列命题，其中正确的命题的为（

）A．B．函数在定义域上是周期为2的周期函数C．直线与函数的图像有1个交点D．函数的值域为10．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对任意的，，有恒成立，则实数的取值范围是___________.11．(2023·北京·高三专题练习）已知函数，设，函数的定义域为[m，n](m<n)，值域为[0，1]，定义“区间[m，n]的长度等于n－m”，若区间[m，n]长度的最小值为求实数a的值；12．(2023·全国·高三专题练习）已知函数(，且).（1）求的定义域.（2）是否存在实数，使函数在区间上单调递减，并且最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.13．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，其中.（1）求函数的定义域；（2）求函数图像所经过的定点；（3）若函数的最大值为2，求的值.14．(2023·北京·高三专题练习）已知函数.(1)当时，求该函数的值域；(2)求不等式的解集；(3)若于恒成立，求的取值范围．第12讲对数与对数函数1.对数的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.2.对数的性质、运算性质与换底公式(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算性质如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f(M,N)＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R).(3)换底公式：logab＝eq\f(logcb,logca)(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R当x＝1时，y＝0，即过定点(1，0)当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称.它们的定义域和值域正好互换.考点1对数的化简求值[名师点睛]1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化.[典例]1．(2023·浙江绍兴·模拟预测）己知，则_______；_________．答案：

10

1【解析】，∴，解得，∴﹒故答案为：10；1﹒2．(2023·全国·高三专题练习）化简求值（1）；（2）；.（3）；．（4）.【解】（1）；（2）；（3）；（4）3．(2023·全国·高三专题练习）（1）计算；（2）已知，求实数x的值；（3）若，，用a，b，表示．【解】（1）原式=；（2）因为，所以，所以，所以x=109；（3）因为，所以，所以．[举一反三]1．（多选）（2023·全国·高三专题练习）设a，b，c都是正数，且，那么（

）A． B． C． D．答案：AD【解析】由于，，都是正数，故可设，，，，则，，.，，即，去分母整理得，.故选AD.2．(2023·山东滨州·二模）__________．答案：【解析】解：因为，所以，故答案为：.3．(2023·全国·高三专题练习）（1）2log32－log3＋log38－；（2）(log2125＋log425＋log85)·(log52＋log254＋log1258)．【解】（1）原式＝2log32－5log32＋2＋3log32－3＝－1.（2）原式.4．(2023·全国·高三专题练习）化简求值：（1）．（2）；（3）.（4）（5）．【解】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）．5．(2023·全国·高三专题练习）（1）求的值.（2）已知，，试用，表示【解】（1）原式（2）由得到，由，得到，即..考点2对数函数的图象及应用[名师点睛]1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.[典例]1．(2023·山东潍坊·二模）已知函数（且）的图像如图所示，则以下说法正确的是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由图象可知在定义域内单调递增，所以，令，即，所以函数的零点为，结合函数图象可知，所以，因此，故A错误；，又因为，所以，因此不一定成立，故B错误；因为，即，且，所以，故C正确；因为，所以，即，故D错误，故选：C.2．(2023·广东广州·二模）函数的所有零点之和为__________．答案：9【解析】由，令，，显然与的图象都关于直线对称，在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，观察图象知，函数，的图象有6个公共点，其横坐标依次为，这6个点两两关于直线对称，有，则，所以函数的所有零点之和为9.故答案为：9[举一反三]1．(2023·浙江绍兴·模拟预测）在同一直角坐标系中，函数，，且的图象可能是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】解：因为函数的图象与函数的图象关于轴对称，所以函数的图象恒过定点，故选项A、B错误；当时，函数在上单调递增，所以函数在上单调递减，又在和上单调递减，故选项D错误，选项C正确.故选：C.2．(2023·江苏·二模）已知实数，，满足，则下列关系式中不可能成立的是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】设，，则，，，在同一坐标系中分别画出函数，，的图象，当时，，当时，，当时，，由此可以看出，不可能出现这种情况，故选：．考点3对数函数的性质及应用[名师点睛]1．比较对数值的大小与解形如logaf(x)>logag(x)的不等式，主要是应用函数的单调性求解，如果a的取值不确定，需要分a>1与0＜a＜1两种情况讨论．2．与对数函数有关的复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题：一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的．[典例]1．(2023·浙江金华·三模）若函数，设，，，则下列选项正确的是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】由题可知，故，∴函数为偶函数；易知，当时，在为单调递增函数；又，∴，同理，；又，，故，故.故选：A.2．(2023·福建莆田·三模）已知，则（

）A． B．C． D．答案：C【解析】，，故选：C.3．(2023·湖北·二模）已知函数，则使不等式成立的x的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：D【解析】由得定义域为，，故为偶函数，而，在上单调递增，故在上单调递增，则可化为，得解得故选：D4．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，则下列说法正确的是（

）A．函数在上为增函数 B．函数的值域为C．函数是奇函数 D．函数是偶函数答案：D【解析】根据题意，函数，其定义域为，有，所以函数是偶函数，则正确，错误，对于，，不是增函数，错误，对于，，设，当且仅当时等号成立，则的最小值为2，故，即函数的值域为，，错误，故选：D5．(2023·全国·高三专题练习）知函数（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）若函数在上恒有意义，求的取值范围；（3）是否存在实数，使得函数在区间上为增函数，且最大值为2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由【解】解：（1）因为函数的定义域为，则在上恒成立，当时，，得，不合题意舍去；当时，，解得，综合得；（2）函数在上恒有意义，即在上恒成立，恒成立，令，，则，当时，，；（3）当时，或，解得，当时，或，解得．故存在实数，使得函数在区间上为增函数，且最大值为2．[举一反三]1．(2023·湖南·岳阳一中一模）设，，，则（

）A． B．C． D．答案：A【解析】,所以，，而，所以．故选：A．2．(2023·北京房山·二模）已知函数，则不等式的解集为(

)A． B．C． D．答案：C【解析】．故选：C﹒3．(2023·北京昌平·二模）已知函数，则关于的不等式的解集是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题设，对称轴为且图象开口向下，则在上递增，上递减，由，即恒过且，所以上，上，而在上递增，且上，上，所以的解集为.故选：C4．(2023·北京丰台·二模）已知偶函数在区间上单调递减．若，则x的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：C【解析】解：偶函数在区间上单调递减，所以在区间上单调递增；则等价于，即，即，解得，即原不等式的解集为；故选：C5．(2023·河北·高三阶段练习）已知函数，则的解集为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】作出函数与的图象，如图，当时，，作出函数与的图象，由图象可知，此时解得；当时，，作出函数与的图象，它们的交点坐标为、，结合图象知此时.所以不等式的解集为.故选：C6．(2023·重庆·模拟预测）若函数有最小值，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．答案：A【解析】解：依题意且，所以，解得或，综上可得，令的根为、且，，，若，则在定义域上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，在上单调递增，在上单调递减，函数不存在最小值，故舍去；若，则在定义域上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，根据复合函数的单调性可知，在上单调递减，在上单调递增，所以函数在取得最小值，所以；故选：A7．(2023·江苏·高三专题练习）已知函数的值域为，若不等式在上恒成立，则的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：A【解析】由题意，函数的值域为，可得函数的最大值为，当时，函数显然不存在最大值；当时，函数在上单调递增，在上单调递减，当时，函数有最大值，即，解得；当时，在上单调递减，在上单调递增，此时函数无最大值，所以在上恒成立，即在上恒成立，由在上恒成立，可得；由在上恒成立，即在上恒成立，可得；由在上恒成立，即在上恒成立，令，可得函数在上单调递增，所以，即，综上可得，即实数的取值范围是.故选：A.8．（多选）(2023·江苏·高三专题练习）已知函数，下列四个命题正确的是（

）.A．函数为偶函数B．若，其中，，，则C．函数在上为单调递增函数D．若，则答案：ABD【解析】解：函数对于A，，，所以函数为偶函数，故A正确；对于B，若，其中，，，所以，，即，得到，故B正确；对于C，函数，由，解得，所以函数的定义域为，因此在上不具有单调性，故C错误；对于D，因为，，，故，故D正确.故选：ABD.9．（多选）(2023·全国·高三专题练习）已知为定义在上的偶函数，当时，有，且当时，.给出下列命题，其中正确的命题的为（

）A．B．函数在定义域上是周期为2的周期函数C．直线与函数的图像有1个交点D．函数的值域为答案：ACD【解析】根据题意，可在同一平面直角坐标系中画出直线和函数的图象如图所示，根据图象可知选项A中，正确；对于选项B，函数在定义域上不是周期函数，所以B不正确；对于选项C，根据函数图象可知与的图象有个交点，所以C正确；对于选项D，根据图象，函数的值域是，所以D正确.故选：ACD.10．(2023·全国·高三专题练习）已知函数，，对任意的，，有恒成立，则实数的取值范围是___________.答案：【解析】函数在，上单调递增，在，上单调递增，∴，，对任意的，，有恒成立，