高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题13.1复数及其四则运算(真题测试)(原卷版+解析)

专题13.1复数及其四则运算（真题测试）一、单选题1．(2023·全国·高考真题）（

）A． B． C． D．2．(2023·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．3．(2023·北京·高考真题）若复数z满足，则（

）A．1 B．5 C．7 D．254．(2023·全国·高考真题（文））设，其中为实数，则（

）A． B． C． D．5．(2023·全国·高考真题（理））若，则（

）A． B． C． D．6．（2023·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（2023·全国·高考真题（理））设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（）A． B． C． D．8．(2023·全国·高考真题（理））已知，且，其中a，b为实数，则（

）A． B． C． D．二、多选题9．(2023·辽宁·高三开学考试）已知复数，则下列说法正确的是（

）A．复数在复平面内对应的点在第四象限B．复数的虚部为C．复数的共轭复数D．复数的模10．(2023·江苏·姜堰中学高三阶段练习）已知复数，则下列说法正确的是（

）A．复数在复平面内对应的点在第四象限 B．复数的虚部为C．复数的共轭复数 D．复数的模11．(2023·湖南·雅礼中学高三阶段练习）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式（为虚数单位），这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有（

）A． B．C． D．12．（2023·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）已知R，复数，，则（

）A．，B．若，时，C．若，，，则D．若，则三、填空题13．（2023·天津·高考真题）是虚数单位，复数_____________．14．（2023·江苏·高考真题）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____.15．（2023·江苏·高考真题）已知是虚数单位，则复数的实部是_____.16．（2023·全国·高考真题（理））设复数，满足，，则=__________.四、解答题17．(2023·全国·高三专题练习）已知复数，，其中R，问m为何值时．18．(2023·全国·高三专题练习）已知是实数，是纯虚数，且满足，求和的值．19．（2023·全国·高三专题练习）已知复数，其中，i为虚数单位．(1)若z为实数，求m的值；(2)若z为纯虚数，求的虚部．20．（2023·河北·沧县中学高三阶段练习）已知复数．(1)求．(2)类比数列知识，求．21．(2023·全国·高三专题练习）已知复数，.(1)求；(2)复数，对应的向量分别是，，其中为坐标原点，当时，求的值.22．(2023·上海交大附中高三期中）已知虚数，其中，，为虚数单位．(1)若对任意，均有，求实数的取值范围．(2)若，恰好是某实系数一元二次方程的两个解，求，的值．专题13.1复数及其四则运算（真题测试）一、单选题1．(2023·全国·高考真题）（

）A． B． C． D．答案：D分析：利用复数的乘法可求.【详解】，故选：D.2．(2023·浙江·高考真题）已知（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．答案：B分析：利用复数相等的条件可求.【详解】，而为实数，故，故选：B.3．(2023·北京·高考真题）若复数z满足，则（

）A．1 B．5 C．7 D．25答案：B分析：利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．【详解】由题意有，故．故选：B．4．(2023·全国·高考真题（文））设，其中为实数，则（

）A． B． C． D．答案：A分析：根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．【详解】因为R，，所以，解得：．故选：A.5．(2023·全国·高考真题（理））若，则（

）A． B． C． D．答案：C分析：由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.【详解】故选：C6．（2023·全国·高考真题）复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限答案：A分析：利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.【详解】，所以该复数对应的点为，该点在第一象限，故选：A.7．（2023·全国·高考真题（理））设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（）A． B． C． D．答案：C分析：本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x，y）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C．【详解】则．故选C．8．(2023·全国·高考真题（理））已知，且，其中a，b为实数，则（

）A． B． C． D．答案：A分析：先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可【详解】由,得,即故选:二、多选题9．(2023·辽宁·高三开学考试）已知复数，则下列说法正确的是（

）A．复数在复平面内对应的点在第四象限B．复数的虚部为C．复数的共轭复数D．复数的模答案：BD分析：根据复数的除法运算化简求解，根据复数对应的点、复数的模、共轭复数、复数的虚部概念逐项分析即可求解.【详解】，故复数在复平面内对应的点在第三象限，故A错误；所以复数的虚部为，故B正确；故复数的共轭复数，故C错误；所以复数的模，故D正确.故选：BD10．(2023·江苏·姜堰中学高三阶段练习）已知复数，则下列说法正确的是（

）A．复数在复平面内对应的点在第四象限 B．复数的虚部为C．复数的共轭复数 D．复数的模答案：BCD分析：化简得，再得到其在复平面内对应的点的象限，虚部，共轭复数，模即可得到答案.【详解】，，所以复数在复平面内对应的点在第三象限，故A错误；虚部为，故B正确；复数的共轭复数，故C正确；复数的模，故D正确；故选：BCD.11．(2023·湖南·雅礼中学高三阶段练习）1748年，瑞士数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写下公式（为虚数单位），这个公式在复变函数中有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，据此公式，则有（

）A． B．C． D．答案：ABC分析：根据题设中的公式和复数运算法则，逐项计算后可得正确的选项.【详解】对于A，当时，因为，所以，故选项A正确；对于B，，故B正确；对于C，由，，所以,得出，故选项C正确；对于D，由C选项的分析得，推不出，故选项D错误.故选：ABC.12．（2023·江苏·南京市第一中学高三阶段练习）已知R，复数，，则（

）A．，B．若，时，C．若，，，则D．若，则答案：BC分析：利用复数的乘方，可得纯虚数的乘方，易知模长的表示，根据指数的运算，可得答案.【详解】，同理，对于A，，同理，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，由，则，即，因，则，故C正确；对于D，由，则，即，，故D错误.故选：BC三、填空题13．（2023·天津·高考真题）是虚数单位，复数_____________．答案：分析：利用复数的除法化简可得结果.【详解】.故答案为：.14．（2023·江苏·高考真题）已知复数的实部为0，其中为虚数单位，则实数a的值是_____.答案：2.分析：本题根据复数的乘法运算法则先求得，然后根据复数的概念，令实部为0即得a的值.【详解】，令得.15．（2023·江苏·高考真题）已知是虚数单位，则复数的实部是_____.答案：3分析：根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.【详解】∵复数∴∴复数的实部为3.故答案为：3.16．（2023·全国·高考真题（理））设复数，满足，，则=__________.答案：分析：方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果.方法二：设复数所对应的点为,,根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算.【详解】方法一：设，，，，又，所以，，.故答案为：.方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,由已知,∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，∴.【点睛】方法一：本题考查复数模长的求解，涉及到复数相等的应用；考查学生的数学运算求解能力，是一道中档题.方法二：关键是利用复数及其运算的几何意义，转化为几何问题求解四、解答题17．(2023·全国·高三专题练习）已知复数，，其中R，问m为何值时．答案：.分析：由题可得，即得.【详解】∵复数，，又因为，则,解得，故当时，有．18．(2023·全国·高三专题练习）已知是实数，是纯虚数，且满足，求和的值．答案：，.分析：设，代入关系式，然后即可建立方程求解.【详解】由是纯虚数，可设，则，整理，得．由复数相等的充要条件，得，解得，所以，．19．（2023·全国·高三专题练习）已知复数，其中，i为虚数单位．(1)若z为实数，求m的值；(2)若z为纯虚数，求的虚部．答案：(1)(2)8分析：（1）由题意得，求解即可；（2）先由题意求得，再根据复数的除法法则化简复数，由此可求得答案.(1)解：若z为实数，则，解得．(2)解：由题意得解得，∴，故，∴的虚部为8．20．（2023·河北·沧县中学高三阶段练习）已知复数．(1)求．(2)类比数列知识，求．答案：(1)1(2)分析：（1）首先进行复数的除法求出，再求模长即可；（2）利用等比数列前项和公式结合复数知识即可得解.(1)∵，∴(2)∵，又，∴21．(2023·全国·高三专题练习）已知复数，.(1)求；(2)复数，对应的向量分别是，，其中为坐标原点，当时，求的值.答案：(1)29；(2)-3.分析：（1）求出，再利用复数乘法运算计算作答.（2）根据给定条件，求出，的坐标，再利用向量数量积的坐标表示计算作答.(1)因复数，则，所以.(2)依题意，，当时，，所以.22．(2023·上海交大附中高三期中）已知虚数，其中，，为虚数单位．(1)若对任意，均有，求实数的取值