中职高考数学一轮复习讲练测(全国适用)专题二十二二倍角公式(原卷版+解析)

第二十二章二倍角公式思维导图知识要点知识要点1．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2a－sin2a＝2tan2α＝说明：①在和角公式中，令α＝β即得到二倍角公式；②注意公式的逆用、变形等；③要灵活理解“二倍角”的含义；二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，是的二倍，3α是的二倍，……，都可以应用二倍角公式．2．有关公式的逆用、变形等(1)sinαcosα＝；(2)cos2α＝，sin2α＝；(3)1＋sin2α＝sina+cos典例解析典例解析【例1】辨析感悟：对二倍角公式的理解．(1)cosθ＝－1＝1－.()(2)若＝，则cosα＝.()(3)y＝sin2xcos2x的最大值为1.()【变式训练1】已知α为第二象限，且sin2α＝，则cosα－sinα等于()B．C.D．【例2】设cos2α＝cosα，，求tan2α的值．【变式训练2】已知sinα＝，，求sin2α，cos2α.【例3】已知＝2，求tan2α的值．【变式训练3】已知=，，则cos2x＝________.【例4】已知cos4a－sin4a＝，且，求【变式训练4】已知cosα＝，，则＝________.【例5】已知＝0，求tanx的值．【变式训练5】若sin2α＝cosα，，求的值．高考链接高考链接1．2sin275°－1＝()B.C．D.2．若，且sin2a＋cos2aA．B.C．D.3．(四川省2018年对口升学考试试题)函数y＝的最小正周期是()A．2πB．πC.D.4．已知，在第一象限，求的值．5．在△ABC中，＝1－，sin(C－A)＝3sinB，求角C的值．同步精练同步精练选择题1．sin15°sin75°等于()A.B.C.D.2．cos215°－sin215°等于()A.B．C.D．3．2sin215°－1等于()A.B．C.D．4．若＝，则cos2θ等于()A.B．C.D．5．已知α为第二象限角，sinα＝，则sin2α等于()A．B．C.D.6．已知＝，则cos2α的值为()A．B.C．D.填空题7．若＝，则cosα＋sinα＝________.8．已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则sin2α＝________.9．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanα·tanβ＝________.10．若，则tan2α＝________.解答题11．已知sinθ＋cosθ＝，且，求cos2θ的值．化简：sin18°·cos36°.化简：14．已知cos2α＝，α在第一象限，求sinα，cosα，的值．第二十二章二倍角公式思维导图知识要点知识要点1．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2a－sin2a＝2tan2α＝说明：①在和角公式中，令α＝β即得到二倍角公式；②注意公式的逆用、变形等；③要灵活理解“二倍角”的含义；二倍角公式不仅限于2α是α的二倍的形式，其他如4α是2α的二倍，是的二倍，3α是的二倍，……，都可以应用二倍角公式．2．有关公式的逆用、变形等(1)sinαcosα＝；(2)cos2α＝，sin2α＝；(3)1＋sin2α＝sina+cos典例解析典例解析【例1】辨析感悟：对二倍角公式的理解．(1)cosθ＝－1＝1－.(√)(2)若＝，则cosα＝.(×)(3)y＝sin2xcos2x的最大值为1.(×)【思路点拨】运用公式时要注意倍角的相对性、公式的逆用、变形等．【变式训练1】已知α为第二象限，且sin2α＝，则cosα－sinα等于(B)B．C.D．【提示】本题主要考查倍角公式的转化应用，(cosα－sinα)2＝1－sin2α＝，根据α是第二象限角，开方可得．【例2】设cos2α＝cosα，，求tan2α的值．【思路点拨】先由cos2α＝cosα，依次求出cosα，sinα，tanα的值，再利用二倍角的正切求出答案．答案：解：由cos2α＝cosα，，得2cos2a又，∴cosα＝，∴sinα＝，tanα＝.∴tan2α＝＝＝【变式训练2】已知sinα＝，，求sin2α，cos2α.解：∵sinα＝，，∴cosα＝，∴sin2α＝2sinα·cosα＝，∴cos2α＝1－2sin2a＝.【例3】已知＝2，求tan2α的值．【思路点拨】先由条件求出tanα的值．答案：解：∵＝2，∴＝2，∴＝2，.∴【变式训练3】已知=，，则cos2x＝________.【提示】∵，∴，又∵，∴，∴cos2x＝1－2sin2x＝【例4】已知cos4a－sin4a＝，且，求的值．【思路点拨】由平方差公式依次求出cos2α，sin2α的值答案：解：∵cos4a－sin4a＝(sin2a＋cos2a)(∴cos2a＝cos2a－sin2sin2α＝，∴＝＝＝【变式训练4】已知cosα＝，，则＝________.【提示】∵＝1－sinα，且cosα＝，π<α<，∴sinα＝∴原式＝【例5】已知＝0，求tanx的值．【思路点拨】先由条件求出，再由二倍角公式求tanα.答案：解：由＝0得＝2，故tanx＝＝＝【变式训练5】若sin2α＝cosα，，求的值．解：由sin2α＝cosα有2sinαcosα＝cosα，∵，∴sinα＝，∴tanα＝，∴tan2α＝，∴＝.高考链接高考链接1．2sin275°－1＝(D)B.C．D.【提示】二倍角余弦公式逆用，诱导公式．2．若，且sin2a＋cos2a＝，则tanα的值等于(CA．B.C．D.【提示】sin2a＋cos2a＝⇒sin2a＋cos2a－sin2a＝，∴cos2a＝，3．(四川省2018年对口升学考试试题)函数y＝的最小正周期是(B)A．2πB．πC.D.【提示】函数y＝＝sinxcosx＝，∴T＝＝π.4．已知，在第一象限，求的值．【提示】∵cos2α＝1－2sin2α＝，α为第一象限角，∴sinα＝，又sin2a＋cos2a＝1⇒cosα＝，tanα＝＝.5．在△ABC中，＝1－，sin(C－A)＝3sinB，求角C的值．解：＝⇒⇒tanA＝，∠A＋∠B＋∠C＝π⇒∠B＝π－(∠A＋∠C)，sin(C－A)＝3sinB⇒sin(C－A)＝3sin(A＋C)，∴4sinA·cosC＝－2cosA·sinC⇒tanC＝－2tanA，又tanA＝，∴tanC＝－1，∴∠C为三角形内角，因此∠C＝.同步精练同步精练选择题1．sin15°sin75°等于(C)A.B.C.D.【提示】sin15°sin75°＝sin15°cos15°＝sin30°＝2．cos215°－sin215°等于(A)A.B．C.D．【提示】cos215°－sin215°＝cos30°＝3．2sin215°－1等于(B)A.B．C.D．【提示】2sin215°－1＝－(1－2sin215°)＝－cos30°＝.4．若＝，则cos2θ等于(A)A.B．C.D．【提示】∵＝，∴cosθ＝，∴cos2θ＝2cos2θ－1＝5．已知α为第二象限角，sinα＝，则sin2α等于(A)A．B．C.D.【提示】∵α为第二象限角，sinα＝，∴cosα＝＝＝∴sin2α＝2sinαcosα＝6．已知＝，则cos2α的值为(A)A．B.C．D.【提示】∵，∴，∴tanα＝－3，又∵cos2α＝cos2a－sin2a＝填空题7．若＝，则cosα＋sinα＝________.【提示】＝⇒cos2α＝⇒cos2a－sin2a＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝，∴cosα＋sinα＝8．已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则sin2α＝________.【提示】∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝，∴2sinαcosα＝，即sin2α＝9．已知tanα＋tanβ＝2，tan(α＋β)＝4，则tanα·tanβ＝________.【提示】tanα·tanβ＝＝1－＝10．若，则tan2α＝________.【提示】∵，∴2(sinα＋cosα)＝sinα－cosα，∴tanα＝＝－3.∴tan2α＝＝解答题11．已知sinθ＋cosθ＝，且，求cos2θ的值．解：将sinθ＋cosθ＝两边平方，得sinθcosθ＝，∴(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝，则sinθ－cosθ＝.又，∴cosθ<0，sinθ>0