高一数学常考点微专题提分精练(人教A版必修第一册)微专题24绝对值函数问题(原卷版+解析)

微专题24绝对值函数问题【题型归纳目录】题型一：含一个绝对值的函数与不等式问题题型二：含两个绝对值的和的问题题型三：含两个绝对值的差的问题题型四：含多个绝对值的问题【典型例题】题型一：含一个绝对值的函数与不等式问题例1．不等式的解集为A． B．，， C． D．例2．不等式的解集是A．，， B． C． D．，，例3．若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是A． B．， C． D．，变式1．已知为常数，函数在区间，上的最大值为10，则．变式2．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是变式3．已知，函数在区间，上的最大值是5，则的取值范围是．变式4．若函数在区间，上的最小值是4，实数的取值范围是．题型二：含两个绝对值的和的问题例4．不等式的解集是A． B． C． D．例5．不等式恒成立，则的取值范围是A． B． C．， D．，，例6．若关于的不等式在上恒成立，则的最大值是A．0 B．1 C． D．2变式5．若关于的不等式在上恒成立，则的最大值是A．0 B．1 C． D．2变式6．不等式的解集为．变式7．关于的不等式在上恒成立，则的最大值为．变式8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若集合，，则实数的取值范围为．题型三：含两个绝对值的差的问题例7．若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围为A．，， B．，， C．， D．，，例8．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为A． B． C．，， D．，，例9．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为A．，， B． C．，， D．变式9．对所有的，不等式恒成立，实数的取值范围是．变式10．关于的不等式的解集不是，则实数的取值范围为．题型四：含多个绝对值的问题例10．设函数，下列四个命题中真命题的序号是（1）是偶函数；（2）当且仅当时，有最小值；（3）在上是增函数；（4）方程有无数个实根A．（1）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（2）（3）（4）例11．若对一切恒成立，则实数的取值范围为．例12．已知函数，则当时，取得最小值．变式11．已知函数．则（2），的最小值为．变式12．已知函数，且．（1）分别计算（1），（5），的值；（2）当为何值时，取得最小值？最小值是多少？【过关测试】一、单选题1．(2023·安徽·芜湖一中高一阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．(2023·江苏·扬州市邗江区蒋王中学高一阶段练习）设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．3．(2023·河南·新密市第一高级中学高一阶段练习）设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．4．(2023·浙江·温州中学高一期中）已知函数，且实数满足，则实数的取值范围为（

）A．或或 B．或C．或 D．或或5．(2023·江苏·海安高级中学高一阶段练习）若不等式对一切恒成立．则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．6．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，当时，设的最大值为，则的最小值为（

）A． B． C． D．17．(2023·浙江杭州·高一期末）当时，不等式恒成立，则的最大值为（

）A．18 B．17 C．16 D．158．(2023·江苏省太湖高级中学高一期中）设，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．9．(2023·辽宁·沈阳二中高一阶段练习）已知函数（），若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题10．(2023·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（

）A． B． C． D．111．(2023·江苏·靖江高级中学高一阶段练习）若，使得成立是假命题，则实数m可能取值是（

）A．5 B．4 C． D．12．(2023·辽宁·沈阳市第五中学高一阶段练习）下面命题中正确的为（

）A．不等式的解集为B．不等式的解集为C．不等式的解集为D．不等式的解集为三、填空题13．(2023·天津市汇文中学高一阶段练习）关于x的不等式|x－2|＋|x＋1|≤10的解集为___________．14．(2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为_________.15．(2023·全国·高一专题练习）设，如果可取任意实数值，那么的最小值是_____.16．(2023·全国·高一专题练习）不等式恒成立，则的取值范围是_________.四、解答题17．(2023·广东实验中学附属天河学校高一阶段练习）已知集合，，，求a的取值范围．18．(2023·湖北武汉·高一期中）已知函数.(1)求不等式的解集；(2)当时，若恒成立，求实数m的取值范围.19．(2023·四川·成都铁路中学高一阶段练习）已知函数(1)若函数的值域为，，求实数的值(2)若，求实数的取值范围．20．(2023·浙江·高一阶段练习）已知，，，函数．(1)若，关于的不等式对任意恒成立，求，的值；(2)若，，，关于的方程有两个不相等的实根，且均大于小于，求的最小值．21．(2023·江苏省阜宁中学高一阶段练习）（1）求不等式的解集；（2）若不等式的解集包含，求实数的取值范围；（3）已知在时恒成立，求的取值范围.微专题24绝对值函数问题【题型归纳目录】题型一：含一个绝对值的函数与不等式问题题型二：含两个绝对值的和的问题题型三：含两个绝对值的差的问题题型四：含多个绝对值的问题【典型例题】题型一：含一个绝对值的函数与不等式问题例1．不等式的解集为A． B．，， C． D．【解析】解：，，解得：，故选：．例2．不等式的解集是A．，， B． C． D．，，【解析】解：，，，故不等式的解集是，故选：．例3．若不等式对任意，恒成立，则实数的取值范围是A． B．， C． D．，【解析】解：由不等式对任意，上恒成立，可得的图象在，上恒位于直线的下方或在直线上，如图所示：①，或②．由①可得，由②可得，故实数的取值范围是，或者，，故选：．变式1．已知为常数，函数在区间，上的最大值为10，则2或6．【解析】解：函数在区间，上的最大值为10，故有，或，求得，或，故答案为：2或6．变式2．已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是，【解析】解：等价于或，解得或，当，即时，不等式解集为，显然符合题意．当时，，，，，所以或，解得或（舍去），综上，实数的取值范围是或．故答案为：，．变式3．已知，函数在区间，上的最大值是5，则的取值范围是，．【解析】解：由题可知，即，所以，又因为，所以，所以，又因为，，所以，解得，故答案为：，．变式4．若函数在区间，上的最小值是4，实数的取值范围是，．【解析】解：由在，递减，，递增，可得的最小值为4，最大值为5，函数的最值在顶点或区间的端点处取得，若（1）取得最小值4，即，可得，即有，且此时（1）（2）（4）取得最小值，成立；若（2）取得最小值4，即，即有；此时（1），（4），（2），由（2）（1），解得；当（4）取得最小值4，即，解得，成立．综上可得的范围是，．故答案为：，．题型二：含两个绝对值的和的问题例4．不等式的解集是A． B． C． D．【解析】解：令，则，当时，，；当时，有恒成立，当时，，．综上所述，不等式的解集为，．故选：．例5．不等式恒成立，则的取值范围是A． B． C．， D．，，【解析】解：，的最小值为3，恒成立，只需，，的取值范围为，．故选：．例6．若关于的不等式在上恒成立，则的最大值是A．0 B．1 C． D．2【解析】解：由绝对值的性质得，所以最小值为1，从而，解得，因此的最大值为1．故选：．变式5．若关于的不等式在上恒成立，则的最大值是A．0 B．1 C． D．2【解析】解：化简得：，当，即时，上式化为，实数无解；当，即时，上式化为，解得，解得，综上，实数的范围为，则实数的最大值为1．故选：．变式6．不等式的解集为，，．【解析】解：由于，故当时，不等式即，解得．当时，不等式即，解得无解．当时，不等式即，解得．综上可得，不等式的解集为，，，故答案为，，．变式7．关于的不等式在上恒成立，则的最大值为6．【解析】解：由绝对值的性质得，所以最小值为6，从而，解得，因此的最大值为6．故答案为：6．变式8．已知函数是定义在上的奇函数，当时，．若集合，，则实数的取值范围为．【解析】解：若，，则等价为恒成立，即恒成立，当时，．若，则当时，，是奇函数，若，则，则，则，，综上，此时函数为增函数，则恒成立，若，若时，；当时，；当时，．即当时，函数的最小值为，由于函数是定义在上的奇函数，当时，的最大值为，作出函数的图象如图：由于，，故函数的图象不能在函数的图象的上方，结合图可得，即，求得，综上，故答案为：，题型三：含两个绝对值的差的问题例7．若存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围为A．，， B．，， C．， D．，，【解析】解：令，则，即，若存在实数使得不等式成立，则，解得或．故选：．例8．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为A． B． C．，， D．，，【解析】解：，，由不等式有实数解，知，解得．故选：．例9．若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为A．，， B． C．，， D．【解析】解：表示数轴上的对应点到的距离减去它到2的距离，它的最大值为3，最小值等于，，，，或，故实数的取值范围为，，，故选：．变式9．对所有的，不等式恒成立，实数的取值范围是，，【解析】解：，对所有的，不等式恒成立，则，解得或．故答案为，，．变式10．关于的不等式的解集不是，则实数的取值范围为，，．【解析】解：，．不等式的解集不是，只需，，或，的取值范围为，，．故答案为：，，．题型四：含多个绝对值的问题例10．设函数，下列四个命题中真命题的序号是（1）是偶函数；（2）当且仅当时，有最小值；（3）在上是增函数；（4）方程有无数个实根A．（1）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（2）（3）（4）【解析】解：，，为偶函数，故（1）正确．根据绝对值的几何意义可得，当且仅当时，取等号．故（2）错误；由于（1），显然函数在上不是增函数，故（3）不正确；由于，且函数为偶函数，，或，或．解得，或，或或，故方程有无数个实根，故（4）正确．故答案为：（1）（4）故选：．例11．若对一切恒成立，则实数的取值范围为，．【解析】解：，可得，若对一切恒成立，则实数的取值范围为，．故答案为：，．例12．已知函数，则当时，取得最小值．【解析】解：共有项又（注为到的距离即为到的距离加上到的距离，当在，之间时，最小且值为到的距离）所以的5050项前后对应每两项相加，使用公式当在每一对，之间时，等号成立由于所以最中间的两项（第2525，2526项）是所以当时等号成立则当时取得最小值变式11．已知函数．则（2）9，的最小值为．【解析】解：（1）（2）（2），由单调性知，最小值为1．变式12．已知函数，且．（1）分别计算（1），（5），的值；（2）当为何值时，取得最小值？最小值是多少？【解析】解：（1）由，得（1）；（5）；．（2）设是中的某一整数，则．因为，所以当或11时，取最小值，，即最小值是100．【过关测试】一、单选题1．(2023·安徽·芜湖一中高一阶段练习）已知集合，，则（

）A． B． C． D．答案：D【解析】因为，故.故选：D.2．(2023·江苏·扬州市邗江区蒋王中学高一阶段练习）设，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由题意可得，且.当时，可得，由绝对值三角不等式可得，当且仅当时，等号成立，所以，，可得；当时，可得，因为，当且仅当时，等号成立，故，解得.综上所述，.故选：C.3．(2023·河南·新密市第一高级中学高一阶段练习）设a，b是实数，集合，，且，则的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：D【解析】集合，或又，所以或即或，即所以的取值范围为故选：D4．(2023·浙江·温州中学高一期中）已知函数，且实数满足，则实数的取值范围为（

）A．或或 B．或C．或 D．或或答案：A【解析】因为函数的定义域为，而，所以函数为偶函数，又，当且仅当时取等号，，当且仅当时取等号，……，当且仅当时取等号，所以，当且仅当时取等号，当时，，当时，，……当时，，当时，，故函数在上递增，再根据函数为偶函数，所以在上递增，因此可等价于或或，解得或或或．故选：A．5．(2023·江苏·海安高级中学高一阶段练习）若不等式对一切恒成立．则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】设，当时，；当时，；当时，，故有最大值3．对一切恒成立，则a必大于等于的最大值3．故取值范围为．故选：C．6．(2023·全国·高一课时练习）已知函数，当时，设的最大值为，则的最小值为（

）A． B． C． D．1答案：B【解析】函数，当,时，的最大值为，可得，，，可得,,,，即，即有，则的最小值为，故选：B7．(2023·浙江杭州·高一期末）当时，不等式恒成立，则的最大值为（

）A．18 B．17 C．16 D．15答案：B【解析】因为，所以，当时，可得①，当时，可得②，当时，可得③，由①②③可得，，所以，故选：B8．(2023·江苏省太湖高级中学高一期中）设，，若，则的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：C【解析】由得或，解得或，所以，由得，解得，所以.当时，，，符合题意.当时，由于，所以，解得.综上所述，的取值范围是.故选：C9．(2023·辽宁·沈阳二中高一阶段练习）已知函数（），若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．答案：B【解析】可化为，作函数与函数的图象如下，结合图象可知，关于的不等式的解集中的3个整数解为0，，；故只需使，解得；故选：B．二、多选题10．(2023·黑龙江·哈尔滨三中高一期中）定义，若函数，且在区间上的值域为，则区间长度可以是（

）A． B． C． D．1答案：AD【解析】令①，当时，不等式可整理为，解得，故符合要求，当时，不等式可整理为，解得，故，所以不等式①的解为；由上可得，不等式的解为或，所以，令，解得，令，解得或，令，解得或，令，解得或，所以区间的最小长度为1，最大长度为.故选：AD.11．(2023·江苏·靖江高级中学高一阶段练习）若，使得成立是假命题，则实数m可能取值是（

）A．5 B．4 C． D．答案：CD【解析】因为，使得成立是假命题，所以，都有.记，只需.，所以，所以.对照四个选项，C、D符合题意.故选：CD12．(2023·辽宁·沈阳市第五中学高一阶段练习）下面命题中正确的为（

）A．不等式的解集为B．不等式的解集为C．不等式的解集为D．不等式的解集为答案：BD【解析】对于A，当时，，故选项A错误；对于B，因为，即不等式恒成立，所以不等式的解集为，故选项B正确；对于C，不等式，当时，则，解得；当时，则，解得；当时，则，解得.综上所述，不等式的解集为，故选项C错误,D正确..故选：BD.三、填空题13．(2023·天津市汇文中学高一阶段练习）关于x的不等式|x－2|＋|x＋1|≤10的解集为___________．答案：【解析】当x＞2时，原不等式可化为：(x－2)＋x＋1≤10，解得2＜x≤；当－1≤x≤2时，原不等式可化为：－(x－2)＋x＋1≤10，即3≤10，所以－1≤x≤2；当x＜－1时，原不等式可化为：－(x－2)－(x＋1)≤10，即－2x≤9，解得≤x＜－1．综上所述，原不等式的解集是．故答案为：．14．(2023·全国·高一专题练习）不等式的解集为_________.答案：【解析】，化为：或或解得：或或.不等式的解集为：故答案为：15．(2023·全国·高一专题练习）设，如果可取任意实数值，那么的最小值是_____.答案：4【解析】根据绝对值的几何意义可知，可转化为在数轴上有四点，其对应的值分别为，求一点，使得最小，当在线段上时，的最小值为，当在线段上时，的最小值为，故当在线段上时，的最小值是.故答案为：4.16．(2023·全国·高一专题练习）不等式恒成立，则的取值范围是_________.