新教材2024年秋高中数学第5章三角函数5.1任意角和蝗制5.1.1任意角教师用书含答案新人教A版必修第一册

5.1随意角和弧度制5.1.1随意角1．了解随意角的概念，能正确区分正角、零角和负角．(数学抽象)2．理解象限角的意义，驾驭终边相同的角的意义与表示．(数学抽象)在生活中，拧紧螺丝时，须要将扳手顺时针方向旋转；拧松螺丝时，须要将扳手逆时针方向旋转，可以旋转一圈，也可以旋转多圈．为了描述这种现象，须要对角的概念进行推广．学问点1角的概念与分类(1)角可以看成一条射线围着它的端点旋转所成的图形．(2)角的分类类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角射线OA没有做任何旋转，终边OB与OA重合学问点2角的加法与减法设α，β是随意两个角，－α为角α的相反角．(1)α＋β：把角α的终边旋转角β．(2)α－β：α－β＝α＋(－β)．学问点3象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；假如角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限．学问点4终边相同的角全部与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．终边相同的角相等吗？相等的角终边相同吗？[提示]终边相同的角不肯定相等，它们相差360°的整数倍；相等的角，终边相同．1．思索辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)－30°是第四象限角． ()(2)其次象限角是钝角． ()(3)225°是第三象限角． ()[答案](1)√(2)×(3)√2．下图中从OA旋转到OB，OB1，OB2时所成的角度分别是________、________、________．图(1)图(2)[答案]390°－150°60°3．如图(1)，∠AOC＝________；如图(2)，∠AOC＝________．图(1)图(2)[答案]110°－70°类型1随意角的概念【例1】(1)下列结论：①始边相同而终边不同的角肯定不相等；②小于90°的角是第一象限角；③钝角比第三象限角小；④角α与－α的终边关于x轴对称．其中正确的结论为________(填序号)．(2)如图，射线OA先绕端点O逆时针方向旋转60°到OB处，再按顺时针方向旋转820°至OC处，则β＝__________．(1)①④(2)－40°[(1)①正确；②错误，如α＝－30°是第四象限角；③错误，如α＝－110°；④正确．(2)由题意可知，∠AOB＝60°，又∠BOC＝820°－720°＝100°，故β＝－100°＋60°＝－40°．]理解角的概念的关键与技巧(1)关键：正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．(2)技巧：推断命题为真须要证明，而推断命题为假只要举出反例即可．[跟进训练]1．经过2个小时，钟表上的时针旋转形成的角为()A．60°B．－60°C．30°D．－30°B[钟表的时针旋转一周形成的角是－360°，其中每小时旋转形成的角是－360°12＝－30°，所以经过2个小时旋转形成的角是－60°．故选B类型2终边相同的角的表示及应用求与已知角终边相同的角【例2】(源自人教B版教材)分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满意不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．(1)60°；(2)－21°．[解](1)S＝{β|β＝60°＋k·360°，k∈Z}．解不等式－360°≤60°＋k·360°<720°，得－1－16≤k<2－16，所以k可取－1，0或1．因此S中满意－360°≤β60°＋(－1)×360°＝－300°，60°＋0×360°＝60°，60°＋1×360°＝420°．(2)S＝{β|β＝－21°＋k·360°，k∈Z}．解不等式－360°≤－21°＋k·360°<720°，得－1＋21360≤k<2＋21所以k可取0，1或2．因此S中满意－360°≤β<720°的元素是－21°＋0×360°＝－21°，－21°＋1×360°＝339°，－21°＋2×360°＝699°．求终边在给定直线上的角的集合【例3】在0°～360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为________．120°，300°[与角－60°的终边在同一条直线上的角可表示为β＝－60°＋k·180°，k∈Z．∵所求角在0°～360°范围内，∴0°≤－60°＋k·180°≤360°，k∈Z，解得13≤k≤73，k∈Z，∴k＝1或当k＝1时，β＝120°；当k＝2时，β＝300°．]终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同始终线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．[跟进训练]2．已知α＝－1845°，在与α终边相同的角中，求满意下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－360°～720°之间的角．[解]因为－1845°＝－45°＋(－5)×360°，即－1845°角与－45°角的终边相同，所以与角α终边相同的角的集合是{β|β＝－45°＋k·360°，k∈Z}．(1)最小的正角为315°．(2)最大的负角为－45°．(3)－360°～720°之间的角分别是－45°，315°，675°．类型3象限角及区域角的表示象限角的表示【例4】若α是第一象限角，则－α2是(A．第一象限角 B．第一、四象限角C．其次象限角 D．其次、四象限角D[因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z，所以k·180°＜α2＜k·180°＋45°，k∈Z所以－k·180°－45°<－α2<－k·180°，k∈Z所以－α2是其次、四象限角．故选D．区域角的表示【例5】如图所示．(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．思路导引：确定边界角[解](1)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．(2)由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由全部介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．[母题探究]若将本例(2)改为如图所示的图形，那么终边落在阴影部分(实线为包括边界，虚线为不包含边界)的角的集合如何表示？[解]在0°～360°范围内，终边落在阴影部分的角为60°≤β＜105°与240°≤β＜285°，所以全部满意题意的角β为{β|k·360°＋60°≤β＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240°≤β＜k·360°＋285°，k∈Z}＝{β|2k·180°＋60°≤β＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．故角β的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β＜n·180°＋105°，n∈Z}．1．表示区间角的3个步骤第一步：先按逆时针的方向找到区域的起始和终止边界．其次步：按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间{x|α<x<β}，其中β－α<360°．第三步：起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合．提示：表示区间角时要留意实线边界与虚线边界的差异．2．nα或αn(1)用不等式表示出角nα或αn(2)用旋转的观点确定角nα或αn例如：k·120°＜α3＜k·120°＋30°，k∈Z由0°＜α3＜30°，每次逆时针旋转120°可得α[跟进训练]3．(1)若θ是其次象限角，那么θ2和90°－θ都不是(A．第一象限角 B．其次象限角C．第三象限角 D．第四象限角(2)写出终边落在阴影部分的角的集合．(1)B[∵θ是其次象限角，∴k·360°＋90°<θ<k·360°＋180°，k∈Z，∴k·180°＋45°<θ2<k·180°＋90°，k∈Z，∴θ2是第一或第三象限角，而－θ是第三象限角，∴90°－θ是第四象限角，故选B(2)[解]在0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为：150°≤β≤225°，则全部满意条件的角β为{β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．1．(多选)下列说法中正确的是()A．锐角是第一象限角B．第一象限角都是锐角C．小于90°的角是锐角D．大于0°小于90°的角是锐角[答案]AD2．下列各个角中与角2024°终边相同的角的度数是()A．－149° B．679°C．321° D．224°D[因为2024°＝360°×5＋224°，所以与2024°终边相同的角是224°．故选D．]3．角－870°的终边所在的象限是()A．第一象限 B．其次象限C．第三象限 D．第四象限C[∵－870°＝－3×360°＋210°，∴－870°是第三象限，故选C．]4．已知角α的终边在如图阴影表示的范围内(不包含边界)，那么角α的集合是________．[答案]{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}回顾本节学问，自主完成以下问题：1．随意角的分类有哪几种？[提示]