2024新教材高中数学第1章空间向量与立体几何1.1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算对点练新人教B版选择性必修第一册

1．1空间向量及其运算1.1.1空间向量及其运算学问点一空间向量的有关概念1.下列命题中，假命题是()A．向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(BA,\s\up6(→))的长度相等B．两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同C．只有零向量的模等于0D．共线的单位向量都相等答案D解析共线的单位向量是相等向量或相反向量．故选D.2．下列命题正确的有()①若a＝b，b＝c，则a＝c；②空间向量a，b相等的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|a|＝|b|，,a∥b；))③|a|＝|b|是a＝b的必要不充分条件；④eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))的充要条件是A与C重合，B与D重合．A．1个B．2个C．3个D．4个答案B解析①正确．∵a＝b，∴a，b的长度相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同，故a＝c；②不正确．由a∥b，知a与b的方向相同或相反；③正确．a＝b⇒|a|＝|b|，但|a|＝|b|a＝b；④明显不正确．故选B.3．下列关于单位向量与零向量的叙述正确的是()A．零向量是没有方向的向量，两个单位向量的模相等B．零向量的方向是随意的，全部单位向量都相等C．零向量的长度为0，单位向量不肯定是相等向量D．零向量只有一个方向，模相等的单位向量的方向不肯定相同答案C解析零向量的方向是随意的，且长度为0.两个单位向量的模相等，但方向不肯定相同，故选C.学问点二空间向量的加减运算4.已知空间中随意四个点A，B，C，D，则eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A.eq\o(DB,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))C.eq\o(AC,\s\up6(→)) D.eq\o(BA,\s\up6(→))答案D解析eq\o(DA,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→)))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→)).故选D.5．设A，B，C是空间随意三点，下列结论错误的是()A.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→)) B.eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0C.eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→)) D.eq\o(AB,\s\up6(→))＝－eq\o(BA,\s\up6(→))答案B解析B中向量的和应当是零向量，而不是数0，故选B.6．在空间四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(BC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AD,\s\up6(→))＝c，则eq\o(CD,\s\up6(→))等于()A．a＋b＋c B．c－a－bC．a－b－c D．b－a＋c答案B解析如图所示，eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝－b－a＋c.故选B.7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量eq\o(AC1,\s\up6(→))的共有()①(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))；②(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→))；③(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→))；④(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→)))＋eq\o(B1C1,\s\up6(→)).A．1个 B．2个C．3个 D．4个答案D解析依据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一推断可知①②③④都是符合题意的．故选D.8．(多选)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式运算结果为eq\o(BD1,\s\up6(→))的是()A.eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)) B.eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))C.eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→)) D.eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))答案AB解析选项A中，eq\o(A1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AD1,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；选项B中，eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(D1C1,\s\up6(→))＝eq\o(BC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1D1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))；选项C中，eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BB1,\s\up6(→))＝eq\o(B1D,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→))；选项D中，eq\o(B1D1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(DD1,\s\up6(→))＝eq\o(BD1,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))≠eq\o(BD1,\s\up6(→)).故选AB.学问点三空间向量的线性运算9.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))，若eq\o(AE,\s\up6(→))＝xeq\o(AA1,\s\up6(→))＋y(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，则()A．x＝1，y＝eq\f(1,2) B．x＝eq\f(1,2)，y＝1C．x＝1，y＝eq\f(1,3) D．x＝1，y＝eq\f(1,4)答案D解析因为eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(A1C1,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→)))，所以x＝1，y＝eq\f(1,4).故选D.10．已知空间四面体ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a－2c，eq\o(CD,\s\up6(→))＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则eq\o(EF,\s\up6(→))＝________.答案3a－eq\f(5,2)b＋3c解析连接BE，EF，∵eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，∴eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))－eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)(－eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(5a－5b＋8c＋a－2c)＝eq\f(1,2)(6a－5b＋6c)＝3a－eq\f(5,2)b＋3c.学问点四空间向量的数量积11.已知空间向量a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a等于()A．12 B．8＋eq\r(13)C．4 D．13答案D解析(2a－b)·a＝2a2－b·a＝2|a|2－|a||b|·cos120°＝2×4－2×5×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝13.故选D.12.如图，正四面体ABCD中，E是BC的中点，那么()A.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))<eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))B.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))C.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))D.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))与eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))不能比较大小答案C解析依据题意，得eq\o(AE,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，又eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→)))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·(eq\o(BD,\s\up6(→))－eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BD,\s\up6(→))|cos120°－|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(BC,\s\up6(→))|cos120°＋eq\f(1,2)|eq\o(BC,\s\up6(→))||eq\o(CD,\s\up6(→))|cos120°<0，∴eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))>eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→)).故选C.13．已知a，b是空间向量，|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，且a－b与a垂直，则a在b方向上的投影的数量为()A．－eq\r(2) B.eq\r(2)C．－eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(2),2)答案D解析∵a－b与a垂直，∴(a－b)·a＝0，∴a·a－a·b＝|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝0，又|a|＝1，|b|＝eq\r(2)，∴|a|cos〈a，b〉＝eq\f(\r(2),2)，即a在b方向上的投影的数量为eq\f(\r(2),2).故选D.14．已知a，b均为空间单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|＝()A.eq\r(7) B.eq\r(10)C.eq\r(13) D．4答案C解析|a＋3b|2＝(a＋3b)2＝a2＋6a·b＋9b2＝|a|2＋6|a||b|cos〈a，b〉＋9|b|2，∵|a|＝|b|＝1，〈a，b〉＝60°，∴|a＋3b|2＝13，∴|a＋3b|＝eq\r(13).故选C.一、选择题1．设有四边形ABCD，O为空间随意一点，且eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，则四边形ABCD是()A．平行四边形 B．空间四边形C．等腰梯形 D．矩形答案A解析∵eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(DO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))且|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|.∴四边形ABCD为平行四边形．故选A.2．已知a，b是空间向量，|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则a在b方向上的投影的数量为()A．4 B.eq\f(12,5)C．－eq\f(5,12) D．－3答案B解析设a与b的夹角为θ，则a在b方向上的投影的数量为|a|cosθ＝eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(12,5).3．在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且eq\o(DF,\s\up6(→))＝αeq\o(AB,\s\up6(→))＋βeq\o(AC,\s\up6(→))，则()A．α＝eq\f(1,2)，β＝－1B．α＝－eq\f(1,2)，β＝1C．α＝1，β＝－eq\f(1,2)D．α＝－1，β＝eq\f(1,2)答案A解析依据向量加法的多边形法则以及已知可得，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(C1C,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(A1A,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→))，∴α＝eq\f(1,2)，β＝－1.故选A.4．在空间四边形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝eq\f(π,3)，则cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(1,2) D．0答案D解析eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝|eq\o(OA,\s\up6(→))|·|eq\o(OC,\s\up6(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))〉－|eq\o(OA,\s\up6(→))||eq\o(OB,\s\up6(→))|cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉，因为〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))〉＝〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))〉＝eq\f(π,3)，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|，所以eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(BC,\s\up6(→))，所以cos〈eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝0.故选D.5．(多选)在四面体P－ABC中，以下说法正确的有()A．若eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，则eq\o(BC,\s\up6(→))＝3eq\o(BD,\s\up6(→))B．若Q为△ABC的重心，则eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))C．若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，则eq\o(PB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0D．若正四面体P－ABC各棱长都为2，M，N分别为PA，BC的中点，则|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝1答案ABC解析对于A，∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴3eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))，∴2eq\o(AD,\s\up6(→))－2eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AD,\s\up6(→))，∴2eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，∴3eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))，即3eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))，故A正确；对于B，若Q为△ABC的重心，则eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\o(QB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，∴3eq\o(PQ,\s\up6(→))＋eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\o(QB,\s\up6(→))＋eq\o(QC,\s\up6(→))＝3eq\o(PQ,\s\up6(→))，∴3eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))，即eq\o(PQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(PC,\s\up6(→))，故B正确；对于C，若eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，则eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，∴(eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·(eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))＝0，∴eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(PB,\s\up6(→))＝0，故C正确；对于D，∵eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(PN,\s\up6(→))－eq\o(PM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\o(PA,\s\up6(→)))，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)|eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))|.∵|eq\o(PA,\s\up6(→))－eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\o(PC,\s\up6(→))|＝eq\r(\a\vs4\al(\o(PA,\s\up6(→))2＋\o(PB,\s\up6(→))2＋\o(PC,\s\up6(→))2－2\o(PA,\s\up6(→))·\o(PB,\s\up6(→))－2\o(PA,\s\up6(→))·\o(PC,\s\up6(→))＋2\o(PB,\s\up6(→))·\o(PC,\s\up6(→))))＝eq\r(22＋22＋22－2×2×2×\f(1,2)－2×2×2×\f(1,2)＋2×2×2×\f(1,2))＝2eq\r(2)，∴|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\r(2)，故D错误．故选ABC.二、填空题6．给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若空间向量a，b满意|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④对于任何空间向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正确命题的序号为________．答案④解析对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错误；对于②，向量是不能比较大小的，故②错误；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错误；只有④正确．7.已知M，N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线段MN上，且MP＝2PN，设向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，Oeq\o(B,\s\up6(→))＝b，Oeq\o(C,\s\up6(→))＝c，则Oeq\o(P,\s\up6(→))＝________.答案eq\f(1,6)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c解析∵MP＝2PN，∴Meq\o(P,\s\up6(→))＝2Peq\o(N,\s\up6(→))，即Oeq\o(P,\s\up6(→))－Oeq\o(M,\s\up6(→))＝2(Oeq\o(N,\s\up6(→))－Oeq\o(P,\s\up6(→)))，3Oeq\o(P,\s\up6(→))＝Oeq\o(M,\s\up6(→))＋2Oeq\o(N,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a＋b＋c，∴Oeq\o(P,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.8．已知空间四边形OABC，若各边及对角线长都相等，且E，F分别为AB，OC的中点，则向量eq\o(OE,\s\up6(→))与eq\o(BF,\s\up6(→))的夹角的余弦值为__________．答案－eq\f(2,3)解析如图，不妨设eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，且|a|＝|b|＝|c|＝1，则a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2)，∵eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)，eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)c－b，且|eq\o(OE,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2)，|eq\o(BF,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(3),2).∴eq\o(OE,\s\up6(→))·eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－b))＝eq\f(1,4)a·c＋eq\f(1,4)b·c－eq\f(1,2)a·b－eq\f(1,2)b2＝－eq\f(1,2).∴cos〈eq\o(OE,\s\up6(→))，eq\o(BF,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(OE,\s\up6(→))·\o(BF,\s\up6(→)),\a\vs4\al(|\o(OE,\s\up6(→))||\o(BF,\s\up6(→))|))＝－eq\f(2,3).三、解答题9．在六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，(1)化简eq\o(A1F1,\s\up6(→))－eq\o(EF,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))，并在图中标出化简结果的向量；(2)化简eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CC1,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(B1D1,\s\up6(→))，并在图中标出化简结果的向量．解(1)在六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1中，e