必修一数学讲义2

2.1等式与不等式的性质

思维导图

a=b=b=a

a=b,b=c=a=c

a=b<=>a±c=b±c

a=b=ac=bc

等式

性质

a=b,c=d=a+c=b+d

a=b>O=>an=bn(neN,n>1)

(2=Z?>0=>=^[b(neN,n>2)

a>b<=>b<a

a>b,b>c=a>c

a>boa+c>b+c

a>b,c>O=>ac>bc；a>b,cVOnacVbc

不等

a>b,c>d=a+c>b+d

式性质

a>b>0,c>d>O=>ac>bd

a>b>O=>a>6"(力GN*D

a>b>eN,n>2)

i

常见考法

[例1]（2019•全国高一课时练习）下列变形中错误的是（）

A.若》=>,则x+5=y+5B.若2则*=>

aa

xv

C.若-3x=-3y,则x=yD.若％=y，则一=二

mm

【一隅三反】

1.（2019•全国高一课时练习）根据等式的性质判断下列变形正确的是（）

2尤3

A.如果2x=3,那么一=一B.如果x=y,那么％—5=5—y

aa

C.如果一x=6,那么x=3D.如果x=y,那么一2x=-2y

2

2.（2019•全国高一课时练习）若a=。，则下列变形正确的是（）

2

ab

A.3a=3+bB.—=—C.5—。=5+Z?D.a+b=O

22

考点二不等式性质

【例2】（202。河北省曲阳县第一高级中学高一期末）对于任意实数mb,。，则下列四个命题:

①若a>b,cw0,则ac>Z?c；

②若a>b,则ac2>be2;

③若则

④若贝让<1.

ab

其中正确命题的个数为（）

A.3B.2C.1D.0

本题考查不等式正误的判断，常用的判断方法有：不等式的基本性质、特殊值法以及比较

法

【一隅三反】

1.（2020・上海高一开学考试）下列命题正确的是（）

A.若〃>/?,则B.若则42>。2

ah

C.若a>b,c<d,则D.若。>b,c>d,则

2.（2020•全国高一开学考试）若。、匕、C为实数，则下列命题正确的是（）

A.若a>匕,则B.若a<8v0,则a?〉。/;〉/

C.若则D.若4<匕<0,则

abab

3.（2020・武汉外国语学校高一月考）下列结论正确的是（）

A.若。>人则!>』B.若/<从，则。

ba

C.若,c>d则a-d>b-cD.若。>b,J/PJac1>be1

3

考点三比较大小

【例3】（2020•全国高一课时练习）已知小人均为正实数，试利用作差法比较/+川与。2匕+。〃的大小.

一.作差法、作商法是比较两个实数（或代数式）大小的基本方法.

①作差法的步骤：作差、变形、判断差的符号、得出结论.

②作商法的步骤：作商、变形、判断商与1的大小、得出结论.

二.介值比较法也是比较大小的常用方法，其实质是不等式的传递性：

若a>瓦b>c,则a>c；若a<b,b<c,那么a<c.其中6是介于a与c之间的值，

此种方法的关键是通过恰当的放缩，找出一个比较合适的中介值.

三.比较大小时应注意：（1）比较代数式的大小通常采用作差法，如果含有根式，也可以

先平方再作差，但此时一定要保证代数式大于零；（2）作差时应该对差式进行恒等变形（如

配方、因式分解、有理化、通分等），直到能明显看出其正负号为止；

【一隅三反】

1.（2020.全国高一课时练习）已知a+6>0,6<0,那么a,E-a,-6的大小关系是（）

A.a>b>-b>-aB.a>-b>-a>b

C.a>-b>b>-aD.a>b>-a>-b

4

2.（2020•浙江局一课时练习）设a==jy—，则的大小关系为（).

A.a>b>cB.a>c>bC.b>a>cD.b>c>a

考点四代数式的取值范围

<1Y

【例4】⑴（2019.广东高考模拟（理））已知—lWx+y〈l,14尢-y<3,则8一-的取值范围是（）

A.[2,28]B.1,28C.[2,2，]D.1,27

（2）（2019•浙江绍兴一中高一月考）己知实数X,V满足-44x-y<-1,-l<4x-y<5,则9x-y的取

值范围是（）

A.[-7,26]B.[-1,20]

C.[4,15]D.[1,15]

代数式的取值范围的一般思路：

（1）借助性质，转化为同向不等式相加进行解答；

（2）借助所给条件整体使用，切不可随意拆分所给条件;

（3）结合不等式的传递性进行求解

【一隅三反】

1.（2020•安徽金安.六安一中高一期中（文））已知二次函数y=/（x）的图象过原点，且

1</（-I）<2,3</（I）<4,则/（3）的取值范围为（）

3963

A.[6,10]B.[21,30]T,TD.[4,12]

2.（2020•山东济宁.高一月考）若2<。<5,3<8<10,则的范围为

3.（2019•全国高一课时练习）已知x-2y=6,x-3y=4,则-5.+6/的值为,

5

考点五不等式证明

【例5】（2020•全国高一课时练习）已知〃>人>0,cvO,求证：—>—.

ab

【一隅三反】

1.（2020•全国高一课时练习）证明不等式<a（a,beR）.

2.（2020•全国高一课时练习）如果a>Z?>0,c>d>0,证明：aobd.

6

3.(2020•全国高一)已知。>方>。>〃>(),ad=he.

(I)证明：a+d>b+c；

(H)证明：aabhcc>abbeca-

7

2.1等式性质与不等式性质

【题组一不等式性质】

1.（2020•全国高一开学考试）若b、c为实数，则下列命题正确的是（）

A.若a>b,则B.若〃〈/?<（）,则a?〉。）〉/

C.若则D.若。<匕<0,则一>：

abab

【答案】B

【解析】对于A选项，若c=0,则ac2=hc2,故A不成立；

对于B选项，QavbcO,在不等式同时乘以〃（〃<（））,得">出?，

另一方面在不等式〃<6两边同时乘以b,得而>龙>^2,故B成立;

对于选项C,在a<b两边同时除以出?（，必>0）,可得所以C不成立；

ba

对于选项D,令a=-2,b=-l,则有色=二=2,—=-,—<—,所以D不成立.

b-1a2ab

故选B.

2.（2020.武汉外国语学校高一月考）下列结论正确的是（）

A.若a>b,则［-B.若/<〃2,则。<力

ba

C.若。>h,则D.若a>b,则〃，>人。2

【答案】C

【解析】对于A,取a=l,b=-1时，则A错误;

ba

对于B,取。=0,。=-1时一，a>b,则B错误：

对于C,因为a>b,—d>—c,所以由不等式的性质可知a—d>Z?—c,则C正确；

对于D,取c=0时，ac2=be2>则D错误；

故选：C

3.（2020•全国高三课时练习（理））若a>b>0,c<4<0,则一定有（）

abababab

A.—>—B.—<—C.—>-D.—<-

cdcddcdc

【答案】D

【解析】本题主要考查不等关系.已知a>b>0,c<d<0.所以一,>一1〉0,所以一^>—2,故

acac

8

ab.3

故选。

ac

4.（2020•全国高一课时练习）已知〃，b,cGR,则下列命题正确的是（）

,o.o0ab,a>b11a>b11

A.a>b=^a（r>b（rB.—>—=>a>bC.?=>—>—D.?=>—>—

ccab<0abab>0ab

【答案】C

【解析】当。=0时;A不成立；

当“0时，8不成立；

a>b]_1_b-a

当>时，>0,即L>L所以c成立.

ab<0ababab

a>b11b-a11

当,时，<0,即一V一，所以D不成立

ab>0a~babab

故选：C

5.（2020•浙江高一课时练习）对于实数a*,c,判断下列命题的真假.

⑴若4>Z?,则QCV历.

（2）若，则

（3）若a</?<0,则">外>〃2.

（4）若。<匕<0,则|。|>|力|.

Qb

（5）若c>a>Z?>0,则---->------

c-ac—b

（6）若a>b,—>—,则a>0,Z?v0.

ab

【答案】（1）假命题；（2）真命题；（3）真命题；（4）真命题；（5）真命题；（6）真命题.

【解析】（1）由于c的符号未知，因而不能判断与反的大小，故该命题是假命题.

（2）\'ac2>bc2y.0.c^O,c2>0».\a>b^故该命题为真命题.

a<b,、a<b,,,

(3)・・•〈/.a2>ab-又v,八ab>b2/.a1>ab>b2-

Q<0,b<0,

故该命题为真命题.

（4）vbv（V.<vO,hv0,・•.同=一々,网=-b,

又,:a电/.-a）一b,.,・同>例，故该命题为真命题.

9

（5）c>a>h>09:.0<c-a<c—bf

1—>—,.故该命题为真命题.

c-ac-bc-ac-b

（6）由已知条件，得人一a<0,L—4>0,

ab

h—a

------>0.ab<Q.又a>b,.-.a>0,b<0.

ab

故该命题为真命题.

【题组二比较大小】

1.（2020•全国高一课时练习）比较下列各组中两个代数式的大小:

（1）3x?—x+1与2x~+x—1;

（2）当a>0,>>0且46时，优房与a%".

【答案】⑴3X2-X+1>2X2+X-1；（2）aabh>ahba.

【解析】（1）V（3X2-X+1）-（2X2+X-1）=X2-2X+2=（X-1）2+1>0,

因此，3x2-x+l>2x2+x-l；

aib（[\a-b/\a-b

华~=/时"=11=[-

ahhayh）\b）

z\a-bzx0

①当a>0>0时，即a—"0，f>l时，q>-=1，

b㈤㈤

②当〃>a>0时.，即。一人<0，0<f<l时♦，勺>-=1,：,aubh>c^ba-

b㈤㈤

综上所述，当a>0,b>0Ra'/?时，aabb>abha.

2.（2020•全国高一课时练习）已知小”匀为正实数，试利用作差法比较与的大小.

【答案】a3+h3>a2h+ah2

【解析】•.・/+/—（/J+苏）=（/_/冲+93_就2）

=a2（a-b）+b2（b-a）=（〃一0）（/一/）=（〃—力2伍+。）

又处人均为正实数，

当。=。时，a—Z?=0,那+/=612b+/；

io

当a16时，(a-/?)?>0,a+Z?>0,

则a，+/>crb+ab1-

综上所述，o'+b3>a2b+ab1-

3.（2020•全国高一课时练习）已知x<l,比较/_1与2/一2%的大小.

【答案】X3-1<2X2-2X

【解析】d-1-(2x?-2x)=x，—2x~+2x—1

=-%2)-(炉—2x+1)

=x2(x-l)-(%-l)2

x<1.jc-l<0.

【题组三代数式的取值范围】

1.（2019•全国高一课时练习）已知x-2y=6,x-3y=4,则x?-5砂+6y?的值为

【答案】24

【解析】山题得V一5孙+6)，2=(x—2y)(x—3y)=6x4=24.故答案为：24

2.已知IWa—力W2,2<a+b<4,则4a—2〃的取值范围是()

A.[3,12]B.[5,10]

C.[6,12]D.[3,10]

【答案】B

x+y=4

【解析】令4a-2b=x(a-b)+y(a+b),即〈,，解得：x=3,y=l,即4a-2b=3(a-b)+

-x+y=-2

11

(a+b).

Vl<a-b<2,2<a+b<4,/.3<3(a-b)<6,：.5<(a-b)+3(a+b)<10

故选：B.

的一个实根，则上的取

3.(2019•广东高考模拟(文))iSLa>b>c,且1是一元二次方程以2+hx+c0

a

值范围为()

A.[—2,0]B.—,0C.-2,-《D.—1,—

L2JL2J2

【答案】C

【解析】又因为1是一元二次方程"2+bx+c=o的一个实根，

所以有。+力+c=0,且所以a>0,c<0,

所以£<0,所以排除A、B两项，

a

当b〉0时，c=-(a+b),所以同<同K2时,此时-2«£<-1,

a

当。=0时，c=-af此时£=—1,

a

ici

当力<0时，。=一(4+。)，所以514K同<同，此时一1<—<一]，

所以二£-2,--,故选C.

aL2J

【题组四不等式的证明】

1.(2020•全国高一课时练习)证明不等式。2+岳三2〃仇〃，b£R).

【答案】证明见详解.

【解析】,.,。2+〃2-2出7=(。一〃)2,id+廿22ab，当且仅当。=力时，等号成立.

2.已知应1,y>l证明：x+yH--1-</--1---1-\-xy

fxyxy

【证明】

(-+-+^)-(x+y+—)=—[(%+y+x2y2)-(x2y+Ay2+l)]

xyxyxy

=—[x2y2-1+x+y-xy(x4-y)]=

孙

12

=—(Ay+l-x-y)(xy-l)=—(x-l)(y-l)(xy-l)

孙孙'

因为后1,y>L所以无一120,y—1>0,xy>l,所以一(x-l)(y-l)(xy-1)>0

111、111

故(Z一+一+孙)一(%+y+—)>o,所以x+y+—<一+―+孙

xyxy

13

2.1等式性质与不等式性质

【题组一不等式性质】

1.（2020•全国高一开学考试）若a、b、c为实数，则下列命题正确的是（）

A.若a>b,则a/〉/?/B.若〃〈/?<（）,则a?〉。）〉/

C.若a<b<0,则，<：D.若a<6<0,则

abab

2.（2020・武汉外国语学校高一月考）下列结论正确的是（）

A.若a>b,则!>工B.若〃，则。〈人

ba

C.若a>h,c>d则Q-d>Z?-cD.若a>〃，则QC〉〉力

3.(2020•全国高三课时练习(理))若a>/?>0,cvdv0,则一定有()

abababc

A.—>—B.—<—C.—>—D.-

cdcddcc

4.（202。全国高一课时练习）已知小h,c£R,则下列命题正确的是（)

-ab,a>b11a>b]11

A.a>bna心〉be1B.—>—=>a>bC.>=_>-D.>=>—>—

ccab<0abab>Qab

5.(202。浙江高一课时练习)对于实数a,0,c,判断下列命题的真假.

(1)若a>b,则acv.

(2)若ac?>be?，则

(3)若〃</?<(),则〃2>必

(4)若则|。|>|。|.

ab

⑸若c>a>b>0,则---->-----・

c-ac-b

(6)若a>b,—>—,则Q>01<0.

ab

【题组二比较大小】

14

1.（2020•全国高一课时练习）比较下列各组中两个代数式的大小:

（1）3%2-x+1与2x~+x—1;

(2)当。>0,b>0S.a'6时，相〃与

2.（2020•全国高一课时练习）已知a,。均为正实数，试利用作差法比较/+力与〃的大小.

3.（2020•全国高一课时练习）已知x<l,比较d一1与2/一2%的大小.

15

【题组三代数式的取值范围】

I.（2019♦全国高一课时练习）已知x-2y=6,x-3y=4,则一5肛+6丁的值为.

2.已知l〈a-Z?W2,2<a+b<4,则4a—2。的取值范围是（）

A.[3,12]B.[5,10]

C.[6,12]D.[3,10]

3.（2019•广东高考模拟（文））^a>b>c,且1是一元二次方程62+Zzx+c=0的一个实根，则£的取

a

值范围为（）

A.[-2,0]B.--,0C.[-2,-^1D.-1,--

2JL2」2_

【题组四不等式的证明】

1.（2020•全国高一课时练习）证明不等式序+从发曲（“，bGR）.

16

x+y+LL雪孙

2.已知定1,y>\证明:

9xyxy

17

2.2基本不等式

思维导图

aeR.22a*,当且仅当a=b时取"="

°>0、。>,0+，之2府,当且仅当0=，时取“=”

「，0+。、2

公式必勺）2

基

本

不o>0、b>0,y

等

式

已知x>0,F>0,则

最值若X+F为定值s,则当且仅当x=F时，积◎:有最大值J（简记：和定积最大）;

定理4

若处为定值f,则当且仅当X=J，时，和;V+F有最小值2〃（简记：积定和最小）.

常见考法

18

考点一公式的直接运用

【例1】（1）（2020•全国高一课时练习）若0<a<g,则。（1一2a）的最大值是（）

111

A.—B.-C.-D.1

842

（2）（2020•全国高一课时练习）已知》>—1,求函数y=x+—!—的最小值是（）

x+1

A.4B.3C.2D.1

【答案】（DA（2）D

【解析］⑴0<a<g,故1—2a>0,则a（l—2a）=g（2a）（l—2a）4g.%+0一切=1,当a=；

时取‘三”，所以正确选项为A

（2）由X>-1,即X+l>0,所以>=尤+^—=（x+l）+-1>2J（x+l）«---1=1,尤=0时取

龙+1x+1Vx+1

所以正确选项为D

考查基本不等式，采用构造法，基本不等式需注意：“一正二定三相等”缺一不可。

【一隅三反】

1.（2020•全国高一课时练习）若。>1,则a+—1的最小值是（）

a-\

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】则a—1>0,a+—匚=（a-l）+—1—+123,当a=2时取』”，所以正确选项为C

a—\a-1

、4

2.（2020・上海局一开学考试）已知x〉2,函数y=——+x的最小值是（）

x-2

A.5B.4C.8D.6

【答案】D

【解析】因为该函数的单调性较难求，所以可以考虑用不等式来求最小值，

444

y=——+x=——+（x-2）+2,因为》>20“一2>0,由重要不等式可知——+（x-2）>4,所以

x-2X-2X—2

y>6,本题正确选项为D.

3.（2020•全国高一课时练习）已知函数/（x）=4x+^（x>0,a>0）在％=3时取得最小值，则。=.

X

19

【答案】36

【解析】因为/(x)=4x+3(x>0,a>0),所以f8=4x+9N2巴=4而，当且仅当4x=巴，即

xxVxx

①，由题意近

=3，解得a=36

22

考点二条件型

【例2】（1）（202。全国高一课时练习）已知实数x>0,y>0,x+3y=l,则'的最小值为（）

xy

A.6B.2+273c.4+GD.4+2百

(2)(2020.哈尔滨德强学校高一期末)已知实数a>0,+—=1,则a+2b的最小值是()

a+\b+1

A.34B.2叵C.3D.2

【答案】（1）D（2）B

【解析】(I)—।—=(x+3y)—I—=4++—>4+2\/3,正确选项为D

Xy【Xyjxy

(2)a>0>b>0,--—i--—=1

a+\Z?+1

a+28=(a+l)+2S+l)-3=[(a+l)+2S+l)K——3=口+2+^^+3]一3

Q+l/?+1Q+lh+\

N3+2夜一3=2&当且仅当岂竺2="■，即a=&，8=变时取等号.故选B

a+1b+\2

条件型（乘K法）：和为定值K,求倒数和的最小值，采用乘K法

【一隅三反】

1.（2020.全国高一■开学考试）已知x>0,y>0,x+y=1,则一+一的最小值是（）

xy

A.2B.272C.4D.26

20

【答案】C

【解析】-+-=-+-(%+y)=2+^+->2+2U--=4(当且仅当上=二，即x=y时取等号)

Xy(XyjXy\XyXy

11

，一_）■—的最小值为4故选：C

尤y

13

2.（2020•四川金牛。成都外国语学校高一期末（文））若正数X,y满足一+—=5,则3x+4y的最小值

y%

是（）

A.—B.—C.5D.25

55

【答案】C

13u

【解析】•.•正数》,y满足一+—=5,则

y*

3x+4^=-(3x+4y)(-+-)=-|13+—+13+3x2j-x^=5,当且仅当x=2y=］时取等

5yx51y-5(\yx)

号.；.3x+4y的最小值是5.故选：C.

1?

3.（2020•全国局一课时练习）已知a>0,b>。，—I—=2,则a+匕的最小值为

ab

3+2拒

【答案】

2

【解析】采用常数1的替换，a+b=^-(—+^\(a+b)=^3+—+^\>^-3+2.=3+2A/2

21abP72^ab)\ab)2

当2=即即a=加=时等号成立，所以答案为3+2。.

ab222

考点三配凑型

【例3】⑴（2020•衡水市第十三中学高一月考）已知〃x）=-：：］+6（x〉0）,则〃x）的最小值是

_14

（2）（2019•四川高一期末）已知正数x、V满足x+y=l,则一+一的最小值为______

尤i+y

21

9

【答案】(1)5(2)-

2

r+3A+2+4

【解析】当x>0时，x+l>l,/(x)=(-)=x+2+^-=(x+l)+—+1

\'X+lX+1')X+1

H(x+】)e+l=5,

4

当且仅当x+l=——,即当工=1时・，等号成立，

x+1

因此，函数y=/(x)(x>0)的最小值为5.故答案为:5.

(2)■.-x+y=l,所以，x+(l+y)=2,

,14、「八、"14、4x1+>=、I4x1+y".

贝+；-)=[x+(l+y)](-+--)=--+―」+5..2j；—>~-+5=9

x1+yx1+>•1+yxy1+yx

所以,

4x_1+>-x=_

当且仅当|l+y—无，即当，;时，等号成立,

x+y=iy=-

149

因此，一+;—的最小值为不，故选：B.

x1+y2

1.分子分母为一次函数和二次函数，把二次函数配凑成关系一次函数的一元二次，再分子分

母同除一次函数

2.给出等式但是不符合条件型，则从分母入手，分母相加减可得到等式的关系的倍数，即降

次-配凑-均值不等式

【一隅三反】

1(2020•全国高一专题练习)设x<-l,求,=(*+5)(%+2)的最大值____________

x+\

【答案】1

【解析】1，x+1v01)>0

22

(x+5)(%+2)x2+7x+10(x+1)+5(x+l)+44

所以x+1+4-5

x+1x+1元+1x+1

4r-

=---（x+l）+-------4-5<-2V4+5=l

Lv）-a+i）J

当且仅当（X+1）2=4,即尤=一3时等号成立

所以y=』+5）（x+2）的最大值为1

X+1

2.（2020•全国高一课时练习）函数y=k+3x+3（x〉—1）的最小值为（）

X+1

A.3B.2C.1D.-1

【答案】A

【解析】X>—1，则x+l>0，）,=『+3x+3=（x+l）,+（x+l）+］=（*+］）+J+］.3,当x=0时

x+1x+lx+1

取所以正确选项为A.

3.（2020•全国高一课时练习）已知乂.2,则〃切=三二生四有（）

22x-4

A.最大值2B.最小值2C.最大值1D.最小值1

44

【答案】D

x2—4x+5Q-2)2+l\（、-2）+11

【解析】即工］..LX=1

2(工一2)x-22

当且仅当X—2=—1—即％=3时取等号，故选：D.

x—2

考点四换元法

【例4】（2019•河北路南.唐山一中高三期中（文））已知x>0,y>0,x+2y+2xy=8,则x+2y的最小值是（）

c八911

A.3B.4C.—D.—

22

【答案】B

［解析］考察均值不等式x+2y=8—x•（2y）>8-整理得(x+2y>+4(无+2y)—32N0即

23

（x+2y-4）（x+2y+8）>0,又x+2y>0,：.x+2y>4

【一隅三反】

1.（2020•上海高一开学考试）若正数满足刈一2=0,则3x+y的最小值是（）

A.4B.2aC.2D.4及

【答案】A

【解析】因为正数X，y满足犬+9一2=0,所以y=（-x,

2I22

所以3x+y=2x+±22j2x-W=4,当且仅当2九=一，即x=l时，等号成立.故选：A

XVXX

2.（2020•江西高一期末）已知a,b>0,且满足/+ab=i，则3。+匕的最小值为（）

A.V2B.百C.20D.2百

【答案】C

【解析】；/+。。=1,.即3a+人=3a+'-a=2、/2a•』=2血.

aaa\a

当且仅当。=孝时取等号.，3a+。的最小值为20故选：C

3

3.（2。2。•黑龙江工农.鹤岗一中高一期末（理））若正数X,,满足,+"一冲=°'则力的最大值为（）

c3

A.1B.3C.-D.1

387

【答案】A

,141

【解析】因为x+4y-肛=0,化简可得x+4y=*，左右两边同时除以xy得一+—=1

y犬

求二一的最大值，即求虫=2+2的最小值

x+y333

所以(^+2[xl=

(33)[33J[yX)A**鸿喘x1鸿

23,当且仅当务x=易4y时取等号所以二37的最大值为§1所以选