专题01二次函数与平行四边形综合(原卷版+解析)

专题01二次函数与平行四边形综合（重庆专用）（3类题型训练）(2023重庆市中考数学A卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与直线AB(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P是直线AB下方拋物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．解题思路分析本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求最大值以及利用平行四边形的性质列方程．（1）将点A，B的坐标代入抛物线y=12x2（2）设PD交BC于H，可得PC=PH，求出直线AB的解析式，设Pt,12t（3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设M−4,m，Nn,12n2解析过程详解（1）解：将点A0,−4，B4,0代入y=解得：c=−4∴该抛物线的函数表达式为：y=（2）如图，设PD交BC于H，∵A0,−4，B∴OA＝OB＝4，∴∠OBA∵PC∥OB，PD∥OA，∴∠BCP=∠OBA∴PC=设直线AB的解析式为y=则b=−44k∴直线AB的解析式为y=设Pt,12t∴PC+∴当t=32时，PC+PD（3）由题意得：平移后抛物线解析式为y=12∴F0,∵抛物线y=12∴设M−4,m，分情况讨论：①当EF为对角线时，则−4+n解得：n=12∴N1②当EM为对角线时，则−72−4=此时12∴N2③当EN为对角线时，则−72+此时12∴N3综上所述，点N的坐标为：N112,45类型一动点+平行四边形1．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3)(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，若点P的横坐标为t，请用t的式子表示PE，并求△PEF的面积的最大值；(3)如图2，点Q是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，并把求其中一个点P的坐标的过程写下来．2．如图，抛物线y=−x2+2x+3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧）、直线l与抛物线交于A、C(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；(2)若点Р是线段AC上的一个动点，过点Р作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；(3)若点G是抛物线上的一个动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由．3．在直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+ca≠0与x轴交于A、(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，在直线l:y=−12x+n经过A点，与y轴交于D．在直线l下方的抛物线上有一个动点P，连接PA，PD，求△PAD(3)将抛物线y向右平移1个单位长度后得到新抛物线y1，点E是新抛物线y1的对称轴上的一个动点，点F是原抛物线上的一个动点，取△PAD面积最大值时的P点．若以点P、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个类型二平移+平行四边形4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3a≠0与x轴交于点A−1，(1)求该抛物线的解析式；(2)点P为直线BC上方抛物线上的一点，过点P作x轴的平行线交BC于点D，过点P作y轴的平行线交BC于点E，求PD+PE的最大值以及此时点P的坐标；(3)如图2，将抛物线沿射线CB的方向平移，使得平移后的抛物线经过线段CB的中点，且平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，N，R是直线BC上任意两点，Q为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点M，N，R，Q为顶点的四边形是平行四边形的点Q的横坐标，并把求其中一个点的横坐标过程写出来．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3a≠0与x轴交于A−1,0，B(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是直线BC下方抛物上一动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值以及此时点P(3)在（2）中△PBC的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为Q，M为y轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的N的坐标，并写出求解点N6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点A的坐标为−1，(1)求抛物线的解析式；(2)点D位于抛物线在直线BC上方的部分，DE⊥BC于点E，EF平行于x轴且与y轴交于点F，求EF−5(3)如图2，将抛物线y=ax2+bx+ca≠0向左平移，使得平移后的抛物线的对称轴为y轴，若点G是平移后抛物线上一点，点M、N都是直线AC上的动点，点Q为定点，其坐标为1，2，请直接写出以M、N、G、7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=34x2+bx+c与直线AB(1)求抛物线的函数解析式；(2)点P是直线AB下方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线，交AB于点E，过点P作AB的垂线，垂足为点F，求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中△PEF取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移3个单位，点Q为点P的对应点，点N为原抛物线对称轴上一点．在平移后抛物线上确定一点M，使得以点B，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4a≠0与x轴交于A4,0，B−2,0两点，与y轴交于点C，连接(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是直线AD下方抛物线上的一个动点，过点P作PH⊥x轴于点H，PH交直线AD于点E，作PF∥BC交直线AD于点F，求11510PF+PH(3)在（2）的条件下，将点P向右平移152个单位长度，再向上平移398个单位长度得到点P'；将抛物线沿着射线BC方向平移5个单位长度得到一条新抛物线，点M为新抛物线与y轴的交点，N为新抛物线上一点，Q为新抛物线对称轴上一点，请写出所有使得以点P'，M，Q，N为顶点的四边形是平行四边形的点9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图2，作直线AB，点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交AB于点E，过点P作PD⊥AB于点D，求PE+PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中PE+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移2个单位，点P'为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点A'，M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点P',A10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与直线AC(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交AC于点E，交x轴于D，求PD+PE的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，点M为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，N为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点Q，使得以点M，F，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．类型三旋转+平行四边形11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点B−4,0，点C8,0，与y轴交于点A(1)求二次函数的解析式及点A的坐标．(2)如图1，点E为该抛物线在第一象限内的一动点，过E作FE∥y轴，交CD于点F，求EF+5(3)如图2，在（2）的情况下，将原抛物线绕点D旋转180°得到新抛物线y'，点N是新抛物线y'上一点，在新抛物线上的对称轴上是否存在一点M，使得点D，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A，B−4,0两点（点A在点(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，连接BC，点P为直线BC上方抛物线上（不与B、C重合）的一动点，过点P作PF∥y轴交x轴于点F，交BC于点E，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，求5PD+2PF的最大值及此时点P(3)如图2，将原抛物线绕线段BC的中点Q旋转180°得到新抛物线y'，点N为新抛物线y'上一点，在x轴上是否存在一点M，使得以点Q、C、M、N为顶点的四边形是以CQ为边的平行四边形，若存在，请直接写出点13．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（0，5），连接BC，其中OC＝5OA．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，将直线BC沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，交y轴于点G，若点P是抛物线上位于直线BC下方（不与A、B重合）的一个动点，连接PE，交直线BC于点F，连接PD、DF、PB、PC．若S△PBC＝1021S△EDF，求点P（3）如图2，当点P满足（2）问条件时，将△CBP绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△CB'P'，此时点B′恰好落到直线ED上，已知点M是抛物线上的动点，在直线ED上是否存在一点N，使得以点C、B′、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．14．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（0，5），连接BC，其中OC＝5OA．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，将直线BC沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，交y轴于点G，若点P是抛物线上位于直线BC下方（不与A、B重合）的一个动点，过点P作PM∥y轴交DE于点M，交BC于点H，过点M作MN⊥BC于点N，求PM＋NH的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，当点P满足（2）问条件时，将△CBP绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△CB'P'，此时点B′恰好落到直线ED上，已知点F是抛物线上的动点，在直线ED上是否存在一点Q，使得以点C、B′、F、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．15．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+ca>0与x轴交于点A−1,0和点B3,0，与y轴交于点（1）如（图1），当四边形OCEB面积最大时，在线段BC上找一点M，使得EM+12BM最小，并求出此时点E（2）如（图2），将△AOC沿x轴向右平移2单位长度得到△A1O1C1，再将△A1O1C1绕点A1逆时针旋转α度得到△A1O2C2，且使经过A1、C2的直线l与直线BC平行（其中0°<α<180°），直线l专题01二次函数与平行四边形综合（重庆专用）（3类题型训练）(2023重庆市中考数学A卷）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+c与直线AB(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P是直线AB下方拋物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．解题思路分析本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求最大值以及利用平行四边形的性质列方程．（1）将点A，B的坐标代入抛物线y=（2）设PD交BC于H，可得PC=PH，求出直线AB的解析式，设Pt,12t（3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设M−4,m，Nn,12n

解析过程详解（1）解：将点A0,−4，B4,0代入y=解得：c=−4∴该抛物线的函数表达式为：y=（2）如图，设PD交BC于H，∵A0,−4，B∴OA＝OB＝4，∴∠OBA∵PC∥OB，PD∥OA，∴∠BCP=∠OBA∴PC=设直线AB的解析式为y=则b=−44k∴直线AB的解析式为y=设Pt,12t∴PC+∴当t=32时，PC+PD（3）由题意得：平移后抛物线解析式为y=12∴F0,∵抛物线y=12∴设M−4,m，分情况讨论：①当EF为对角线时，则−4+n解得：n=12∴N1②当EM为对角线时，则−72−4=此时12∴N2③当EN为对角线时，则−72+此时12∴N3综上所述，点N的坐标为：N112,45类型一动点+平行四边形1．抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A(−3,0)，B(1,0)两点，与y轴交于点C(0,3)(1)求抛物线的函数表达式；(2)如图1，点P在线段AC上方的抛物线上运动（不与A，C重合），过点P作PD⊥AB，垂足为D，PD交AC于点E．作PF⊥AC，垂足为F，若点P的横坐标为t，请用t的式子表示PE，并求△PEF的面积的最大值；(3)如图2，点Q是抛物线的对称轴l上的一个动点，在抛物线上存在点P，使得以点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标，并把求其中一个点P的坐标的过程写下来．答案:(1)y=−(2)PE=−(t(3)P1(−2,3)，P2分析：（1）将A(−3,0)，B(1,0)，C(0,3)三点代入解析式求解即可得到答案；（2）设AC解析式为y=kx+b，将A(−3,0)，C(0,3)代入求出直线解析式，表示出P点坐标，根据垂直表示出E点坐标，用t表示出S，结合函数性质即可得答案；（3）根据（1）求出对称轴，设出Q点，根据平行四边形的对角线互相平分，分类讨论对角线表示出P点坐标，根据抛物线列方程求解即可得到答案；【详解】（1）解：将A(−3,0)，B(1,0)，a+解得：a=−1，b=−2，∴y=−（2）解：设AC解析式为y=将A(−3,0)，C−3k解得：k=1b=3∴y=∵点P的横坐标为t，∴P(∵PD⊥∴E(∴PE=−∵A(−3,0)，C∴∠CAB∵PD⊥AB，∴∠CAB∴△PEF是等腰直角三角形，过F作FG⊥∵FG⊥∴FG=∴S△∴当t=−3S△（3）解：由（1）得，x对设Q(−1,∵点A，P，C，Q为顶点的四边形是平行四边形，①当AC为对角线时，P点坐标为P(−2,3−∴3−m解得：m=0，P1②当AQ为对角线时，P点坐标为P(−4,∴m−3=−解得：m=−2P2③当CQ为对角线时，P点坐标为P(2,3+∴3+m解得：m=−8P3综上所述：P1(−2,3)，P2【点睛】本题考查二次函数综合题，求解析式、动点图形最大面积及特殊图形，解题的关键是分类讨论代入求解．2．如图，抛物线y=−x2+2x+3与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧）、直线l与抛物线交于A、C(1)求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式；(2)若点Р是线段AC上的一个动点，过点Р作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；(3)若点G是抛物线上的一个动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，直接写出所有满足条件的点F的坐标；如果不存在，请说明理由．答案:(1)A−1,0，B3,0(2)9(3)存在，(−3,0)，(1,0)，(4+7，0)，(4−7分析：（1）因为抛物线与x轴相交，所以可令y=0，解出A、B的坐标．再根据C点在抛物线上，C点的横坐标为2，代入抛物线中即可得出C点的坐标．再根据两点式方程即可解出AC的函数表达式；（2）根据P点在AC上可设出P点的坐标．E点坐标可根据已知的抛物线求得．因为PE都在垂直于x轴的直线上，所以两点之间的距离为yE（3）分两种情况：①以AC为边，②以AC为对角线．确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出F点的坐标．【详解】（1）解：令y=0，解得x1=−1或∴A−1,0，将C点的横坐标x=2代入y=−x∴C设直线AC的解析式为y=则3=2k+b∴直线AC的函数解析式是y=（2）设P点的横坐标为x(−1≤则P、E的坐标分别为：P(x,∵P点在E点的下方，PE∴当x=12时，PE的最大值（3）存在这样的点F，①如图，连接点C与抛物线和y轴的交点，那么CG∥x轴，此时∴F点的坐标是(−3,0)；②如图，则AF=∵A点的坐标为(−1,0)，∴F点的坐标为(1,0)；③如图，此时C，G两点的纵坐标互为相反数，∴G点的纵坐标为−3，代入抛物线中即可得：G点的坐标为(7+1，设直线GF的解析式为y=将G点代入后可得出直线GF的解析式为y=x−4−7令y=0，则x因此直线GF与x轴的交点F的坐标为(4+7，0)④如图，同③可求出F的坐标为(4−7，0)综上：存在这样的点F，坐标为(−3,0)，(1,0)，(4+7，0)，(4−7，【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，涉及到了待定系数法求一次函数解析式、平行四边形的判定、二次函数的性质等重要知识点，综合性强，解答本题的关键是要求学生掌握分类讨论，数形结合的数学思想方法，此题有一定的难度．3．在直角坐标系中，抛物线y=12x2+bx+ca≠0与x轴交于A、(1)求抛物线的解析式．(2)如图1，在直线l:y=−12x+n经过A点，与y轴交于D．在直线l下方的抛物线上有一个动点P，连接PA，PD，求△PAD(3)将抛物线y向右平移1个单位长度后得到新抛物线y1，点E是新抛物线y1的对称轴上的一个动点，点F是原抛物线上的一个动点，取△PAD面积最大值时的P点．若以点P、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点F的坐标，并写出求解其中一个答案:(1)y=(2)△PAD面积最大值为258，此时，P(3)F32,−35分析：（1）根据点A−2,0，点B（2）先求得D0,−1，过点P作PE⊥x轴交l于点E，设Pt,−12（3）根据平移得出平移后新抛物线y1的对称轴为直线x=2，设E2,m，Ft,12t2【详解】（1）∵抛物线y=12x2+bx+ca≠0与x轴交于A∴y（2）将A−2,0代入l:解得：n∴y令x=0，解得：y∴D0,−1如图所示，过点P作PE⊥x轴交l于点E，设Pt,−1∴PE=−12∴S=−=−1∴对称轴为t=12∴△PAD面积最大值为258此时，P1（3）∵点A−2,0，点B4,0关于则抛物线y=12x∵将抛物线y向右平移1个单位长度后得到新抛物线y1∴则平移后新抛物线y1的对称轴为直线x=2设E2,m，①若以PF为对角线时，12解得：t=3∴F3②PE为对角线时，2+1解得：t=52，当t∴F5③若以PD为对角线时，12解得：t=−32，当t∴F−综上所述，F32,−358【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，特殊四边形问题，掌握二次函数图形的性质，二次函数的平移，平行四边形的性质是解题的关键．类型二平移+平行四边形4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3a≠0与x轴交于点A−1，(1)求该抛物线的解析式；(2)点P为直线BC上方抛物线上的一点，过点P作x轴的平行线交BC于点D，过点P作y轴的平行线交BC于点E，求PD+PE的最大值以及此时点P的坐标；(3)如图2，将抛物线沿射线CB的方向平移，使得平移后的抛物线经过线段CB的中点，且平移后抛物线的对称轴与x轴交于点M，N，R是直线BC上任意两点，Q为新抛物线上一点，直接写出所有使得以点M，N，R，Q为顶点的四边形是平行四边形的点Q的横坐标，并把求其中一个点的横坐标过程写出来．答案:(1)y=−(2)9+334(3)6+112，6−112分析：（1）用待定系数法求函数解析式；（2）先求∠CBO=30°，由平行的性质可得∠PDE=∠CBO=30°，根据题意可知△PDE是直角三角形，∠DPE=90°，解直角三角形得PD=PEtan30°=3PE，故PD（3）根据题意确定中点坐标即可得出平移方式，确定平移后的抛物线解析式为y=−33x−522+536，确定【详解】（1）解：将A−1， 0，点得a−解得a=−3∴该抛物线的解析式为y=−3（2）解：∵tan∠CBO∴∠CBO∵DP∴∠PDE又由题知△PDE是直角三角形，∠∴PD=∴PD+当PE最大时，PD+设直线BC的解析式为：y=∵直线BC经过点B3，0代入y=kx+解得k=−3∴y设Pm，−∴PE=−3∵−3∴当m=32时，PE∴PD+PE（3）解：由（2）得B3，0∴BC中点的坐标为32∴可以看作点C向右移动32个单位长度，向下移动3∵抛物线经过点C，平移后的抛物线经过中点，∵y=−∴平移后的抛物线的解析式为：y=对称轴为x=5∴与x轴的交点坐标为M5设点Q的坐标为：m当MQ为平行四边形的对角线时，如图所示：对角线的交点仍在直线BC上，∴MQ的中点为52−3解得：m1=6+当MQ为平行四边形的边时，MQ∥设直线MQ的解析式为y=cx+将点M52，解得：d=5∴直线MQ的解析式为y=−3将点Q代入得：−3解得：m3=综上可得：点Q的横坐标为：6+112或6−112或【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，用待定系数法求解析式，二次函数、一次函数图象上点坐标的特征，平行四边形的性质及应用，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点的坐标．5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−3a≠0与x轴交于A−1,0，B(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是直线BC下方抛物上一动点，连接PB，PC，求△PBC面积的最大值以及此时点P(3)在（2）中△PBC的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为Q，M为y轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的N的坐标，并写出求解点N答案:(1)y(2)P(3)N(12,−分析：（1）设出交点式直接求解；（2）作出辅助线将三角形面积用二次函数表示出来，然后求二次函数的最大值即可；（3）将已知的PQ边分类讨论，因为M点横坐标已知，因此直接利用平移规律得出N的横坐标，代入二次函数直接求解即可．【详解】（1）抛物线y=ax2+bx−3可得y∴−3a=−3∴y（2）设P(x,x2−2x−3)，过P作由（1）可知，y=令x=0,y=−3设BC解析式为：y=代入B3,0，C0=3k+b∴BC解析式为：y=∴M(∴PM=(∴S△∴当x=32此时P(（3）抛物线沿水平方向向左移动2个单位，可得y=∴顶点Q∵P(3①当PQ是平行四边形的一条边时，根据平移规律可得xN=当xN=当xN=−∴N(5②当PQ是平行四边形的对角线时，可知PQ中点(∵MN中点也为(∴x∴y∴N综上所述：N(12,−【点睛】此题考查二次函数的综合题，解题关键是数形结合将三角形的面积最大值转化为求二次函数的最大值，解题技巧是将平行四边形的已知边进行分类讨论，通过平移规律直接求出横坐标即可．6．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+ca≠0与x轴交于点A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其中点A的坐标为−1，(1)求抛物线的解析式；(2)点D位于抛物线在直线BC上方的部分，DE⊥BC于点E，EF平行于x轴且与y轴交于点F，求EF−5(3)如图2，将抛物线y=ax2+bx+ca≠0向左平移，使得平移后的抛物线的对称轴为y轴，若点G是平移后抛物线上一点，点M、N都是直线AC上的动点，点Q为定点，其坐标为1，2，请直接写出以M、N、G、答案:(1)y=−(2)−(3)−6+932或−6−932分析：（1）先利用一次函数解析式求出B、C的坐标，再把A、B、C三点的坐标代入抛物线解析式中求出抛物线解析式即可；（2）如图所示，过点D作DT⊥x轴于T，交直线BC于G，延长FE交DT于H，设Dm，12m2+52m+3，则Gm，−12m+3，得到DG=−12m2+3m，再由DT∥OC，得到∠OCB（3）先求出平移后的抛物线解析式为y=−12x2+498，再求出直线AC的解析式为y=3x+3；设点G的坐标为s，−12s2+498，然后分当QA为对角线时，则QG和AC为平行四边形的边，则可设直线QG的解析式为y=k【详解】（1）解：在y=−12x+3中，令x=0，则∴B6把A−1，0，B6，0，a−∴a=−∴抛物线解析式为y=−1（2）解：如图所示，过点D作DT⊥x轴于T，交直线BC于G，延长FE交DT于H，设Dm，1∴DG=−∵DT⊥x轴，∴DT∥∴∠OCB∵B6∴OC=3，∴BC=∴cos∠OCB=cos∠DGE=在Rt△DEG中，∴EG=在Rt△EGH中，∴EF=∵∠HEG∴∠HED∴cos∠HED∴在Rt△DEH中，∴EF−==2∵25∴当m=74时，EF−5（3）解：∵平移前的抛物线解析式为y=−1∴平移后的抛物线解析式为y=−1设直线AC的解析式为y=∴−k∴k=3b∴直线AC的解析式为y=3设点G的坐标为s，当QA为对角线时，则QG和AC为平行四边形的边，∴QG∥∴可设直线QG的解析式为y=k同理可求出直线QG的解析式为y=3x−1，联立y=3x−1解得x=−6+93∴点G的横坐标为−6+932或当QG为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可知，此时QG的中点一定在直线AC上，∴−1∴−1∴4s解得s=−6+29∴点G的横坐标为−6+292或综上所述，点G的横坐标为−6+932或−6−932或【点睛】本题主要考查了二次函数综合，解直角三角形，一次函数与几何综合，平行四边形的性质，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想求解是解题的关键．7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=34x2+bx+c与直线AB(1)求抛物线的函数解析式；(2)点P是直线AB下方抛物线上一点，过点P作y轴的平行线，交AB于点E，过点P作AB的垂线，垂足为点F，求△PEF周长的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中△PEF取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移3个单位，点Q为点P的对应点，点N为原抛物线对称轴上一点．在平移后抛物线上确定一点M，使得以点B，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点M的坐标，并写出求解点M的坐标的其中一种情况的过程．答案:(1)y=(2)365，(3)M132,69316分析：（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求得直线AB的解析式为：y=34x−3，设Pm,34m2−94m−3，Em,34m−3，可得（3）先求出平移后的抛物线解析式为y=34x2+94x−3，Q−1,−92，设M【详解】（1）解：分别把点A0,−3，B代入y=34x所以抛物线的解析式为y=3（2）∵A0,−3，∴OA=3，OB=4，直线AB的解析式为：y=设：Pm,3∴PE=−∴当m=2时，PE最大为3，∵PE∥y轴，∴∠PEF=∠OAB∴△PEF∴C△∴C△所以当PE最大为3时，△PEF的周长最大为365此时P2,−（3）y=3则平移后的解析式为y=34x设Mm,y，N当MQ为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：m−1=4+32y−92当MB为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：m+4=−1+32y=n−当MN为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：m+32=−1+4y+n综上，符合条件的点M的坐标为：M132,693【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，二次函数图象的平移，平行四边形的性质，待定系数法求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．8．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx−4a≠0与x轴交于A4,0，B−2,0两点，与y轴交于点C，连接(1)求抛物线的函数表达式；(2)点P是直线AD下方抛物线上的一个动点，过点P作PH⊥x轴于点H，PH交直线AD于点E，作PF∥BC交直线AD于点F，求11510PF+PH(3)在（2）的条件下，将点P向右平移152个单位长度，再向上平移398个单位长度得到点P'；将抛物线沿着射线BC方向平移5个单位长度得到一条新抛物线，点M为新抛物线与y轴的交点，N为新抛物线上一点，Q为新抛物线对称轴上一点，请写出所有使得以点P'，M，Q，N为顶点的四边形是平行四边形的点答案:(1)y=(2)11510PF+PH最大值为758(3)点Q的坐标为2,39或2,29或2,−10分析：（1）利用待定系数法解答，即可求解；（2）设直线BC与直线AD交于点J，过点J作JK∥y轴交x轴于点K，过点F作FG⊥PH于点G，则∠OCB=∠BJK，根据平行线的性质结合三角形外角的性质可得∠BCO=∠FPE，从而得到tan∠EPF=FGPG=12，进而得到FG=55PF（3）根据平移的性质可得P'的坐标为9,12，将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到一条新抛物线，从而得到新抛物线的解析式为y=12x−22−132=12【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx−4∴16a+4b∴抛物线的解析式为y=1（2）解：如图，设直线BC与直线AD交于点J，过点J作JK∥y轴交x轴于点K，过点F作FG⊥PH于点∵PH⊥∴PH∥∴PH∥∴∠AJK∵PF∥∴∠AJB∵∠AJB∴∠BJK∴∠BCO对于y=当x=0时，y∵A4,0，B−2,0，∴OB=2,∴tan∠OCB=OB∴tan∠EPF=FG∵PF∴FG=∵FG⊥∴FG∥∴∠EFG∴tan∠EFG∴EG=∴PE=∴2PE∴115设直线AD的解析式为y=把点A4,0，D0=4k1+∴直线AD的解析式为y=设点Pm,12m∴PE=∴2PE∴当m=32时，11510PF+PH值最大，最大值为75（3）解：∵将点P向右平移152个单位长度，再向上平移398个单位长度得到点∴P'的坐标为9,∵tan∠OCB=OBOC=1∴将抛物线向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到一条新抛物线，∵y=∴新抛物线的解析式为y=1当x=0时，y∴点M的坐标为0,−9设点Q的坐标为2,s，点N的坐标为t,1当以MQ为对角线时，9+t2=此时点Q的坐标为2,39；当以P'Q或9+22=t+0解得：t=11s=29此时点Q的坐标为2,29或2,−10；综上所述，点Q的坐标为2,39或2,29或2,−10．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，平行四边形的性质，第（2）问得到2PE=119．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图2，作直线AB，点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交AB于点E，过点P作PD⊥AB于点D，求PE+PD的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中PE+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移2个单位，点P'为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点A'，M为平移后的抛物线的对称轴上一点.在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点P',A答案:(1)y(2)4+22，(3)12，394分析：（1）用待定系数法求出解析式即可；（2）先判断△PDE是等腰三角形，可知当PE最大时，PE+PD最大，然后求出线AB的解析式，设点Px，x（3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点P'、A'坐标，分情况讨论：①当P'【详解】（1）解：设二次函数解析式为y=ax+4将0，−4代入解析式，可得：解得：a=1，∴二次函数解析式为y=（2）由题可知OA=∴∠OAB∵过点P作y轴的平行线交AB于点E，过点P作PD⊥AB于点D，∴∠PEA=∠OAB∴△PDE是等腰三角形，∴PD=即当PE最大时，PE+设直线AB的解析式为：y=代入得：−4m解得：m=−1∴y=−设Px，x∴PE=即当x=−2时，PE最大=4，PE（3）解：平移后的抛物线为y=∴点P'−4,6，点A'当P'A'解得xN这时N的坐标为12，39当P'A'解得：xN这时N的坐标为−1综上所述：N的坐标为12，394或【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法，二次函数的图象和性质，一次函数的性质，二次函数的最值，二次函数图象的平移，平行四边形的性质等知识，解题的关键是学会用待定系数法求二次函数解析式，根据二次函数解析式求最大值以及利用平行四边形的性质列方程．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=14x2+bx+c与直线AC(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点P是直线AC下方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线交AC于点E，交x轴于D，求PD+PE的最大值及此时点P的坐标；(3)在（2）中PD+PE取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向右平移3个单位，点M为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，N为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点Q，使得以点M，F，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点Q的坐标，并写出求解点Q的坐标的其中一种情况的过程．答案:(1)y=(2)PD+PE的最大值为8，点P的坐标为2(3)Q1，−4或分析：（1）直接利用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AC的解析式为y=x−6，设Pm，14（3）先求出平移后的抛物线解析式为y=14x−42−254，M5，−6，再求出F0，−94【详解】（1）解：把A6，0，C9+6b∴b=−∴抛物线解析式为y=1（2）解：设直线AC的解析式为y=kx+b∴6k∴k=1b∴直线AC的解析式为y=设Pm，1∴PD=−∴PD+=−=−1∵−1∴当m=2时，PD+PE的值最大，最大为8，∴此时点P的坐标为2，（3）解：∵抛物线解析式为y=14x∴平移后的抛物线解析式为y=14x−1−3令x=0，则y∴F0设点N的坐标为4，n，点Q的坐标为当FM为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：5+02∴s=1∴t=−4∴Q1当FQ为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：5+42∴s=9∴t=0∴Q9当FN为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得：0+42∴s=−1∴t=0∴Q−1综上所述，点Q的坐标为Q1，−4或Q【点睛】本题主要考查了二次函数综合，一次函数与几何综合，二次函数图象的平移，平行四边形的性质，待定系数法求二次函数解析式等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．类型三旋转+平行四边形11．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+8（a≠0）与x轴交于点B−4,0，点C8,0，与y轴交于点A(1)求二次函数的解析式及点A的坐标．(2)如图1，点E为该抛物线在第一象限内的一动点，过E作FE∥y轴，交CD于点F，求EF+5(3)如图2，在（2）的情况下，将原抛物线绕点D旋转180°得到新抛物线y'，点N是新抛物线y'上一点，在新抛物线上的对称轴上是否存在一点M，使得点D，E，M，N为顶点的四边形为平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标，并写出其中一个点答案:(1)y=−1(2)8，E(3)存在，M−2,−1或M−2,7或分析：(1)运用待定系数法计算求解即可．(2)过点F作FG⊥y轴于点G，利用正弦函数，把55DF转化为DG，设Em,−14m2+m+8，根据(3)分DE为平行四边形的一边和一条对角线两种情况求解．【详解】（1）∵抛物线y=ax2+bx+8（a∴16a解得a=−1故二次函数的解析式为y=−1当x=0,故点A0,8（2）如图，过点F作FG⊥y轴于点G，∵点C8,0，点D的坐标为D∴CD=82∴∠DFG∴sin∠DFG∴DG=∴EF+设CD的解析式为y=∵点C8,0，点D的坐标为D∴8k解得k=−1∴CD的解析式为y=−设Em∴Fm∴EF=DG=4−∴EF+故当m=4时，EF+55DF（3）∵y=−∴抛物线的顶点坐标为2,9，∵A0,8，D0,4，原抛物线绕点D旋转180°得到新抛物线∴A'0,0，新顶点坐标为−2,−1，对称轴为直线设抛物线y'的解析式为y∴0=a解得a=1∴y'=设点M−2,当DE为平行四边形的一边时，∵E4,8，D当沿着DE平移时，得到平移规律为向右平移4个单位长，向上平移4个单位长，∴将M−2,n向右平移4个单位长，向上平移4个单位长得到N∵点N在抛物线y'∴n+4=解得n=−1故M−2,−1当沿着ED平移时，得到平移规律为向左平移4个单位长，向下平移4个单位长，∴将M−2,n向左平移4个单位长，向下平移4个单位长得到N∵点N在抛物线y'∴n−4=解得n=7故M−2,7当DE为平行四边形的对角线时，∵E4,8，D∴DE的中点坐标为2,6，∵点M∴点N6,12−∵点N在抛物线y'∴12−n解得n=−3故M−2,−3综上所述，存在这样的点M，且坐标分别为M−2,−1或M−2,7或【点睛】本题考查了待定系数法确定抛物线的解析式，利用三角函数转移线段构造二次函数，二次函数的性质和最值，中心对称的性质，平行四边形的判定，平移思想，熟练掌握待定系数法，平移思想，三角函数，中心对称，二次函数的最值是解题的关键．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A，B−4,0两点（点A在点(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，连接BC，点P为直线BC上方抛物线上（不与B、C重合）的一动点，过点P作PF∥y轴交x轴于点F，交BC于点E，过点P作PD⊥BC，垂足为点D，求5PD+2PF的最大值及此时点P(3)如图2，将原抛物线绕线段BC的中点Q旋转180°得到新抛物线y'，点N为新抛物线y'上一点，在x轴上是否存在一点M，使得以点Q、C、M、N为顶点的四边形是以CQ为边的平行四边形，若存在，请直接写出点答案:(1)y=−(2)818，(3)存在，M−8,0或M−1,0分析：（1）把B−4,0，点C（2）连接AC，确定点A的坐标，判定△ABC是直角三角形，结合cos∠DPE=PDPE=BCBA=255=25，得到5PD=2（3）确定变化后的抛物线解析式，利用平移思想计算即可．【详解】（1）因为抛物线y=−12x2所以−8−4b解得b=−3所以抛物线的解析式为y=−1（2）连接AC，因为y=−12x2−所以点A1,0，所以△ABC是直角三角形，因为PD⊥BC，∠PED所以∠DPE所以cos∠DPE所以PDPE所以5PD所以5PD设直线BC的解析式为y=所以0=−4解得k=1所以直线BC的解析式为y=因为点P为直线BC上方抛物线y=−1设Pm,−12m所以PE=−12所以5=−2m+所以当m=−74时，5PD+2所以P−（3）因为将原抛物线绕线段BC的中点Q旋转180°得到新抛物线y'所以点B，点C仍在抛物线y'因为B−4,0所以Q−2,1因为A1,0所以其对称点G−5,2设y'所以25a解得a=1所以抛物线y'因为Q−2,1,C0,2当CQ从点C0,2平移到Q因为点M在x轴上，且Mn,0根据平行四边形的性质，得到CQ∥所以点Mn,0向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到点所以Nn因为Nn−2,−1在抛物线所以12解得n=0,所以M0,0或M当CQ从点Q−2,1平移到C因为点M在x轴上，且Mn,0根据平行四边形的性质，得到CQ∥所以点Mn,0向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点所以Nn因为Nn+2,1在抛物线所以12解得n=−8,所以M−8,0或M综上所述点M的坐标为M−8,0或M−1,0或【点睛】本题考查了抛物线解析式的求法，锐角三角函数，构造二次函数求面积的最值，平移思想确定平行四边形的顶点坐标，熟练掌握解析式的确定方法，准确构造二次函数，活用平移思想是解题的关键．13．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（0，5），连接BC，其中OC＝5OA．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，将直线BC沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，交y轴于点G，若点P是抛物线上位于直线BC下方（不与A、B重合）的一个动点，连接PE，交直线BC于点F，连接PD、DF、PB、PC．若S△PBC＝1021S△EDF，求点P（3）如图2，当点P满足（2）问条件时，将△CBP绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△CB'P'，此时点B′恰好落到直线ED上，已知点M是抛物线上的动点，在直线ED上是否存在一点N，使得以点C、B′、M、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标，若不存在，请说明理由．答案:（1）y＝x2－6x＋5；（2）P（4，－3）；（3）存在，（2，9）或（12，－1）或(−9+732分析：（1）先求出点A的坐标，然后代入y＝x2＋bx＋c，即可求抛物线的解析式；（2）先求出B点的坐标，继而得到直线BC的解析式，然后BC向上平移6个单位为DE，得到直线DE的解析式，根据直线DE和抛物线的交点，可求出点D和点E的坐标，进而得到DE和BC的长，连接BD，CD，则S△EDFS△BCD=DEBC，继而得到S△PBC=2（3）根据BC可求出CB'=52，设B'(a,−a+11)，则CB'2【详解】解：（1）∵C（0，5），OC＝5OA，∴OC＝5，OA＝1，A（1，0）将C（0，5），A（1，0）代入y＝x2＋bx＋c中，得{解得：{∴抛物线的解析式为：y＝x2－6x＋5；（2）令y＝0，则有x2－6x＋5＝0，解得：x1＝5，x2＝1∴B（5，0）设直线BC为：y＝kx＋b，则有{解得：{b∴直线BC：y＝－x＋5，∵BC向上平移6个单位为DE∴直线DE为：y＝－x＋11，联立{y得x2－5x－6＝0∴x1＝6，x2＝－1，∴D（6，5），E（－1，12），∴DE＝72，∴BC＝OB∵BC//DE，∴如图，连接BD，CD，∴S△∵S△∴S△过C作CR⊥DE于R,过P作PQ//BC交y轴于Q,过则S∵OB∴∠BCO由平移的性质及PQ//∴∠OQP∵DE:y=−x∴CG∴CR∴Q同理可得：CQ=4,∴Q∴PQ∴联立{解得：x1∴P（4，－3）或（1，0），∵当P为（1，0）时与点A重合，故舍去，∴P（4，－3）；（3）∵BC＝52，∴CB'＝5设B'(a解得：a1∵0∘∴B'设M（m，m2－6m＋5），N（n，－n＋11），①当B'∴{m解得：{m=0n∴N（2，9）；②当B'∴{7+解得：{m=0n∴N（12，－1）；③当MC为对角线时，∴{7+解得：{m=∴N(−9+73综上可知，N点坐标为（2，9）或（12，－1）或(−9+732【点睛】本题考查二次函数综合，涉及到的知识点有待定系数法求函数解析式、一次函数图像的平移、两点间的距离等，解题的关键是综合利用相关知识．14．如图，抛物线y＝x2＋bx＋c交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），交y轴于点C（0，5），连接BC，其中OC＝5OA．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，将直线BC沿y轴向上平移6个单位长度后与抛物线交于D、E两点，交y轴于点G，若点P是抛物线上位于直线BC下方（不与A、B重合）的一个动点，过点P作PM∥y轴交DE于点M，交BC于点H，过点M作MN⊥BC于点N，求PM＋NH的最大值及此时点P的坐标；（3）如图2，当点P满足（2）问条件时，将△CBP绕点C逆时针旋转α（0°＜α＜90°）得到△CB'P'，此时点B′恰好落到直线ED上，已知点F是抛物线上的动点，在直线ED上是否存在一点Q，使得以点C、B′、F、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由．答案:（1）y＝x2﹣6x＋5；（2）PM＋NH最大值为494＋32，P（52，﹣154）；（3）存在，Q（2，9）或（73−92，31−分析：（1）求出A坐标，代入可得答案；（2）MH是定值，PM＋NH取最大值即是P