专题03勾股定理的实际应用(原卷版+解析)-【重难点突破】2022-2023学年八年级数学上册常考题专练(北师大版)

专题03勾股定理的实际应用题型一滑梯类问题1．如图，将长为的梯子斜靠在墙上，使其顶端距离地面．若将梯子顶端向上滑动，则梯子底端向左滑动．2．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道与的长度一样，滑梯的高度，．则滑道的长度为．3．如图，一架梯子长10米，底端离墙的距离为6米，当梯子下滑到时，米，则米．4．如图，一根长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将向右滑动A． B． C． D．5．如图，梯子斜靠在竖直的墙上，为，为．（1）求梯子的长；（2）梯子的顶端沿墙下滑到点，梯子底端外移到点，求的长．6．滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱BC，DE垂直于地面AF，滑道AC的长度与点A到点E的距离相等，滑梯高BC＝1.5m，且BE＝0.5m，求滑道AC的长度．题型二台风问题7．如图，城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向南偏东的方向移动，距台风中心的范围内是受台风影响的区域．（1）城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若城受到台风的影响，求出受台风影响的时间有多长？8．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．（1）求的度数；（2）海港受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？9．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域处，在沿海城市的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米时的速度沿北偏东方向向移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．试问：（1）城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？10．如图，在点正北方的处有一信号接收器，点在点的北偏东的方向，一电子狗从点向点的方向以的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收器接收信号的有效范围为．（1）求出点到线段的最小距离；（2）请判断点处是否能接收到信号，并说明理由．若能接收信号，求出可接收信号的时间．题型三方位角问题11．某时刻海上点处有一客轮，测得灯塔位于的北偏东方向，且相距40海里．客轮以60海里小时的速度沿北偏西方向航行0.5小时到达处，那么海里．A．40 B．30 C．50 D．6012．如图，快艇计划从地到距离地10海里的地，先沿北偏东方向行驶8海里到达地，再从地行驶6海里到达地，此时快艇位于地的方向是．13．甲、乙两船同时从港口出发，甲船以30海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东向航行，2小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距100海里，问乙船的速度是每小时多少海里？14．如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，与灯塔的距离为30海里的处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，则此时轮船所在位置处与灯塔之间的距离为A．60海里 B．45海里 C．海里 D．海里15．如图，东西走向的、两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段．经测量，森林保护区中心点在城市的北偏东方向，城市的北偏西方向上．已知森林保护区的范围在以为圆心，50千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区？为什么？16．如图，已知射线表示一艘轮船东西方向的航行路线，在的北偏东方向上有一灯塔，灯塔到处的距离为100海里．（1）求灯塔到航线的距离；（2）在航线上有一点，且，若轮船的航速为50海里时，求轮船从到处所用的时间为多少小时？（结果保留根号）题型四其他应用17．如图所示：某商场有一段楼梯，高，斜边是10米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是A． B． C． D．18．如图，在同一水平线上有相距的两棵树和，其中树高，大风将树折断，树的顶端恰好落在的中点处，则树的折断点离地面的高度是A． B． C． D．19．如图，一棵大树在离地面，两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是A． B． C． D．20．折竹抵地（源自《九章算术》：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子处3尺远．则原处还有尺竹子．丈尺）21．如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为A． B． C． D．22．如图有一个水池，水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺23．如图，，，，一机器人在点处看见一个小球从点出发沿着方向匀速滚向点，机器人立即从点出发，沿直线匀速前进拦截小球，恰好在点处截住了小球，如果小球滚动的速度与机器人行走的速度相等，那么机器人行走的路程是．24．一棵高的大树被折断，折断处距地面（点为大树顶端着地处）．在大树倒下的方向停着一辆小轿车，小轿车距大树底部的距离为，倒下的大树会砸到小轿车吗？通过计算说明理由．25．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点，在公路上确定点、，使得，米，．这时，一辆轿车在公路上由向匀速驶来，测得此车从处行驶到处所用的时间为3秒，并测得．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：，．26．如图，小明在研究性学习活动中，对自己家所在的小区进行调查后发现，小区汽车入口宽为，在入口的一侧安装了停止杆，其中为支架．当停止杆仰起并与地面成角时，停止杆的端点恰好与地面接触．此时为．在此状态下，若一辆货车高，宽，入口两侧不能通车，那么这辆货车在不碰杆的情况下，能从入口内通过吗？请你通过计算说明．（参考数据：专题03勾股定理的实际应用题型一滑梯类问题1．如图，将长为的梯子斜靠在墙上，使其顶端距离地面．若将梯子顶端向上滑动，则梯子底端向左滑动2．【解答】解：如图所示：由题意可得，，，则，，，故，则梯子底端向左滑动：．故答案为：2．2．如图是一个滑梯示意图，左边是楼梯，右边是滑道，已知滑道与的长度一样，滑梯的高度，．则滑道的长度为8.5．【解答】解：设，则，，由题意得：，在中，，即，解得，．故答案为：8.5．3．如图，一架梯子长10米，底端离墙的距离为6米，当梯子下滑到时，米，则2米．【解答】解：在中，根据勾股定理，可得：（米，（米，在中，（米，（米，故答案为：2．4．如图，一根长的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底端距墙底端．如果梯子的顶端下滑，那么梯子的底端将向右滑动A． B． C． D．【解答】解；梯子顶端距离墙角地距离为，顶端下滑后梯子底端距离墙角的距离为，．故选：．5．如图，梯子斜靠在竖直的墙上，为，为．（1）求梯子的长；（2）梯子的顶端沿墙下滑到点，梯子底端外移到点，求的长．【解答】解：（1）为，为，，答：梯子的长为；（2）在中，，即，故，答：的长为．6．滑梯的示意图如图所示，左边是楼梯，右边是滑道，立柱BC，DE垂直于地面AF，滑道AC的长度与点A到点E的距离相等，滑梯高BC＝1.5m，且BE＝0.5m，求滑道AC的长度．【解答】解：设AC＝xm，则AE＝AC＝xm，AB＝AE﹣BE＝（x﹣0.5）m，由题意得：∠ABC＝90°，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，（x﹣0.5）2+1.52＝x2，解得x＝2.5故滑道AC的长度为2.5m．题型二台风问题7．如图，城气象台测得台风中心在城正西方向的处，以每小时的速度向南偏东的方向移动，距台风中心的范围内是受台风影响的区域．（1）城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若城受到台风的影响，求出受台风影响的时间有多长？【解答】解：（1）如图，作于．在中，，，，，，城受到这次台风的影响．（2）如图，设，则易知：，，受台风影响的时间有小时．8．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向由行驶向，已知点为一海港，且点与直线上的两点，的距离分别为，，又，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域．（1）求的度数；（2）海港受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米小时，当台风运动到点处时，海港刚好受到影响，当台风运动到点时，海港刚好不受影响，即，则台风影响该海港持续的时间有多长？【解答】解：（1），，，，是直角三角形，；（2）海港受台风影响，理由：过点作，是直角三角形，，，，以台风中心为圆心周围以内为受影响区域，海港受台风影响；（3）当，时，正好影响港口，，，台风的速度为20千米小时，（小时）．答：台风影响该海港持续的时间为7小时．9．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形气旋风暴，有极强的破坏力，此时某台风中心在海域处，在沿海城市的正南方向240千米，其中心风力为12级，每远离台风中心25千米，台风就会减弱一级，如图所示，该台风中心正以20千米时的速度沿北偏东方向向移动，且台风中心的风力不变，若城市所受风力超过4级，则称受台风影响．试问：（1）城市是否会受到台风影响？请说明理由．（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市的持续时间有多长？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？【解答】解：（1）该城市会受到这次台风的影响．理由是：如图，过作于．在中，，，，城市受到的风力超过四级，则称受台风影响，受台风影响范围的半径为．，该城市会受到这次台风的影响．（2）如图以为圆心，200为半径作交于、．则．台风影响该市持续的路程为：．台风影响该市的持续时间（小时）．（3）距台风中心最近，该城市受到这次台风最大风力为：（级．10．如图，在点正北方的处有一信号接收器，点在点的北偏东的方向，一电子狗从点向点的方向以的速度运动并持续向四周发射信号，信号接收器接收信号的有效范围为．（1）求出点到线段的最小距离；（2）请判断点处是否能接收到信号，并说明理由．若能接收信号，求出可接收信号的时间．【解答】解：（1）作于．在中，，，，答：点到线段的最小距离为．（2），点处能接收到信号．当时，，当时，，，可接收信号的时间．答：可接收信号的时间．题型三方位角问题11．某时刻海上点处有一客轮，测得灯塔位于的北偏东方向，且相距40海里．客轮以60海里小时的速度沿北偏西方向航行0.5小时到达处，那么海里．A．40 B．30 C．50 D．60【解答】解：灯塔位于客轮的北偏东方向，且相距40海里．，客轮以60海里小时的速度沿北偏西方向航行0.5小时到达处，，，（海里），故选：．12．如图，快艇计划从地到距离地10海里的地，先沿北偏东方向行驶8海里到达地，再从地行驶6海里到达地，此时快艇位于地的方向是北偏西．【解答】解：如图，过点作，海里，海里，海里，，为直角三角形，即，又点在的北偏东方向，，，即快艇位于的北偏西的方向上．故答案为：北偏西．13．甲、乙两船同时从港口出发，甲船以30海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东向航行，2小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距100海里，问乙船的速度是每小时多少海里？【解答】解：甲的速度是30海里时，时间是2小时，海里．，，．海里，海里．乙船也用2小时，乙船的速度是40海里时．14．如图，一艘轮船位于灯塔的北偏东方向，与灯塔的距离为30海里的处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔的南偏东方向上的处，则此时轮船所在位置处与灯塔之间的距离为A．60海里 B．45海里 C．海里 D．海里【解答】解：由题意可得：，海里，，故（海里），则此时轮船所在位置处与灯塔之间的距离为：（海里）故选：．15．如图，东西走向的、两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段．经测量，森林保护区中心点在城市的北偏东方向，城市的北偏西方向上．已知森林保护区的范围在以为圆心，50千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区？为什么？【解答】解：过点作，垂足为，由题可得，设，在中，，在中，，，，，不会穿过保护区．答：森林保护区的中心与直线的距离大于保护区的半径，所以计划修筑的这条高速公路不会穿越保护区．16．如图，已知射线表示一艘轮船东西方向的航行路线，在的北偏东方向上有一灯塔，灯塔到处的距离为100海里．（1）求灯塔到航线的距离；（2）在航线上有一点，且，若轮船的航速为50海里时，求轮船从到处所用的时间为多少小时？（结果保留根号）【解答】解：（1）由题意可得：，海里，，过点作于，，，答：灯塔到航线的距离是50海里；（2），，，，，（海里），在中，，根据勾股定理得，（海里），海里，小时；答：轮船从到处所用的时间为小时．题型四其他应用17．如图所示：某商场有一段楼梯，高，斜边是10米，如果在楼梯上铺上地毯，那么需要地毯的长度是A． B． C． D．【解答】解：是直角三角形，，，如果在楼梯上铺地毯，那么至少需要地毯为（米．故选：．18．如图，在同一水平线上有相距的两棵树和，其中树高，大风将树折断，树的顶端恰好落在的中点处，则树的折断点离地面的高度是A． B． C． D．【解答】解：如图所示：根据题意可得，，设，则，在中，，即，解得：，树的折断点离地面的高度是．故选：．19．如图，一棵大树在离地面，两处折成三段，中间一段恰好与地面平行，大树顶部落在离大树底部处，则大树折断前的高度是A． B． C． D．【解答】解：如图，作于点，由题意得：，，，，由勾股定理得：，大树的高度为，故选：．20．折竹抵地（源自《九章算术》：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意即：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子处3尺远．则原处还有4.55尺竹子．丈尺）【解答】解：设竹子折断处离地面尺，则斜边为尺，根据勾股定理得：．解得：．答：原处还有4.55尺高的竹子．故答案为：4.55．21．如图，已知钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线为，则的长为A． B． C． D．【解答】解：，，，，，，；故选：．22．如图有一个水池，水面的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺【解答】解：设水池的深度为尺，由题意得：，解得：，所以．即：这个芦苇的高度是17尺．故选：．23