八年级数学期末培优试卷（答案）公开课

2020-2021学年第二学期初二数学培优测试卷

参考答案与试题解析

选择题（本题共14小题，每小题4分，共56分）

1.已知孙＜0,化简二次根式的正确结果为（）

A.6B./C.-y[yD.-y[-y

【解答】解：•.,孙V。，

y<0或xvO,y>0,

又「有意义,

/.y<0,

/.x>0,yvO,

当x>0,y<。时,=4~y

故选：B.

2.已知Q=2--2,c=5-,那么4,b,C的大小顺序是（）

A.a<b<cB.a<c<bC.b<a<cD.c<a<b

【解答】解：•.•6=2.236,

.-.«=2-^«2-2.236=-0.236;

人=右—2=2.236-2=0.236；

=5-2>/5«5-4.472=0.528,

v0.528>0.236>-0.236,

;.5-2亚>亚-2>2-旧,即"6<c.

故选：A.

3.某校男篮队员的年龄分布如表所示:

年龄/岁131415

人数a4一。6

对于不同的a,下列关于年龄的统计量不会发生改变的是（）

A.众数，中位数B.众数，方差

C.平均数，中位数D.平均数，方差

【解答】解：由表可知I,年龄为15=3岁与年龄为14岁的频数和为a+4-a=4,

则总人数为：4+6=10,

故该组数据的众数为15岁；

按大小排列后，第5个和第6个数据为：15,15,则中位数为：”士”=15岁，

2

即对于不同的a，关于年龄的统计量不会发生改变的是众数和中位数，

故选：A.

4.如图，在矩形488中，4）=4,ND4C=30。，点尸、石分别在4。、AD±,则PE+P。

的最小值是（）

B

A.2B.273C.4D.—

3

【解答】解：作。关于直线AC的对称点D,过。作〃石，AD于石，

则DE=PE+PD的最小值，

・・•四边形A8CO是矩形，

/.ZADC=90°,

・・・AD=4,ZZMC=30°,

•.DZ7±AC,

zcz)zy=30°,

ZADZ7=60°,

.*.DZ7=4,

.・.D，E=26，

故选：B.

5.如图，在四边形纸片ABC。中，AB//CD,ZD=90°,ZC=45°,AB=2,C£>=6.将

四边形纸片剪去3个等腰直角三角形，所有剪法中，剩余部分面积的最小值为（）

AB

DC

A.2B.1C.1.5D.4

【解答】解：如图1,过WB作_LC。于M,

则四边形为矩形，

：.AB=DM=2,

・・・CD=6,ZC=45°,

.・.AD=BM=CM=6-2=4,

BC=4y[2<CD,

如图2,过。作QE_LBC于点石，得等腰直角三角形AECD,DE=3①vAD,

ZADE=ZCDE=45°

作A尸"LOE于尸，得等腰直角AADF,ZBAF=ZDAF=45°,AF=242>ABf

以AF为斜边作等腰直角三角形的直角边为2=43,故连接所，得等腰直角4W,

ZEBF=45°,AB斯也为等腰直角三角形，BE=BF=五,

因此在四边形ABC。中前去AECD,A4DF,AAB/三个等腰直角三角形后，剩下的AB防

面积最小’其值为:*0"

故选：B.

6.如图，在平行四边形ABCD中，AD=2,AB=瓜,Nfi是锐角，A石_L3C于点£,

是的中点，连接小、EF.若ZEFD=90。,则AE长为（

D.述

A.2B.45C.三丝

22

【解答】解：如图，延长所交ZM的延长线于Q,连接。石，设BE=x,

・・•四边形ABCD是平行四边形,

DQ//BC,

・•.4Q=/BEF,

・；AF=FB,ZAFQ=ZBFEf

:.^QFA=AEFB(AAS)9

:,AQ=BE=xfQF=EF,

vZEFD=90°,

/.DF1.QE,

DQ=DE=x+2，

.AEYBC,BC//AD,

：.AEA.AD,

:.ZAEB=AEAD=90°,

AE2=DE?-AD2^AB2-BE2,

（x+2）2-4=6-x2,

整理得：2X2+4X-6=0,

解得x=l或-3（舍弃），

:.BE=1,

/.AE7AB2-BE2=>/^1=石,

故选：B.

1.利用反证法证明“直角三角形至少有一个锐角不小于45。”，应先假设（）

A.直角三角形的每个锐角都小于45。

B.直角三角形有一个锐角大于45。

C.直角三角形的每个锐角都大于45。

D.直角三角形有一个锐角小于45。

【解答】解：用反证法证明命题“在直角三角形中，至少有一个锐角不小于45。”时，应先

假设直角三角形的每个锐角都小于45。.

故选：A.

8.一组数据1,2,3,4,5的方差是a,若减少一个数据3,剩余4个数据的方差为6,则

。与。的大小关系是（）

A.a<bB.a=bC.a>bD.不能确定

【解答】解：数据1,2,3,4,5的平均数是：[(1+2+3+4+5)=3,

则方差：a=([(1—3)2+(2—3)2+(3—3)2+(4—3尸+(5—]=2,

减少一个数据3,平均数是：；(1+2+4+5)=3,

则方差：/，=-[(1-3)2+(2-3>+(4-3产+(5-3y]=2.5,

4

则avZ?；

故选：A.

9全班有70%的学生参加生物小组，75%的学生参加化学小组，85%的学生参加物理小

组，90%的学生参加数学小组，则四个小组都去参加的学生至少占全班的百分比是(

)

A.10%B.15%C.20%D.25%

【解答】解：假设全班有100名同学，则有70人参加生物小组，75人参

加化学小组，

85人参加物理小组，90人参加数学小组.

设四个都参加的人为x人，则

根据容斥原理，至少有70+75-100=45人同时参加生物和化学两个小组，至

少有

45+85-100=30人同时参加生物，化学和物理三个小组，那么

x=30+90—100,

二同时参加四个小组的人至少有20人,

所占的百分比为：20+100x100%=20%.

故选：C.

10.给出下列命题：①一组对边和一组对角分别相等的四边形是平行四边形；②两组对角的

内角平分线分别平行的四边形是平行四边形；③一组对边中点间的距离等于另一组对边

长和的一半的四边形是平行四边形；④两条对角线都平分四边形的面积的四边形是平行

四边形.其中真命题有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【解答】解：①一组对边相等，一组对角相等的四边形，不能证明另一组对边也相等或平行，

即一组对边和一组对角分别相等的四边形不一定是平行四边形，故①错误；

②两组对角的内角平分线分别平行的四边形，能证明两组对角相等，故四边形一定是平行四

边形，故②正确；

③一组对边中点的距离等于另一组对边边长的和的一半的四边形，梯形中两腰中点的连线也

可以符合等于上下底的一半，故③错误；

④两条对角线都平分四边形的面积的四边形是平行四边形，可以推出两条对角线互相平分,

故④正确；

故正确的有②④.

故选：B.

11.设一夕,邙,n为正整数，如果+197盯+2/=1993

成立，那么几的值为（）

A.7B.8C.9D.10

【解答】解：由题设得：xy=lx+y=4〃+2,

由+197孙+2/=1993,得2(x+y)2+l93孙=1993.

将町=1,x+y=4”+2代入上式得：(4〃+2>=900,

即4〃+2=30.

H=7.

故选：A.

12.如图，正方形ABC。的顶点A、3分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数>=£依>0)

X

的图象经过另外两个顶点C、D,且点。(4,〃)(0<〃<4),则%的值为()

A.12B.8C.6D.4

【解答】解：过。作轴于E,RTLy轴于点尸，

/.Zr>E4=90°,

・・・四边形ABC。是正方形，

.\AB=AD,ZBAD=90°f

.\ZBAO+ZDAE=90°,ZDAE+ZADE=90°,

:.ZDAE=ZABO,

又•.•A5=AT>,

:./SABO=NDAE.

同理，AABO^ABCF.

:.OA=DE=n,OB=AE=OE-OA=4-n,

则A点的坐标是(〃,0),8的坐标是(0,4-〃).

.•.(7的坐标是(4-〃,4).

由反比例函数%的性质得到：4(4-〃)=4〃，所以〃=2.

则。点坐标为(4,2),所以4=2x4=8.

故选：B.

13.已知菱形。4BC在平面直角坐标系的位置如图所示，顶点A(5,0),08=4百，点P是

对角线03上的一个动点，0(0,1),当CP+DP最短时，点P的坐标为()

B.心

A.(0,0)7.ID•毕7)

【解答】解：如图连接AC,AD,分别交05于G、P,作3K_LQ4于K.

•四边形Q4BC是菱形,

.-.ACrOB,GC=AG,OG=BG=2后，A、C关于直线08对称,

:.PC+PD=PA+PD=DA,

，此时PC+PD最短，

在RtAAOG中，AG=J。]_OG2=g-(2府=后,

AC=20

­.•OABK=-ACOB,

2

；.BK=4,AK=dAB2-BK?=3,

点5坐标(8,4),

直线OB解析式为y=；x,直线4)解析式为y=--x+l,

110

X=一

由，2]解得.7

5

y=—x+1

5"7

，点尸坐标件().

故选：D.

14.如图，边长为1的正方形EFG"在边长为3的正方形/WCD所在平面上移动，始终保

特EF//AB.线段CF的中点为M,。”的中点为N,则线段MN的长为（）

D.-V10

c・粤3

【解答】解：如图，将正方形EFGH的位置特殊化，使点”与点A重合，过点M作MOLED

与O,则是梯形FE0C的中位线,

.\EO=OD=2,MO=1(EF+CD)=2.

・・•点N、M分别是4)、FC的中点，

3

,-.AN=ND=-

2

31

:.ON=OD-ND=2——=一

22

在氏如加中，MN?=MU+ON：即MN=

二.填空题（本题共8小题，每小题5分，共40分）

15.已知机，〃是有理数，且(6+2)〃?+(3-26)〃+7=0,则机=,〃=.

【解答】解：由且(括+2)加+(3-2后)〃+7=0,得

#>(m-2”)+2m+3〃+7=0,

”是有理数，

:.m—2n>2〃z+2〃+7必为有理数，

又•.•石是无理数，

当且仅当机-2〃=0、2加+3〃+7=0时，等式才成立，

二几=-19TYI-—2.

故答案为：-2、-1.

16.参加会议的成员都互相握过手，其中某人与他的一些老朋友握过第二次手.若这次会议

握手的总次数是159,那么参加会议的成员有人，其中，第二次握手有次.

【解答】解：设参加会议的有x人，第2次握手有y次.

x(x-l)4-2+y=159.

x(x-l)=318-2y,

•.•相邻2个正整数相乘接近318的只有18/17=306,

=18»

y=(318—306)+2=6.

故答案为：18；6.

17.某人将一本书的页码按1、2、3…的顺序相加，其中有一页被多加了一次，结果得到一

个错误的总和2005,则被多加的页码是

【解答】解：设全书共〃页，被多加的页码为X,(掇/〃)

则有个+l)+x=2005

2

，巡四+掇如05及S+”

22

即/+〃+2釉010〃(〃+3)

由于〃01。々63,验算知〃=62

故答案为：52页.

18.已知关于x的一元二次方程£+(2加一1)3+m2-3=0有实数根.

(1)求实数机的取值范围;

(2)当机=2时，方程的根为%,”,求代数式(再2+2与)(考+4/+2)的值为

【解答】解：(1)由题意

：.(2tn—I)2—4(62—3)..0,

13

办，—•

4

(2)当机=2时，方程为幺+3了+1=0,

/.x[+x2=-3,x4=1，

・・•方程的根为％,x2,

X1~+3X|+1=0,%2+3^2+1=0,

(x；+2xt)(x；+4X2+2)

=(x；+2玉+玉一%)(%2+3X24-x2+2)

=(-1—xi)(—14-%24-2)

—(—1-*X)(/+1)

——Xj—XjX,—1—X|

=­x2—Xj-2

=3-2

=1.

19.如图，是平行四边形，对角线08在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二

象限内的点C分别在双曲线丫=&和、=%的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足

XX

分别为M和N,则有以下的结论：

①阴影部分的面积为:(4+&);

②若3点坐标为(0,6),A点坐标为(2,2),则&=-8；

③当NAOC=90。时，

④若。43c是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称.

其中正确的结论是(填写正确结论的序号).

【解答】解：作AE_Ly轴于E,b_Ly轴于尸，如图，

①,一ShAOM=5IKI9S&CON=5I自I，

•t,S阴影部分=S"OM+S&CON=5(kH^21)'

而％]>0,k2<0f

••S阴影部分=/(K-k2)，故①错误；

②・・•四边形Q4BC是平行四边形，8点坐标为(0,6),A点坐标为(2,2),O的坐标为(0,0).

C(-2,4).

又•.•点C位于y=与上，

X

/.A:2=xy=-2x4=-8.

故②正确；

③当NAOC=90。，

.•・四边形OSC是矩形,

不能确定。4与OC相等,

而OM=ON,

不能判断AAOM=ACNO,

不能判断AM=CN,

.•.不能确定IK|=|&I，故③错误；

④若。4BC是菱形，则。4=OC，

而OM=ON,

RtAAOM£RtACNO,

/.AM=CN,

•-U,l=l^2I-

ky——k],

两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，故④正确.

故答案是：②④.

20.如图，在矩形中，")=4,将NA向内翻折，点A落在上，记为A，折痕

为DE.若将沿3向内翻折，点8恰好落在DE上，记为则/归=.

【解答】解：由折叠可得，AZ>=4,ZA=ZEA,D=90°,ZBA.E=ZB]A.E,B\=B^,

ZB=Z^B,E=90°,

.•.N34+ND41g=90°=ZB/l1E+ZCA1D,

・,.NDA&=NG4,O，

又・・・/。=幺g。，\D=\D,

△404三△4。。（AAS）,

/.AyC=AM,

BA^=AC=gBC=2,

,Rf△ACD中，CD=yl『-矛=2+,

AB=2y/3,

故答案为：2G.

21.如图，在平行四边形458中，AC为对角线，若P为平行四边形ABCD内一点，且

S=5，S^AC=3,则

【解答】解：・.•四边形是平行四边形,

.\AB=DC,

假设P点到AB的距离是4,假设。点到DC的距离是h2，

*0-SyAB=2A3-h},S&p0c=-DC•%，

・•・SMAH+SATOC=g(AB•4+DCh2)=^DC(hl+h2),

/?,+饱正好是AB到DC的距离，

S.AB+S居DC=2S平行四边形ABC。=~M.DC，

即^AADC=S»AB+SwDC=5+S*仅f

•'S"AD=^^ADC-S^PDC-S»AC9

・・=5—3=2，

当点尸在AC的下方时，S^,AD=5MDC+S^pc—+SMl=5+3=8

故答案为：2或8.

c

B

22.如图，反比例函数y=3（x>0）的图象与矩形A5CO的边A3交于点G,与边8C交于

X

点。，过点A,。作OE//A尸，交直线2="（左〈0）于点石，F,若OE=OF,BG=2GA,

则四边形4）砂的面积为.

【解答】解：延长。石交尢轴于K,作EWLOA于

设G(a,3),则3=a,AG=-

aa

・.・3G=2G4,

BG=-

a

9

.・.DH=AB=AG+BG=-,

\-DE//AF,

:.ZEKO=ZFAO,

在△0蛛和八0必中,

NEKO=/FAO

<ZEOK=NFOA,

OE=OF

\OEK=AOM(A45),

OK=OA=a，

：.AK=2a，

__1_19_

•,S四边形仞"=S四边形AH’+SAKEO=S,MQK=耳，DH=-x2ax--=9.

故答案为：9.

三,解答题(本题共2小题，共24分)

23.阅读材料：

小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如

3+20=(1+及y.善于思考的小明进行了以下探索：

设〃+匕夜=(巾+〃及尸(其中47、6、机、〃均为整数)，则有°+以历=加!+2〃2+2\/5相〃.

.•.4=疗+2/,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似。+的式子化为平方式的方法.

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

(1)当a、b、机、〃均为正整数时，若“+bG=Q*+〃J5)2,用含“7、〃的式子分别表

不。、b,得：a=，b=;

(2)利用所探索的结论，填空：13+4g=(+百尸；

(3)若a+6G=(加+〃状了，且a、m>〃均为正整数，求a的值？

【解答】解：(1)a+b>]3=(m4-nx/3)2=nr+3H2+2mn\/3,

而a.b.m.〃均为正整数，

所以a=+3/t2；b=2〃m；

故答案为：M+3〃2,2nm.

(2)13+46=(1+2百

故答案为：1,2；

(3)a=m2+3n2；6=2rnn；

・,，加=3,

而加、〃为正整数，

/.m=l