人教版2020届高三数学第十三章 选修系列4 73几何证明讲义

人数版2020届高三数学第十三章选修系列4

73几何证明讲义

(一)相似三角形的判定及有关性质

导学目标：1.了解平行线等分线段定理和平行线分线段成比例定理；2.掌

握相似三角形的判定定理及性质定理；3.理解直角三角形射影定理.

自主梳理

1.平行线等分线段定理

如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行

线相交的)直线上截得的线段也相等.

2.平行线分线段成比例定理

两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段

推论1平行于三角形一边的直线截其他两边(或),所得

的对应线段.

推论2平行于三角形的一边，并且和其他两边的直线所截得的三

角形的三边与原三角形的三边对应

推论3三角形的一个内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边

对应成比例.

3.相似三角形的判定

判定定理1对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角

形的两个角对应相等，那么这两个三■角形相似.简述为：两角对应的两

个三角形相似.

判定定理2对于任怠两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形

的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似.简述为：两边对应

成比例且相等的两个三角形相似.

判定定理3对于任急两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角

形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.简述为：三边对应成比例的两

个三角形相似.

4.相似三角形的性质

(1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似

比；

(2)相似三角形周长的比等于相似比；

(3)40似三角形面积的比等于相似比的平方.

5.直角三角形射影定理

直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在与斜边的

,斜边上的高的.等于两条直角边在斜边上的射影的乘积.

自我检测

1.如果梯形的中位线的长为6cm,上底长为4cm,那么下底长为cm.

A

2.如图，在AABC中，ED/7BC,EF〃BD,则下列四个结论正确的是（填序

号）____________.

CD=2,BD=3,则

AC=_

4.如图所示，在AABC中，AD是NBAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,

BC=7cm,贝!JBD=cm.

5.如图，NB=ND,AE±BC,NACD=90°,且AB=6,AC=4,AD=12,

贝!JBE=

探究点一确定线段的n等分点

例1已知线段PQ,在线段PQ上求作一点D,使PD：DQ=2：1.

变式迁移1已知△ABC,D在AC上，AD：DC=2：1,能否在AB上找到一点

E,使得线段EC的中点在BD上.

探究点二平行线分线段成比例定理的应用

例2在AABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE,DE的延长线交

DFAC

BC的延长线于点F.求证：—=—

EFAB

FE

变式迁移2如图，已知AB〃CD〃EF,AB=a,CD=b(O<a<b),AE：EC=

mn(O<m<n),求EF.

探究点三相似三角形的判定及性质的应用

例3如图，已知梯形ABCD中，AB/7CD,过D与BC平行的直线交AB于点E,

NACE=NABC,求证：AB•CE=AC-DE.

AEB

变式迁移3如图，已知DABCD中，G是DC延长线上一点，AG分别交BD和

BC于E、F两点，证明AF•AD=AG•BF.

⑥课堂小结

1.用添加平行辅助线的方法构造使用平行线等分线段定理与平行线分线段

成比例定理的条件.特别是在使用平行线分线段成比例定理及推论时，一定

要注意对应线段，对应边.

2.利用平行线等分线段定理将某线段任怠等分，需要过线段的一个端点作

辅助线，在作图时要注意保留作图痕迹.

3.在证明两个或两个以上的比例式相等时，需要找第三个比例式与它们都

相等，可考虑利用平行线分线段成比例定理或推论，也可以考虑用线段替换

及等比定理，由相等的传递性得出结论.

4.判定两个三角形相似，根据题设条件选择使用三角形相似的判定定理.

（满分：75分）

一、填空题（每小题5分，共40分）

1.如图所示，］，i//l2//U,下列比例式正确的有（填序号）.

⑴2.⑵®受⑶理竺.⑷竺=些

U/DF-BC,、/BEAF'K?DF-BC,'，DFCE'

2.如图所示，D是AABC的边AB上的一点，过D点作DE〃BC交AC于E.已

AD2SAADE

知—=一贝!J------=

DB3，S四边彩CBED------------------------------------------

EFFG

3.如图，在四边形ABCD中，EF〃BC,FG〃AD,贝J万：+/=

DCAD

4.在直角三角形中，这

两部分的比为3:2,则斜边上的中线的长为

5.如图，在梯形ABCD中，AD〃BC,BD与AC相交于点0,过点。的直线分

别交AB,CD于E,F,且EF〃BC,若AD=12,BC=20,则EF=.

6.如图所示，在AABC中，AD1BC,CE是中线，DC=BE,DG_LCE于G,EC

的长为4,则EG=.

7.如图，在4ABC中，AD平分NBAC,DE〃AC,EF〃BC,AB=15,AF=4,

则DE=.

APQ

8.如图所示，BD、CE是AABC的中线，P、Q分别是BD、CE的中点，则由;=

二、解答题（共35分）

9.（11分）如图所示，在4ABC中，ZCAB=90°,AD_LBC于D,BE是/ABC

DFAE

的平分线，交AD于F,求证：—

AFEC

A

10.（12分）如图，Z\ABC中，D是BC的中点，M是AD上一点，BM、CM的延

长线分别交AC、AB于F、E.

求证：EF〃BC.

11.如图，在四边形ABCD中，AC与BD相交于0点，直线1平行于BD且与

AB,DC,BC,AD及AC的延长线分别相交于点M,N,R,S和P,

求证：PM,PN=PR,PS.

73几何证明选讲

（一）相似三角形的判定及有关性质

自主梳理

2.成比例两边的延长线成比例相交成比例

3.相等夹角5.斜边上的射影乘积平方

自我检测

1.82.③

3

解析由射影定理：CD2=AD•BD.

4-----；I~162A/T3

.\AD=-.,.AC=^/CDy+AD2=A/4+—.

35

4—

9

ABBD535

解析VXC=DC=4*ABD=T^-

5.4y/2

解析VAC=4,AD=12,NACD=90°,

/.CD2=AD2-AC2=128,

ACD=8^/2.

又•.•AE_LBC,NB=ND,

ABBE

/.△AABE^AAADC,

课堂活动区

例1解题导引利用平行线等分线段定理可对线段任意等分，其作图步骤

为：首先作出辅助射线，然后在射线上依次截取任意相同长度的n条线段，最后

过辅助线上的各等分点作平行线，确定所求线段的n等分点.

解在线段PQ上求作点D,使PD：DQ=2：1,就是要作出线段PQ上靠近Q

点的一-NS■等分点，通过线段PQ的一个端点作辅助射线，并取线段的三等分点，

利用平行线等分线段定理确定D点的位置.

作法：①作射线PN.

②在射线PN上截取PB=2a,BC=a.

③连接CQ.

④过点B作CQ的平行线，交PQ于D.

.•.点D即为所求的点.

变式迁移1

解假设能找到，如图，设EC交BD于点F,则F为EC的中点,

作EG〃AC交BD于G.

•.•EG〃AC,EF=FC,

AAEGF^ACDF,且EG=DC,

EG统］AD,ABEG00ABAD,

BEEG1

..瀛=不=5,'E为AB的中点.

...当E为AB的中点时，EC的中点在BD上.

例2解题导引证明线段成比例问题，一般有平行的条件可考虑用平行线

分线段成比例定理或推论，也可以用三角形相似或考虑用线段替换等方法.

证明作EG〃AB交BC于G,如图所示，

VACEG^ACAB,

.EGCEACCEDB

—=—即—=—=—

ABAC*ABEGEG，

,.DB_pF.DF_AC

又•丽=市，'*EF=AB'

变式迁移2解如图，过点F作FH〃EC,分别交BA,DC的延长线于点G,

H,由EF〃AB〃CD及FH〃EC,知AG=CH=EF,FG=AE,FH=EC.从而FG：FH=

AE：EC=m：n.

H'-c

由BG〃DH,知BG:DH=FG：FH=m：

设EF=x,则得(x+a)：(x+b)=m：

解得x=

例3解题导引有关两线段的比值的问题，除了应用平行线分线段成比例

定理外，也可利用相似三角形的判定和性质求解.解题中要注怠观察图形特点，

巧添辅助线，对解题可起到事半功倍的效果.

证明方法一VAB/7CD,

.EAAFEACD„

CDCPAFCF~

VDE/7BC,

.AFAEEAAB公

ACAB*AFAC。

,/ZFDC=NECF,ZDEC=NFEC,

.,.△EFC^AECD.

.CDDE

••5=丽•④

ABDE

由③④得而=函

即AB,CE=AC,DE.

方法二•.•AB〃CD,DE〃BC,

Z.BEDC是平行四边形.

.\DE=BC.

,/ZACE=ZABC,ZEAC=ZBAC,

AABCAB

；.△AECs△ACB.；y=一

.AB_DE

,•AC=CE,即AB•CE=AC•DE.

变式迁移3证明因为四边形ABCD为平行四边形,

所以AB〃DC,AD〃BC.

所以△ABFSAGCF,AGCF^AGDA.

所以△ABFS/\GDA.

AFBF

从而有而=而'即AF•AD=AG•BF.

课后练习区

1.(4)

解析由平行线分线段成比例定理可知(4)正确.

2

由

解

析ADADSAADE4SAADE4

丽5-----=-二,--------=—.

ABSAABC25'Sgq形CBED21

3

.EF_AF

解析•.•EF〃BC,•,丽=正，

FGCF

又「FGaAD,

ADACT

EFFGAFCFAC

---4------_i---=--

•"BCAD-ACAC-AC

4.挛

解析设斜边上的两段的长分别为3t,2t,由直角三角形中的射影定理知：

62=3t•2t,解得t=m(t>0,舍去负根)，所以斜边的长为5乖，故斜边上的

5季

中线的长为

2-

5.15

OBBC20_5.0B_5

解析VAD/7BC,—

UDAD夜=9—

OEOB5

V0E//AD,

8f

5515

/.0E=-AD=-X12=—

ooN

3315

同理可求得OF=mBC=mX20=k，

ooZ

，EF=OE+OF=15.

6.2

解析连接DE,因为AD±BC,所以ZXADB是直角三角形，则DE=；AB=BE

=DC.又因为DG_LCE于G,所以DG平分CE,故EG=2.

7.6

解析设DE=x,VDE^AC,

.BEx15x

解得BE=

,,T5x+4'x+4

.BDBEBEx

，，DC=EA=15-BE=4,

.BDBA15x

又TAD平分NBAC,"DC=AC=x+4=4,

解得x=6.

解析连接DE,延长QP交AB于N,

f11

NP=-ED=TBC,

乙A

则《

1

NP+PQ=-BC.

1

得PQ=】BC.

9.证明由三角形的内角平分线定理得，

DFBD/

在AABD中，而=而①

“AEAB.

在AABC中，—=~②（3分）

ELDC

在7?tAABC中，由射影定理知，AB2=BD•BC,

BDAB、

即疝一.③（6分）

DFAB、

由①③得：左=^7，④（9分）

ArDC

DFAE/、

由②④得：第=记（11分）

10.证明延长AD至G,使DG=MD,连接BG、CG.

VBD=DC,MD=DG,

四边形BGCM为平行四边形.（4分）

，EC〃BG,FB〃CG,

.AE_AMAF_AM

，，AB=AG,AC=AGf

.AE_AF

…疝=正，（8分）

，EF〃BC.（12分）

11.证明VBO/7PM,

.PM_PA

（2分）

••丽=赢，

•.•DO〃PS,

•PS_PAPMPS/、

二而/•何分）

，，DO=OA,

PMBO

即---=---由BO〃PR

PSDO'

PRPC

彳导---=---（6分）

BOCO,

,PNPC,、

由DO〃PN得而=而.（8分）

.PRPNPRBO

-------BD-------

「BO-DO'PN-DO'

.PR_PM.

,•PN=PS'":.PM•PN=PR•PS.（12分）

74几何证明选讲

（二）直线与圆的位置关系

导学目标：1.理解圆周角定理，弦切角定理及其推论；2.理解圆的切线的

判定及性质定理；3.理解相交弦定理，割线定理，切割线定理；4.理解圆内接四

边形的性质定理及判定.

自主梳理

1.圆周角、弦切角及圆心角定理

(1)的度数等于其的对的度数的一半.

推论1:(或)所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的

圆周角相等.

推论2：半圆(或直径)所对的等于90°.反之，90°的圆周角所

对的弧是(或).

(2)弦切角的度数等于其所夹孤的度数的_.

(3)圆心角的度数等于它所对弧的度数.

2.圆中比例线段有关定理

(1)相交弦定理：的两条,每条弦被交点分成的

__________________的积相等.

(2)切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，切线长是这点到

割线与圆的两个交点的线段长的.

(3)割线定理：从圆外一点引圆的两条该点到每条割线与圆的交

点的两条线段长的积相等.

温馨提示相交弦定理，切割线定理，割线定理揭示了与圆有关的线段间的

比例关系，在与圆有关的比例线段问题的证明、计算以及证明线段或角相等等问

题中应用甚广.

3.切线长定理

从一点引圆的两条切线，相等.

4.圆内接四边形的性质与判定定理

(1)性质定理：圆内接四边形的对用..

推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内角的.

(2)判定定理：如果四边形的则四边形内接于

推论：如果四边形的一^「夕卜角等于它的,那么这个四边形的四

个顶点.

5.圆的切线的性质及判定定理

(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的

推论1：经过.且—与垂直的直线必经过切点.

推论2:经过且切线与垂直的直线必经过

(2)判定定理：过半径且与这条半径的直线是圆的切线.

自我检测

1.如图在放ZXABC中，NB=90°,D是AB上一点，且AD=2DB,以D为圆

心，DB为半径的圆与AC相切，则sinA=.

2.(2010•南京模拟)如图，AB是圆0的直径，EF切圆0于C,AD_LEF于D,

AD=2,AB=6,则AC长为.

F

3.如图，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4,AD1BC,垂足为

D,BE与AD相交于点F,则AF的长为

4.如图所示，AB是。。的直径，BC是。。的切线，AC交。0于点D,若AD

=32,CD=18,贝!JAB=.

5.如图，已知P是。0外一点，PD为。0的切线，D为切点，割线PEF经过

圆心0,PF=12,PD=4/，则圆0的半径长为、ZEFD的度数为.

探究点一与圆有关的等角、等弧、等弦的判定

例1如图，。。的两条弦AC,BD互相垂直，0E1AB,垂足为点E.求证：0E

变式迁移1在4ABC中，已知CM是/ACB的平分线，AAMC的外接圆0交

BC于点N;若AC=[AB,求证：BN=3MN.

探究点二四点共圆的判定

例2如图，四边形ABCD中，AB,DC的延长线交于点E,AD,BC的延长线交

于点F,ZAED,NAFB的角平分线交于点M,且EM_LFM.求证：四边形ABCD内接

变式迁移2如图，已知AP是。。的切线，P为切点，AC是。。的割线，与

。0交于B、C两点，圆心0在NPAC的内部，点M是BC的中点.

(1)证明：A,P,0,M四点共圆；

(2)求NOAM+ZAPM的大小.

探究点三与圆有关的比例线段的证明

例3如图，PA切。0于点A,割线PBC交。。于点B,C,NAPC的角平分线

分别与AB,AC相交于点D,E,求证：

(1)AD=AE；

⑵AD'DB•EC.

变式迁移3（2010•全国）

如图，已知圆上的弧AC=80,过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点,

证明：

(1)ZACE=ZBCD;

⑵BC'BEXCD.

⑥课堂小结

1.圆周角定理与圆心角定理在证明角相等时有较普遍的应用，尤其是利用

定理进行等角代换与传递.

2.要注怠一些常用的添加辅助线的方法，若证明直线与圆相切，则连结直

线与圆的公共点和圆心证垂直；遇到直径时，一般要引直径所对的圆周角，

利用直径所对的圆周角是直角解决有关问题.

3,判断两线段是否相等，除一般方法（通过三角形全等）夕卜，也可用等线段

代换，或用圆心角定理及其推论证明.

4,证明多点共圆的常用方法：

（1）证明几个点与某个定点距离相等；

（2）如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等；

（3）证明凸四边形内对角互补（或外角等于它的内角的对角）.

5.圆中比例线段有关定理常与圆周角、弦切角联合应用，要注意在题中找

相等的角，找相似三角形，从而得到线段的比.

（满分：75分）

一、填空题（每小题.5分，共40分）

1.如图，已知AB,CD是。。的两条弦，且AB=CD,OE±AB,OF±CD,垂足

分别是E,F,则结论①AB=C。，②NAOB=NCOD,③OE=OF,④AO=BC中，

正确的有个.

42

2.如图所示，过＜30外一点P作一条直线与。0交于A、B两点.已知PA=

2,点P到。。的切线长PT=4,则弦AB的长为.

3.

A

如图，已知aZSABC的两条直角边AC,BC的长分别为3cm,4cm,以AC为

BD

直径的圆与AB交于点D,则而=.

4.如图，点A,B,C是圆0上的点，且AB=4,ZACB=45°,则圆0的面

积为.

5,已知PA是圆0的切线，切点为A,PA=2,AC是圆0的直径，PC与圆0

交于点B,PB=1,则圆0的半径R=.

6.如图，圆0是aABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D,CD

=2巾，AB=3.贝UBD的长为.

7.如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点，且

DF=CFAF:FB：BE=4：2：1.若CE与圆才目切，贝iJ线段CE的长为.

PB

8.如图，四边形ABCD是圆0的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若正

1PC1BC

=5，PD=3,则而的值为

二、解答题（共35分）

9.（11分）如图，三角形ABC中，AB=AC,。0经过点A,与BC相切于B,

与AC相交于D,若AD=CD=1,求。0的半径r.

10.如图，在四边形ABCD中，△ABCgZ\BAD.求证：AB//CD.

11.如图，圆Ch与圆6内切于点A,其半径分别为n与4（口＞。）.圆。的

弦AB交圆口于点C（Ch不在AB上）.求证：AB：AC为定值.

74几何证明选讲

（二）直线与圆的位置关系

自主梳理

1.(1)圆周角弧同弧等弧所对的弧圆周角半圆弦为直径(2)

一半

2.(1)圆相交弦两条线段长

(2)等比中项(3)割线3.圆夕卜切线长4.(1)互补对角(2)对角互

补圆内角的对角共圆

5.(1)半径圆心切线切点圆心(2)外端垂直

自我检测

解析设切点为T,则DT_LAC,AD=2DB=2DT,

ZA=30°,sinA=~.

2.2m

解析连接CB,则NDCA=NCBA,

又NADC=NACB=90°,

/.△ADC^AACB.

.AD_AC

•*AC=AB'

AAC2=AB-AD=2X6=12.

AAC=2^3.

Q2A/3

解析如图，连接CE,AO,AB.根据A,E是半圆周上的两个三等分点，BC

为直径，可得NCEB=90°,ZCBE=30°,ZA0B=60°,故aAOB为等边三角

形，AD=木,OD=BD=1,；.DF=岑,.•.AF=AD-DF=芈.

OO

4.40

解析如图，连接BD,则BDJ_AC,由射影定理知，

AB?=AD•AC=32X50=l600,故AB=40.

5.430°

解析由切割线定理得PD2=PE•PF,

PD216X3

，EF=8,0D=4.

又•.•OD_LPD,OD=-PO,NP=30°,

NP0D=60°=2NEFD,/.ZEFD=30o.

课堂活动区

例1解题导引（1）借用等弦或等弧所对圆周角相等，所对的圆心角相等，

进行角的等量代换；同时也可借在同圆或等圆中，相等的圆周角（或圆心角）所对

的弧相等，进行弧（或弦）的等量代换.

（2）本题的证法是证明一条线段等于另一条线段的一半的篇用方法.

证明作直径AF,连接BF,CF,则NABF=NACF=90°.

又OE_LAB,0为AF的中点，

1

则OE=-BF.

VAC±BD,

.,.ZDBC+ZACB=90°,

又...AF为直径，NBAF+NBFA=90°,

ZAFB=ZACB,

二ZDBC=NBAF,即有CD=BF.

变式迁移1证明,.,CM是NACB的平分线,

*_ACBC

AMBM'

BM

即BC=AC•福,

又由割线定理得BM•BA=BN•BC,

BM

ABN•AC•—=BM-BA,

又；AC=；AB,ABN=3AM,

•.•在圆0内NACM=NMCN,

，AM=MN,；.BN=3MN.

例2解题导引证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此

线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，

则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补.

A

证明连接EF,

因为EM是NAEC的角平分线，

所以NFEC+NFEA=2ZFEM.

同理，ZEFC+ZEFA=2ZEFM.

而NBCD+ZBAD=NECF+ZBAD

=(180°-ZFEC-ZEFC)+(180°-ZFEA-ZEFA)

=360°-2(ZFEM+ZEFM)

=360°-2(180°-NEMF)=2NEMF=180°,

即/BCD与NBAD互补.

所以四边形ABCD内接于圆.

变式迁移2(1)证明连接OP,0M,

因为AP与。0相切于点P,

所以OP_LAP.

因为M是。0的弦BC的中点，所以OM_LBC.

于是N0PA+N0MA=180°,

由圆心0在NPAC的内部，可知四边形AP0M的对角互补，

所以A,P,0,M四点共圆.

(2)解由⑴得A,P,0,M四点共圆，

所以N0AM=N0PM.

由⑴得0P_LAP.

由圆心0在NPAC的内部，

可知N0PM+NAPM=90°,

所以N0AM+NAPM=90°.

例3解题导引寻找适当的相似三角形，把几条要证的线段集中到这些相

似三角形中，再用圆中角、与圆有关的比例线段的定理找到需要的比例式，使问

题得证.

证明(1)NAED=NEPC+NC,NADE=NAPD+NPAB.

因PE是/APC的角平分线，故NEPC=NAPD,PA是。0的切线，故NC=

ZPAB.

所以NAED=NADE.故AD=AE.

NPCE=NPAD'ECPC

⑵>=>APCE^APAD^—=PA；

ZCPE=ZAPDAD

ZPEA=ZPDB'AEPA

0AAPAE^AAPBD^—=

ZAPE=ZBPDPB,

PAPC

又PA是切线，PBC是割线=PA?=PB•PC=^=氤.

ID1A

ECAE