苏科版初中八年级数学上册专项素养综合练(五)勾股定理的应用课件

勾股定理的应用专项素养综合全练(五)类型一用勾股定理解决最短路径问题(一)平面中的最短路径问题1.如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A,B到河岸的距离分别为

400米,200米,CD=800米,牧童从A处把牛牵到河边饮水后回

家,问在何处饮水能使所走的总路程最短?最短路程是多少?解析如图,作点B关于直线CD的对称点B',连接AB'交CD于

点P,连接PB,过点B'作B'E⊥直线AC,垂足为E.

易知PB=PB',EB'=CD=800米,CE=DB'=DB=200米.∴PA+PB=AP+PB'=AB',AE=AC+CE=600米,故到点P处饮水能使所走的总路程最短,为线段AB'的长.在Rt△AEB'中,AB'2=AE2+EB'2=6002+8002=10002,∴AB'=1000米.答:在P处饮水能使所走的总路程最短,最短路程是1000米.2.(一题多变)如图,一个密封的圆柱形油罐的底面圆的周长

是10m,高为13m,一只壁虎在距下底面1m的A处,上底面边

缘C处有食物,壁虎沿油罐的外侧面爬行到C处捕食,它爬行

的最短路线长为多少米?

(二)立体图形中的最短路径问题解析如图,将圆柱的侧面展开,过C作CF⊥BE于F,过点A作

AD⊥CF于D,则AD=5m,DF=AB=1m,CF=13m,则CD=12m,

则AC2=122+52=169,∴AC=13m.答:它爬行的最短路线长为13m.

[变式1]如图,一个圆柱体高20cm,底面半径为5cm,在圆柱体下底面的A点处有一只蜘蛛,它想吃到上底面与A点相对的B

点处的一只已被粘住的苍蝇,这只蜘蛛从A点出发,沿着圆柱

体的侧面爬到B点,最短路程是多少?(π取3)

解析如图,将圆柱体的侧面展开,连接AB,则AB的长即为蜘

蛛爬行的最短路程.根据题意,得AC=20cm,BC=πR=5π=5×3=

15cm.

在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2=BC2+AC2=152+202=625,所

以AB=25cm,即最短路程是25cm.[变式2]桌上有一圆柱形玻璃杯,高为12cm,底面周长为18

cm,在杯内壁离杯口3cm的A处有一滴蜜糖,一条小虫从桌上

爬至杯子外壁,当它正好爬至蜜糖相对方向离桌面3cm的B

处时(即A、B在底面的射影的连线段经过底面的圆心O),突

然发现了蜜糖,问小虫怎样爬到达蜜糖最近?它至少爬多少

路才能到达蜜糖所在位置?解析如图,将圆柱的侧面展开,作点A关于直线CD的对称点

A',则最短路程为BA'的长,

易知BE=CD=

×18=9cm,A'E=12cm,则BA'2=BE2+EA'2=92+122=225,∴BA'=15cm.答:最短路程为15cm.3.如图,有一块直角三角形纸片ABC,∠ACB=90°,AC=8cm,BC

=6cm,将纸片折叠,点B落在直角边AC的延长线上的点E处,

折痕为AD,求CD的长.类型二用勾股定理解决折叠问题解析在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2=100,∴AB=10.根据折叠的性质可知AE=AB=10,∵AC=8,∴CE=AE-AC=2.设CD=x,则BD=6-x=DE.在Rt△CDE中,根据勾股定理,得CD2+CE2=DE2,即x2+22=(6-x)2,解得x=

,∴CD的长为

cm.4.(情境题·国防教育)我国海监船加大了某岛附近海域的巡

航维权力度.如图,OA⊥OB,OA=36海里,OB=12海里,该岛位

于O点,我国海监船在点B处发现有一不明国籍的渔船,自A点

出发沿着AO方向匀速驶向该岛所在地点O,我国海监船立即

从B处出发以相同的速度沿某直线去拦截这艘渔船,结果在

点C处截住了渔船.(1)请用直尺和圆规作出C处的位置.(2)求我国海监船行驶的航程(BC的长).类型三用勾股定理解决实际问题解析(1)连接AB,作AB的垂直平分线与OA交于点C.(2)连接BC,由作图可得CD为AB的垂直平分线,则CB=CA.∵OA⊥OB,∴在Rt△BOC中,BO2+OC2=BC2,即122+(36-BC)2=BC2,∴BC=20海里.答:我国海监船行驶的航程(BC的长)为20海里.5.为节约用电,某住宅楼将单元门厅照明灯更换为人体感应

灯,当人体进入感应灯感应范围内(即人体头顶与感应灯的距

离小于或等于感应距离)时,感应灯亮.如图,当身高1.9m的人

CD与感应灯A的水平距离为4m时,感应灯刚好亮,当身高0.9

m的小朋友EF与感应灯A的水平距离为3m时,感应灯A也刚

好亮,求感应灯A到地面的距离(AB的长).解析如图,过点C作CM⊥AB于M,过点E作EN⊥AB于N,

则CD=MB=1.9m,EF=BN=0.9m,设AM=xm,则AN=(x+1)m,由题意得AC=AE,在Rt△AMC和Rt△ENA中,AC2=CM2+AM2,AE2=AN2+EN2,∴CM2+AM2=AN2+EN2,∴42+x2=(x+1)2+32,解得x=3,∴AM=3m,∴AB=AM+MB=4.9m.6.(2024江苏无锡江阴期中)如图,点A是射线BC外一点,连接

AB,若AB=5cm,点A到BC的距离为3cm,动点P从点B出发沿

射线BC以2cm/s的速度运动,设运动时间为t(t>0)秒.是否存

在t值,使得△ABP为直角三角形?若存在,求出t的值;若不存

在,请说明理由.类型四勾股定理在探究动点的存在性问题中的应用解析存在.过点A作AH⊥BC于点H,∵点A到BC的距离为3cm,∴AH=3cm.在Rt△AHB中,由勾股定理,得BH2=AB2-AH2=52-32=16,∴BH=4cm,分两种情况:①如图1,当∠APB=90°时,点P与点H重合,∴BP=4cm,由题意

得2t=4,解得t=2.

②如图2,当∠BAP=90°时,∵AB=5cm,BP=2tcm,AH=3cm,BH=4cm,∴HP=(2t-4)cm.由勾股定理,得AP2=BP2-AB2=(2t)2-25,AP2=AH2+HP2=32+(2t-4)2,∴(2t)2-25=32+(2t-4)2.解得t=

.综上所述,当t为2或

时,△ABP为直角三角形.7.(新考向·开放性试题)(2023江苏无锡江阴期中)如图,在△

ABC中,∠ACB=90°,AB=10cm,BC=6cm,若点P从点A出发,以

每秒1cm的速度沿射线AC运动,设运动时间为t(t>0)秒.(1)将△BCP沿着直线BP翻折,当t为何值时,点C恰好落在直

线AB上?(2)是否存在t值,使得△ABP为等腰三角形?若存在,求出t的

值;若不存在,请说明理由.

备用图解析(1)当点P在线段AC上时,如图1.由题意知,BC'=BC=6cm,PC'=PC,∠BC'P=∠PCB=90°,∴AC'=AB-BC'=4cm.由勾股定理,得AC2=AB2-BC2=64,∴AC=8cm.在Rt△APC'中,AP2=C'A2+C'P2,即AP2=42+(8-AP)2,∴AP=5cm,∴t=5.图1

图2当点P在AC的延长线上时,如图2.由题意知,BC'=BC=6cm,PC'=PC,∠BC'P=∠PCB=90°,∴AC'=AB+BC'=16cm.由勾股定理,得AC2=AB2-BC2=64,∴AC=8cm.在Rt△APC'中,AP2=C'A2+C'P2,即AP2=162+(AP-8)2,∴AP=20cm.∴t=20.综上所述,当t为5或20时