2023-2024学年重庆市南开中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年重庆市南开中学高二（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={x||log2x|<1},B={x|1−xx+2A.(12,1) B.(1,2) C.(−2,2.已知函数f(x)的定义域为[1,+∞)，则函数g(x)=f(ex)A.(1,+∞) B.[1,+∞) C.(0,+∞) D.[0,+∞)3.已知命题p：|x|+|x+1|≥a对∀x∈R恒成立，命题q：函数f(x)=ln(1−ax)在[0,1]上单调递减，则p是q的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件4.已知a>b>1，则下列不等式不一定成立的是(

)A.aa+1>bb+1B.logab<5.已知函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(

)A.f(x)=ex−e−xx

B.f(x)=6.已知a=log232,b=log1343,c=loA.a<b<c B.a<c<b C.c<b<a D.c<a<b7.将1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数填入如图所示的3×3的九宫格中，每个格子中只填入1个数，已知4个偶数分别填入有阴影的格子中，则每一行的3个数字之积都能被3整除的概率为(

)A.15 B.310 C.258.已知m，n，k均为正实数，m>2k，且3k2−(3m+2n)k+mn=0，若(3m+n)t−3k≥0恒成立，则实数t的最小值为A.115 B.15 C.3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.关于(1x−2xA.各项系数之和为1 B.第二项与第四项的二项式系数相等

C.常数项为60 D.有理项共有4项10.已知非常值函数f(x)及其导函数g(x)的定义域均为R，则(

)A.若f(4−x)+f(x)=2，则f(x−2)−1为奇函数

B.若f(1−x)为偶函数，则g(1)=0

C.若f(x−2)为偶函数，f(2x−1)为奇函数，则f(3)=0

D.若f(12−2x)与11.16、17世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急.约翰⋅纳皮尔正是在研究天文学的过程中，为了简化其中的计算而发明了对数.对数的发明是数学史上的重大事件.恩格斯曾经把对数的发明称为17世纪数学的三大成就之一.已知lg2≈0.301，lg2024≈3.306，则下列说法中正确的是(

)A.若正实数x，y，z满足3x=4y=6z，则1x+1y=1z

B.若一个正整数n的20次方是一个13三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知函数f(x)=32x+3−2x≥−1lo13.写出一个同时具有下列性质的函数f(x)=______．

①f(x)为定义在R上的非常值函数；

②∀x1∈R且x1≠2，均存在唯一的x2∈R(x2≠2且x1≠14.已知函数f(x)=−x|x−2a|+a2+2a，若函数f(x)有三个不同的零点x1，x2，x3(四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

已知二次函数f(x)满足f(x+1)−f(x)=2x−2且f(1)=0．

(1)求f(x)的解析式；

(2)设g(x)=f(x)+(a+3)x−1，x∈[−2,1]，求函数g(x)的最小值ℎ(a)．16.(本小题15分)

甲，乙，丙，丁四名选手进行象棋比赛，已知甲和乙是专业选手，丙和丁是业余选手.已知专业选手对业余选手时专业选手获胜的概率为0.7、业余选手获胜的概率为0.3，专业选手对专业选手时每人获胜的概率均为0.5，业余选手对业余选手时每人获胜的概率均为0.5，比赛规则为：第一轮随机安排两两对赛，胜者进入第二轮，负者淘汰；第二轮胜者为第一名．

(1)求选手甲和丁在第一轮对赛的概率；

(2)求选手甲和丁在第二轮对赛的概率；

(3)现有两种比赛方案，

方案一：第一轮安排专业选手与专业选手对赛；

方案二：第一轮安排业余选手与专业选手对赛．

比较两种方案中业余选手获得第一名的概率的大小，并解释结果．17.(本小题15分)

已知函数f(x)=3x+a3x−a,a∈R．

(1)当a=1时，证明：f(x)为奇函数；

(2)当a<0时，函数f(x)在[m,n](m<n)上的值域为[−13m,−118.(本小题17分)

已知函数f(x)=lnxx−1．

(1)求f(x)的单调性；

(2)若f(x)<xa19.(本小题17分)

已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点为A1，A2，左右焦点为F1，F2，过F1，F2分别作两条互相平行的直线l1，l2，其中l1交E于A，B两点，l2交E于C，D两点，且点A，C位于x轴同侧，直线A1C与A2A交于点P.当l1与x轴垂直时，△PF1F参考答案1.A

2.C

3.B

4.D

5.D

6.A

7.B

8.B

9.ACD

10.BC

11.BCD

12.[−127,−113.|x−2|

14.(−2,−1)

(2+215.解：(1)设f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，

则f(x+1)−f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c−ax2−bx−c=2ax+a+b=2x−2，

所以a=1，a+b=−2，即b=−3，

因为f(1)=a+b+c=0，

所以c=2，f(x)=x2−3x+2；

(2)g(x)=f(x)+(a+3)x−1=x2+ax+1，

g(x)的开口向上，对称轴为x=−12a，

当−12a≥1，即a≤−2时，g(x)在[−2,1]上单调递减，则ℎ(a)=g(1)=2+a；

当−12a≤−2，即16.解：(1)由题意，第一轮的对赛的所有情况有：

①甲乙，丙丁；②甲丙，乙丁；③甲丁，乙丙，共三种情况，

故甲和丁在第一轮对赛的概率为13；

(2)由(1)，第一轮的对赛的所有情况有三种：

①甲乙，丙丁：甲和丁在第二轮对赛则甲、丁分别战胜对手，

故甲和丁在第二轮对赛的概率为0.5×0.5=0.25；

②甲丙，乙丁：甲和丁在第二轮对赛则甲、丁分别战胜对手，

故甲和丁在第二轮对赛的概率为0.7×0.3=0.21；

③甲丁，乙丙：甲和丁在第二轮对赛的概率为0，

故甲和丁在第二轮对赛的概率为13×0.25+13×0.21+13×0=23150；

(3)方案一：第一轮安排专业选手与专业选手对赛：

则第二轮必定为专业选手与业余选手对赛，则业余选手获得第一名的概率为0.3，

方案二：第一轮安排业余选手与专业选手对赛：

第二轮为全专业选手的概率为0.7×0.7=0.49，

则业余选手获得第一名的概率为0.49×0=0，

第二轮为全业余选手的概率为0.3×0.3=0.09，

则业余选手获得第一名的概率为0.09×1=0.09，

第二轮为一个专业选手与一个业余选手的概率为0.7×0.3+0.3×0.7=0.42，17.证明：(1)当a=1时，f(x)=3x+13x−1，

由3x−1≠0，得函数y=f(x)的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，

又f(−x)=3−x+13−x−1=3x+11−3x=−f(x)，

所以函数f(x)为定义域上的奇函数．

(2)解：当a<0时，f(x)=3x+a3x−a=1+2a3x−a，

所以y=f(x)是单调增函数，f(x)在[m,n](m<n)上的值域为[−13m,−13n]，

所以f(m)=3m+a3m−a=−13m，f(n)=3n+a3n−a=−13n，

则m、n是3x+a18.解：(1)f(x)的定义域为(0,1)∪(1,+∞)，f′(x)=1−1x−lnx(x−1)2，

设g(x)=1−1x−lnx，则g′(x)=1x2−1x=1−xx2，

当x∈(0,1)时，g′(x)>0，g(x)单调递增；当x∈(1,+∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，

所以g(x)max<g(1)=0，即f′(x)<0在定义域内恒成立，

所以f(x)在(0,1)和(1,+∞)上单调递减，无单调增区间．

(2)当x>1时，f(x)<xa等价于xa+1−xa−lnx>0；当0<x<1时，f(x)<xa等价于xa+1−xa−lnx<0，

设ℎ(x)=xa+1−xa−lnx，则ℎ′(x)=(a+1)xa−axa−1−1x=(a+1)xa+1−axa−1x，

设φ(x)=(a+1)xa+1−axa−1，则φ′(x)=(a+1)2xa−a2xa−1=xa−1[(a+1)2x−a2]，

①当x>1时，

若a=−1，则ℎ(x)=1−x−1−lnx，ℎ′(x)=x−1−1x=1−x19.解：(1)设F1(−c,0)，F2(c,0)，故直线CD的方程为x=c，

联立方程x=cx2a2+y2b2=1，得y2=(1−c2a2)b2，所以y=±b2a，

不妨设C(c,b2a)，由△PF1F2是等腰直角三角形可得kPF1=1，

所以直线PF1的方程为：x=y−c，同理可得PF2的方程为：x=−y+c，

所以交点P(0,c)，

由△PF1F2是等腰直角三角形面积为1可得12×2c×c=1，解得c2=1，

又P(0,c)在直线AC上，