四川省2023-2024学年高三数学第四次月考理科试题含解析

Page19时间：120分钟总分：150分一、单项选择题．本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．1.若隻合，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先求集合，再由并集运算求解即可.【详解】，=，则.故选：D.2.复数的共轭复数是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根据复数代数形式的除法运算化简，再求出其共轭复数.【详解】因为，所以复数的共轭复数是.故选：C3.已知向量，若，则（）A.25 B.5 C. D.【答案】B【解析】【分析】先根据求出，然后利用坐标运算求模.【详解】因为，所以，即，解得，所以,所以.故选：B.4.若，，，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用指数函数，对数函数以及三角函数的图象与性质即可求解.【详解】根据指数、对数的性质可得：，，因为，所以，所以故选：C．5.在△中，“”是“”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【详解】试题分析：由正弦定理，得，由得，即，由大边对大角得；当得，即，由正弦定理得，因此“”是“”的充要条件，故答案为C.考点：1、正弦定理应用；2、充要条件的判断.6.记为等差数列的前n项和．已知，则A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】等差数列通项公式与前n项和公式．本题还可用排除，对B，，，排除B，对C，，排除C．对D，，排除D，故选A．【详解】由题知，，解得，∴，故选A．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断．7.基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数．基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间．在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间(单位：天)的变化规律，指数增长率与，近似满足．有学者基于已有数据估计出=3.07，=6．据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(参考数据：ln2≈0.69)（）A.1.5天 B.2天 C.2.5天 D.3.5天【答案】B【解析】【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.【详解】因为，，，所以，所以，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，则，所以，所以，所以天.故选：B.【点睛】方法点睛：与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.8.函数在区间上的图象为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，然后代入计算，从而得正确答案.【详解】，

为奇函数，排除A；又，排除B；，即，排除C，故选：D9.已知函数在区间上是增函数，且在区间上存在唯一的使得，则的取值不可能为（）A. B. C. D.1【答案】B【解析】【分析】由已知函数在上单调递增，在上存在唯一的最大值，建立关于的不等式组，求解的范围，比较选项.【详解】由题意可知，解得：四个选项只有B不成立.故选：B【点睛】本题考查三角函数的性质，重点考查最值，属于中档题型，本题的关键是考查端点值和最大值的比较.10.已知函数的值域为，那么实数的取值范围是（）A. B.[-1，2） C.（0，2） D.【答案】B【解析】【分析】先求出函数的值域，而的值域为，进而得，由此可求出的取值范围.【详解】解：因为函数的值域为，而的值域为，所以，解得，故选：B【点睛】此题考查由分段函数的值域求参数的取值范围，分段函数的值域等于各段上的函数的值域的并集是解此题的关键，属于基础题.11.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据二倍角公式将化简得到，利用余弦定理和正弦定理将化简可得，进而求出结果.【详解】因为，所以，所以，即，又，所以，所以，所以.因为，由余弦定理得，即，又，所以，所以，由正弦定理得，所以.设的外接圆的半径为，所以，解得，所以的外接圆的面积为.故选：B.12.已知函数，，若，，则的最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先由，，再结合函数函数的图象可知，，这样转化，利用导数求函数的最大值.【详解】由题意得，，，即，令函数，则，所以，时，，在上单调递减，时，，在上单调递增，又当时，，时，，作函数的图象如图所示.由图可知，当时，有唯一解，故，且，∴.设，，则，令解得，所以在上单调递增，在上单调递减，∴，即的最大值为.故选：D.【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数求函数的最值，本题的关键是观察与变形，，并且由函数图象判断，只有一个零点，所以，这样后面的问题迎刃而解.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知函数，则___________.【答案】2【解析】【分析】根据解析式求函数值即可.【详解】因为所以，故答案为：214.在平行四边形中，点E满足且，则实数________．【答案】4【解析】【分析】根据平面向量的线性运算结合平面向量基本定理分析可得结果.【详解】由题意可得：,故答案为：4.15.已知函数在区间上的最小值为_________．【答案】【解析】【分析】求导得函数的单调性，即可求解极值点以及端点处的函数值比较大小求解.【详解】，则．令，解得(舍去)，或．所以故在单调递增，在单调递减，，又，所以．故答案为：16.已知函数，函数，则下列结论正确的是__________．①若有3个不同的零点，则a的取值范围是②若有4个不同的零点，则a的取值范围是③若有4个不同的零点，则④若有4个不同的零点，则的取值范围是【答案】②③④【解析】【分析】根据题意，将问题转化为函数与图像的交点个数问题，进而数形结合求解即可得答案．【详解】令，得，即所以零点个数为函数与图像的交点个数，作出函数图像如图，由图可知，有3个不同的零点，则的取值范围是，，故①错误；有4个不同的零点，则的取值范围是，故②正确；有4个不同的零点，，，，此时，关于直线对称，所以，故③正确；由③可知，所以，由于有4个不同的零点，的取值范围是，故，所以，故④选项正确．故答案为：②③④．【点睛】关键点点睛：本题解题关键是将问题转化为函数与图像的交点个数问题，数形结合得出答案，考查等价转化的思想.三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.等比数列的各项均为正数，且.（1）求数列的通项公式；（2）设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组，求出首项与公比，即可求出等比数列的通项公式即可；（2）由an＝化简bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，可得到bn的通项公式，求出的通项公式，利用裂项相消法求和.【详解】（1）设数列{an}的公比为q,由＝9a2a6得＝9,所以q2＝.由条件可知q＞0,故q＝.由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.故数列{an}的通项公式为an＝.（2）bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－（1＋2＋…＋n）＝－.故.所以数列前n项和为18.已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）若将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)，得到函数的图象，求函数在区间上的值域．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，代入最小正周期运算求解，再以为整体结合正弦函数可得，运算求解的单调递减区间；（2）根据图像变换可得，以为整体结合正弦函数图像求值域．【小问1详解】∴的最小正周期为∵，则∴的单调递减区间为【小问2详解】根据题意可得：将函数的图象向右平移个单位长度，得到再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍(纵坐标不变)，则∵，则∴，则即函数在区间上的值域为．19.已知函数.（1）若，求的极值.（2）若方程在区间上有解，求实数的取值范围.【答案】（1）极小值为，无极大值（2）【解析】【分析】（1）求出函数的定义域与导数导函数，即可得到函数的单调区间，从而求出函数的极值；（2）对参数分、、三种情况讨论，分别求出函数的单调性，即可得到函数的极值（最值），从而得到不等式，即可求出参数的取值范围.【小问1详解】解：因为定义域为，所以，当时，，，令得当时，，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，所以的极小值为，无极大值.【小问2详解】解：因为，①若，当时恒成立，所以在上单调递增要使方程在上有解，则即得，因为，所以.②若，当时恒成立，所以在上单调递减，此时不符合条件.③若，当时，，当时，所以在上单调递减，在上单调递增，此时，，要使方程在上有解，则需，解得，所以.综上可知，的取值范围为20.在①，②，③的面积为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并加以解答.已知的内角，，所对的边分别为，，，且___________.（1）求角；（2）若为的中点，且，，求，的值.【答案】条件选择见解析；（1）；（2）.【解析】分析】选择①（1）利用正弦定理将角转化边，整理得到，然后利用余弦定理求解.选择②（1）利用正弦定理将边转化角得到，然后利用两角和的正弦公式转化为求解.选择③（1）利用面积公式结合条件，然后利用正弦定理将角转化为边整理得到，然后利用余弦定理求解.（2）在中，由余弦定理得到，在中，由余弦定理得到，然后根据，两式相加求解.【详解】选择①（1）根据正弦定理得，整理得，即，所以.因为，所以.选择②（1）根据正弦定理有，所以，即.因为，所以，从而有，故.选择③（1）因为，所以，即，由余弦定理，得，又因，所以.（2）在中，，即.在中，，即.因为，所以，所以.由及，得，所以，从而，所以.【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理的应用以及两角和与差的三角函数，还考查了运算求解的能力，属于中档题.21.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式对恒成立，求的取值范围．【答案】（1）答案见解析（2）【解析】【分析】（1）利用导数与单调性的关系分类讨论求解；（2）利用导数与单调性最值的关系，结合的不同取值范围分类讨论求解.【小问1详解】，的定义域为．①当即时，在上递减，在上递增，②即时，在和上递增，在上递减.【小问2详解】设，设，则在上递增，的值域为，①当时，为上的增函数，，适合条件．②当时，不适合条件．③当时，对于，令，存在，使得时，在上单调递减，，即在时，不适合条件．综上，的取值范围为．选做题：第22题，23题中选做一题，多做或做错按照第一题计分选修4-422.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），．以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的直角坐标方程；（2）已知点，设与的交点为，．当时，求的极坐标方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据将极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将曲线的参数方程代入的直角坐标方程，根据的几何意义可设，，列出韦达定理，由求出，即可求出的普通方程与极坐标方程.【小问1详解】因为曲线的极坐标方程为，即，因为，所以，所以的直角坐标方程为.【小问2详解】将曲线的参数方程为（为参数）代入的直角坐标方程，整理得，由的几何意义可设，，因点在内