2024年高中数学第二章直线和圆的方程2.5直线与圆圆与圆的位置关系2.5.2圆与圆的位置关系学案新人教A版选择性必修第一册

．5直线与圆、圆与圆的位置关系2．5.2圆与圆的位置关系[课程目标]1.理解圆与圆的位置关系的种类.2.驾驭圆与圆的位置关系的代数推断方法与几何推断方法，能够利用上述方法推断两圆的位置关系.学问点圆与圆位置关系的判定(1)几何法：若两圆的半径分别为r1，r2，两圆的圆心距为d，则两圆的位置关系的判定方法如下：位置关系外离外切相交内切内含图示d与r1，r2的关系d>r1＋r2d＝r1＋r2|r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|0<d<|r1－r2|(2)代数法：通过两圆方程组成方程组的公共解的个数进行判定．将圆C1和圆C2的方程联立，消去y(或x)得到关于x(或y)的一元二次方程．①Δ>0，圆C1和圆C2__相交__；②Δ＝0，圆C1和圆C2__相切__；③Δ<0，圆C1和圆C2__外离或内含__．[研读](1)圆和圆相离，两圆无公共点，它包括外离和内含；圆和圆相切，两圆有且只有一个公共点，它包括内切和外切．(2)判定两圆位置关系时，结合图形易于推断分析，而从两圆方程动身往往比较烦琐且不精确，可充分利用两圆圆心距与两圆半径的和差的比较进行推断．eq\a\vs4\al(【思辨】)推断下列命题是否正确.(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)假如两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．(×)(2)假如两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．(×)(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程.(×)(4)若两圆外切，则两圆有且只有一个公共点，反之也成立．(×)eq\o(\s\up7(),\s\do5(圆与圆位置关系的推断))eq\a\vs4\al\co1(例1)实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交、相切、外离？解：将两圆的一般方程化为标准方程，C1：(x＋2)2＋(y－3)2＝1，圆心为C1(－2，3)，半径r1＝1，C2：(x－1)2＋(y－7)2＝50－k，圆心为C2(1，7)，半径r2＝eq\r(50－k)(k<50).从而|C1C2|＝eq\r(（－2－1）2＋（3－7）2)＝5.当1＋eq\r(50－k)＝5，即k＝34时，两圆外切．当|eq\r(50－k)－1|＝5，即eq\r(50－k)＝6，即k＝14时，两圆内切．当|eq\r(50－k)－1|<5<1＋eq\r(50－k)，即14<k<34时，两圆相交．当eq\r(50－k)＋1<5，即34<k<50时，两圆外离．[规律方法]推断两圆的位置关系或利用两圆的位置关系求参数的取值范围有以下几个步骤(1)化成圆的标准方程，写出圆心和半径；(2)计算两圆圆心的距离d；(3)通过d，r1＋r2，|r1－r2|的关系来推断两圆的位置关系或求参数的范围，必要时可借助于图形，数形结合．活学活用圆x2＋y2－2y＝0与圆(x－4)2＋(y＋2)2＝4的位置关系是(A)A．外离B．相交C．外切D．内切【解析】圆的方程x2＋y2－2y＝0化为x2＋(y－1)2＝1，所以两圆圆心分别为(0，1)，(4，－2)，则圆心距为eq\r(（4－0）2＋（－2－1）2)＝5.由d＝5>r1＋r2＝1＋2，所以两圆外离．eq\o(\s\up7(),\s\do5(两圆相切问题))eq\a\vs4\al\co1(例2)(1)【多选题】若圆C1：(x－1)2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－8x＋8y＋m＝0相切，则m等于(AC)A．16B．7C．－4D．9【解析】圆C1的圆心为(1，0)，半径为1；圆C2化为(x－4)2＋(y＋4)2＝32－m，表示以(4，－4)为圆心，半径等于eq\r(32－m)(m<32)的圆．由题意，两个圆内切时，两圆的圆心距等于半径之差的肯定值，可得5＝|eq\r(32－m)－1|，解得m＝－4.两个圆外切时，两圆的圆心距等于半径之和，可得5＝eq\r(32－m)＋1，解得m＝16，综上，m的值为－4或16.(2)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.①求m取何值时两圆外切；②求m取何值时两圆内切，并求出此时两圆公切线的方程．解：①两圆的标准方程分别为C1：(x－1)2＋(y－3)2＝11，C2：(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为C1(1，3)，C2(5，6)，半径分别为eq\r(11)和eq\r(61－m)(m<61).当两圆外切时，eq\r(（5－1）2＋（6－3）2)＝eq\r(11)＋eq\r(61－m)，解得m＝25＋10eq\r(11).②当两圆内切时，因为圆C1的半径eq\r(11)小于两圆圆心距5，故有eq\r(61－m)－eq\r(11)＝5，解得m＝25－10eq\r(11).因为kC1C2＝eq\f(6－3,5－1)＝eq\f(3,4)，所以两圆公切线的斜率是－eq\f(4,3).设切线方程为y＝－eq\f(4,3)x＋b，则有eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)×1＋3－b)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))\s\up12(2)＋1))＝eq\r(11)，解得b＝eq\f(13,3)±eq\f(5,3)eq\r(11).简单验证，当b＝eq\f(13,3)＋eq\f(5,3)eq\r(11)时直线与圆C2相交，舍去．故所求公切线方程为y＝－eq\f(4,3)x＋eq\f(13,3)－eq\f(5,3)eq\r(11)，即4x＋3y＋5eq\r(11)－13＝0.[规律方法]处理两圆相切问题的两个步骤(1)定性，即必需精确把握是内切还是外切，若只是已知相切，则必需分两圆内切和外切两种状况探讨．(2)转化思想，即将两圆相切的问题转化为两圆的圆心距等于两圆半径之差的肯定值(内切时)或两圆半径之和(外切时).活学活用与圆x2＋y2－2x＝0外切且与直线x＋eq\r(3)y＝0相切于点M(3，－eq\r(3))的圆的方程为__(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36__．【解析】已知圆的方程可化为(x－1)2＋y2＝1，则圆心为C(1，0)，半径为1.设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0).由题意，可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(（a－1）2＋b2)＝r＋1，,\f(b＋\r(3),a－3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)))＝－1，,\f(|a＋\r(3)b|,2)＝r，))解得a＝4，b＝0，r＝2或a＝0，b＝－4eq\r(3)，r＝6.即所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋4eq\r(3))2＝36.eq\o(\s\up7(),\s\do5(两圆相交问题))eq\a\vs4\al\co1(例3)已知圆C1：x2＋y2＋6x－4＝0和圆C2：x2＋y2＋6y－28＝0.(1)求两圆公共弦所在直线的方程；(2)求经过两圆交点且圆心在直线x－y－4＝0上的圆的方程．解：(1)由题意可推断两圆相交，设两圆交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点坐标是方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＋6x－4＝0，,x2＋y2＋6y－28＝0))的解，将两方程相减，得x－y＋4＝0.因为A，B两点坐标都满意此方程，所以x－y＋4＝0即为两圆公共弦所在直线的方程．(2)方法一：解上述方程组，得两圆的交点A(－1，3)，B(－6，－2)或A(－6，－2)，B(－1，3).设所求圆的圆心为(a，b)，因圆心在直线x－y－4＝0上，故b＝a－4.则eq\r(（a＋1）2＋（a－4－3）2)＝eq\r(（a＋6）2＋（a－4＋2）2)，解得a＝eq\f(1,2)，故圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(7,2)))，半径为eq\r(\f(89,2)).故圆的方程为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(7,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(89,2)，即x2＋y2－x＋7y－32＝0.方法二：设所求圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0(λ≠－1)，其圆心为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,1＋λ)，－\f(3λ,1＋λ)))，代入x－y－4＝0，解得λ＝－7.故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.[规律方法](1)两圆相交时，公共弦所在的直线方程的求法若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则两圆公共弦所在直线的方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0.(2)两圆公共弦长的求法①代数法：将两圆的方程联立，解出交点坐标，利用两点间的距离公式求出弦长．②几何法：求出公共弦所在直线的方程，利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形，依据勾股定理求解．(3)圆系方程①过直线l与圆C的交点的圆的方程已知直线l：Ax＋By＋C＝0与圆C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0相交，则过直线l与圆C交点的圆的方程可设为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R).②过两圆的交点的圆的方程已知圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则过两圆交点的圆的方程可设为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1).活学活用已知两圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0和x2＋y2＋2x＋2y－8＝0.(1)推断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在的直线方程；(3)求公共弦的长度．解：(1)将两圆方程配方化为标准方程，则C1：(x－1)2＋(y＋5)2＝50，C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝10，则圆C1的圆心坐标为(1，－5)，半径为r1＝5eq\r(2)，圆C2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r2＝eq\r(10).又∵|C1C2|＝2eq\r(5)，r1＋r2＝5eq\r(2)＋eq\r(10)，|r1－r2|＝|5eq\r(2)－eq\r(10)|，∴|r1－r2|<|C1C2|<r1＋r2，∴两圆相交．(2)将两圆方程相减，得公共弦所在的直线方程为x－2y＋4＝0.(3)方法一：由(2)知圆C1的圆心(1，－5)到直线x－2y＋4＝0的距离为d＝eq\f(|1－2×（－5）＋4|,\r(1＋（－2）2))＝3eq\r(5)，∴公共弦长为l＝2eq\r(req\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))－d2)＝2eq\r(50－45)＝2eq\r(5).方法二：设两圆相交于点A，B，则A，B两点满意方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,x2＋y2＋2x＋2y－8＝0，))))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\a\vs4\al\co1(x＝－4，,y＝0))))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝2，))))∴|AB|＝eq\r(（－4－0）2＋（0－2）2)＝2eq\r(5).即公共弦长为2eq\r(5).1．两圆x2＋y2－1＝0和x2＋y2－4x＋2y－4＝0的位置关系是(B)A．内切B．相交C．外切D．外离2．圆O1：x2＋y2－6x＋16y－48＝0与圆O2：x2＋y2＋4x－8y－44＝0的公切线条数为(C)A．4B．3C．2D．13．过圆x2＋y2＋6x＋4y＝0和x2＋y2＋4x＋2y－4＝0的交点的直线的方程是(A)A．x＋y＋2＝0B．x＋y－2＝0C．5x＋3y－2＝0D．5x＋3y＋2＝04．圆x2＋y2－4x＋6y＝0和圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则AB的垂直平分线的方程是(C)A．x＋y＋3＝0B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0D．4x－3y＋7＝05．圆O1：x2＋y2＝1与圆O2：(x－2)2＋y2＝3相交得到公共弦AB，则eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(AB))＝(C)A．1B．eq\r(2)C．eq\r(3)D．2【解析】将圆O2方程化为x2＋y