2024-2025学年高中数学 第1章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的应用 1.3.3 函数的最大（小）值与导数（教师用书）教案 新人教A版选修2-2

2024-2025学年高中数学第1章导数及其应用1.3导数在研究函数中的应用1.3.3函数的最大（小）值与导数（教师用书）教案新人教A版选修2-2学校授课教师课时授课班级授课地点教具教材分析《2024-2025学年高中数学》第1章导数及其应用1.3节中，1.3.3小节“函数的最大（小）值与导数”是导数应用的重要部分，旨在让学生通过导数理解函数的单调性，进而掌握利用导数求解函数最大值与最小值的方法。本节内容与实际生活紧密联系，如最优化问题，有助于学生培养解决实际问题的能力。课程设计将围绕新人教A版选修2-2教材，以导数判定函数单调性为基础，引导学生探讨函数极值与最值问题，结合实际例题，加深学生对导数应用的理解。核心素养目标分析本节“函数的最大（小）值与导数”课程设计立足于培养学生的数学抽象、逻辑推理、数学建模和数学运算等核心素养。通过导数在研究函数中的应用，让学生感悟数学与现实世界的联系，提高数学抽象能力；在探讨函数极值与最值的过程中，锻炼学生逻辑推理能力，培养严谨的数学思维；结合实际例题，引导学生建立数学模型，增强数学建模素养；在解决问题的过程中，强化数学运算能力，让学生熟练掌握导数的运算规则，并能灵活运用。此外，通过小组合作与讨论，激发学生的交流协作能力，提升解决问题的综合素质，充分体现新课改倡导的核心素养培养目标。学情分析本节课的教学对象为高中年级学生，经过前两个小节的学习，他们对导数的概念及其计算方法已有一定了解，具备基本的数学抽象和逻辑推理能力。但在运用导数解决函数最值问题时，可能仍存在以下问题和挑战：

1.学生层次：学生数学基础层次不一，对导数的理解和运用程度存在差异。部分学生对导数的几何意义和物理意义理解不深，难以将其与函数最值问题有效结合。

2.知识方面：学生在解决实际问题时，可能无法熟练地将问题转化为数学模型，对导数的运算规则掌握不够熟练，导致解题过程中出现错误。

3.能力方面：学生在分析函数单调性、求解极值和最值时，可能缺乏逻辑推理和数学运算能力，难以独立完成较复杂的题目。

4.素质方面：学生的自主学习能力、合作交流能力和解决问题的综合素质有待提高。在课堂教学中，部分学生可能过于依赖教师，缺乏主动探究的精神。

5.行为习惯：学生在学习过程中可能存在以下不良习惯：不注重审题，导致解题方向错误；对公式、定理死记硬背，不注重理解；解题过程中忽视细节，导致失分。

针对以上学情分析，以下教学策略和建议：

1.教学中应关注学生个体差异，实施分层教学，提高学生整体水平。

2.加强导数概念及其几何、物理意义的讲解，使学生深刻理解导数在研究函数最值中的作用。

3.通过典型例题和练习，引导学生运用导数分析函数单调性、求解极值和最值，提高学生的数学运算和逻辑推理能力。

4.创设问题情境，激发学生兴趣，引导学生主动探究，培养其自主学习能力。

5.组织小组合作与讨论，促进学生交流协作，提高解决问题的综合素质。

6.培养学生良好的学习习惯，如认真审题、理解公式定理、关注解题细节等。教学资源1.硬件资源：

-多媒体教学设备（投影仪、计算机、音响系统）

-互动式白板或黑板

-学生用计算器

2.软件资源：

-教学课件（包含导数概念、函数图像、典型例题等）

-数学软件（如几何画板、Mathematica等，用于动态演示函数图像和导数变化）

-电子教案

3.课程平台：

-学校教学管理系统（用于发布作业、通知和教学资料）

-班级群组交流平台（用于学生讨论和疑问解答）

4.信息化资源：

-电子教材

-教学视频（讲解导数概念和例题）

-在线题库（包含导数相关练习题）

5.教学手段：

-传统教学手段（板书、讲解、示范）

-信息技术辅助教学（多媒体演示、软件操作、在线互动）

-小组合作学习

-探究式学习

-案例分析

-课堂问答与讨论

6.辅助材料：

-纸质教材和辅导书

-函数图像打印资料

-导数相关图表和公式卡片教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：引起学生对导数在研究函数最值中应用的兴趣，激发其探索欲望。

过程：

开场提问：“你们知道导数在生活中的应用吗？它如何帮助我们解决实际问题？”

展示一些与导数相关的实际情境图片，如优化问题，让学生初步感受导数的实际意义。

简短介绍导数的概念和在本章的重要性，为接下来的学习打下基础。

2.导数基础知识讲解（10分钟）

目标：让学生掌握导数的基本概念及其在判定函数单调性的作用。

过程：

讲解导数的定义，以及它与函数图像的关系。

使用图表和示意图展示导数与函数单调性的关系。

通过具体函数示例，让学生理解导数在判定函数最值中的应用。

3.导数案例分析（20分钟）

目标：通过具体案例，让学生深入了解导数在求解函数最值中的应用。

过程：

选择几个典型的函数最值案例进行分析。

详细介绍每个案例的背景、解题步骤和导数的具体应用。

引导学生思考如何利用导数解决实际问题，并讨论其解题策略。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生的合作能力和解决问题的能力。

过程：

将学生分成小组，每组选择一个案例或问题进行深入讨论。

小组内讨论如何使用导数求解函数最值，并探讨可能遇到的挑战。

每组准备向全班展示讨论成果。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：锻炼学生的表达能力，同时加深全班对导数应用的认识和理解。

过程：

各组代表上台展示讨论成果，包括解题策略和步骤。

其他学生和教师提问和点评，促进互动交流。

教师总结各组的亮点和不足，提出改进建议。

6.课堂小结（5分钟）

目标：回顾本节课的主要内容，强调导数在求解函数最值中的重要性。

过程：

简要回顾导数的基本概念、案例分析及其在解决实际问题中的应用。

强调导数在数学学习和现实生活中的价值和作用。

布置课后作业：让学生完成与导数相关的习题，并撰写一篇关于导数应用的小短文，以巩固学习效果。知识点梳理1.导数的定义与计算

-导数的定义：函数在某一点的导数表示函数图像在该点切线的斜率。

-导数的计算规则：常数倍、和差、积、商的导数计算法则。

-基本导数公式：幂函数、指数函数、对数函数的导数公式。

2.函数的单调性与导数

-单调递增：当函数在某区间内的导数大于0时，函数在该区间单调递增。

-单调递减：当函数在某区间内的导数小于0时，函数在该区间单调递减。

-极值点：函数导数从正变负或从负变正的点是函数的极值点。

3.函数的极值与导数

-极大值：在导数从正变负的点上，函数取得极大值。

-极小值：在导数从负变正的点上，函数取得极小值。

-二阶导数的判断：当二阶导数大于0时，函数取得局部极小值；当二阶导数小于0时，函数取得局部极大值。

4.函数的最值与导数

-求解闭区间上的最值：首先求解区间内的极值点，然后比较端点值和极值点处的函数值。

-无界区间最值：当函数在某一方向上无界时，只需考虑该方向上的单调性。

5.导数在实际问题中的应用

-优化问题：求解最大利润、最小成本、最短路径等问题。

-函数图像分析：通过导数分析函数图像的凹凸性、拐点等特征。

6.导数的综合应用

-求解复杂函数的极值和最值问题。

-利用导数解决实际生活中的优化问题。

-结合其他数学工具（如积分、微分方程等）解决更高级的问题。

7.常见错误与注意事项

-计算导数时要注意区分变量的取值范围，避免漏算或错算。

-在求解极值时，要检查极值点附近的单调性，避免遗漏极值点。

-在求解最值时，要考虑闭区间和开区间的区别，以及无界区间的情况。内容逻辑关系1.重点知识点阐述

①导数的定义与计算

-知识点：导数的定义、计算规则、基本导数公式。

-重点句：导数表示函数图像在某点切线的斜率；掌握导数的计算规则和基本公式。

②函数的单调性与导数

-知识点：单调递增、递减与导数的关系，极值点。

-重点句：函数单调性与导数的正负相关；极值点处导数为零。

③函数的极值与最值

-知识点：极大值、极小值，二阶导数的判断，闭区间上的最值。

-重点句：极值点处导数从正变负或从负变正；二阶导数判断极值的性质；求解闭区间上的最值。

2.板书设计

-①导数的概念与计算

-定义：f'(x)=limΔx→0[f(x+Δx)-f(x)]/Δx

-计算规则：常数倍、和差、积、商

-基本公式：幂函数、指数函数、对数函数

-②函数的单调性与导数

-单调递增：f'(x)>0

-单调递减：f'(x)<0

-极值点：f'(x)=0

-③函数的极值与最值

-极大值/极小值：f'(x)由正变负/由负变正

-二阶导数判断：f''(x)>0（局部极小值）/f''(x)<0（局部极大值）

-最值求解：比较端点值与极值点

3.内容逻辑关系

-①导数的计算是基础，理解导数的定义和计算规则对于后续内容至关重要。

-②函数的单调性是导数应用的初步阶段，通过导数判断函数的单调性，为求解极值和最值打下基础。

-③极值与最值的求解是导数应用的深化，需要综合运用导数的知识，结合实际问题情境，解决更复杂的问题。

板书设计应条理清楚，通过序号和简洁的句子将重点知识点串联起来，帮助学生构建知识框架，便于学生理解和记忆。课堂小结，当堂检测课堂小结：

1.导数的定义与计算

-导数表示函数在某一点的切线斜率。

-掌握导数的计算规则，包括常数倍、和差、积、商的导数计算法则。

-熟悉幂函数、指数函数、对数函数的导数公式。

2.函数的单调性与导数

-函数单调递增当且仅当导数大于0。

-函数单调递减当且仅当导数小于0。

-函数的极值点处导数为0。

3.函数的极值与最值

-函数的极大值和极小值出现在导数从正变负或从负变正的点上。

-二阶导数可以判断函数的凹凸性，进而判断极值的性质。

-求解闭区间上的最值需要比较端点值和极值点处的函数值。

当堂检测：

1.计算下列函数的导数：

-f(x)=x^3-2x^2+3x+4

-g(x)=e^x*sin(x)

-h(x)=ln(x^2+1)

2.判断下列函数的单调性：

-f(x)=x^2-6x+9

-g(x)=-x^3+3x^2

-h(x)=sqrt(1-x^2)

3.求解下列函数的极值和最值：

-f(x)=x^3-12x

-g(x)=x^2-4x+4

-h(x)=x^4-8x^3+18x^2

4.应用题：

-某商品的利润函数为P(x)=100x-10x^2，求最大利润及对应的销售量。

-一辆汽车以v(t)=4t^2-2t的速度行驶，求它在何时达到最大速度。

检测答案：

1.计算下列函数的导数：

-f'(x)=3x^2-4x+3

-g'(x)=e^x*sin(x)+e^x*cos(x)

-h'(x)=2x/(x^2+1)

2.判断下列函