2024陕西中考数学二轮专题训练 题型二 小几何压轴题 (含答案)

2024陕西中考数学二轮专题训练题型二小几何压轴题类型一与线段有关的问题1.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8.若点E、F是BC边上的两个动点，以EF为边的等边△EFP的顶点P在△ABC内部或边上，则等边△EFP的周长的最大值为________．第1题图2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，点D、E分别在AB、BC上，且以DE为直径的圆与AC相切，则DE的最小值为________．第2题图3.如图，在菱形ABCD中，AB＝AC＝10,对角线AC、BD相交于点O，点M在线段AC上，且AM＝3，点P为线段BD上的一个动点，则MP＋eq\f(1,2)PB的最小值是__________．第3题图4.如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E为AB边的中点，且∠CED＝120°，则边DC长度的最大值为________．第4题图5.如图，在四边形ABCD中，AB＝9，∠A＋∠B＝90°，以CD为斜边向内作等腰直角△CDE，使得直角顶点E在AB边上，若AE＝2BE，则AD＋CB的值为________．第5题图6.如图，在菱形ABCD中，AB＝12，∠B＝60°，AE⊥CD于点E，点F为AB上一点，且AF＝eq\f(1,3)AB，P为AE上一点，连接PC、PD、PF，则PC与PD之间的数量关系为________，PC＋PF的最小值为________．第6题图类型二与面积有关的问题1.如图，在等边△ABC内部有一个半径为2的动圆，则动圆不能覆盖的面积为________.第1题图2.如图，已知四边形ABCD内接于半圆O，AB为半圆O的直径，AB＝8，CD＝4，点E是CD的中点，连接AE、BE，则△ABE面积的最大值为________．第2题图3.如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝10，点P是⊙O上一点，连接AP、BP，OE⊥AP于点E，OF⊥BP于点F，则四边形OEPF面积的最大值为________．第3题图4.如图，在▱ABCD中，E、F是AD边上的两点，且AE＝DF＝eq\f(1,4)AD.点G为BC边上一点，连接EG交BF于点H.若EG平分四边形ABCD的面积，BH＝6，则BF的长为________．第4题图5.如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2eq\r(3)，点E、F分别是AD、CD的中点，若四边形ABCD的面积为4eq\r(3)，则△BEF的面积为________．第5题图6.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，点E、F分别在BC、CD边上，且∠EAF＝60°，连接EF.若AB＝4，则△CEF面积的最大值为________．第6题图类型三与角度有关的问题1.如图，在正方形ABCD中，AC与BD相交于点O，点P是正方形边上或对角线上一点，若∠BPC＝60°，则满足条件的点P的个数为________．第1题图2.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，则点P到点A的距离为________．第2题图3.如图，在4×4的正方形网格中，四边形ABCD的顶点都在格点上，则tan∠ACD的值为________.第3题图4.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD＝2，∠BAD＝∠BCD＝90°，连接AC.若AC＝eq\r(6)，则∠ABC的大小为________．第4题图5.如图，在正方形ABCD中，AB＝8，点E是AD边上一点，连接BE、CE，过点B作BF⊥CE于点F，当∠EBF最小时，AE的长为________，BF的长为________．第5题图参考答案类型一与线段有关的问题1.6eq\r(3)2.eq\f(12,5)【解析】如解图，设切点为P，连接BP，过点B作BH⊥AC于点H，由垂线段最短可知BP≥BH，∵DE是该圆的直径，∴DE≥BP≥BH，即DE的最小值为BH的长．∵S△ABC＝eq\f(1,2)AB·BC＝eq\f(1,2)AC·BH，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝5，∴BH＝eq\f(AB·BC,AC)＝eq\f(12,5).即DE的最小值为eq\f(12,5).第2题解图3.eq\f(7\r(3),2)【解析】如解图，过点P作PQ⊥BC于点Q，过点M作MN⊥BC于点N.∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.∵AB＝AC＝10，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，∴∠OBC＝30°，∴PQ＝eq\f(1,2)BP，∴MP＋eq\f(1,2)PB＝MP＋PQ.由两点之间线段最短可知，当M、P、Q三点共线，即点Q与点N重合时，MP＋PQ取得最小值，最小值为MN的长．∵AM＝3，∴CM＝AC－AM＝7.∵∠ACB＝60°，∴MN＝eq\f(\r(3),2)CM＝eq\f(7\r(3),2)，∴MP＋eq\f(1,2)PB的最小值为eq\f(7\r(3),2).第3题解图4.9【解析】如解图，分别作点A关于DE的对称点A′，点B关于CE的对称点B′，连接A′D，A′E，B′C，B′E，A′B′，则A′D＝AD＝3，A′E＝AE＝3，B′C＝BC＝3，B′E＝BE＝3，∠A′ED＝∠AED，∠B′EC＝∠BEC，∵∠CED＝120°，∴∠AED＋∠BEC＝180°－∠CED＝60°，∴∠A′ED＋∠B′EC＝60°，∴∠A′EB′＝∠DEC－(∠A′ED＋∠B′EC)＝60°.∵A′E＝B′E＝3，∴△A′EB′是等边三角形，∴A′B′＝A′E＝3.由两点之间线段最短可得DC≤A′D＋A′B′＋B′C＝9，∴DC长度的最大值为9.第4题解图5.3eq\r(5)【解析】∵AB＝9，AE＝2BE，∴AE＝6，BE＝3.∵ED＝EC，∠DEC＝90°，∴如解图，将△ECB绕点E逆时针旋转90°得到△EDF，∴EF＝EB＝3，DF＝BC，∠EDF＝∠ECB.∵∠A＋∠B＝90°，∠EDC＝∠ECD＝45°，∴∠ADE＋∠ECB＝180°，∴∠ADE＋∠EDF＝180°，∴A、D、F三点共线，∴AD＋CB＝AD＋DF＝AF.在Rt△AEF中，AF＝eq\r(AE2＋EF2)＝3eq\r(5)，∴AD＋CB的值为3eq\r(5).第5题解图6.PC＝PD，4eq\r(13)【解析】如解图，连接AC，FD，∵四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，∴△ADC为等边三角形．∵AE⊥CD，∴点C关于PE的对称点为点D，∴PC＝PD，∴PC＋PF＝PD＋PF≥FD，∴当F，P，D三点共线时，PC＋PF的值最小，最小值为FD的长．过点F作FH⊥DA交DA的延长线于点H，∵∠B＝60°，∴∠HAF＝60°.∵AB＝12，AF＝eq\f(1,3)AB，∴AF＝4，∴AH＝2，FH＝2eq\r(3)，∴DH＝14.在Rt△DHF中，FD＝eq\r(FH2＋DH2)＝eq\r(（2\r(3)）2＋142)＝4eq\r(13)，∴PC＋PF的最小值为4eq\r(13).第6题解图类型二与面积有关的问题1.12eq\r(3)－4π【解析】如解图，图中阴影部分面积即为动圆不能覆盖的面积，由题意知⊙O与AC，AB两边相切，切点分别为点E，F，连接OE，OF，AO，则∠EAO＝∠FAO＝30°，∠EOF＝120°，∴在Rt△AOE中，AE＝eq\r(3)OE＝2eq\r(3)，∴S△AOE＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3).∵S扇形EOF＝eq\f(120π×22,360)＝eq\f(4π,3)，∴动圆不能覆盖的面积＝3(2×2eq\r(3)－eq\f(4π,3))＝12eq\r(3)－4π.第1题解图2.8eq\r(3)【解析】如解图，连接OC、OE，∵点E为CD的中点，∴CE＝eq\f(1,2)CD＝2，OE⊥CD.∵OC＝eq\f(1,2)AB＝4，∴OE＝eq\r(OC2－CE2)＝2eq\r(3).过点E作EH⊥AB于点H，则S△ABE＝eq\f(1,2)AB·EH＝4EH.∵EH≤OE，∴当EH＝OE，即当OE⊥AB时，△ABE的面积最大，最大值为8eq\r(3).第2题解图3.eq\f(25,2)【解析】如解图，连接OP，过点P作PH⊥AB于点H，∵AB是⊙O的直径，∴∠APB＝90°.∵OE⊥AP，OF⊥BP，∴四边形OEPF为矩形，AE＝PE＝eq\f(1,2)AP，BF＝PF＝eq\f(1,2)BP，∴S四边形OEPF＝PE·PF＝eq\f(1,2)AP·eq\f(1,2)BP＝eq\f(1,4)AP·BP＝eq\f(1,4)AB·PH＝eq\f(1,4)×10PH＝eq\f(5,2)PH.∴当PH最大时，四边形OEPF的面积最大，∵PH≤OP，∴当PH＝OP，即当OP⊥AB时，四边形OEPF的面积最大，此时PH＝OP＝eq\f(1,2)AB＝5，S四边形OEPF最大＝eq\f(5,2)PH最大＝eq\f(25,2)，即四边形OEPF面积的最大值为eq\f(25,2).第3题解图4.10【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∴AD＝BC.∵AE＝DF＝eq\f(1,4)AD，∴EF＝eq\f(1,2)AD.∵EG平分▱ABCD的面积，∴AE＝CG＝eq\f(1,4)AD.∴BG＝eq\f(3,4)AD.∵AD∥BC，∴eq\f(BH,FH)＝eq\f(BG,EF)＝eq\f(3,2)，∴eq\f(BH,BF)＝eq\f(3,5).∵BH＝6，∴BF＝10.5.eq\f(3\r(3),2)【解析】如解图，连接BD，在△ABC中，∵∠ABC＝90°，AB＝2，BC＝2eq\r(3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3).∵四边形ABCD的面积为4eq\r(3)，∴S△ADC＝2eq\r(3).∵E为AD的中点，F为DC的中点，∴S△ABE＝S△DBE，S△CFB＝S△DFB，∴S四边形EBFD＝S△EBD＋S△FBD＝eq\f(1,2)S四边形ABCD＝2eq\r(3).∵E、F分别为AD、CD的中点，∴EF＝eq\f(1,2)AC，EF∥AC，∴eq\f(S△DEF,S△DAC)＝(eq\f(EF,AC))2＝(eq\f(1,2))2＝eq\f(1,4).∵S△DAC＝2eq\r(3)，∴S△DEF＝eq\f(1,4)×2eq\r(3)＝eq\f(\r(3),2)，∴S△BEF＝S四边形EBFD－S△DEF＝2eq\r(3)－eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).第5题解图6.eq\r(3)【解析】∵四边形ABCD是菱形，且∠EAF＝∠B＝60°，∴∠BAC＝∠ACF＝∠B＝60°，AB＝BC，∴∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAF＝60°，△ABC是等边三角形，∴∠BAE＝∠CAF，AB＝AC，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF，S△ACF＝S△ABE，∴△AEF是等边三角形，S四边形AECF＝S△ABC，∴S△CEF＝S△ABC－S△AEF.∵AB＝4，△ABC是等边三角形，∴S△ABC＝eq\f(\r(3),4)×42＝4eq\r(3)，∴当S△AEF最小时，S△CEF最大．∵当AE⊥BC时，AE＝4sin60°＝2eq\r(3)，S△AEF最小，∴S△AEF最小＝eq\f(\r(3),4)×(2eq\r(3))2＝3eq\r(3)，∴S△CEF最大＝4eq\r(3)－3eq\r(3)＝eq\r(3)，即△CEF面积的最大值为eq\r(3).类型三与角度有关的问题1.4个【解析】如解图，在正方形内部作∠M＝120°，且BM＝MC，以点M为圆心，BM为半径画圆，⊙M与正方形ABCD各边及对角线的交点即为满足条件的点P，共4个．第1题解图2.2或8【解析】如解图，∵BC＝10，∠BPC＝90°.∴取BC的中点O，则OB＞AB.∴以点O为圆心，OB长为半径作半圆O，半圆O一定与AD相交于P1、P2两点，连接P1B、P1O、P1C.∵∠BPC＝90°，点P不能在矩形外，∴△BPC的顶点P在eq\o(BP,\s\up8(︵))1或eq\o(CP,\s\up8(︵))2上．显然，当顶点P在P1或P2位置时，△BPC的面积最大．过点P1作P1E⊥BC，垂足为E，则P1E＝4，∴OE＝eq\r(52－42)＝3，∴AP1＝BE＝OB－OE＝5－3＝2.由对称性，得AP2＝8；综上所述，点P到点A的距离为2或8.第2题解图3.eq\f(1,3)【解析】如解图，连接BD交AC于点O，设每个小正方形的边长为1，由勾股定理可知：AC＝eq\r(32＋32)＝3eq\r(2)，BD＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，AB＝BC＝CD＝AD＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，∴四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD，在Rt△OCD中，tan∠OCD＝