2022高三数学开学摸底考试卷01文【含答案】

2022高三数学开学摸底考试卷

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的.

1.若集合/=0卜B={X|X2-X-2<0},则4Pp=

A.[-2,2)B.(-1,1]C.(-1,1)D.(-1,2)

C

集合/={x|**；o|={x|-2..x<1}.

5={x|x2-x-2<0}={x|-1<x<2},

/ip|S={x|-l<x<l}=(-l,l).

故选C.

2.若虚数Z满足z(l+i)=|z/，则2=

A.1—zB.1+/C・—1-iD.-1+z

A

设z=a+6i,a,bwR,

2

则由z(l+z)=|z|2,得{a+4)(1+i)=|Q+biX=a~+b,

即a-b-^-(a+b)i=a2+b2,

所以卜-b=/+J解得1=1,

[Q+8=0[b=-1

所以z=1-i.

故选A.

3.已知命题x2-x+1<0;命题夕:天£/?,/>2".则下列命题中为真命题的是

A.B.(-./?)AqC.pA(—i^)D.(->/?)A(-i(y)

B

命题p:VxwH,x2-x+1<0,

因为V—冗+1=(不一_1)2+3>0恒成立，

24

故命题P为假命题,

当x=3时，x2>2S

故命题q为真命题,

所以p人g为假命题，(->0)人4为真命题，pA(->q)为假命题，Jp)A(->q)为假命题.

故选B.

4.在正方体/8C。一481GA中，异面直线Z4与BD的夹角为

A.-B.-C.-D.-

2346

B

在正方体ABCD-44GA中，DDt/IBB,,且。。=BBt,

所以四边形88QQ为平行四边形，所以8O//BQ,

所以异面直线AB｝与BD夹角等于乙4BR或其补角，

连接力口，因为△N3Q］为正三角形，

所以乙明A=三,

所以异面直线AB1与8。夹角为工.

故选B.

5.在五场篮球比赛中，甲、乙两名运动员得分的茎叶图如图所示.下列说法正确的是

甲乙

2~\0

011

2234

8930

A.甲得分的中位数和极差都比乙大

B.甲得分的中位数比乙小，但极差比乙大

C.甲得分的中位数和极差都比乙小

D.甲得分的中位数比乙大，但极差比乙小

B

由茎叶图，得甲的中位数是10,极差为39-1=38,

乙的中位数是23,极差为30-11=19,.•.B正确，

故选B.

6.已知4=26，h=43,c=log23,则a,b,c的大小关系为()

A.b>a>cB.a>c>bC.a>b>cD.b>c>a

C

根据指数运算与对数运算的性质，

a=N>3,1<6=6<2,1<c=log,3<2,

设b=V3=log,2^,c-log,3,

由于函数加=log2r为增函数，

由于y=2^的值接近于4,

所以a>6>c.

故选：C.

7.下列函数为奇函数的是

A.J\x)=x}+3x2B.〃x)=2'+2T

3+x

C./(x)=xsinxD./(x)=/n^-i

3-x

D

对于Z,•・•/(T)=2,f(1)=4,/(-I)*-/(1),

.一.函数不是奇函数；

对于3,函数定义域为R,/(-x)=Tx+=2X+2-x=f(x),

.•.函数为偶函数；

对于C,函数定义域为R,/(-x)=-xsin(-x)=xsinx=/(x),

.•.函数为偶函数;

对于。，由工三>0,得-3<x<3,函数定义域为(-3,3),

3-x

而/(-X)=/«1—=历(/土尸=-/〃拄)=-f(x),

3+x3-x3-x

.•.函数为奇函数.

故选D.

TT

8.将函数/(x)=sin(3x+工)的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变)，再将所得到的图

6

象向右平移加(〃?>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象.若g(x)为奇函数，则用的最小值为

A.—B.-C.-D.-

18963

D

将函数f(x)=sin(3x+X)的图象上各点的横坐标伸长到原来的6倍(纵坐标不变)，得到y=sin(L+马，

626

再将所得到的图象向右平移〃?(加>0)个单位长度，得到函数g(x)的图象由，

日口.「1/、乃I./I冗m.、

即g(x)=Sin[-(x-m)+-]=sm(-x+,

26262

因为g(x)是奇函数，所以今一^="，keZ.

解得加=2一2T.

3

因为m>0,所以当人=0时.，m的最小值为工.

3

故选D.

9.在圆V+J?=4内任取一点，则该点到直线x+y-20=0的距离小于1的概率为

A.1B.i--LC.1-^D—+直

3344344347r

C

由点到直线的距离公式得原点。到直线X+y-2亚=0的距离为艮0=2,

故至IJ直线x+y—2/=0距离为1的点在直线x+y+c=0上，

则=c=-6或c=-3直(舍去)；

72

满足圆d+丁=4内到直线x+y-亚=0的距离小于1的点位于两直线之间的弓形内,

由于圆的半径为2,ZAOB=—,AB=243;

3

S弓形=；x停x22-；x2/xl=与一曲.

犯_Ar

故概率2=里=^——=L一处.

S.fJi4TT34万

故选C.

10.在ZU8C中，角4,8,C的对边分别为a,b,c,A=2B,角。的平分线交对边AB于O,且

CD将三角形的面积分成3:4两部分，则cos8=

C

因为CO为N4C8的平分线，由角平分线的性质定理可得"=生,

BDBC

S^CDBD4

可嗤3

4

ACBC

在A48C中，由正弦定理可得

sin8sinJ

又人28,可得北二鬻2sinBcos8

=2cos8，

sin6

A2

所以2cos8=—，可得cos8=—，

33

故选C.

B

11.已知O为椭圆C的中心，F为C的一个焦点，点用在C外，MO=3OF,经过"的直线/与C的

一个交点为N,AWR是有一个内角为120°的等腰三角形，则。的离心率为

A.史B.正C.^3-1D.在里

434

B

不妨设尸(。,0),MO=3OF,则M(—3c,0),

易知bMNF中只能4MNF=120°,

△MN尸是有一个内角为120。的等腰三角形，则N(-C,±3

2

2-c,2

将N代入椭圆方程得到4+/=1,即3+,=1,

a2b23(1-/)

解得e2=1或e?=3(舍去),

3

故0=土,

3

故选B.

12.已知函数/(%)=%。说一；(〃7+1)--%有两个极值点，则实数加的取值范围为

A.(—，0)B.(―1,—1)C.(—00,—1)D.(—l,+oo)

B

由f(x)-xlnx--(w4-l)x2-x,

得/'(x)=Inx-(加+l)x,x>0.

要使f(x)=xlnx-(w+l)x2-工有两个极值点，

只需f'M=lnx-(w?+l)x=0有两个变号根，即阳+1=—有两个变号根.

x

令g(x)=—,(X>0),则g'(x)=1"l'tX，

XX

由8口)=0得%=«,易知当xe(0,e)时，g'(x)>0,此时g(x)单调递增;

当％w(e,+oo)时,gf(x)<0,此时g(x)单调递减.

所以g(x)s=g(e)=-,

e

]_

而g(-)=-e<0,lim=lim—=0,

cXT+OOXXT+cO]

故选B.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.已知向量5=(2,3),b=(-l,m),且G与。+B垂直，则m=.

-T

•・•向量Q=(2,3),b=(-l,/w),

5+坂=(1,3+加),

丁)与万+加垂直，/.2+3(3+〃?)=0,解得加=—，.

砧11

3

14.在A45C中，内角力，B,C的对边分别为a,b,c,已知8=工，a=2,b=C,则A45C的面

3

积为—・

V3

2

14+?-3

由余弦定理可得,

2~~4Z-，

解可得，c=l,

所以\ABC的面积S=—«csin=—x2xlx-^-=.

2222

故且

2

2x+y-X0

15.将满足卜.0的封闭图形绕y轴旋转一周所得的几何体的主观图面积为

y..-1

8

2x+y-3„0

将满足X..0的封闭图形绕y轴旋转一周所得的几何体

y...-1

是圆锥,

圆锥的底面半径为：2,高为4,

几何体的主视图图是等腰三角形,

面积为：-x4x4=8.

2

故8.

22

16.已知双曲线C:，-与=1（。＞0力＞0）的左、右焦点分别为片，工，过行的直线/交C的右支于/,B

ab

两点，且存•丽=0,12|9|=5|丽I，则C的离心率为.

叵

5

可设片|=127,t>0,

由12|福=5|否可得|力用二5小

由双曲线的定义可得|X工|=|AF]\-2a=⑵一2a,

\BF1'^AB\-\AF11=5t-(l2t-2a)=2a-7t，

由双曲线的定义可得|84|=|3行|+2〃=4°-7，

2

在直角\ABFt中，可得|跖|=yl\AB^+\AF]|=13f=4“-7f,

HP?=­a，

5

在直角△4月耳中，可得|/耳『+|/6|2=1月居|2,

即为,a>+&)2=4c2,即。=等”，

可得e一二叵.

a5

故里

5

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题，每个试题考

生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.

17.已知数列｛%｝的前“项和为S"，a,=1,色+&+…也+&=〃(〃..2),nwN*.

12n-\n

(i)求数列mj的通项公式；

(2)若4,4,S2成等比数列，kwN*,求'+-!-+……+」-的值.

dS2Sk2

(1)。=〃；(2)—.

37

解：(1)数列｛%｝的前〃项和为S”,ax=\,5+幺+…也+%=〃("...2),①,

12n-1n

当〃..2时，江+虫+…也=(〃一1),②，

12n-\

①-②得：%=1,

n

所以为=〃(首项符合通项)，

故％=〃•

(2)由于％=〃，所以，=约六，

故…+2｝+3),

由于4,ak,S*+2成等比数列，

所以公=(%+2)/+3)

2

解得％=6或-1(负值舍去),

+-1_.2X(1_1+1-1+...+±-±)=2X(I-±)^

SA2S、S2Si622336373737

18.2020年8月，他对制止餐饮浪费行为作出重要指示，要求进一步加强宣传教育，切实培养节约习惯，

在全社会营造浪费可耻、节约光荣的氛围.为贯彻他指示，某学校食堂从学生中招募志愿者，协助食堂

宣传节约粮食的相关活动.现有高一63人、高二42人，高三21人报名参加志愿活动.根据活动安排,

拟按年级采用分层抽样的方法，从已报名的志愿者中抽取12名志愿者，参加为期20天的第一期志愿活

动.

(1)第一期志愿活动需从高一、高二、三报名的学生中各抽取多少人？

(2)现在要从第一期志愿者中的高二、三学生中抽取2人粘贴宣传标语，求抽取的两人都是高二学生的

概率.

(1)高一6人，高二4人，高三2人.(2)

5

10?

解：(1)根据题意报名的学生共有63+42+21=126人，所以抽样比为」二=巳，

12621

则抽取高一人数为63x2=6：抽取高二人数42x2=4；抽取高三的人数为21x2=2,

212121

(2)记高二抽取的4位学生为：。、b、c、d,抽取高三的2位学生为£、F,

则从中抽取2人的基本事件为：(a,b),(a,c),(a,d),(a,£),(a,F),(b,c),(b,d),(b,E),

(b,F),(c,d),(c,E),(c,F),(d,E)(d,F),(E,F),共15个基本事件，其中抽取的两人都是高

二学生的有：

(a,b),(a,c),(a,d)>(b,c)(b,d)(c,d),共6个基本事件，

所以抽取的两人都是高二学生的概率为9=2.

155

19.如图1,在矩形Z8C。中，AB=2,BC=\,E是。C的中点；如图2,将△£>/£■沿/E折起，使折后

平面平面ABCE.

(1)若平面工8。与平面CEO的交线为/,求证：CE//1-,

(2)求证：8E_L平面ADE；

(3)求点C到平面8DE的距离.

(1)证明见解析；(2)证明见解析：(3)

2

(1)证明：•.•四边形48。为矩形，

J.EC//AB,

'：EC//AB,42u平面。48,DAB,

；.£C〃平面

•.•平面OECTI平面DAB=I,

ECu面DEC,

：.EC//l.

(2)证明：；48=2,BC=1,E是CZ>中点，

BE=AE=yp2,

:.BE2+AE2=-AB2,

：.BE1.AE,

;平面EJ_平面ABCE,平面ECI平面ABCE=AE,8Eu面ABCE,

.•.8E_L平面4DE；

(3)解：由(2)可得3E_L平面ZOE,

YOEu平面ZOE,

：.BE±DE,过。作。OUE,

•.•平面D/EJ"平面4BCE,平面。/EC平面/8CE=NE,DOcffiADE,

应

平面/BCE,DO^—,

2

根据VC-DEB—VD-CEB^

则-3-h'S"ADDFCB>D=-3--DO-SBoCCFc'

即_L.=L00，.80.EC,

3232

解得力=!，所以C到平面双汨的距离是

22

20.设。为坐标原点，抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为尸，点A/(a,4)在C上，|W|=4.

(1)求C的方程；

(2)过点尸的直线/与C交于N,B两点,若/与圆H:(X-1)2+/=；相切，求&408的面积.

(1)/=8%；(2)16.

⑴抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为呜，0),准线方程为x=-d

点M(a,4)在C上，|S=4,可得a+5=4,2pa=\6,

解得p=4,则C的方程为/=8x；

(2)由(1)可得尸(2,0),设直线/的方程为y=Mx-2),

圆，：(x-iy+y2=；的圆心"(1,0),半径为:，

/与圆，:(X7)2+/=_L相切，可得等4=1_,

4VT7F2

mk=±—,

3

则直线/的方程为y=土争x-2),

联立抛物线方程V=8x；可得/_28X+4=0,

设/(演，乂)，B(X29为)，则为+w=28,

可得|48|=演+工2+4=28+4=32,

苧

又。到直线AB的距离为d=-^==1,

国

则AJ8O的面积为，xlx32=16.

2

21.已知函数/(x)=a/以+±1-x,其中a..0.

(1)讨论函数/(X)的极值:

(2)设阳eZ,当a=l时，若不等式/,(%)<加-(工一2)，对任意x€(0,1］恒成立，求加最小值.

(1)当4,1时，/(x)的极小值为/(1)=a-2,无极大值，当1<。<2时，/(x)的极小值为

f(a-l)=aln(a-i)+2-a,极大值为/(1)=a-2;(2)-3.

(1)/(x)的定义域为(0,+oo),

、Cl.U—\%2—CIX4-tZ—1(X—l)［x—(Cl—1)1

JW=--l----=--------7-----=---------5-------，

Xx~XX

①当"L,0,即a.l时，当X£(l,+oo)时,/3>0,则函数/(X)在(1,+8)上单调递增，

当工£(0,1)时，r(x)<0,则函数/(x)在(0,1)上单调递减，/(x)有极小值为/(1)=。一2,无极大值;

②当即1<〃<2时，当xw(0,"l),(l,+oo)Bt,f\x)<0,则函数/(x)在(0,。一1),(l,+oo)

上单调递减，

当1,1)时，/Xx)>0,则函数/(x)在(a-1,1)上单调递增，

则/(不)的极小值为/(4-1)=。/〃伍一1)+2-。，极大值为/(1)=a-2.

综上所述：当以1时，/(x)的极小值为/(1)=a-2,无极大值，

当1<。<2时，/(x)/(x)的极小值为/(a—l)=H〃(a—l)+2—a,极大值为/(1)=。一2；

(2)当a=1时，f(x)=lnx-x9

由f(x)<nt-(x-2)ex,可得加>/研一x+(x-2)e',

设h(x)=Inx-x+(x-2)ex,xe(0,l),则hf(x)=(x-l)(ex--),

x

当0<X,1时，x-L0,

设u(x)=e*—,，则/(x)=e、+1,

XX

.•.〃(%)在(0,1］上单调递增,

又〃(1)=e-1>0,"g)=&-2<0,

存在XQG(—,1］,使得W(.¥Q)=0>e"=—,

2%

lnxQ=-x0，

当xe(O,%o)时,u(x)<0,h\x)>0,

当1］时，u(x)>0,hf(x\0,

・・・函数人。)在(o/o)上单调递增,在(%,(上单调递减,

\2

得h(x)max=(x0-2)-e"+lnxQ-xQ=(x0-2)----2x0=1-(—+2x0)，

X。/

•.•函数y=1_£7+2x)在区间(1,1)上单调递增,

A(x0)e(-4,-3),

又机〉/z(x)对任意的xe(0,1］恒成立，«»€Z,

故机的最小值为是-3.

(二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选

修4-4：坐标系与参数方程|(10分)

22.以直角坐标坐标原点。为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的长

度单位，已知曲线G的极坐标方程为p=4cos。，曲线G的参数方程为x='"+'c°sa(f为参数以