2025年高考数学一轮复习-第2课时-球的切、接与截面问题-专项训练【含答案】

球的切、接与截面问题一、单项选择题1．若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为()A．12πB．24πC．36πD．144π2．某同学在参加《通用技术》实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为43的正方体的六个面所截后剩余的部分(球心与正方体的中心重合)，若其中一个截面圆的周长为4π，则该球的半径是()A．2 B．4C．26 D．463．已知三棱锥P-ABC，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，PA⊥PB，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为()A．27π2 B．C．273π D．27π4．如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为()A．6π6 C．π6 D．5．在四面体ABCD中，AB＝2，DA＝DB＝CA＝CB＝1，则四面体ABCD的外接球的表面积为()A．π B．2πC．3π D．4π6．已知三棱锥P-ABC的四个顶点都在球O的球面上，PB＝PC＝25，AB＝AC＝4，PA＝BC＝2，则球O的表面积为()A．31615π B．79C．1585π D．797．如图所示，已知一个球内接圆台，圆台上、下底面的半径分别为3和4，球的体积为500πA．60π B．75πC．35π D．352π8．设A，B，C，D是一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且其面积为93，则三棱锥D-ABC体积的最大值为()A．123 B．183C．243 D．543二、多项选择题9．已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的13A．球O的表面积为6πB．球O的内接正方体的棱长为1C．球O的外切正方体的棱长为4D．球O的内接正四面体的棱长为210．已知圆台的上底面半径为1，下底面半径为3，球O与圆台的两个底面和侧面都相切，则()A．圆台的母线长为4B．圆台的高为4C．圆台的表面积为26πD．球O的表面积为12π三、填空题11．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点．以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有________个公共点．12．如图，在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝2，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A-BCD，使平面ABD⊥平面BCD.四面体A-BCD顶点在同一个球面上，则该球的体积为________．13．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为()A．86π B．46πC．26π D．6π14．已知正四棱锥的各顶点都在同一个球面上，球的体积为36π，则该正四棱锥的体积最大值为()A．18 B．643C．814 15．(多选)下列物体中，能够被整体放入棱长为1(单位：m)的正方体容器(容器壁厚度忽略不计)内的有()A．直径为0.99m的球体B．所有棱长均为1.4m的四面体C．底面直径为0.01m，高为1.8m的圆柱体D．底面直径为1.2m，高为0.01m的圆柱体16．如图，平行四边形形状的纸片是由六个边长为1的正三角形构成的，将它沿虚线折起来，可以得到如图所示粽子形状的六面体，若该六面体内有一小球，则小球的最大表面积为________．参考答案1．C[由题意知，正方体的体对角线就是球的直径，∴2R＝23∴R＝3，∴S球＝4πR2＝36π.]2．B[设截面圆半径为r，球的半径为R，则球心到某一截面的距离为正方体棱长的一半即23，根据截面圆的周长可得4π＝2πr，得r＝2，故由题意知R2＝r2＋(23)2，即R2＝22＋(23)2＝16，所以R＝4，故选B.]3．B[∵三棱锥P-ABC中，△ABC为等边三角形，PA＝PB＝PC＝3，∴△PAB≌△PBC≌△PAC.∵PA⊥PB，∴PA⊥PC，PC⊥PB.以PA，PB，PC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示)，则正方体的外接球同时也是三棱锥P-ABC的外接球．∵正方体的体对角线长为32+32+32＝33，∴其外接球半径R＝332.因此三棱锥P4．C[平面ACD1截球O的截面为△ACD1的内切圆，∵正方体棱长为1，∴AC＝CD1＝AD1＝2.∴内切圆半径r＝tan30°·AE＝33×2∴S＝πr2＝π×16＝π5．B[取AB的中点O，由AB＝2，DA＝DB＝CA＝CB＝1，得CA2＋CB2＝AB2，AD2＋BD2＝AB2，可得∠ACB＝∠ADB＝90°，所以OA＝OB＝OC＝OD＝22即O为外接球的球心，球的半径R＝22所以四面体ABCD的外接球的表面积为S＝4πR2＝4π×126．A[在三棱锥P-ABC中，如图，AB2＋PA2＝20＝PB2，则PA⊥AB，同理PA⊥AC，而AB∩AC＝A，AB，AC⊂平面ABC，因此PA⊥平面ABC，在等腰△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2，则cos∠ABC＝12BCABsin∠ABC＝1−cos2∠ABC令△ABC的外接圆圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，O1A＝12·AC有OO1∥PA，取PA中点D，连接OD，则有OD⊥PA，又O1A⊂平面ABC，即O1A⊥PA，从而O1A∥OD，四边形ODAO1为平行四边形，OO1＝AD＝1，又OO1⊥O1A，因此球O的半径R2＝OA2＝O1A2＋O1O2＝8152＋12＝所以球O的表面积S＝4πR2＝31615故选A.]7．D[设球的半径为R，则4πR33＝500π设圆台的上、下底面圆心分别为F，E，则E，F分别为AB，CD的中点，连接OE，OF，OA，OB，OC，OD，则OA＝OB＝OC＝OD＝5，由垂径定理可知，OE⊥AB，OF⊥CD，所以OE＝OA2−AOF＝OD2−D由球和圆台的结构可知，EF＝3＋4＝7，所以AD＝72+1因此圆台的侧面积为π(3＋4)×52＝352π.故选D.]8．B[由等边△ABC的面积为93，可得34AB2＝93，所以AB所以等边△ABC的外接圆的半径为r＝33AB＝23设球的半径为R，球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d，则d＝R2−r所以三棱锥D-ABC高的最大值为2＋4＝6，所以三棱锥D-ABC体积的最大值为13×93×6＝1839．AD[设球O的半径为R，△ABC的外接圆圆心为O′，半径为r.易得r＝233.因为球心O到平面ABC的距离等于球半径的13，所以R2－19R2＝43，得R2＝32.所以球O的表面积S＝4πR2＝4π×32＝6π，A正确；球O的内接正方体的棱长a满足3a＝2R，得a＝2，B不正确；球O的外切正方体的棱长b满足b＝2R，C不正确；球O的内接正四面体的棱长c满足10．ACD[设梯形ABCD为圆台的轴截面，则内切圆O为圆台内切球的大圆，如图，设圆台上、下底面圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，球O的半径为R，则O1，O，O2共线，且O1O2⊥AB，O1O2⊥CD，连接OD，OE，OA，则OD，OA分别平分∠ADC，∠DAB，且OE⊥AD，故DE＝DO1＝r1，AE＝AO2＝r2，∠OAD＋∠ODA＝π2，∠DOA＝π2，由△AOE∽△故AEOE＝OEDE，即OE2＝DE·即R2＝r1r2＝3，解得R＝3，母线长为r1＋r2＝4，A正确；圆台的高为2R＝23，B错误；圆台的表面积为π×12＋π×32＋π×(1＋3)×4＝26π，C正确，球O的表面积为4×π×(3)2＝12π，D正确．故选ACD.]11．12[如图，线段EF过正方体的中心，所以以EF为直径的球的球心即正方体的中心，球的半径为EF2，而正方体的中心到每一条棱的距离均为EF2，所以以]12．32π[如图，取的中点E，BC的中点O.连接AE，OD，EO，AO，因为AB＝AD＝1，所以AE⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以AE⊥平面BCD.因为AB＝AD＝CD＝1，BD＝2.所以AE＝22，EO＝12，所以OA＝在Rt△BDC中，OB＝OC＝OD＝12BC＝3所以四面体A-BCD的外接球的球心为O，半径为32所以该球的体积V＝43π×32313．D[因为E，F分别为PA，AB的中点，所以EF∥PB，因为∠CEF＝90°，所以EF⊥CE，所以PB⊥CE.取AC的中点D，连接BD，PD，易证AC⊥平面BDP，所以PB⊥AC，又AC∩CE＝C，AC，CE⊂平面PAC，所以PB⊥平面PAC，所以PB⊥PA，PB⊥PC，因为PA＝PB＝PC，△ABC为正三角形，所以PA⊥PC，即PA，PB，PC两两垂直，将三棱锥P-ABC放在正方体中．因为AB＝2，所以该正方体的棱长为2，所以该正方体的体对角线长为6，所以三棱锥P-ABC的外接球的半径R＝62，所以球O的体积V＝43πR3＝4314．B[如图，设正四棱锥的底面边长AB＝2a，高PO＝h，外接球的球心为M，则OD＝2a.因为球的体积为43πR3＝36π，所以球的半径为R在Rt△MOD中，MD2＝OD2＋OM2，即32＝2a2＋(h－3)2，所以正四棱锥的体积为V＝13Sh＝13×4a2h＝23[9－(h－3)2整理得V＝－23h3＋4h2(h则V′＝－2h2＋8h＝－2h(h－4)，当0＜h＜4时，V′＞0，当h＞4时，V′＜0，所以V＝－23h3＋4h2(h＞0)在(0，4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减，所以当h＝4时，函数取得最大值－23×43＋4×42＝15．ABD[由于棱长为1m的正方体的内切球的直径为1m，所以选项A正确；由于棱长为1m的正方体中可放入棱长为2m的正四面体，且2＞1.4，所以选项B正确；因为正方体的棱长为1m，体对角线长为3m，3＜1.8，所以高为1.8m的圆柱体不可能整体放入正方体容器中，所以选项C不正确；由于正方体的体对角线长为3m，而底面直径为1.2m的圆柱体，其高0.01m可忽略不计，故只需把圆柱的底面与正