教师资格《初中数学学科知识与能力》第一章数学学科知识（中）

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130[简答题]

141[6a

A=（||B=

已知矩阵123jI-1M相似，求a,b的值，并求可逆矩

阵P,使pTAP=B°

参考解析：

两矩阵相似,则tr（A）=tr（8）（矩阵的迹：主对角线元素之和）.AI=8|。因为.所以有

|A£-4|='14;=（A-5）（A+I）=O,解得入=-1或5：

-2A-3|

当A=-1时,（-E-A）=：]-[：）:].特征值-1对应的特征性向窿为4=（-2.1）、

当A=5时.（5E-A）=[:；]=[：,特征值5对应的特征性向量为q=

r-21],,r-101

令尸「（%.%）=|IJ=4=[Q5]o

因为两矩阵相似，所以矩阵B的特征值也为T和5。进而有，

当人一时,（.”8）=「；m特征值_]对应的特征性向鼠为0,二（T/）'；

当入=5时,（5E-8）=「；；]=[：:,特征值5对应的特征性向最为氏=

令〃=（用9）=[IJ.使得B'BP：=4=[0J,

由=P；'BPZ^PZP；'AP,P：'=B,

―引「।Al

存在可逆矩阵…日=「"]「；[]=「；）11=:「使

得P'AP=B

131［简答题］

»2x+%,-+1=0

求通过直线~~~'且与平面*+y+z-1=0垂直的平面方程

［x+2y-z-2=0,

参考解析：

„(2x+y-2z+1=0,

过直线、、,的平面束方程为入(2x+y-2z+I)+〃(x+2>-z-2)=0,即(24+〃)x+

［x+2y-z-2=O

(A+勿)>-(24+〃)：+人-3=0.其中不同时为0,要使所求平面与平面x+y+1-I=0垂直.则有

(2A+M)x1+(A+^i)x1-(2A+M)*1=0,整理得人=-0,不妨令〃=-1,则A=2,所求平面方程

为3x-3z+4=0。

132［简答题］

-12r

设实对称矩阵4=2I2,求正交矩阵Q,使得Q『AQ为对角矩阵

.221J

参考解析：

A--2-2

|A£-A|=-2A-I-2=(A-5)(4+=0.实对称矩阵A的特征值为-1(二重).

-2-2A-1

•-2-2_2'

5。当储=-1时,(-E-A)-2-2-2000,可得实对称矩阵的特征值-1对应的特征向

--2-2—2..000.

10-1'

；当时，(

破叫=(-1,1,0),,a2(-1.0,l)TA=55E-A)01-I,可得实对

000.

称矩阵的特征值5对应的特征向量％=(1.1.1)T

因为实对称矩阵的属于不同特征值的特征向最相互正交,所以q与％.a：正交.从而只需对a-a：施密

1=

特正交化，令氏=%=(-1.1.0),fl2=a：-।(-T">~°对9P-.a，单位化,，=

(P।</>\\/2J

备=(-冬冬。)J会十*要箝力=岛=停与副实对称矩阵A经正

7-27-6

26

00巨

76-

交变换Q"Q可以得到对应的对角矩阵为o-10,其中Q=26

.005.而

OT

133［简答题］

1

求由y=IInx|与直线x=10,x=10和x轴所围成图形的面积。

参考解析：

(99一八81

如图,S=J!IlatId.t=Jt(-Inx)Lx+JInxdv=-(xlrtr-x)—InlO——

1010

134［简答题］

设&尸(1,2,-1,-2)T,a2=(l,1,-1,-1)T,a3=(-l,0,1,一1)T,

B尸(2,5,-1,-5)T,M=(2,5,1,-5)T,Wi=L(a“a2,a3),W2=L(3

i,32)(Wi,%分别表示

由a”a2,a3和"，B2生成的线性空间)。

(1)求MGWz的维度；(3分)

⑵求MGW2的一个基。(4分)

参考解析：

(1)由交空间的维数公式知.dim(町D%)=dim%+dim%-dim(%+W\),其中dimU,=

L-2-1-1-5-5J

(2)由(I)知dim(%Cl»,)=I,所以交空间的一个基只有一个非零向&t.不妨设为题(明~O).则存在

一组实数。！，七,"一61.A,有«ia,+a,a2+am=人仇♦力"=ajoL八•九也不全为0),

(31,@3,-匕，-b2)T即为线性力程组(a1,a2,a3,Bi,P2)X—0

的一组非零解。计算得线性方程组的一组非零解为(6,-2,0,-3,1)T,

则a。=6a|-2a2+0a3=38「82=(4,10,-4,-10)T,即为叫AW2的一个

基。

135［简答题］

已知函数Ax)=ln(l+x)-xB

(1)求函数f(x)的单调区间及最大值；

(2)设a>0,b>0,若b》a,

①求证#"等，e为自然对数底数；

②若g(x)=xlnx,求证:g(a)+(a+6)ln2^g(a+6)-<(6)o

参考解析：(1)令/'(幻=|上T=°•解得x=0,当x>0时，f'(x)(x)〈O,故

［0,十8)为函数f(x)的单调减区间；当-l〈x<0时,f'(x)>0,故(-1,

0)为函数f(x)的单调增区间。当x=0时，函数f(x)取得最大值0。

⑵①由⑴知函数f(x)在x=0处取得最大值，所以f(x)W0,即

In(1+x)-xWO,

假贮磬则有M勺)智W。,即喏w手喈wW

②g(x)=xlnx,g(x)=lnx+1,g”(x)=l/x当x>0时,g(x)在(0,+

8)上是上凹的，又b2a>0,于是确2刃2卜从而

a\na^b\nb^a^b.a^b....,..c+b

/〒，整理得尔"雨4㈠+⑥k仙方^也就是gg)+(a+b)ln22

g(a+b)-g(b)o

136[简答题]

设f(x),g(x)在[0,1]上的导数连续，且f(O)：O,f'(x)20,g'(x)2

0o证明:对任何a£[0,1],有0("(x)&+Jbx)g'(x)&M"a)冢I)。

参考解析：证明：设"劝=〃("(，)&+仇)g()d-g(i),又f(x),

g(x)在[0,1]上的导数连续，则F'(x)=g(x)ff'(X)-

f)(x)g(1)=f'(x)[g(x)-g(1)],由于xe[0,1],f，(x)20,g'(x)20,

因此Fj(x)W0,艮?F(x)在[0,1]上单调递减。注意到

F(l)市+g'(t)dt-/(l)g(l).

而1g(i)/'(t)也=/d/{«)=g(r)/U)-g'(t)山=犬1)g(l)-(Al)g'(l)dr.

JQJO0JoJQ

故F⑴=0。

因此x£[0,1]时，F(x)20,

由此可得，对任何a£[0,1],有£g(x)f'(x)*+/X，)g'(x)&M{a)g(l)。

137［简答题］

定义在D上的函数f(x),如果满足：对任意x£D,存在常数M>0,都有

|f(x)|WM成立，则称f(x)是D上的有界函数，其中M称为函数f(x)

的上界。已知函数f(xhl+x+ax)

⑴当a=T时，求函数f(x)在(-8,0)上的值域，判断函数f(x)在(-

8,0)上是否为有界函数，并说明理由；

(2)若函数f(x)在x£［l,4］上是以3为上界的有界函数，求实数a的

取值范围。

参考解析：⑴当a=-l时，/⑴=-—(厂司工对您轴为2所

以f(x)在z£(-8,0)上单调递增，所以/*<川"~(°百)二屋故函

数f(x)在(-8,0)上的值域为(-8,1)0所以|f(x)|£［0,+8),所以

不存在常数M>0,使|f(x)|WM都成立，故函数f(x)在(一8,0)上不是

有界函数。

(2)若函数f(x)在［1,4］上是以3为上界的有界函数，则|f(x)|W3在

［1,4］上恒成立，

-4-x2-x

即-3Wf(x)W3,所以-3Wax2+x+lW3,所以一？-7,

即f-+***在*e」㈤上恒成立，

所以(升)_・"(»二

令厚则止［刊,

所以iFjWaWd)je［p1］

令g(t)=-4t2-t,则式机Y(0咕十5勺

令h(t)=2t2-t,则W)=2(T)-「［卷小

所以实数a的取值范围为卜亍「父1

138［简答题］

已知函数f(x)=ex+2x?-3xo

⑴求曲线y=f(x)在点(l,f(l))处的切线方程;

(2)求证函数f(x)在区间［0,1］上存在唯一的极值点，并用二分法求函

数取得极值时相应x

的近似值(误差不超过0.2);(参考数据—2.7,1.6/=1.3)

⑶当x〉l/2时，若关于x的不等式/(幻=»'+(所3)、+1恒成立，试求实

数a的取值范围。

参考解析：(l)f(x)=ex+4x-3,则f'(l)=e+l,又f(l)=eT,.•.曲线

y=f(x)在点(If(1))处的切线方程为y-e+l=(e+1)(x-1),即(e+1)-y-2=0o

(2)Vf*(0)=e°-3=-2<0,f*(l)=e+l>0,Af(0)•f*(l)<0,令

h(x)=f，(x)=ex+4x-3,

则h'(x)=eX+4>0,(x)在［0,1］上单调递增，「.f'(x)在［0,1］上存

在唯一零点，

.•.f(x)在［0,1］上存在唯一的极值点。

取区间［0,1］作为起始区间，用二分法逐次计算如下：

区间中点坐标中点对应导数值取区间［%也］\a,~b.

[0,1]1

0+1SA<

x0=—O.5/'(%)=0.6>0[0,0.6]0.6

0+0.6人,

/,(«!)«-0.5<0[0.3.0.6]0.3

X产2=0-3

0.3+0.6

Xj=-2-=0n.4A5C

由上表可知区间［0.3,0.6］的长度为0.3,所以该区间的中点x0=0.45,

到区间端点距离小于0.2,因此可作为误差不超过0.2的一个极值点的

相应x的值。.\y=f(x)取得极值时，相应x/0.45。

⑶由"式)=："-3)"1得eI+2x2-3x^yx2+(a-3)x+l.

即

■:aW

2*

e,—1-x1-!c*(x-l)--^-*2+l

今g(幻=-一,则/⑴~1-

Vxr

人夕⑴:e”(x-l)-|.则，(幻=x(r*-l),

>°，-"动在隹，+8)上单调递增,•・“)云后卜也浜外

因此，(幻>0,故g⑸在田,+8).上单调递增,

8_r9

g(x)叫引=T~=2小了，

则2

二.a的取值范围是a=石-%

139［简答题］

试分别叙述罗尔中值定理和拉格朗日中值定理。若以s(x)记由(a,〃a)),

(b,/(b)),(x,/(x)))三点组成的三角形面积，试对S(x)应用罗尔中

值定理证明拉格朗日中值定理。

参考解析：罗尔中值定理：若函数“X)满足如下条件：

(l)〃x)在闭区间［a,b］上连续；

(2)/(x)在开区间(a,b)内可导；

(3)/(a)=/(b),

则在(a,b)内至少存在一点使得/'(&)=0。

拉格朗日中值定理：若函数“X)满足如下条件：

(l)〃x)在闭区间［a,b］上连续；

(2)“X)在开区间(a,b)内可导，

就在内至少存在一点A使得/处).

n-a

在xOy面上考虑，记由A(a,f(a),0),B(b,f(b),0),C(x,f(x),

0)三点组成的三角形面积S(x),则

ABb-a0

/(x)y(a)<

u/(x)-/(a)0

由向身矢量根的几何意义得

6-fl

c>|=J

x-aKG-fS)

若在上连续,在(a.b)内可导,又S(G=SQ)=O,所以由罗尔中值定理知：在(a.6)内至少存在一点

人使得/'⑹丸

又$(，)=0lf(x)(6y)-6b)Wa))］,故/

I1J(X)/0-a

140［简答题］

如下图所示，设0<a<b,函数/(x)在［a,b］上连续，在(a,b)可微且〃x)>0,

/(a)=/(b)。设i为绕原点0可转动的细棍(射线)，放手后落在函数〃x)

的图像上并支撑在点A("/«))上，从直观上看。

((4)=华。(*)

证明函数尸(x)h3在〈处取得最大值，并由此证明(*)式。

证明：函数/(工)在［明川连续.(a,b)可,则「(幻=色)在［*6］连线，(*6)可微。F(x)-

与3,令F(x)=O,则F(G在(风力存在极值点滴足((*)工-/>)=0,即为x=<e(%6)是函数FG)的极值

点，且

乂在(a.b)内J(a)=/(6)=O,且/(x)>0,则F(a)=F(6)=O,且F«)>F(a)=F(6),所以函数F(x)=A°在《处

取得址大值一

141［简答题］

证明：连续的奇函数的一切原函数皆为偶函数；连续的偶函数的原函数

中只有一个是奇函数。

参考解析：

设/G)是连续的奇函数,F(z)=j';U)也£是/(X)的所有原函数.

而F(T)=|/(，曲+<?.令.则

#o

F(r)=(/(1)也=；/-u)d(-u)+C=-:|/u)duK=F(x),

所以F(x)是偶函数即连续的奇函数的切原函数皆为偶函数,

若是连续的偶函数.FQ)=是“动的所有原函数，有

F(-x)=L/O)(U=^o/(-u)cl(-u)+C=-jJ(〃)du+C=-F(z)+C.

于是，只有当C=0时才有F(T)AF(T).即连续的偶函数的原函数中只有一个是奇函数。

142［简答题］

已知曲线A：，'也”；OWr<品)，其中函数/⑴具有连续导数，且〃O)=OJ(t)>O(Ovv

»y=cos/'/'

半),若曲线厂的切线与N轴的交点到切点的距离恒为1。

⑴求函数/(t)的表达式。

⑵求此曲线L与x轴和y轴围成的无边界的区域的面积。

⑴设切点坐标为g),则在谟点的斜率为含弓需，

于是切然方程为力)，令尸o.解科《=嘿/•'⑴引，)，

于是曲线L与X轴的交点坐标为］：黑/'⑴如)・0).

根据两点之间的距离公式有

V(Gow.=l.

于是可解得r3)=陪,«o,刃。

从而有

小)=〕/'。池=1普也

s=；(secx-coirf)dx

=lnl8ec/+taitfl-RirU-^C

=ln(Bec«+tan/)rin/-C0

又〃0)=0,所以/<0)=dn(8rcgUnO)rinO*C=O,，9C=0,故函数/(/)=ln(seei+la")Tinr

(2)根据卷收方程面积计算公式布

^.2.XX.

S=|y(t)dx(X)«|cosl*/*(l)d/=「cosP"?也二：sin^td/u：.

参考解析：故此曲面”与“轴和1轴所圉成的无边界的区域的面积为品。

143［简答题］

设厂在[a,b]上连续，满足

/([a,6])C[a,6]a

证明：存在X06：。,6],使得/(右)=%0

参考解析：

由知,对任何同有a寸*)0.特别地，有a«<B)以及

若a=#a)或/(6)=6,则取五u=a或M从而有〃知)=R。现设a6a)与〃6)<6O令

则尸(Q)MQ)TI>0.F3)乎6)-kO,由根的存在性定理，存在aw(a,6),使得丹相)=0,即/(勺)》。

144[简答题],

22

设/(x)=-2a+£(t-a)dr

⑴将/(X)的反大值M用a表示出来；(5分)

(2)将(1)中的M看作a的函数，求M取极小值时a的值。(5分)

【解析】(1)由题知/'(*)=/-//•(*)=2*,

令/'(])=/-a2=0,得5=a.町二-a.

则=2a/*(-a)=-2a。

①当a>0时J"(-a)=-2a<0.

则M=/(-a)=-2a♦((t2-a2)dl=-2a♦

J。

②当a<0时/"(Q)=2a<0.

则.4，=J\G)«-2a♦J*(t2-a2)d/=-2a

参考解析：-1■心

(2)当a>0时，普=-2+2a*=2(a2-1),

令翟=0na=l.

则学=4a|“,=4>0,

所以a=I时,M取极小值。

当a<0时.华=-2-2a2=-2(/+1)<0.

an

M单调递减，故此时M无极值。综上所述，可知当M取极小值时，a=lo

145[简答题]

设矩阵4=[1-3]。证明：A可对角化，并求可逆矩阵T,使得TWT

为对角矩阵。

参考解析：由于矩阵A的特征多项式为

“7二-1…户…所以二阶矩阵A具有两个不相

等的特征值-2和1,从而A可对角化。

求出线性方程组（E-A）x=。的一个基础解系.=）,即矩阵A的属于特征值I的一个特征向fit;

求出线性方程组（-2£-A）JT=0的一个基础解系a：=J.即矩阵A的属「特征值-2的一个特征

向量

r4l-i,r1Oi

令T=.则T'AT=

111I。-2J

146［简答题］

M.x+£?.y+C［Z+0］=0,

直线方程,

1儿4++Gz+a=0的系数满足什么条件才能使：

（1）直线与x轴相交；（2）直线与x轴重合；（3）直线与x轴平行。

参考解析：

Mi、♦匕=0.

（D红线与*轴相交等价r存在A轴上唯一点（*。,0.0）满足直线方程,等价干方程组,有

4,x+D,=0

4%

唯一解.等价于人.也不全为0.且产.4"

I'<*2"2I

f4,X+"=0,

（2）在线与x轴布合等价于x轴上任意一点（*.0.0）都满足在线方程.等价尸方程组有无

［4,.t+D,=0

穷多解.等价于4=4,=D,=D,=0

,4.x++C,z+I）.+AD.-0.

（3）在线与x轴平行等价于存在不全为。的使得直线1+外，+（「.〃.、〃_（）与工轴

事合（这里直线方程中的两个平面分别与原直线方程中的两个平面用合或平行）,由（2）知这等价产丁=

心=D,+AD,=D,+皿=0.再结合白〃,.△〃、不全为0得=4=0.且仇不全为0

147［简答题］

/ain/\—zan

设f（x）=lim.，讨论函数/（X）的连续性，并指出间断点的类型。

\sinx/

参考解析：

£MflB■

sin/\""一♦»1./sin/-8inx\WM，♦，《«»>

—=lim(l+―：——)=f由于是初等函数,且仅当”=AF(。W

(sinx/，―\sinx/

Z)时无意义,所以函数/(工)的间断点为，=k“(kEZ)

当k=。时.li“ir-'M«=lim<,«««=妙.此时在x=kit处的左、右极限存在［［相等；

*♦R•・.

当A=-I,-3.-5.…；或4=2,4,6,…时,lim=+x,lim/嬴=0.此时在x=ky处的右极限

*a—«W.

不存在；

当上=1.3.5,…；或人=-2,-4,-6,…时.lime~=0.lim=♦x.此时在t=kir处的左极限不存

1—■do.

在因此,X=0是/(x)的可去间断点,X=Ar凌#0.*EZ)是/(x)的第二类间断点

148［简答题］

设函数f(x)£C［a,b］,并且对任意的x£［a,b］,必存在y£［a,b］,

使得|f(y)|W

1

21f(x)|。证明：必定存在之金［a,b］,使得f(W)=0。

参考解析：

证明：任取与e［"同.由题意.三修G［叫上,使得l〃xl|wg|/(*。)|;同理,对于孙，三q6［a.&］.使

得|W町)|W：|/(而)|、以此类推•可以得到［叫6］上的一个数列*•况1满足

I.容易计算.lim/(x.)=0

由于数列;X”l有界,所以存在U.I的一个收敛的子列！X.Jidlimx.=f,则根据函数连续性可得.

/(f)=)=lini/'tx.)=0

149［简答题］

设f(x)是［a,b］上的连续函数，且对于满足fg(*)&=0的任意连续函

数g(X),都有1/⑴屋,处=°,证明：存在之£［a,b］，使得f(x)=f(O

恒成立。

参考解析：

Ax)在闭区间［a."上连续，根据积分中值定理知,存在f6［明汇使得&=(fc-a)/(f)=

进而有/匕(幻-/(f)：出=0

取4)(x)=/(*)-/(f),则心=0./y(f)go(X)dx=0.①，由已知可得,［/(x)g°(x)dx=0.②。

②-①得j［/(x)-f(f)：gn(x)dr=0,即(g：(x)去=0,解得g0(x)=0,进一步得〃x)结

论得证

150［简答题］

设有直线L1和L2的方程分别为:

⑴证明L1与L2异面；(2分)

⑵求两直线之间的距离；(2分)

(3)求与两直线距离相等的平面方程；(3分)

(4)求与两直线都垂直相交的直线方程。(3分)

参考解析：直线LI,L2上分别有定点Pl(-2,2,-9),P2参，一6,-4),

其方向向量分别为&=(0,1,8),s2=(l,2,12)o

0I8I

(I)由于xs］)•冗A；=I212=-81.即向fits…力.次不共面,所以两面线异面。

3-85!

|<74

(2)(方法一)由于/X，,=018=-4/+电-&.故过"与。平行的平面"的法向量为(-4.8.

II212

-1)且过户41.-6,-4),其方程为-4(x-I)♦8(y+6)-(:+4)=0,整理得4x-8v+z-48=0

14x(-2)-8x2+1x(-9)—48।

则求两直线间的断离转化为求点P,到平面7T的距离.d=--------------====-----------=9

•/4-♦(-8)-♦r

(方法二)公垂线的方向向IH=&xXj=(-4.8,-1).哂=(3.-8.5).则两直线之间的距离等于向

-----►-I八」产；11-811

欧。产：在向减/方向上的投影的长度.即d=―有产=二丁」=9

(3)由题意知,所求平面过线段的中点《一-2.--y),其法向盘为=(-4.8,-I).故

所求平面方程为-«x+!)+8(y+2)-(：♦v)=。，即4x-8y+z-?=0

(4)设公垂线为/,其方向向量/=J,xj2=(-4.8.-1)€/»?/,相交所成平面g的法向tiUxa=

iJ*

-48-I=60+3。-3=(65.32.-4).又平面g过々(-2.2.-9).所以其方程为65(*+2)+

0I8

32(y-2)-4(x+9)=0.整理得.65x+32y-4：+30=0。

-X­!y♦6j♦4

犯与4的交点即为公垂线与A的交点Q,由一厂二一二二TT'解得Q(2,-4.8)。

,65x♦32〉-4*♦30=0.

工—

所以公垂线的方程为»一—^2=y.=4T8。

-QX-I

151［简答题］

设£1,£2,£3,£4为数域P上4维线性空间V的一个基，V上的一

■1o2r

A=-1213

1255

个线性变换。在这个基下的矩阵2-21-2,求。的核。

(0)与。的秩。

参考解析:

o2r

213

、.，的秩对矩阵A进行初等行变换,A

.所以r(A)=2,即得。的秩为2

o-'(O)=X\a(X)0，乂<7在基号,£?,£、,心下的矩阵为A,所以。T(0)为齐次线性方程组AX=

。的解空间易知AX=0的基础解系为4=(-2.-:[,。)[七=(-1.-2.0.1),.通解为九

10T

(-2.+勺(-1.-2.0.1)、所以核0飞0>=|X|X=k,(-2.-v--)+*2(-l.-2,O,l),

kl,k2为任意实数。

152［简答题］

在尸中,求由基61,F2,£,到基可|,可2，43的过渡矩阵.其中

F,=(1,0,0)\r1J|=(1,1,-1)T,

TT

F2=(0,1,0),,IJ2=(0,2,1),

£,=(0。1)T［2=(1.1,4)1

是否存在非零向量C,使它在基J，£2,£3和基n”U2,。3下有相

同的坐标。若存在，求出该向量的坐标；若不存在，说明理由。

参考解析：

or0I'

由题意得.(殖)=(£］,£：.£、)21.令A=2I即为由基勺.%.当到基％.

14.

小》的过渡矩阵

**r

设存在非零向城，在两组荔下的坐标均为(A.Xz.x,)］由坐标变换公式知.(/，必,*力1满足盯=

"0'

0.即(七.小.3)，是齐次级性方程组(E-A)*=。的一个非

.0.

00-1|

零解.乂|E-4|=-1-I-1=-2*0.所以齐次线性方程组(E-A)x=0只有零解,因此不存在非

1-1-31

零向廿，布基£.£：.£、和基殖.，人卜.有相同的坐标

153［简答题］

设V是n,维欧氏空间，aW0是V中的一个固定向量，证明：

(l)Vl={x|(x,a)=0,x「V}是V的子空间;(5分)

(2)V1的维数等于n-L(5分)

参考解析：(1)任取x,yeVl,贝!J(x,a)=0,(y,a)=0。

因为(x+y,a)=(x,a)+(y,a)=0,

所以有x+y£Vl,即加法封闭；

设k£P,有(kx,a)=k(x,a)=0,

所以kx£Vl,即数乘也封闭，

所以VI是V的子空间。

⑵设x=(xl,x2,…，xn)£Vl,贝!!(x,a)=alxl+a2x2+…+anxn=0,因

为aWO,所以r(a)=L进而可知,齐次线性方程alxl+a2x2+…+anxn=O

含有n-1个线性无关的解向量。这n-1个线性无关解向量是VI的一个

基，所以VI的维数等于nT。

第二节代数与运算

1［单选题］已知"i+>3Kb=2i+R+4hc=献+21/+左是空间中的三个向量，贝|j

“m=0且AO重，，b.c三向量共面”的()

A,充分不必要条件

B.充要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

正确答案：A

3

m

22O,，

所

以

参考解析：三向量共面的充要条件为(aXb)•c=0,即"

m+8n-3mn=0o当

m=0且n=0时，等式成立，可推出三向量共面;当三向量共面时，无法

推出m=0且n=0。故选Ao

2［单选题］等比数列｛an｝的各项为正数，且

a^a^a^a-,=18.JJlJlogta,+log,a,+'"+log,aIO=()

A.12

B.10

C.8

D.2+log35

正确答案：B

参考解析：由等比数列等比中项的性质可知，a5ae=a4a7=9,而

Iog：iai+log3a2+---+log3a1o=log3a1a2---aio=log3(aialo)3=51og3aia10=5X2=10o

3［单选题］设A为任意n阶矩阵，下列为反对称矩阵的是()

A.A+AT

B.A-AT

C.AAT

D.ATA

正确答案：B

参考解析：*(A-AT)T=AT-A=-(A-AT),则A-为反对称矩阵，故选B。

4［单选题］使复数为实数的充分而不必要条件是()

A.2=2

B.|z|=z

C.Z?为实数

D.z+z为实数

正确答案：B

参考解析：占6WR；IZI=Z=MWR,反之不行，例如z=-2；z2为实数不

能推出z£R,例如z=i；对于任何z.z+z都是实数。故选B。

5［单选题］若曲线y=x?的一条切线Z与直线x+6y-3=0垂直，则2的方

程为()

A.6x-Y-9=0

B.x+6y-9=0

C.6x-y+3=0

D.x+6y+3=0

正确答案：A

参考解析：曲线y=x2的一条切线z与直线x+6y-3=0垂直，所以切线

的斜率为6,又y'=2x,即2x=6,解得x=3,此时y=9,代入点斜式方程

得到切线方程为6x-Y-9=0。

afci

6［单选题］已知二阶矩阵41c』的行列式|A|=T,则(A*)-1=()

-fl-卜

A.-c-d.

d-b

B.-ca

-db,

C.c-a

ab

D.c(1

正确答案：A

参考解析：击v故选A。

x=t'+2t,

7［单选题］曲线L=，'+I上对应的点在t=2处的切线方程为()

A.y=2x+7

B.y=-2x-7

C.Y=2x-7

D.Y=-2x+7

正确答案：C

此=匕-3,3।=2

参考解析：当t=2时，(x,y)=(8,9),又因为出”2x'-2z+2J,

因此切线方程为y-9=2(x-8),即y=2x-7o

8［单选题］已知向量向量“(6,-1),则3/的最大值、最小

值分别是()

A.4反0

B.4.2/

C.16,0

D.4,0

正确答案：D

参考解析：，艮里瞿意可得:

I2d-bI=■尸二v4o,-4g,OS=、4-4(、3cos^-sind)+4=

Jin(尹)喈叫=-i时"2a-b|有最大值为4,当sin(n/3T)=1

时，|224)|有最小值为0。

9［单选题］下列矩阵中，()是正定矩阵。

■12-3-

275

A.L-350.

■12-3'

245

B.-357

■5-20'

-26-2

C.L0-24.

"520'

26-3

D.L0-3-1.

正确答案：C

参考解析：由正定矩阵的顺序主子式大于0,计算可得C选项为正定

矩阵。

10［单选题］设向量组al,a2,a3,B1线性相关，向量组al,a2,

a3,62线性无关，则对于任意常数k,必有()。

A.a1,a2,a3,kB1+B2线性无关

B.a1,a2,a3,kB1+B2线性相关

C.a1,a2,a3,B1+kB2线性无关

D.a1,a2,a3,Bl+kB2线性相关

正确答案：A

参考解析：由于k为任意常数，令k取某些特殊值可以排除错误结论。

当k=0时，显然B、C不成立；

当k=l时，D不成立；事实上，由题设al,a2,a3,B2线性无关,

如果al,a2,a3,B1+B2线性相关，而al,a2,a3线性无关,

则Bl能由al,a2,a3线性表示，而B2不能，于是B1+B2不能由

a1,a2,Q3线性表示，所以D不成立，仅A入选。

11［单选题］设A是n阶矩阵，则|(2A)*|=()

A.2n|A*|

B.2"A*|

C.2n-|A*|

D.2n2|A*|

正确答案：C

参考解析：|(24)・|=|2A|i=(2"4|)“'2"fIII,故选C。

12［单选题］设a,b是两个非零向量，则下面说法正确的是（）

A.若|a+b|=|a|-|b|,则a_Lb

B.若@_11）,贝!J|a+b|=|a|Tb|

C.若|a+b|=|aHb|,则存在实数A,使得a=Ab

D.若存在实数入，使得a=、b,则|a+b|=|aHb|

正确答案：C

参考解析：利用排除法可得选项C是正确的，:|a+b|=|aHb|,则a,

b共线,即存在实数入，使得a=Ab。选项A：|a+b|=|a|-|b|时,a,b

可为异向的共线向量；选项比若a_Lb,由正方形得|a+b|=|a|"—|b|不

成立；选项D：若存在实数A,使得a=Ab,a,b可为同向的共线向量此

时显然Ia+b|=laHb|不成立。

a2a3a(2C|-5b136,

工b2b、二m,则2C2-5623b1=

13［单选题］若&CJCy(ly2c3-*56334()

A.30m

B.-15m

C.6m

D.-6m

正确答案：D

参考解析：由题意知

%2c(-56)36,;IO|If1-5bt

%2c2~5b,3ij=32r2~5b2

a52c)-5bi3b3\a,2c「5b、

由

1ct5

匕

-6xa,8Q=-66b2=-6m

如b、Cj，故选Do

14［单选题］设a£Z,且0<a<13,若5产+0能被13整除，则a=()

A.0

B.1

C.11

D.12

正确答案：D

参考解析：因为51=52-1,所以（52-1严=%,52*O2叫…-啕32、1。

又因为13152,所以只需131（l+a）,又0Wa<13,所以a=12,故选D。

15［单选题］设A是任一n阶矩阵，下列交换错误的是()

A.A*A=AA*

B.AmAp=ApAm

c.ATA=AAT

D.(A+E)(A-T)=(A-E)(A+R)

正确答案：C

参考解析：因为

4A*=A*A=IAIE.A"A*=4^,(4+E)(A-E)=(A-E)(A+J?)=A2-E,

所以选项A,B,D正确。而例如

T/I2\/I3\j54AT_J3Hl2\=/1014)

AA\34)(24)=(1125),\24)(34)=(1420),故选项C不正确。

16［单选题］若从1,2,3,9这9个整数中同时取4个不同的数，

其和为偶数，则不同的取法共有（）

A.60种

B.63种

C.65种

D.66种

正确答案：D

参考解析：1,2,3,…，9这9个整数中有5个奇数，4个偶数。要

想同时取4个不同的数其和为偶数，则取法有：4个都是偶数，1种；2

个偶数、2个奇数，c：c”60种；4个都是奇数U=5种。所以不同的取法

共有66种，故选D。

17［单选题］已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则下面结论正

确的是（）。

A.a〃b

B.a±b

C.a+b=0

D.a+b=a-b

正确答案：B

参考解析：由|a+b|=|a-b|平方，可得a•b=0,所以a_Lb,故选B。

18［单选题］对于常数m,n,“mn>0”是“方程mx2+ny2=l的曲线是椭

圆”的（）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

正确答案：B

S>0,

n>0,

参考解析：方程mx2+ny2=l的曲线表示椭圆，常数m,n的取值为bn#明

所以，由mn>0得不到方程mx2+ny2=l的曲线表示椭圆，因而不充分；反

过来，根据该曲线表示椭圆，能推出mn>0,因而必要，故选B。

19［单选题］已知直线y=x+2与抛物线丫=2*2心>0）交于A,B两点，0为

抛物线的顶点，若加.