学案1：高中数学人教A版2019必修 第二册 平面

8.4.1平面

【新知初探】

要点一平面的画法与表示

(1)平面的画法

我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面

画法当平面水平放置时,常把平当平面竖直放置时，常把平行四边形的

行四边形的一边画成横向一边画成竖向

图示2237c

(2)平面的表示方法

①用希腊字母表示，如平面平面£,平面广

②用代表平面的平行四边形的四个顶点的大写英文字母表示，如平面ABCD.

③用代表平面的平行四边形的相对的两个顶点的大写英文字母表示,如平面AC,

平面BD.

点相当于集合中的元素，直线、平面相当于集合

要点二点、直线、平面之间的基本位置的符号表示

文字语言符号语言

点A在直线1上

点4在直线，外

点4在平面a内

点A在平面a外

直线/在平面a内

直线/在平面a外

平面a,£相交于

1—

要点三与平面有关的基本事实及推论

(1)与平面有关的三个基本事实

基本事实内容图形符号

过________________4B,C三点不共线

基本事实1的三个点，有且只有今存在唯一的a使4

一个平面/TVB,CGa

如果一条直线上的在

ARI,BG1,且Je

基本事实一个平面内，那么这

2a,BGanlua

条直线在这个平面内/

如果两个不重合的平

,且n

基本事实3面有一个公共点，那

an£=/,且飞/

么它们有且只有一条ZJ

（2）基本事实1的三个推论

推论内容图形作用

经过一条直线和这条直线外

推论1

一点，有且只有一个平面

经过两条相交直线，有且只有确定平面的依

推论2

一个平面据

经过两条平行直线，有且只有

推论3/4/

一个平面

【基础自测】

［判断］

1.一个平面的面积是16cm2.（）

2.直线/与平面。有且只有两个公共点.（）

3.四条线段首尾相连一定构成一个平面四边形.（）

4.8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚.（）

5.空间不同三点确定一个平面.（）

［训练］

1.若直线上有两个点在平面外，则（）

A.直线上至少有一个点在平面内B.直线上有无穷多个点在平面内

C.直线上所有点都在平面外D.直线上至多有一个点在平面内

①若/Ga,血a,则第a；②若力ea,aua,则/da；

③若44a,aua,则第a；④若力Ga,aua,贝力Ga.

以上说法中，表达正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

【题型通关】

题型一立体几何中三种语言的转换

例1用符号表示下列语句，并画出图形.

(1)平面。与£相交于直线直线a与明£分别相交于点4B.

(2)点46在平面。内，直线a与平面。交于点C,点。不在直线48上.

跟踪训练1(1)若点4在直线6上，8在平面£内，则点4,直线8,平面£之

间的关系可以记作()

A.ARbRBB.4七Z?u£C./u8u£D.Aa弋z\

bGBA，“

(2)如图所示，用符号语言可表述为()

A.aC8=m,nua,加An=AB.aC£=m,nRa,mCn=A

C.aC£=m,nua,Aum,AunD.aC£=/n,nGa,AGm,A^n

题型二点、线共面问题

例2已知直线a〃b,直线/与a,，都相交，求证：过a,b,/有且只有一个

平面.

跟踪训练2已知：如图所示，7.n12=A,12H13=B,10]3=6求证：直线为,

，2，4在同一平面内.

题型三点共线、线共点、面共线问题

角度1线共点问题

例3如图所示，已知£,F,G,〃分别是正方体/四一4HG〃的棱BC,

C&,C〃的中点.求证：FE,HG,小三线共点.

角度2点共线问题

例4如图，在正方体ABCD—A\BCD,中,设线段4。与平面交于点Q，求

证：B,Q,〃三点共线.

角度3面共线问题

例5在正方体ABCD-A^BM中，色尸分别是CG和44的中点，画出平面BED、F

与平面/四的交线并说明理由.

跟踪训练3如图所示，在四边形/aZ?中，已知4?〃⑦，AB,BC,DC,49（或

延长线）分别与平面a相交于点2F,G,H,求证：E,F,G,〃必在同一条直

线上.

【课堂达标】

1.在下列各种面中，不能被认为是平面的一部分的是（）

A.黑板面B.乒乓球桌面C.篮球的表面D.平静的水面

2.若一直线a在平面。内，则正确的作图是（）

3.如图，已知〃£是△/回的边阳8c上的点，平面。经过〃

C

后两点，若直线48与平面a的交点是P,则点尸与直线"的位置关系是.

4.设平面a与平面£相交于1,直线aua,直线仁B,aCb=M,则M1.

5.用符号语言表示下列语句，并画出图形.

(1)点力在平面。内，点6不在平面a内；

(2)直线/在平面a内，直线m不在平面a内.

【札记】

参考答案

【新知初探】

A&1

廨/

aa

加a

7ca

Ra

aC8=1

不在一条直线上

两个点

过该:点的公共直线

PEa

PG£

【基础自测】

［判断］

1.X平面是没有大小的.

2.X一条直线和一个平面公共点的个数可能为0个，1个或无数个，不可能只

有2个公共点.

3.X也可能是四条边不在同一个平面内的空间四边形.

4.X平面是没有大小、厚度之分的.

5.X只有不共线的三点才可以确定一个平面.

［训练］1.解析直线在平面外有两种情况：一是无公共点即平行，二是有一个

公共点即相交.

答案D

2.答案D

3.解析①可能aCa=A；②/可以不在直线a上；③4可以在平面a内；④正

确.

答案B

【题型通关】

例1解(1)用符号表示：aCB=1,aAa=A,aA£=8,如图.

(2)用符号表示：4Wa,BGa,SAa=Q(^AB,如图.

跟踪训练1答案(1)B(2)A

例2证明如图所示.由已知a〃b,

所以过a,。有且只有一个平面a.

设aA1=4,1=B,

AJGa,8Ga,且1,

A7ca,即过a,b,/有且只有一个平面.

跟踪训练2证明法一（纳入法）•••/A/2=4

.•••A和乙确定一个平面a.

?2CI3—B,:.BGI2.

又,：kua,

:.BEa.同理可证CGa.

又,：BGk,CGh,•*.Aca.

直线12,4在同一平面内.

法二（同法一、重合法）

：.h，Z；确定一个平面

,:lCh=B,：.h,乙确定一个平面£.

VJG72,72Ca,：.A^a.

VJG72,72C£,AJEB.

同理可证CRa,gB.

.•.不共线的三个点4B,。既在平面。内，又在平面£内.

平面a和£重合，即直线匕，12,4在同一平面内.

例3证明如图所示，连接G8,GF,HE,由题意知阳〃座，且阳=座，，四

边形阳龙是平行四边形，.•.也”G6.

又C、G=GC,CF=BF,

：.GF//CB且GF=』C\B.

乙

：.GF//HE,且67女孙

例与跖相交.设交点为

:.KRHG,又HGci平面D\C、CD,平面D^CD.

■:KGEF,必t平面46切，

.•.《G平面46口，

•.・平面〃C勿n平面ABCD=DC,：.KGDC,

：.EF,HG,a?三线共点.

例4证明如图，连接46,CD、,BD”显然平面48s，平面4a加

AB

:.BD、u平面A、BC队.

同理，BDu平面ABC。,

平面ABCyD\D平面4BCD=3”.

•.3Cn平面ABC、D尸Q,

：.0G平面力比；〃.

又平面A、BCD\,

0e平面486。

二0在平面&BCD,与平面ABC"的交线上，

即QRBD”：.B,Q,〃三点共线.

例5解如图，在平面44〃〃内，延长〃凡与为不平行，因此〃夕与加

必相交于一点，设为尸，则尸69，PGAD.

p

又,.•〃△=平面幽E为u平面48（小，

二PR平面BED、F,PG平面ABCD.

：.PQ（平面BED\FC平面ABCD）,

即尸为平面6利/与平面480的公共点.

又8为平面力腼与平面庞〃尸的公共点，

，连接PB,如即为平面4?⑦与平面B