初高中数学常用公式

初中数学常用公式

1.1绝对值运算L2有理数的运算

%a>0a+b=b+a

团=<0"=0(a+W+c=a+0+c)

[-aa<,0nab=ba

[ab^c-a(ic)

1.3整式的乘法运算

1.4整式乘法公式

(«+3)(a-8)=4，-8，

22

(a±8)2=a±2ab+b

(ab^=anbK

(a±S)(a，4ab+b*)=a3±b3

1.6分式的运算公式

ac_ac

b'd=bd

acadad

—+———.—=—

bdbebe

1.5整式除法公式yb)bn

一a土.b—--a-±--b-

ccc

acad±bc

1.7一元二次方程：+右x+c=0的解

-b±^b2-4ac

x{-b-2----A---a-c--->--0--)----

2a

b

々+叼=--

_c

a

1.8因式分解

ma+/一必=幽(a4-i-c)

a1-b2=(a+8)(a-

a2±lab+*=[a±6)2

332

a±b=(a±6)(。'+ab+b^

2

a+82+2以8+2bc+2ca=(以+力+匕7

x2+(a+i>)x+ab=(x+a)(x+2))

1.9不等式

若。>6,贝ij白土c>

1.10二次根式

卜反^=a(a>0)

4a^—\a\

y-a=-\[a

4ab-4a-Jb(a>0,i>0)

心看……)

4a-=^.[ab[a>0,6>0)

*余…b>l

2.1角

1周角=360°,1平角=1800,1直角=90°,1°=60',1'=60"

若Nj+N8=90。，则NA与NB互为余角.

若N1+/8=180。，则NA与NB互为补角.

若N8,则0>5

2.2三角形

若<?+/=，，则&48C为直角三角形

a+b>c

a-b<c

正弦定理:

若a>8,则4>NB

若N1>NB,则々>b余弦定理:

2.3四边形

S平行四期戌=成（a为底边长，h为底边上的高）

%=ab（ab为两邻边长）

睚

e1,

3叁二—abVa+b

2（ab为菱形的两条对角线）梯"T-

2.4比例性质

a_caib_c±d

若加贝ijbd

_a—_c—•••—m_a__+__c_+__-___+__m_=-a-

若小dn,贝ij8+d+…+%b

2.5三角函数

sin2A4-cos2A=1

£或ctgA=1而工=cos（90。一工）

工以-sm，cosA=sin（90°-j4）

/=选（90。-工）

ctgA=—4;ctgA=织（90°-⑷

sinA

2.6与圆有关的公式i=咨

弧长一两

圆周长C=2成

$_.虑2=」必

扇面积£=成2扇形面积~360■2

2.7点与扇的位置

设P点到圆心的距离为d,圆的半径长为工，则

*=「0点「在圆上

d＜r=点P在圆内

*＞厂＜^知在圆外

2.8直线与圆的位置

设圆心到直线/的距离为d,圆半径长为工，则

d=r=直线/与圆相切

d直线，与圆相离

d＜，=直线，与圆相交

2.9两图的位置设两扇半径分别为硫Jr，圆心距为d,则

d＞R+r=两酬离d=K+rQ两回外切R~r＜d〈五+'Q两圆相交

d=R-r=两圆内切往＜火「0两圆内含

高中数学公式

代数

1.集合，函数

AB9BuHA=B

且KBB}

A^B={x|xeN或keB}

A.u={x|x€E7,且x名

cctrd^AYB)=cardQA^+cardQB)—card(-41B)

M___

a*=飞Ja*Q>0,€N、且？3>1)

=—/(a>0,mn€N,且？？>1)

汽/一?»、9z

一,w=N,logaN=1°&N

logaa

10gts=logsAf+logaN

1Oga=1OgaM-1Og&N

K

logaM=陶logaAf(«eR)

log/N=-------

logs匕

f(xi

基本型.^=by(x)=logab(a>0,aK1,2?>0)

logay(x)=by(x)=a*(a>0,。K1)

同底型：a""，=—y(x)=g(x)(4>0，4*1)

logJO)=logsg(x)O/O)=g(x)>0(a>0,awl)

换元型：•/■*)=°或^QogaK)=。

2.数列

<1）等差数列

ct1,一。=&

an=a1+(器—1)(2?

a9A9b成等差=>2A=a+b

泳+"=&r+2=>aw+a3tt=

=(%+%»+'

x22

(2)等比数列

an=a机"1

a,G,力成等上匕=G2=a3

泳+M=&；+1=>awaK=aKal

y,------(4K1)

国=j1-4

%aI(q=1)

£(3)求和公式

1n[n+1)

z■-"2

n[n+1)(2%+1)

z=6

_、5+I)T

=2

3.不等式

a>bb<a

a>b9b>c=>a>c

a>b=>a-he>b-\-c

a-hb>c=>a>c—b

a>b9c>&=a+c>b+d

a>b9c>0=>ac>be

a>b9c<0=>ac<bc

a>£>>0,c>d>0=>ac>bd

a>b>0=>dx>bn(neZ,«>1)

a>b>0=>^fa>\fb(neZ,«>1)

(a-Z>)2>0

a,be.R=^a2>2ab

,2af--

abR=>------->Vab

92

+333

以，b9cGA=>tat-+-£>+c>3abc

+

a9b9ce7?=>"+">K/abc

3

卜1一性|M|a土川工囱+四

4.复数

。+=o+瑟o=o,b=d

+£>i|=-y/

+房)+(o+di)=Q+o)++d)i

+j)—(o+品)=(a—c)H-(£>—d>

+占i)(o+di)=("o—bd)+(£><?+ad)z

-\-bi_ao+Z>dbe-ad.

c+di~C-2+<?2+Z>2'

g+房:r=口女十仁山一］（沏）+…>

。+石N=厂(cosd+ising

尸1(cos曰i+isin鼻)-f(cos3^+isin3^)

=-72[cos(di+0Q)+isin(4+)]

[尸(cosO+sin曰『

”/一.―尸ifcos区+isin3^)

=r(cos力£+jsm力&)——---------------------:---------

尸2(cos鼻4-?sin3^)

=[cos(81—8a)+isin(〃i—8?)]

冗无衣十

ni—(2k4-3.2

8为=VrIcos----------------+工sin--------------

x-力

«fc=O,19----，—1

归|=l^xl-归②|

N]_bll

N&|^2|

匕“I=kr

上工1一凡土NQ|M%|十%|

上『=旨『=2^

N1±N&=N]±—

N1•N.=N]・NQ

5.排列组合与二项式定理

=n[n-1)(力—2)°••(卷一格+1)

/=加

(«—m)!

CM=生=*T)…(附一.+1)

*m\m\

C1n="！

x-m)\

CM=M

C微_0X-M

龙X

(a+b)x=w。*+6。衿&+…+…+，b*

耳+】=

三角函数

1.同角关系

sin2c+cos2c=1

1+tan2c=sec2a

1+cot2a=esc2a

.-sina

sinaescCK=1,tanc=-----

COSOr

rcosa

coscsecc=1,cotc=-----

sind

tanacotc=1

2.诱导公式

sin(/t-360°+a)=sina

cos(A;-3600+a)=cosa

tan(A;-360°+c)=tana

cos(-a)=cosa

sin(-a)=-sina

tan(-a)=一tana

sin(l80°±a)=》sina

COS(180°±CK)=-cosa

tan(1800±a)=±tana

sin(360°-a)=-sina

cos(360°-a)=cosa

tan(360°-a)=-tana

sin(900±a)=cosa

cos(90°±a)=|isina

tan(90。±a)=|lcota

sin(2700±a)=一cosa

cos(270°±a)=±sina

tan(270°±£z)=|icota

3.和差公式

sin(a±⑼=sinacos/7±coscssin/3

COS(CK±⑼=cosacos£|1sincsin/

tan(a土⑼=t3n&±t如/

1口tanatan/

4,倍角公式

sin2a=2sinacosa

cos2a=cos*2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a

2tana

tan2a=-----—

1-tana

5.半角公式

1+cosa

-2-

a11-cosci

tan—=±'-----------

2V1+cosa

81-cos6sinQ

tan—=----------=-----------

2sin®14-cos5

6.万能公式

_a.2a

2tan—1-tan—

22

sina=-------------,cosa=--------------

l+tan3—1+tan2—

22

a

2tan-

tana=------------

1-tan—

2

asinacosa=Ya2+82sin(a+6

7.正弦定理：

在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，

a_b_c

即：sinJ4sin5sinC

8.余弦定理：

三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的

余弦的积的两倍，即：

a2=b24-c2-2bccosA

b2=c2+a2-2cacos5

c2=a1+b2-2abcosC

向量运算

1.向量的加法

4+0=0+乙

a+8=b+a

(«+8)+c=以+0+c)

2.向量减法

-(-a)=a

a+(一a)=(一«)+以=0

a-b=a+(-8)

3.实数与向量的积：以下公式入〃为实数，以合为向量

阳=神|

2（wa）=（a）a

（2+u）a-Xa-^ua

2（a+8）=2a+2i>

线段的定比分点：设白尸二”鸟，斗尸、鸟的坐标分别为（％H）,（X，V）,（叼，当），则

有：

X—_,X]+疝2

1+2

、一月+电2

y1+2

向量的数量积及运算律

数量积（内积），a6=kWcose

向量b在昉向的投影为例c°s6

设a、b都是非零向量,e是与b方向相同的单位向量，,是a与e的夹角，则

⑴电a=a0=k|cos6

（2）a"<=>a2>=0

（3）当a与b同向时，ab=W,

当占b反向时，°占=-囱向,

aa=a2=jaf

|a|=y/aa

COS0=^-^-

⑷㈤例

（5）卜年幽

数量积运算律：（a,b,c为向量，兄为实数）

ab=ba（交换律）

（北）•b=冗（ab）=a团）

[a+｝）.c=ac+bc

解析儿何

1.直线方程

y-y\=Mxf)

y=kx+b

y-y\=

打一乃犯一勺

xj1

一+—=1

ab

本+旦y+C=0

2.两点距离、定比分点

\AB\=\XB-XA\

由引=h-xj"+'一姬

X]+女2

X=

《1+2

%+电

Iy=---1-+---2---

+心

X=—X―j

2

<

当+为

Iy=----2-----

3.两直线关系

////<=>A=A^£.

12482c2

或占=上2且瓦H%

=4=2=5

’1与4重合%U2

或无1=%且瓦=比

’1与4相交4%

或用字用

_L/2=44+4易=o

或无内=-1

'侄也的角

tan5=匕，J(1+kxk2H0)

1+上］先2

’1到4的夹角

月一占

tan6=(1+的/H0)

1+用/

点到直线的距离

1%+By。+C\

八一口笛7厂

4.圆锥曲线

（1）留

（x-a）2+8_勾2=氏2

圆心为（诙3）,半径为R

（2）椭圆

22

与+彳=1(a>6>0)

ab

隹占F］（—C,。），居（G。）

8=一

离心率a

x=±—

准线方程C

焦半径峥|=

Ia+ex°,\^\=a-exQ

（3）双曲线:

X丁1

/=1

（4）抛物线

抛物线丁=2px仍＞0）

隹占心。）

*^^，、、、

x=-二

准线方程2

立体几何

1.空间两直线平行判定

⑴aIIb,bllc=>aHc

aX.a

f=>affb

（2）江团2.空间两直线垂直判定

a-La

aHa=a_L8

（）

auB>=aHb1"uaj

（3）aIB=b.

all3]

>=>ll.b

all'（2）',刈

yla=a>=a〃b

（4）

3.直线与平面平行

（1）判定（2）性质

a（Zaa!IP

8uab=以//aaua=>a/lb

aIlbalB=b

a〃夕

>=a!/

々ua

4.直线与平面垂直

（1）判定

（2）性质

mua,«ca,加I%=B

=LLa

l.bnIIJZ

9a-La

aI!b>=aHb

=>b.La虹a

a.La

5.平面与平面平行

a,buB

<1>a/la,blla>=a!I§

<2>\=a!tB

（1）判定alb=A“I

aliy

<3>

0HY\

（2）性质

aH0

<1>yla=a>=a/lba!你

<2>>=ait0

riB=b.ac.a

7.几何体的侧面积8.几何体的体积

。柱=s%

3正&&10=Ck

噎=扣

SJE松短勉=5'"”

“柱二虑,

2因柱勉=2"Rh

联=1成与

Q因厘曲兀RI

Sm=4成7Mt=g/

概率与统计

1.概率性质

⑴0,i=1,2,

Pi>2.二次分布

（2）Pi+%+……=1C：p"q"=b（k；n,p）

3.期望

E&=X1P1+X2P2++x*p*+

双片+司=口透+8

若然即,p),贝心。=号>

4.方差

2

口号=环-E以A+(x2-E^)p24-...+(/-砥'p*+....

5.正态分布

/(x)=-ga/,xe(-oo,4-oo)

V2冗o

式中的实数b(b>0)是参数，分别表示总体的平均数与标准差.

正态分布常记作"(小

1-士

_n/(x)=-r=e2.xe(-oo,+oo)

标准正态分布，当0'=1，"=°时，岳

七.极限

任何一个常数数列的极限都是这个常数本身.

lime=c

即19(C是常数)

A.导致

lim/(x)=a<=>lim/(x)=lim=a

XT%XTX、XTX1

c'=0(c为常数)

极限四则运算

—)'=犯一伽eQ)

lim/(x)=a,limg(x)=b

如果*t。­,那么(sin%)'=cosx

(cosx)'=-sinz

lim[/(x)±g(x)]=a±2>

XTX。

(lnx),=—

x

X