北师大版初中数学八年级上册《第3章 位置与坐标》单元测试卷含答案解析

北师大新版八年级上学期《第3章位置与坐标》

单元测试卷

一.填空题(共35小题)

1.在平面直角坐标系中，已知点A(-3,0),B(3,0),点C在坐标轴上，且

AC+BC=10,写出满足条件的所有点C的坐标.

2.阅读材料：在平面内取一个定点。，叫极点，引一条射线Ox,叫做极轴，再

选定一个长度单位和角度的正方向(通常取逆时针方向)，对于平面内任何一

点M,用表示线段0M的长度，0表示从Ox到0M的角度，p叫做点M的极

径，N。叫做点M的极角，有序数对(p,0)就叫点M的极坐标，这样建立

的坐标系叫做极坐标系.

如图，在极坐标系中，点A的极坐标为(4,30。)、点B的极坐标为(673-60°),

那么AB两点之间的距离是.

3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(2,0),点B的坐标为(0,1),

将线段AB平移，使其一个端点到C(3,2),则平移后另一端点的坐标为

4.已知点A(1,0),B(0,-2),如果直线AB上有一点C在第一象限，且4

BOC的面积等于2,则点C的坐标为.

5.已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0),B(4,-2),C(5,3),

则三角形ABC的面积为.

在平面直角坐标系中，对于任意两点与丫的“非

6.xOyPi(xi，yi)P2(X2，2)

常距离”，给出如下定义：

「

若|XX2|2yi-y21>则点Pi与点P2的“非常距离"为必-X2I；

若|X1-X2|<Iyi-丫21，则点P1与点p2的“非常距离"为M-丫2I.

例如：点P1（1,2）,点P2（3,5）,因为|l-3|v|2-5],所以点Pi与点P2的

"非常距离”为12-5|=3,也就是图1中线段PiQ与线段P2Q长度的较大值（点

Q为垂直于y轴的直线PiQ与垂直于x轴的直线P2Q的交点）.

已知点A（0,1）,B为y轴上的一个动点，若点A与点B的"非常距离"为3,写

出满足条件的点B的坐标.

7.如图，在4BDE中，ZBDE=90°,BD=4点，点D的坐标为（5,0）,ZBDO=15°,

将^BDE旋转到4ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为.

8.如图，平面直角坐标系中，已知0为坐标原点，A（3,0）,B（0,4）.将

RtAAOB绕点A顺时针旋转得到RtAACD,旋转后点D恰好落在AB边上时,

则D点的坐标为.

9.把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小(这个顶点不变)，我

们把这样的三角形运动称为三角形的T-变换，这个顶点称为T-变换中心,

旋转角称为T-变换角，三角形与原三角形的对应边之比称为T-变换比；已

知^ABC在直角坐标平面内，点A(0,-1),B(-V3>2),C(0,2),将

△ABC进行T-变换，T-变换中心为点A,T-变换角为60°,T-变换比为2,

3

那么经过T-变换后点C所对应的点的坐标为.

10.如图,把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上,OA在y轴上，且OC=2,

OA=4,把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90。得到矩形ODEF,则E的坐标

为•

v.

Br—A

_____E

F

C0Dx

11.在平面直角坐标系中，点P(a-2,a+4)在二四象限的角平分线上，则

a2013=.

12.如图，在直角坐标系中，已知点P。的坐标为(1,0),进行如下操作：将线

段0P。按逆时针方向旋转45°,再将其长度伸长为0P。的2倍,得到线段OP1；

又将线段0匕按逆时针方向旋转45°,长度伸长为OP】的2倍,得到线段0P2,

如此重复操作下去，得到线段OP3，0P4，…，则

(1)点P5的坐标为；

(2)落在x轴正半轴上的点Pn坐标是.(n是8的整数倍)

13.在平面直角坐标系中，规定一个点先向上平移2个单位，再向右平移1个单

位为1次运动.点P(-2,-3)经过次这样的运动后到达点P-(4,

9).

14.点(a,2a-3)在第二四象限坐标轴夹角的角平分线上，那么a=.

15.如图，若“士"所在位置的坐标为(-1,-2),"相"所在的位置的坐标为(2,

-2),请用坐标表示出“将〃所在位置的坐标为

,丫2)，那么X「X2)，(y「V2产已

知：A(3,-1),B(-1,4),C(l,-6),在^ABC内求一点P,使PA?+PB2+PC2

最小，则点P的坐标是.

17.若|a-4|+(b-3)2=0,则A(a,b)关于y轴对称点的坐标为.

18.(1)善于思考的小迪发现：半径为a,圆心在原点的圆(如图1),如果固定

直径AB,把圆内的所有与y轴平行的弦都压缩到原来的上倍，就得到一种新

a

的图形-椭圆(如图2).她受祖冲之“割圆术"的启发，采用"化整为零，积零

为整"、"化曲为直，以直代曲”的方法，正确地求出了椭圆的面积，她求得的

结果为;

(2)小迪把图2的椭圆绕x轴旋转一周得到一个"鸡蛋型”的椭球.已知半径为a

的球的体积为911a3,则此椭球的体积为

3-----------

19.设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向

跳动1个单位，经过5次跳动质点落在点(3,0)(允许重复过此点)处，则

质点不同的运动方案共有种.

20.在平面直角坐标系中，已知点A(2,4),B(4,2),C(1,1),点P在x

轴上，且四边形ABOP的面积是4ABC的面积的2倍，则点P的坐标为.

21.已知点P(x+1,3)在第一、三象限的角平分线上，则x=；若Q(-

2,1+y）在第二、四象限的角平分线上，则丫=.

22.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（3,0）,B（0,4）,如果将线段AB

绕点B顺时针旋转90。至CB,那么点C的坐标是.

y个

.B

二」

o]Ax

23.在平面直角坐标系中，点A的坐标是（4,-3）,作点A关于x轴的对称点，

得到点A,再作点A，关于y轴的对称点,得到点A",则点A"的坐标是.

24.已知人8〃*轴，点A的坐标为（2,5）,并且AB=4,则点B的坐标为.

25.如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限角平分线上的一点，且P点的横

坐标为3.把一块三角板的直角顶点固定在点P处，将此三角板绕点P旋转，

在旋转的过程中设一直角边与x轴交于点E,另一直角边与y轴交于点F,若

△POE为等腰三角形，则点F的坐标为.

26.在平面直角坐标系中，将点（-b,-a）称为点（a,b）的"关联点"（例如

点（-2,-1）是点（1,2）的"关联点"）.如果一个点和它的“关联点"在同

一象限内，那么这一点在第象限.

27.如图甲，对于平面上不大于90。的NMON,我们给出如下定义：如果点P在

NMON的内部，作PELOM,PF1ON,垂足分别为点E、F,那么称PE+PF的

值为点P相对于NMON的"点角距离"，记为d（P,ZMON）.如图乙，在平

面直角坐标系xOy中，点P在坐标平面内，且点P的横坐标比纵坐标大2,

对于NxOy,满足d（P,ZxOy）=10,点P的坐标是.

28.平面直角坐标系中有两点M(a,b),N(c,d),规定(a,b)ffi(c,d)

=(a+c,b+d),则称点Q(a+c,b+d)为M,N的"和点若以坐标原点0

与任意两点及它们的"和点”为顶点能构成四边形，则称这个四边形为"和点四

边形”，现有点A(2,5),B(-1,3),若以0,A,B,C四点为顶点的四边

形是"和点四边形"，则点C的坐标是.

29.点A(0,-3),点B(0,-4),点C在x轴上，如果aABC的面积为15,

则点C的坐标是.

30.在平面直角坐标系中，若点M(1,3)与点N(m,3)之间的距离是3,则

m的值是.

31.我们定义：平面内两条直线li、I相交于点。(k与12不垂直)，对于该平面

内任意一点P,如果点P到直线

11、k的距离分别为a、b,那么有序实数对(a,b)就叫做点P的"平面斜角坐标”.如

果常数m、n都是正数，那么在平面内与"平面斜角坐标"(m,n)对应的点

共有个.

32.已知A是平面直角坐标系内一点，先把点A向上平移3个单位得到点B,再

把点A绕点B顺时针方向旋转90。得到点C,若点C关于v轴的对称点为(1，

2),那么点A的坐标是.

33.如图，在平面直角坐标系上有个点P(1,0),点P第1次向上跳动1个单

位至点Pi(l,1),紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(-1,1),第3

次向上跳动1个单位，第4次向右跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单

位，第6次向左跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点P第100次跳动至

点Pioo的坐标是.

34.电子跳蚤游戏盘为4ABC（如图），AB=8,AC=9,BC=10,如果电子跳蚤开始

时在BC边上P。点，BP0=4,第一步跳蚤跳到AC边上Pi点，且CPi=CP0；第二

步跳蚤从Pi跳到AB边上P2点，且AP2=API；第三步跳蚤从P2跳回到BC边上

P3点,且BP3=BP2；…跳蚤按上述规定跳下去，第2008次落点为P2008,则点

P2008与A点之间的距离为.

35.如果将点（-b,-a）称为点（a,b）的"反称点"，那么点（a,b）也是点

（-b,-a）的“反称点"，此时，称点（a,b）和点（-b,-a）是互为"反

称点容易发现，互为"反称点"的两点有时是重合的，例如（0,0）的"反称

点"还是（0,0）.请再写出一个这样的点：.

二.解答题（共22小题）

36.（1）点P的坐标为（x,y）,若*=丫，则点P在坐标平面内的位置是；

若x+y=0,则点P在坐标平面内的位置是；

（2）已知点Q的坐标为（2-2a,a+8）,且点Q到两坐标轴的距离相等，求点

Q的坐标.

37.先阅读下列一段文字，再解答问题

已知在平面内有两点Pi（xi，yi）,P2（X2，丫2），其两点间的距离公式为PiP2=

J（X2-xp2+（y2-Vi）.同时，当两点所在的直线在坐标轴上或平行于坐标

轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为1x2-xil或M-y/

(1)已知点A(2,4),B(-3,-8),试求A,B两点间的距离；

(2)已知点A,B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为5,点B的纵坐标为

-1,试求A,B两点间的距离；

(3)已知点A(0,6)B(-3,2),C(3,2),判断线段AB,BC,AC中哪两

条是相等的？并说明理由.

38.在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的单位长度均为1,ZXABC的三

个顶点恰好是正方形网格的格点.

(1)写出图中所示^ABC各顶点的坐标.

(2)求出此三角形的面积.

39.已知A(0,3),B(-4,0),C(-2,-3),D(4,-1),求图中四边形

ABCD的面积.

40.如图，在平面直角坐标系中，已知A(0,a),B(b,0),C(b,c)三点,

其中a、b、c满足关系式|a-2|+(b-3)2=0,(c-4)2<0

(1)求a、b、c的值；

⑵如果在第二象限内有一点P(m,1),请用含m的式子表示四边形ABOP

的面积；

(3)在(2)的条件下，是否存在点P,使四边形ABOP的面积与AABC的面积

相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由.

41.如图，在平面直角坐标系中，A(-2,2)、B(-3,-2)、C(3,-2)

(1)求△ABC的面积；

(2)如果在第一象限内有一点P(m,1),试用含m的式子表示四边形PABC的

面积；

(3)是否存在一点P(m,1),使APAC的面积与4ABC的面积相等？若存在,

求P点的坐标；若不存在，请说明理由.

42.如图，在下面直角坐标系中，已知A(0,a),B(b,0),C(b,c)三点，

其中a、b、c满足关系式|a-2|+(b-3)?=o和(c-4)2^0；

(1)求a、b、c的值；

(2)如果在第二象限内有一点p(m,g),请用含m的式子表示四边形ABOP

的面积；

(3)在(2)的条件下，是否存在点P,使得四边形ABOP的面积与AABC的面

积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

43.如图，^ABC在直角坐标系中,

(1)请写出^ABC各点的坐标；

44.已知如图，在平面直角坐标系中有四点，坐标分别为A(-4,3)、B(4,3)、

M(0,1)、Q(1,2),动点P在线段AB上，从点A出发向点B以每秒1个

单位运动.连接PM、PQ并延长分别交x轴于C、D两点(如图).

(1)在点P移动的过程中，若点M、C、D、Q能围成四边形，则t的取值范围

是，并写出当t=2时，点C的坐标.

(2)在点P移动的过程中，aPIVIQ可能是轴对称图形吗？若能，请求出符合条

件的点P的坐标；若不能，请说明理由.

45.对于点O、M,点M沿MO的方向运动到。左转弯继续运动到N,使OM=ON,

且OM_LON,这一过程称为M点关于0点完成一次“左转弯运动”.正方形ABCD

和点P,P点关于A左转弯运动到Pi，Pi关于B左转弯运动到P2,P2关于C

左转弯运动到P3,P3关于D左转弯运动到P4,P4关于A左转弯运动到P5,....

(1)请你在图中用直尺和圆规在图中确定点Pi的位置；

(2)以D为原点、直线AD为y轴建立直角坐标系，并且已知点B在第二象限，

A、P两点的坐标为(0,4)、(1,1),请你推断：P2008、P2009、P2010三点的坐

标.

46.如图，在直角坐标系中，Z^ABC满足，NC=90。，AC=4,BC=2,点A、C分别

在x、y轴上，当A点从原点开始在x轴正半轴上运动时，点C随着在y轴正

半轴上运动.

(1)当A点在原点时，求原点。到点B的距离OB；

(2)当OA=OC时，求原点0到点B的距离OB.

47.当m,n是正实数，且满足m+n=mn时，就称点P(m,皿)为"完美点”.已

n

知点A(1,6)与点B的坐标满足y=-x+b,且点B是“完美点”.

(1)点(3,2)是否是"完美点”，并说明理由；

(2)求△OAB的面积.

48.如图，^ABC中，A,B,C三点的坐标分别为(2,5),(6,-4),(-2,0),

求4ACB的面积.

49.已知点A(0,-4),点B(2,-1),问坐标轴上有多少个点，使^ABC的

面积为5,画出图形，并求出每个点的坐标(要有过程)

50.如图I,已知在平面直角坐标系中，/XABO的面积为8,OA=OB,BC=12,点P

的坐标是(a,6).

(1)求AABC三个顶点A,B,C的坐标；

(2)若点P坐标为(1,6),连接PA,PB,则4PAB的面积；

(3)是否存在点P,使aPAB的面积等于aABC的面积？如果存在，请求出点P

51.已知：A(0,1),B(2,0),C(4,3)

(1)在坐标系中描出各点，画出^ABC.

(2)求ZkABC的面积;

(3)设点P在坐标轴上，且AABP与4ABC的面积相等，求点P的坐标.

(1)判断^AOG的形状，并予以证明;

53.阅读一段文字，再回答下列问题：已知在平面内两点的坐标为Pi(xi，1),

P2(X2，丫2)，则该两点间距离公式为PlP2=J(x2-X[)2+(y2-y[)2.同时，

当两点在同一坐标轴上或所在直线平行于X轴、垂直于X轴时，两点间的距

离公式可化简成IX2-X1I或|y2-yi|.

(1)若已知两点A(3,3),B(-2,-1),试求A,B两点间的距离；

(2)已知点M,N在平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为7,点N的纵坐标

为-2,试求M,N两点间的距离；

(3)已知一个三角形各顶点的坐标为A(0,5),B(-3,2),C(3,2),你能

判定此三角形的形状吗？试说明理由.

54.如图所示，A(-遮，0)、B(0,1)分别为x轴、y轴上的点，^ABC为等

边三角形，点P(3,a)在第一象限内，且满足2sAABPMSAABC，求a的值.

55.如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，若A(-X,拉竺)，B(2x

2

-1,网_),C(z+1,红型)，已知A、B关于原点对称，C在二、四象限平

33

分线上.

(1)求A、B、C点的坐标；

(2)结合A、B、C的坐标，画出坐标轴；

(3)求出aABC的面积.

56.如图，在平面直角坐标系中，长方形ABCD的边BC在x轴上.如果点A坐

标是(-1,4a),C点坐标是(3,0).

(1)求B点和D点的坐标；

(2)将这个长方形向下平移2个单位长度，四个顶点的坐标变为多少？请你写

出平移后四个顶点的坐标；

(3)如果Q点以每秒加个单位长度的速度在长方形ABCD的边上从A出发到C

点停止，沿着A-D玲C的路径运动，那么当Q点的运动时间分别是1秒和4

秒时，△BCQ的面积各是多少？请你分别求出来.

o

c

o3x

57.已知A(-3,0),C(0,4),点B在x轴上，且AB=4.

(1)求点B的坐标，在平面直角坐标系中画出△ABC,并求出△ABC的面积.

(2)在y轴上是否存在点P,使得以A、C、P三点为顶点的三角形的面积为9?

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

(3)在y轴上是否存在点Q,使得AACQ是等腰三角形？若存在请画出点Q所

在位置，并直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

北师大新版八年级上学期《第3章位置与坐标》

单元测试卷

参考答案与试题解析

—.填空题(共35小题)

1.在平面直角坐标系中，已知点A(-3,0),B(3,0),点C在坐标轴上，且

AC+BC=10,写出满足条件的所有点C的坐标(-5,0),(5,0),(0,4),

(0,-4).

【分析】根据题意可知点C在x轴上或者在y轴上，通过画图分析，符合要求的

有四种情况，根据AC+BC=10,可以确定点C的坐标.

【解答】解：如下图所示：

C3'

/-X

/-\

；II/-II,,,^―

Cl4\W

\-/

\_/

消

•.•已知点A(-3,0),B(3,0),点C在坐标轴上，且AC+BC=10,

...点C所在的位置有四种情况：

第一种情况：点C在点A的左侧.

设点C的坐标为(x,0).

VAC+BC=10,点A(-3,0),B(3,0),

二(-3-x)+(3-x)=10.

解得，x=-5.

二点C的坐标为(-5,0),点A(-3,0),B(3,0),

第二种情况：点C在点B的右侧.

设点C的坐标为(x,0).

VAC+BC=10,

[x-（-3）]+（x-3）=10.

解得，x=5.

，点C的坐标为（5,0）.

第三种情况：点C在y轴上方.

设点C的坐标为（0,y）.

VAC+BC=10,点A（-3,0）,B（3,0）,

，AC=BC=5,32+y2=52.

解得，y=±4.

•.•点C在y轴上方，

二点C的坐标为（0,4）.

第四种情况：点C在y轴下方.

设点C的坐标为（0,y）.

VAC+BC=10,点A（-3,0）,B（3,0）,

；.AC=BC=5,32+y2=52.

解得，y=±4.

•.•点C在y轴下方，

.•.点C的坐标为（0,-4）.

故答案为：（-5,0）,（5,0）,（0,4）,（0,-4）.

【点评】本体主要考查坐标与图形的关系，关键是可以根据题目中的信息把点C

的几种可能性都考虑到，画出相应的图形.

2.阅读材料：在平面内取一个定点O,叫极点，引一条射线Ox,叫做极轴，再

选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向），对于平面内任何一

点M,用表示线段0M的长度，e表示从Ox到0M的角度，P叫做点M的极

径，NO叫做点M的极角，有序数对（p,9）就叫点M的极坐标，这样建立

的坐标系叫做极坐标系.

如图，在极坐标系中，点A的极坐标为（4,30。）、点B的极坐标为（6«,60°）,

那么AB两点之间的距离是,5

【分析】从A、B两点向极轴做垂线，再从A点向右做垂线，构造直角三角形,

利用勾股定理求出AB的距离即可.

【解答】解：如图，过点A向极轴做垂线，垂足为C,过点B向极轴做垂线，垂

足为D,过点A向BD做垂线，垂足为E,连接AB,

B

…-------------A

在RtAOAC中，AC=OAXsin30°=4xl=2,OC=OAXcos30°=4X零=2心

2

零=9,OD=OBXcos60°=6«X,=3V^，

在RtZ\OBD中，BD=OBXsin60°=6«>

.\CD=OD-OC=V3»

•••四边形ACDE中，三个角为直角，

二四边形ACDE为矩形，

.•.AE=CD=b，DE=AC=2,

ABE=9-2=7,

在直角三角形ABE中，

AB=22=

VAE+BE7（何2+产2任，

...AB两点之间的距离是2万，

故答案为：2，正.

【点评】本题考查了两点之间的距离，通过添加辅助线构造直角三角形是解决本

题的关键.

3.如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2,0）,点B的坐标为（0,1）,

将线段AB平移，使其一个端点到C（3,2）,则平移后另一端点的坐标为（1,

3）或（5,1）.

【分析】分两种情况①当A平移到点C时，②当B平移到点C时，分别利用平

移中点的变化规律求解即可.

【解答】解：①如图1,当A平移到点C时，

国1

VC（3,2）,A的坐标为（2,0）,点B的坐标为（0,1）,

...点A的横坐标增大了1,纵坐标增大了2,

平移后的B坐标为（1,3）,

②如图2,当B平移到点C时，

VC（3,2）,A的坐标为（2,0）,点B的坐标为（0,1）,

...点B的横坐标增大了3,纵坐标增大2,

.•.平移后的A坐标为（5,1）,

故答案为：（1,3）或（5,1）.

【点评】本题考查坐标系中点、线段的平移规律，关键要理解在平面直角坐标系

中，图形的平移与图形上某点的平移相同，从而通过某点的变化情况来解决

问题.平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下

移减.

4.已知点A(1,0),B(0,-2),如果直线AB上有一点C在第一象限，且4

BOC的面积等于2,则点C的坐标为(2,2).

【分析】设直线AB的解析式为y=kx+b,将点A(1,0)、点B(0,-2)分别代

入解析式即可组成方程组，从而得到AB的解析式；设点C的坐标为(x,y),

根据三角形面积公式以及SABOC=2求出C的横坐标，再代入直线即可求出y的

值，从而得到其坐标.

【解答】解：(1)设直线AB的解析式为y=kx+b(kWO),

,直线AB过点A(1,0)、点B(0,-2),

..Jk+b=O,解得仆=2,

lb=-2lb=-2

直线AB的解析式为y=2x-2.

设点C的坐标为(x,y),

•"SABOC=2,

—*2*x=2,

2

解得：x=2,

，y=2X2-2=2,

.•.点C的坐标是(2,2)；

故答案为：(2,2).

【点评】本题考查了坐标与图形性质、待定系数法求函数解析式，解答此题不仅

要熟悉函数图象上点的坐标特征，还要熟悉三角形的面积公式.

5.已知三角形ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0),B(4,-2),C(5,3),

则三角形ABC的面积为11.

【分析】根据题意可以画出相应的图形，然后根据A(0,0),B(4,-2),C

(5,3),可以求得矩形EFCD面积、三角形AEB的面积、三角形BFC的面积、

三角形ACD的面积，从而可以求得三角形ABC的面积.

【解答】解：如下图所示：

yA

过点C作CD±y轴于点D,过点B作BE±y轴于点E,过点C作CF±x轴交EB

的延长线于点F,

VA（0,0）,B（4,-2）,C（5,3）,

••S/\ABC=S矩形EFCD-SAAEB-SABFC-SACAD

-5X[3.（]-4X1-2|_（5-4）X5_3X5

222

=25-4①

22

=11.

故答案为：IL

【点评】本题考查坐标与图形的性质、三角形的面积，解题的关键是运用转化的

数学思想，将所求问题转化为求其它图形的面积，进而得到所求问题的答案.

6.在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点Pi（xi，yi）与P2（x2,y2）的“非

常距离"，给出如下定义：

若|XI-X212yi-y21»则点Pi与点P2的"非常距离"为与i-X2I；

若lx】-X2IVM-丫21，则点Pi与点Pi的“非常距离"为M-丫21.

例如：点Pl（1，2）,点P2（3,5）,因为|l-3|v|2-5|,所以点Pl与点P2的

"非常距离"为12-5|=3,也就是图1中线段PiQ与线段P2Q长度的较大值（点

Q为垂直于y轴的直线PiQ与垂直于x轴的直线P2Q的交点）.

已知点A（0,1）,B为y轴上的一个动点，若点A与点B的"非常距离"为3,写

出满足条件的点B的坐标（0,4）或（0,-2）

【分析】根据意义可知点A、B均在y轴上，故此|yB-l|=3,从而可求得点B的

纵坐标，故此可求得点B的坐标.

【解答】解：•••点A的坐标为（0,1）,

...点A在y轴上.

,点B也在y轴上，且点A与点B的"非常距离”为3,

iYB_1=3.

解得:YB=4或YB=-2.

.•.点B的坐标为（0,4）或（0,-2）.

故答案为：（0,4）或（0,-2）.

【点评】本题主要考查的是坐标与图形的性质、新定义，根据定义得出WB-11=3

是解题的关键.

7.如图，在Z\BDE中，ZBDE=90°,BD=4&,点D的坐标为（5,0）,ZBDO=15°,

将aBDE旋转到4ABC的位置，点C在BD上，则旋转中心的坐标为（3,

273）_.

【分析】根据旋转的性质，AB与BD的垂直平分线的交点即为旋转中心P,连接

PD,过P作PFLx轴于F,再根据点C在BD上确定出NPDB=45。并求出PD的

长，然后求出NPDO=60。，根据直角三角形两锐角互余求出NDPF=30。，根据

直角三角形30。角所对的直角边等于斜边的一半可得DF=^PD,利用勾股定理

2

列式求出PF,再求出OF,即可得到点P,即旋转中心的坐标.

【解答】解：如图，AB与BD的垂直平分线的交点即为旋转中心P,连接PD,

过P作PF，x轴于F.

二点P到AB、BD的距离相等，都是=BD,gplx472=2V2»

；.NPDB=45°,

PD=V2X272=4，

VZBD0=15°,

.,.ZPDO=45°+15°=60°,

/.ZDPF=30o,

.•.DF=UD=LX4=2,

22

•点D的坐标是（5,0）,

.*.OF=OD-DF=5-2=3,

由勾股定理得，PF={PD2_DF42.22=2V^,

二旋转中心的坐标为（3,2A/3）.

故答案为：（3,2«）.

【点评】本题考查了坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质确定出旋转中

心的位置并得到含有30。角的直角三角形是解题的关键.

8.如图，平面直角坐标系中，已知0为坐标原点，A（3,0）,B（0,4）.将

RtAAOB绕点A顺时针旋转得到RtAACD,旋转后点D恰好落在AB边上时,

则D点的坐标为（旦，丝）.

-------5-5--------

【分析】过点D作DELOA,垂足为E,然后在RtaAOB中，由勾股定理求得AB

的长度，接下来再证明△AEDs^AOB,最后由相似三角形的性质求得AE、

DE的长度，从而可求得点D的坐标.

【解答】解：过点D作DELOA,垂足为E.

由点A、B的坐标可知；0A=3,0B=4.

在RQAOB中，由勾股定理得：

AB=^OA2+OB2=5,

由旋转的性质可知：AD=3.

VOB±OA,DELOA,

，DE〃OB.

/.△AED^AAOB.

・DAAEED日口3AEED

ABAOOB534

.•.AE=2,ED=丝，

55

.\OE=OA-AE=3-旦=2,

55

.•.点D的坐标为（色，」2）.

55

【点评】本题主要考查的是旋转的性质、相似三角形的性质和判定、勾股定理的

应用，由相似三角形的性质求得AE、DE的长度是解题的关键.

9.把一个三角形绕其中一个顶点逆时针旋转并放大或缩小（这个顶点不变），我

们把这样的三角形运动称为三角形的T-变换，这个顶点称为T-变换中心,

旋转角称为T-变换角，三角形与原三角形的对应边之比称为T-变换比；已

知^ABC在直角坐标平面内，点A(0,-1),B(-V3-2),C(0,2),将

△ABC进行T-变换，T-变换中心为点A,T-变换角为60°,T-变换比为2,

3

那么经过T-变换后点C所对应的点的坐标为(-立，0).

【分析】根据题意判断4ABC为直角三角形，得到NBAC=30。，根据T-变换角

为60。，得到经过T-变换后点C所对应的点在x轴上，计算得到答案.

【解答】解：YB(-贬,2),C(0,2),

.,.△ABC为直角三角形，ZBAC=30°,

绕点A逆时针旋转60。后，B，A，y轴，

则点C在x轴上，

T-变换比为2,AC=3,

3

：./\C=2,

oc'=V^，

,经过T-变换后点C所对应的点的坐标为(-M，0).

【点评】本题考查的是坐标与图形变化,理解新定义和旋转的概念是解题的关键,

注意旋转中心、旋转方向和旋转角在旋转中的应用.

10.如图，把矩形OABC放在直角坐标系中，OC在x轴上,OA在y轴上，且OC=2,

OA=4,把矩形OABC绕着原点顺时针旋转90。得到矩形ODEF,则E的坐标为

(4,2).

X

Br—A

______E

F

CODx

【分析】据旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小可得0D二OA,

OF=OC,再根据点E在第一象限写出点E的坐标即可.

【解答】解：•••矩形OABC绕着原点顺时针旋转90。得到矩形ODEF,

，OD=OA=4,OF=OC=2,

又Y点E在第一象限，

...点E的坐标为(4,2).

故答案为:(4,2).

【点评】题考查了坐标与图形变化-旋转，熟记旋转变换只改变图形的位置不改

变图形的形状与大小是解题的关键.

11.在平面直角坐标系中，点P(a-2,a+4)在二四象限的角平分线上，则a2013=

-1.

【分析】由点P(a-2,a+4)在二四象限的角平分线上可得a-2与a+4互为相

反数，从而可求得a的值，从而求得a?。】?的值.

【解答】解：•••在平面直角坐标系中，点P(a-2,a+4)在二四象限的角平分

线上.

(a-2)+(a+4)=0.

解得，a=-l.

.,.a2013=(-1)2013=-1.

故答案为：-L

【点评】本题主要考查平面直角坐标系中关于二四象限角平分线的知识，关键是

明确二四象限角平分线上的点的横纵坐标互为相反数.

12.如图，在直角坐标系中，已知点P。的坐标为(1,0),进行如下操作：将线

段0P。按逆时针方向旋转45°,再将其长度伸长为OP。的2倍,得到线段OP1；

又将线段OPi按逆时针方向旋转45°,长度伸长为OP】的2倍,得到线段0P2，

如此重复操作下去，得到线段0P3，0P4，…，则

(1)点P5的坐标为--；

(2)落在x轴正半轴上的点Pn坐标是(n是8的整数倍)

V

【分析】（1）根据题意得出OP1=2,OP2=4,OP3=8,从而得到OP5=32,易得P5

在第三象限的角平分线上，进而判断P5的坐标即可；

（2）根据探究点P的坐标每8个点循环一圈，根据n是8的倍数可知点八位于

x轴的正半轴上，然后根据0又的长度即可求得点Pn的坐标.

【解答】解：（1）由图可得P5在第三象限的角平分线上，

12

VOP^,OP2=2,

5

/.OP5=2=32,

作PsA_l_x轴，PsB_Ly轴，

.•.AO=OB=16后，

，点Ps的坐标为（-16y,-16A/2）;

故答案为（-16y,-16-72）；

（2）•.•每8个点循环一圈，且n是8的倍数,

.,.点Pn在x轴的正半轴上.

•••点Pn坐标是（2n,0）.

故答案为：（2n,0）.

【点评】此题主要考查了坐标的旋转问题；得到相应的旋转规律及OPn的长度的

规律是解决本题的关键.

13.在平面直角坐标系中，规定一个点先向上平移2个单位，再向右平移1个单

位为1次运动.点P（-2,-3）经过6次这样的运动后到达点P，（4,9）.

【分析】根据向上平移纵坐标加；向右平移横坐标加，求出经过几次平移得到点

P'（4,9）的坐标即可得解.

【解答】解：先向上平移2个单位，再向右平移1个单位为1次运动，

则点P（-2,-3）经过1次运动后的坐标为（-1,-1）,

经过2次运动后的坐标为（0,1）,

经过3次运动后的坐标为（1,3）,

经过4次运动后的坐标为（2,5）,

经过5次运动后的坐标为（3,7）,

经过6次运动后的坐标为（4,9）.

故点P（-2,-3）经过6次这样的运动后到达点P'（4,9）.

故答案为：6.

【点评】本题考查了坐标与图形变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐

标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键.

14.点（a,2a-3）在第二、四象限坐标轴夹角的角平分线上，那么a=1.

【分析】根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数,

由此就可以得到关于a的方程，解出a的值.

【解答】解：•.•点（a,2a-3）在第二、四象限坐标轴夹角的角平分线上，

a+2a-3=0,

解得，a=l.

故答案是：1.

【点评】本题主要考查了坐标与图形性质.解题的关键是找出在第二、第四象限

坐标轴夹角平分线上的点坐标的特点：横纵坐标互为相反数.

15.如图，若“士"所在位置的坐标为（-1,-2）,"相"所在的位置的坐标为（2,

-2）,请用坐标表示出"将"所在位置的坐标为（0,-2）.

【分析】先由士和相的位置坐标推得图中的每一格代表的长度，进而可推得坐标

原点所在的位置，即可得出将所在的位置坐标.

【解答】解：•••将，相在一条直线上，且横坐标分别为0和2,

...图中的一小格代表1,可得坐标原点所在的位置将以上两个单位，

即可推得将所在的位置为(0，-2),

故答案为(0,-2).

【点评】本题考查了坐标确定位置的知识，解答本题的关键是要认真观察图象,

找出点与点之间的位置关系.

2-2,

16.如果两点：M(xi，yi)>N(x2,y2)>(x1-x2)+(yiy2)已

知：A(3,-1),B(-1,4),C(l,-6),在^ABC内求一点P,使PA2+PB2+PC2

最小，则点P的坐标是(1,-1)•

【分析】设点P(x,y),则由两点间的距离公式，推出3x2+3y2-6x+6y+64,整

理后得到3(x-1)2+3(y+1)2+58,根据最小值求出即可.

【解答】解：设点P(x,y),则由两点间的距离公式，得

PA2+PB2+PC2

=(x-3)2+(y+1)2+(x+1)2+(y-4)2+(x-1)2+(y+6)2

=3x2+3y2-6x+6y+64,

=3(x2-2x+l)+3(y2+2y+l)+58,

=3(x-1)2+3(y+D2+58,

•••要使上式的值最小，

必须x-1=0,y+l=0,

••X—1,y=-1,

即P(1,-1),

故答案为：(1,-1).

【点评】本题主要考查对完全平方公式，两点之间的距离公式等知识点的理解和

掌握，能推出3（x-1）2+3（y+1）2+58并进一步求出x、y的值是解此题的

关键.

17.若|a-4|+（b-3）2=0,则A（a,b）关于v轴对称点的坐标为（-4,3）.

【分析】先根据非负数的性质求得a,b的值，再根据对称的特点求得点A关于

y轴对称点的坐标.

［解答］解:，.,|a-4|+（b-3）2=0

a-4=0,b-3=0

a=4,b=3

AA（4,3）关于y轴对称点的坐标为（-4,3）.

【点评】本题考查非负数的性质和平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的

坐标之间的关系.

（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；

（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；

（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数.

18.（1）善于思考的小迪发现：半径为a,圆心在原点的圆（如图1）,如果固定

直径AB,把圆内的所有与y轴平行的弦都压缩到原来的上倍，就得到一种新

a

的图形-椭圆（如图2）.她受祖冲之“割圆术"的启发，采用"化整为零，积零

为整"、"化曲为直，以直代曲”的方法，正确地求出了椭圆的面积，她求得的

结果为nab；

（2）小迪把图2的椭圆绕x轴旋转一周得到一个"鸡蛋型”的椭球.已知半径为a

的球的体积为911a3,则此椭球的体积为&nab2.

【分析】本题需先认真审题再解得：

（1）依据"化整为零，积零为整"、"化曲为直，以直代曲”的方法，结合圆的面

积求法即可得；

（2）运用球的体积公式乘以（k）2即可得.

a

【解答】解：（1）根据"化整为零，积零为整"、"化曲为直，以直代曲”的方法，

结合圆的面积求法可知，椭圆的面积为7i*a*a«—=nab；

a

（2）因为半径为a的球的体积为2加3,所以椭球的体积为：lna3（l）2=lnab2.

33a3

【点评】此题主要考查了学生的阅读分析能力和类比推理的思维能力.要熟练掌

握圆的面积公式并会从题意中找到类比的规律，从而求解.

19.设坐标平面内有一个质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向

跳动1个单位，经过5次跳动质点落在点（3,0）（允许重复过此点）处，则

质点不同的运动方案共有5种.

【分析】质点从原点出发，沿x轴跳动，每次向正方向或负方向跳动1个单位，

经过5次跳动质点落在点（3,0）（允许重复过此点）处，这样质点向正方向

跳动4次，向负方向跳动一次.第几次是向负方向跳结果都相同，因而有5

种运动方案.

【解答】解：共有如下方案：

①可先向负方向跳动一次再连续向正方向跳动4次；

②向正方向跳动1次，再向负方向跳动1次，再向正方向跳动3次；

③向正方向跳动2次后，再向负方向跳动1次，再向正方向跳动2；

④向正方向跳动3次后，再向负方向跳动1次，再向正方向跳动1次；

⑤向正方向跳动4次后，再向负方向跳动1次.

,质点不同的运动方案共有5种.故答案填：5.

【点评】本题主要考查学生的阅读理解及动手操作能力，实际操作一下可很快得

到答案.

20.在平面直角坐标系中，已知点A（2,4）,B（4,2）,C（1,1）,点P在x

轴上，且四边形ABOP的面积是4ABC的面积的2倍，则点P的坐标为（-

1,0）或（2,0）.

【分析】如图1所示先求得AABC的面积，然后根据点P在x轴的正半轴和负半

轴上分类计算即可.

【解答】解：如图1所示，构造矩形CDEF.

SAACB=S矩形"SACDA-SAAEB-SACBF=3X3-yX3Xl+yX2X2+yX3X1=4.

,/四边形AB