初中数学定理证明

初中数学定理证明

初中数学定理证明数学定理

三角形三条边的关系

定理：三角形两边的和大于第三边

推论：三角形两边的差小于第三边

三角形内角和

三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°

推论1直角三角形的两个锐角互余

推论2三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角

和

推论3三角形的一个外角大雨任何一个和它不相邻的

内角

角的平分线

性质定理在角的平分线上的点到这个角的两边的距离

相等

几何语言：

TOC是NA0B的角平分线

PE±0A,PF±0B

点P在0C上

・•・PE二PF

判定定理到一个角的两边的距离相等的点，在这个角

的平分线上

几何语言：

VPE±OA,PF±0B

PE=PF

.•.点P在NAOB的角平分线上

等腰三角形的性质

等腰三角形的性质定理等腰三角形的两底角相等

几何语言：

TAB二AC

，NB=NC

推论1等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于

底边

几何语言：

VAB=AC,BD二DC

，N1=N2,AD±BC

TAB二AC,Z1=Z2

.*.AD±BC,BD=DC

TAB二AC,AD±BC

.*.Z1=Z2,BD=DC

推论2等边三角形的各角都相等，并且每一个角等于

60°

几何语言：

VAB二AC二BC

ZA=ZB=ZC=60°

等腰三角形的判定

判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个

角所对的边也相等

几何语言：

VZB=ZC

.*.AB=AC

推论1三个角都相等的三角形是等边三角形

几何语言：

ZA=ZB=ZC

AB=AC=BC

推论2有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形

几何语言：

VAB=AC,ZA=60°

/.AB=AC=BC

推论3在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那

么它所对的直角边等于斜边的一半

几何语言：

VZC=90°,ZB=30°

，BC二AB或者AB=2BC

线段的垂直平分线

定理线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距

离相等

几何语言：

•••MN_LAB于C,AB=BC,

点P为MN上任一点

・•・PA=PB

逆定理和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线

段的垂直平分线上

几何语言：

[PA=PB

・••点P在线段AB的垂直平分线上

轴对称和轴对称图形

定理1关于某条之间对称的两个图形是全等形

定理2如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是

对应点连线的垂直平分线

定理3两个图形关于某直线对称，若它们的对应线段

或延长线相交，那么交点在对称轴上

逆定理若两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平

分，那这两个图形关于这条直线对称

勾股定理

勾股定理直角三角形两直角边a、b的平方和，等于斜

边c的平方，即

a2+b2=c2

勾股定理的逆定理

勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关

系，那么这个三角形是直角三角形

四边形

定理任意四边形的内角和等于360°

多边形内角和

定理多边形内角和定理n边形的内角的和等于・180°

推论任意多边形的外角和等于360°

平行四边形及其性质

性质定理1平行四边形的对角相等

性质定理2平行四边形的对边相等

推论夹在两条平行线间的平行线段相等

性质定理3平行四边形的对角线互相平分

几何语言：

•・•四边形ABCD是平行四边形

AADIIBC,ABIICD

NA二NC,ZB=ZD

A0=CO,B0二DO

平行四边形的判定

判定定理1两组对边分别平行的四边形是平行四边形

几何语言：

VADIIBC,ABIICD

・•・四边形ABCD是平行四边形

判定定理2两组对角分别相等的四边形是平行四边形

几何语言：

VZA=ZC,NB二ND

・•.四边形ABCD是平行四边形

判定定理3两组对边分别相等的四边形是平行四边形

几何语言：

VAD=BC,AB二CD

・•・四边形ABCD是平行四边形

判定定理4对角线互相平分的四边形是平行四边形

几何语言：

VAO=CO,BO=DO

・•・四边形ABCD是平行四边形

判定定理5一组对边平行且相等的四边形是平行四边

形

几何语言：

VADIIBC,AD=BC

・•・四边形ABCD是平行四边形

矩形

性质定理1矩形的四个角都是直角

性质定理2矩形的对角线相等

几何语言：

•••四边形ABCD是矩形

/.AC=BD

ZA=ZB=ZC=ZD=90°

推论直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

几何语言：

:△ABC为直角三角形，A0=0C

BO=AC

判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形

几何语言：

VZA=ZB=ZC=90°

・•・四边形ABCD是矩形

判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形

几何语言：

AC=BD

・•・四边形ABCD是矩形

菱形

性质定理1菱形的四条边都相等

性质定理2菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角

线平分一组对角

几何语言：

•・•四边形ABCD是菱形

AB=BC=CD=AD

AC±BD,AC平分NDAB和NDCB,BD平分/ABC和N

ADC

判定定理1四边都相等的四边形是菱形

几何语言：

IAB二BC二CD二AD

，四边形ABCD是菱形

判定定理2对角线互相垂直的平行四边形是菱形

几何语言：

VAC±BD,AO=CO,B0二DO

，四边形ABCD是菱形

正方形

性质定理1正方形的四个角都是直角，四条边都相等

性质定理2正方形的两条对角线相等，并且互相垂直

平分，每条对角线平分一组对角

中心对称和中心对称图形

定理1关于中心对称的两个图形是全等形

定理2关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过

对称中心，并且被对称中心平分

逆定理如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并

且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称

梯形

等腰梯形性质定理等腰梯形在同一底上的两个角相等

几何语言：

•・•四边形ABCD是等腰梯形

.•・NA=NB,ZC=ZD

等腰梯形判定定理在同一底上的两个角相等的梯形是

等腰梯形

几何语言：

VZA=ZB,NC二ND

・•・四边形ABCD是等腰梯形

三角形、梯形中位线

三角形中位线定理三角形的中位线平行与第三边，并

且等于它的一半

几何语言：

•「EF是三角形的中位线

EF=AB

梯形中位线定理梯形的中位线平行与两底，并且等于

两底和的一半

几何语言：

VEF是梯形的中位线

EF=

比例线段

1、比例的基本性质

如果a:b=c:d,那么ad=be

2、合比性质

3、等比性质

平行线分线段成比例定理

平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所

得的对应线段成比例

几何语言：

V1IIpIIa

推论平行与三角形一边的直线截其他两边，所得的对

应线段成比例

定理如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成

比例，那么这条直线平行与三角形的第三边

垂直于弦的直径

垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所

对的两条弧

几何语言：

V0C1AB,OC过圆心

推论1

平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧

几何语言：

VOC1AB,AC=BC,AB不是直径

的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧）

弦的垂直平分线过圆心，并且平分弦所对的两条弧

几何语言：

VAC=BC,0C过圆心

平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分

弦所对的另一条弧

几何语言：

推论2圆的两条平分弦所夹的弧相等

几何语言：:ABIICD

圆心角、虎弦、弦心距之间的关系

定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，

所对的弦相等，所对的弦的弦心距也相等

推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条虎两条

弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的

其余各组量都分别相等

圆周角

定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，

相等的圆周角所对的弧也相等

推论2半圆所对的圆周角是直角;90。的圆周角所对的

弦是直角

推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那

么这个三角形是直角三角形

圆的内接四边形

定理圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角

都等于它的内对角

几何语言：

•・•四边形ABCD是。0的内接四边形

二.NA+/C=180°,ZB+ZADB=180°,ZB=ZADE

切线的判定和性质

切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径

的直线是圆的切线

几何语言：:ILOA,点A在。。上

，直线1是。0的切线

切线的性质定理圆的切线垂直于经过切点半径

几何语言：A是。。的半径，直线1切。。于点A

.*.1±OA

推论1经过圆心且垂直于切线的直径必经过切点

推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心

切线长定理

定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等,

圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角

几何语言：.••弦PB、PD切。O于A、C两点

.*.PA=PC,ZAPO=ZCPO

弦切角

弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角

几何语言：:NBCN所夹的是，/A所对的是

NBCN二NA

推论如果两个弦切角所夹的弧相等，那么这两个弦切

角也相等

几何语言：TNBCN所夹的是，NACM所对的是，二

ZBCN=ZACM

和圆有关的比例线段

相交弦定理：圆内的两条相交弦，被焦点分成的两条

线段长的积相等

几何语言：•・•弦AB、CD交于点P

PA-PB=PC•PD

推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它