2021届高三数学“小题速练”含答案解析13

2021届高三数学“小题速练”13

答案解析

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知全集U为实数集，集合A={x|-l<x<3},B={x|y=ln(l-x)},则集合408为()

A.{x|lWx<3}B.{x|x<3}C.1x|x<-l}D.(x|-1<X<1)

【答案】D

【解析】求解对数函数y=ln(l-x)的定义域可得:B={x|x<l},

结合交集的定义可得：集合AcB为{划一1<%<1}.

本题选择Q选项.

2.若复数4，Z2在复平面内对应的点关于)•轴对称，且Z1=2-i,则复数2=()

Z2

34.34.

A-1B.1C.一一+-iD.----i

.5555

【答案】c

【解析】依题意可得Z2=-2—i,

z.2-i(2-/)(-2+/)_3+4

所以

555

故选：C.

3.已知直线4：xsina+y—l=0,直线&：x-3ycosa+l=0,若4U2，sin2a=()

233

A.-B±1C.--D.-

355

【答案】D

【解析】因为1山2,所以sina-3cosa=0>

所以tana=3,

,2sin«cos«2tan«3

所以sin2a=2sinacosa=-------------------=--------；—=—.

sin-a+cos-a1+tan-a5

故选D.

4.泰山有“五岳之首”“天下第一山”之称，登泰山的路线有四条：红门盘道徒步线路，桃花峪登山线路，天

外村汽车登山线路，天烛峰登山线路.甲、乙、丙三人在聊起自己登泰山的线路时，发现三人走的线路均不

同，且均没有走天外村汽车登山线路，三人向其他旅友进行如下陈述：

甲：我走红门盘道徒步线路，乙走桃花峪登山线路；

乙：甲走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路；

丙：甲走天烛峰登山线路，乙走红门盘道徒步线路；

事实上，甲、乙、丙三人的陈述都只对一半，根据以上信息，可判断下面说法正确的是（）

A.甲走桃花峪登山线路B.乙走红门盘道徒步线路

C.丙走桃花峪登山线路D.甲走天烛峰登山线路

【答案】D

【解析】若甲走的红门盘道徒步线路，则乙，丙描述中的甲的去向均错误，又三人的陈述都只对一半，则乙丙

的另外两句话“丙走红门盘道徒步线路”，“乙走红门盘道徒步线路”正确，与“三人走的线路均不同”矛

盾.

故甲的另一句“乙走桃花峪登山线路”正确,故丙的“乙走红门盘道徒步线路”错误，“甲走天烛峰登山线

路”正确.乙的话中“甲走桃花峪登山线路”错误，“丙走红门盘道徒步线路”正确.

综上所述，甲走天烛峰登山线路,乙走桃花峪登山线路，丙走红门盘道徒步线路

故选D

5.已知直线x—2y+a=0与圆0：/+,2=2相交于A,B两点（0为坐标原点），则“°=6”是

aOA-OB=Q，，的

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】设A&,%）1（/,%），

x-2y+a=Q..

联立《J+2_2，化为5y—-4孙+。--2=0,

直线x—2y+a=0与圆0：/+y2=2相交于A,B两点，（。为坐标原点）,

.1.A=16a2-20（a2-2）>0,解得"<1（）,

4aa2-2

必+必=彳，>跖=^—

OAOB=0o+yty2-0>

・・・（2y-〃）（2%-々）+%％=。，

:.5y]y2-2a（yl+%）+/=0,

_-24。2八

5x------2。x1-ct~—0f

55

解得a=±5/5>

则“a=6”是“函・砺=0”的充分不必要条件，故选A.

6.如图，点尸是抛物线：/=8x的焦点，点A，3分别在抛物线：/=8x及圆（x—2y+y2=i6的实线部

分上运动，且AB始终平行于x轴，则的周长的取值范围是()

A.(2,6)B.(6,8)C.(8,12)D.(10,14)

【答案】C

【解析】

抛物线的准线/：x=-2,焦点厂(2,0),

由抛物线定义可得|AE|=4+2,

圆(X—2)2+V=16的圆心为(2,0),半径为4,

，ARLB的周长=+=%A+2+(%8一尤A)+4=6+/，

由抛物线＞2=8x及圆(X—2)2+/=16可得交点的横坐标为2,

xBG(2,6),：.6+xBe(8,12),故选C.

7.唐朝的狩猎景象浮雕银杯如图1所示.其浮雕临摹了国画、漆绘和墓室壁画，体现了古人的智慧与工艺.

它的盛酒部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体(假设内壁表面光滑，忽略杯壁厚度)，如图2所示.

己知球的半径为凡酒杯内壁表面积为彳乃R2,设酒杯上部分(圆柱)的体积为匕，下部分(半球)的体积

V

为匕，则于=()

*2

图1图2

33

A.2B.-C.1D.-

24

【答案】A

【解析】设酒杯上部分（圆柱）的高为〃

球的半径为R,则酒杯下部分（半球）的表面积为2万A?

酒杯内壁表面积为一万尺2,得圆柱侧面积为一万R2—2万R2=-〃R-,

333

酒杯上部分（圆柱）的表面积为2乃/?'/1=一8万/?72,解得h=-4R

33

酒杯下部分（半球）的体积匕=；xg〃xR3=|乃

44

酒杯上部分（圆柱）的体积乂=〃R2X—H=—乃R3

33

1/4兀R'

所以4=微—=2.

3

故选：A

8.已知双曲线「―g=l（a>0/>0）的左、右焦点分别为月、F2,A为左顶点，过点A且斜率为立

的直线与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M,若丽.丽=0,则该双曲线的离心率是（）

A.72B.—C.—D.-

333

【答案】B

22L.

【解析】双曲线T—斗=1（。＞00＞0）的渐近线方程为y=±-x,

设点Mm^m\,

a)

因为丽・丽=0，即鸟为直角三角形，且/6g为直角,

所以|。徵=5忻用，则加+片上,

解得加=a,

故M（a,b），又A（-iz,0）,

所以直线AM的斜率上=2=走，所以＜=±,

2a3

故该双曲线的离心率e=£

故选：B

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多

项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.

9.2019年10月31日，工信部宣布全国5G商用正式启动，三大运营商公布5G套餐方案，中国正式跨入5G

时代.某通信行业咨询机构对我国三大5G设备商进行了全面评估和比较，其结果如雷达图所示（每项指标值

满分为5分，分值高者为优），则（）

研发投入标准和专利贡献

A.P设备商的研发投入超过Q设备商与R设备商

B.三家设备商的产品组合指标得分相同

C.在参与评估的各项指标中，Q设备商均优于R设备商

D.除产品组合外，P设备商其他4项指标均超过。设备商与R设备商

【答案】ABD

【解析】雷达图中是越外面其指标值越优，

P设备商的研发投入在最外边，即产设备商的研发投入超过。设备商与R设备商，故A正确；

三家设备商的产品组合指标在同一个位置，即三家设备商的产品组合指标得分相同，故B正确；

R设备商的研发投入优于。设备商，故C错误；

除产品组合外，P设备商其他4项指标均在最外边，故D正确；

故选：ABD.

10.已知尸是椭圆言+看=1的右焦点,椭圆上至少有21个不同的点月(，=1,2,3,…)，陷，阀冏…

组成公差为d(d>0)的等差数列，则()

A.该椭圆的焦距为6B.|厂制的最小值为2

32

C.d的值可以为一D.。的值可以为一

105

【答案】ABC

【解析】由椭圆《+匕=1,得。=5,人=4,c=3,故A正确；

2516

椭圆上的动点P,a-c<\PFt\<a+c,即有2sp片区8,

故|F制的最小值为2,B正确;

设归用，|R|,图，…组成的等差数列为{《,},公差d>0,则

又所以所以0<d43,所以d的最大值是」,

n-\n-\21-1101010

故C正确，D错误.

故选：ABC.

11.对于四面体ABC。，下列命题正确的是（）

A.由顶点A作四面体的高，其垂足是ABCD的垂心

B.分别作三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点

C.若分别作AABC和△ABD的边A3上的高，则这两条高所在直线异面

D.最长棱必有某个端点，由它引出另两条棱的长度之和大于最长棱

【答案】BD

【解析】如图取A3、AC、A。、BC、BD、DC的中点F,E,G

对于A.三角形的垂心是三条高线的交点，而A点的位置可以任意变化，故A错误；

对于B.£〃/,JEUAB!UH,/£?”为平行四边形，同理EFG”也是平行四边形,

FG,E/7的交点为平行四边形EFGH对角线E”的中点，EH，〃的交点为平行四边形对角线

的中点，

故三条线段交于一点，故B正确；

若四面体为正四面体，则两条高线刚好相交于A3的中点，故C为错误；

对于D.假设D错误，设A8最长，则AC+ADVAB,BC+8OWAB,相加得

AC+AD+BC+BD<2AB,

在AAbC,AABD中，AC+BC>AB,AD+BD>AB.所以4。+/1£)+8。+3。>2^5矛盾,

故D正确.

故选：BD.

12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子'’的称号，他和阿基米德、牛顿并列为

世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设xeR,用卜]表示不超过x的最大整数，则丁=卜]称

为高斯函数，例如：[-3.5]=-4,[2.1]=2.己知函数—2,则（）

A.VxeR,[x]<x<[x]+1

B.g(尤)="(%)]是偶函数

C.^x,y&R,[A]+[V]<[%+>']

D.若/(x)的值域为集合M，于wM,使得上〔=1,口〔=2,[,]=3,…口]=〃一2同时成立,

则正整数〃的最大值是5

【答案】ACD

【解析】由定义得[x]Wx＜[x]+l,故A正确;

4Px4/、4

因为—2=2"7.易知"X)=2-R»在R上是增函数；

>0,，1+">1，2</(x)<2,."(力式外力]的值域为{—2,—1,0,1},故B错误.

Vx,y^R,x=[x]+a,y=[y]+6,a,Z?e[0,l),

x+y=[x]+a+[y]+/?,[x+y]=[x]+[y]+[a+句，

二国+[刃4K+村,故C正确；

若±wM,M=(—2,2),使得[r]=1,[青=2,[尸]=3,,[〃]=〃—2同时成立，贝打士<次，

V2<r<V3)为4f〈孤，V4<r<V5-....册Uie〈诉二1，

因为血=蚯，若〃26,则不存在，同时满足＜次，5?4，＜%.只有〃45时，存在

故D正确；

故答案为：ACD.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

।e2cosa+sina

13.已知tana=L贝ij-----------------

cosa+3sina

3

【答案5

■4、工sina1.e2cosa+sina2cosa+cosa3

【解析】方法一：tana=------Insina=cosa,则--------------=---------------=一

cosacosa+3sinacosa+3cosa4

.八十八el队g2cosa+sina2+tana2+13

方法二：分子分母同除cosa,得---------；—=----------=——=-

cosa+3sina1+3tana1+34

3

故答案为T

14.已知单位向量£,B满足归―则向量£与B的夹角为.

27r

【答案】y

【解析】由单位向量£,B满足,一0=6得|%_q=3,所以/_2公不+片=3,£%=一;，所以

a-b=1

又(瓦石］［0,兀|,所以,,弓=子

故答案为:

4X_2v+,+3

15.设函数/(x)=^~(X〈O)的最小值为〃2,且

ml()

(x+l)+(x+l)"=a0+q(x+2)+4(X+2)~H----i-al0(x+2)+an(x+2)",则"?=

【答案】⑴.2⑵.9

4X_2r+l+33

【解析】由〃x)=；=2'+?_2,

令f=2%(0』,

3

因为函数丁=，+——2,rw(0,l］为减函数,

所以当f=l时，斗m=2,

即，〃=2,

所以(x+l)'"+(x+l)“=(X+2_1)2+(X+2—1)U,

因为(x+2—1)”的展开式通项为：C；(X+2)〜x(—1)',

所以当11—「=1，即r=10时，展开式的项为ll(x+2),

又(x+2—I)?=(x+2『-2(x+2)+l,所以q=11-2=9.

故答案为：2；9

16.已知函数〃x)=cos2x,将函数y=/(x)的图象向右平移:个单位，所得的图象上每一点的纵坐标不

变，再将横坐标伸长为原来的2倍后所得到的图象对应的函数记作y=g(x),己知常数；IwR,“eN*，

且函数F(x)=/(x)+/lg(x)在(0,〃乃)内恰有2021个零点，则"=.

【答案】1347

【解析】将函数y=/(x)=cos2x的图象向右平移:个单位，得到函数

y=cos2(x—?)=cos(2x—|^=sin2x,再将所得的图象上每一点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来

的2倍后所得到的图象对应的函数为g(x)=sinx,

令F(JC)=/(x)+2^(x)=cos2JC+/sinx=-2sin2A：+/Isinx+1,

令尸(x)=0,可得2sin2x—4sinx—1=0,

^?=sinxG[-l,l],得2/一加一1=0，A=22+8>0-

则关于t的二次方程2/—力一1=0必有两不等实根4，t2,

又能=一；'则八、’2异号，

(i)当且0<%|<l时，则方程5皿工=4和S[11%=12在区间(0,〃％乂〃6]\)均有偶数个根，