【作业设计】高三数学总复习微-抛物线焦点弦相关性质作业设计

高三数学总复习微专题一抛物线焦点弦相关性质作业设计

在直线与抛物线的位置关系中，高考考查的重点内容是直线与抛物

线的相交问题，而直线与抛物线的相交问题中，过抛物线焦点的直线与

抛物线的关系尤其重要，直线过抛物线V=2px(p>o)焦点/与抛物线

相交于两点，则弦AB称为抛物线的焦点弦。有关抛物线的焦点弦

问题是高考考查的热点内容，抛物线焦点弦有很多重要性质，熟练掌握

设计意图这些性质对解决焦点弦问题有很大益处，通过对这些性质的应用，可以

很大程度上提高学生的解题能力与技巧，达到事半功倍的效果。

我设计这份抛物线焦点弦相关性质作业，试图通过有效的练习作

业，让学生理清知识脉络，熟练应用抛物线焦点弦相关性质解决焦点弦

问题，避免直线与抛物线的繁琐计算，让学生提高解题的效率，增强解

题的信心，提高对数学学习的兴趣，让学生的复习备考更有针对性，让

我们的教学更具实效性。

1.理解和掌握抛物线的定义，并用于解决焦点弦的相关问题；

2.理解数形结合、化归与转化等数学思想与方法；

3.经历分析、探求、类比、归纳猜想论证的数学探究过程，发挥数学创

作业目标

新的能力；

4.体验用联系的辨证的观点分析、判断和解决数学问题。

5.活用数学结论，提升数学解题能力、技巧。

1.抛物线定义：y~=2〃x(p>0)

2.通径：\H,H2\=2p

3.焦点弦的定义：

知识梳理

直线过抛物线V=2px(p>0)焦点/与抛物线相交于A,8两点，则弦

A3称为抛物线的焦点弦。

4.若倾斜角为a(aH0)的直线/经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点，且

与抛物线相交于4(冷乂),3(%2，%)((>%)两点(A点在二轴上方),则

(1)焦半径|AFkx,+2=­P—，忸F|=x,+旦=—R—o

21-COS6Z~21+cosa

⑵焦点弦长|4目二%+工2+〃=二口一，且[京+J后=2°

sina\AF\\BF\p

(3)S&OAB=-^—(0为坐标原点)。

2sina

上述结论源于教材，是教材例题、习题的深化，是破解直线与抛物线相

交有关问题的利器。

一、焦点弦长=%+%+〃的应用；

二、焦点弦长|AB|=3—的应用；

sina

三、焦半径|4同=—R—,忸用=―2—的应用；

作业类型1-COS6Z1+COSa

四、SAOAB=的应用；

2sina

五、抛物线焦点弦相关性质综合应用；

六、抛物线焦点弦相关性质开放性作业。

作业展示

类型一焦点弦长=%+赴+p的应用

2

1.过抛物线y=4x的焦点斜率为2的直线/与抛物线相交于A(xl,yl),B(x2,y2)两点，求线

段的长。

2

2.过抛物线y=2px(p>0)的焦点斜率为2的直线与抛物线相交于A(X1,),B(x2,y2)两点，

且线段A8=8,则实数〃=o

2

3.过抛物线y=2Px(p>0)焦点的直线/与抛物线相交于A(X],y)B(x2,y2)两点，问何时

最短？并求此时的长。

4.如图，过抛物线丁=20%(/?〉0)的焦点厂的直线交抛物线于点A,B,交其准线/于点C,

若尸是AC的中点，且|AF|=4,则线段A8的长为()

MF

A.5B.6C.-D.—

类型二焦点弦长|AB|=3—的应用

sin~a

5.已知抛物线C：y2=16x,倾斜角为工的直线/过焦点Z7交抛物线于A,B两点、,则恒耳=

6

________O

6.斜率为仍的直线过抛物线C：V=4x的焦点，且与C交于A,B两点、,则=________c

7.过抛物线V=4x的焦点厂的直线/与抛物线交于A,B两点，若则等于

（）

9

A.4B，2C.5D.6

类型三焦半径|AF|=-P—，忸F|=—R—的应用

l-cos(71+cosa

8.抛物线C：产=以的焦点为尸，直线/过点/且交抛物线于A,8（点A在x轴下方）两点

若诙=3两，则直线/的斜率攵=________o

9.过抛物线V=8x的焦点/的直线/与抛物线交于A,B两点、,若（AF|=2|BF|,则4叫=

O

10.过抛物线y2=4x的焦点厂的直线交抛物线于46两点，且Hn=3|8f],则直线的斜

率为（）

A.72B.小C.-V2D.一小

11.设抛物线£：y2=6x的弦4?过焦点£\AF\=3\BF\,过A,8分别作E的准线的垂线，

垂足分别是A',B',则四边形AA'8'B的面积等于（）

A.4^3B.8小C.16小0.3273

2

类型四见“2sina应用

12.已知抛物线C：y2=16x,倾斜角为三的直线/过焦点/交抛物线于A,B两点、,。为坐

6

标原点，则XNBO的面积为______o

13.设/为抛物线C：f=3x的焦点，过尸且倾斜角为30。的直线交。于A,B两点、,0为

坐标原点，则△0A3的面积为（）

A空B幽C奂D?

a.48J32

类型五抛物线焦点弦相关性质综合应用

14.已知抛物线y1=4x的焦点为F,过点尸和抛物线上一点M（2,2夜）的直线/交抛物线于

另一点N,则加口:忻闸等于（）

A.1：2B.1：3C.1：^2D.1:小

15.抛物线C：的焦点为尸，直线/过点/，其斜率心0,且交抛物线于A,B（点A在

x轴下方）两点，抛物线的准线为m,A4i，〃z于4,83i_L加于历，下列结论正确的是（）

A.右BF—3FA?则k—\f3|F8|—1

C.若女=1,则［AB|=2D.ZAiFBi=90°

16.已知抛物线C：V=2pxS>0）的焦点为尸，直线/的斜率为/且经过点F,直线/与抛物

线。交于A,B两点（点A在第一象限），与抛物线的准线交于点。，若|AR=8,则以下结

论正确的是（）

A.p=4B.DF=M

C.\BD\=2\BF\D.|BF|=4

3

17.（2019•全国I卷）已知抛物线C：y2=3x的焦点为F,斜率为邑的直线/与。的交点为A,

B,与龙轴的交点为P。

（1）若|AA+|BF|=4,求直线/的方程；

（2）若办=3而，求网目。

类型六抛物线焦点弦相关性质开放性作业

【结论的探索】

18.过抛物线C:=2px(p>0)焦点厂的动直线/,交抛物线于A,8两点，抛物线的准线与

x轴交于点K,连接AK,BK,

(1)求证:sin«=tan/7

(2)求证:x轴平分

【结论的应用】

19.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为产，准线/交x轴于点K,过尸作倾斜角为a的

直线与C交于A,B两点，若NAK8=6(r,则sina=。

20.已知抛物线C：V=2px(p>0)的焦点为产，准线/交x轴于点K,过尸作倾斜角为a的

直线与C交于A,B两点，若NAK8=90°,则sina=。

21.已知直线机：y=*》-日■与抛物线C:y?=4x交于两点，准线/交x轴于点K,则

tanZAKB=。

1.直线与抛物线相交问题和直线与椭圆、双曲线相交问题类似，一般要

用到根与系数的关系，这是常规解法；

2.直线与抛物线相交问题，重点关注直线是否过抛物线的焦点。如果直

线过抛物线焦点，我们就可以规避直线与抛物线的繁琐计算，灵活应用

作业点评

焦点弦相关性质解决焦点弦问题，提高解题效率：

3.本作业设计的抛物线都是开口向右的抛物线，所以相关的焦点弦性质

只适用开口向右的抛物线，开口向左、向上、向下的抛物线焦点弦相关

性质表达式不同，需要学生课后自行推导，这点必须对学生讲清楚，以

免误用；

4.通过高考真题的演练，让学生体会灵活应用焦点弦相关性质解决问题

的高效快捷，提高实战能力；

5.通过开放性作业的设计，引导学生用运动变化的观点来研究问题，以

训练学生的的发散思维，学会多角度思考问题，培养学生的创新意识和

探索的数学精神以及严谨治学的科学态度。

备注作业答案

【类型一】

1.42.p=y3.当/_Lx时，为抛物线通径最短，此时M=2p

4.C【解析】

it

如图，设/与x轴交于点M,过点A作交/于点。，由抛物线的定义知，\AD\=\AF\

=4,由尸是AC的中点，知H£>|=2|MF|=2p,所以2P=4,解得p=2,所以抛物线的方程

为/=4xo

设24（%],凶）,6（%2，%），则|4刊=%+~!=玉+1=4,所以苍=3,又无「工2=£-=1，所以/=g，

所以|=%+*2+〃=3+：+2=与。

【类型二】

5.646.—

3

7.3【解析】

不妨设点A在x轴的上方，如图，设A,B在准线上的射影分别为。，C,作BEJ_A。于点

E,

设|8尸|=机，直线/的倾斜角为仇

则|AF|=2〃z,\AB\=3m,

由抛物线的定义知

\AD\=\AF\=2m,

\BC\=\BF\=m,

所以cose=22=4，所以sin2（9=1.

由y2=4x,知2P=4,

故利用弦长公式得

【类型三】

8.V39.910.BD

11.C【解析】

设直线A8的倾斜角为a,

不妨令A在x轴上方，得

|AF|=T”—=1-，—=7V^■—,

1-cosa1—cosa1+cosa1+cosa

33

由|AF|=3|BF|，得二^=3X不嬴，

解得cosa=2,

兀

因为ae[0,Ji）,所以a=1,

3

由抛物线的定义，得AM=|AF|=-------=6,

1—COS2

3

|8夕|=|8F|=-------=2,

1+cos

所以|4B1=(|AF|+|BF|)sina=8sin1=473,

于是四边形A45B的面积S=g(|A4|+|B81HAb|=gx(6+2)X4小=16小。

【类型四】

12.6413.D

【类型五】

14.A【解析】

*1,0),忻M|=J(2一1)2+(2e一0『=3,由向+向J，得+向=|，即四|弓

所以|N同：忻M|=g:3=l:2。

15.ABD【解析】

对于A,设直线A8的倾斜角为a,由8月=3百得一巳一=3—U—,即cosa=1，

l-cos<z1+cosa2

\-0<a<7rf:.a=—,/./:=tan—=V3,A正确。

33

11?

由焦半径公式，易知两+市瓦=万=1，B正确。

7T

设直线AB的倾斜角为仇•."=],.••。=不

=si,g=8，故C错误。

易知/BBiF=/B\FB,ZAAiF=ZA\FA,

：.AB\FB-\-ZAiM=1x180°=90°,从而NAFBi=180°—90°=90°,D正确。

16.ABC【解析】

法一，如图，分别过点A,8作抛物线C的准线的垂线，垂足分别为点E,M,连接EF.设

抛物线C的准线交光轴于点P,则|P/H=p,由直线/的斜率为小，可得其倾斜角为60。「.1七〃九

轴，.•.NEAF=60。.由抛物线的定义可知，\AE\=\AF\,贝为等边三角形，/.ZPEF

=30°,Z.\AF\=\EF\=2\PF\=2p=S,得p=4,A正确。

法二，由直线/的斜率为小，可得其倾斜角为60。，代入|AF|=―巳一得8=—J7,

111-cosa1-cos60°

即〃=4。

V|AE|=2|PF|,PF//AE,；.尸为的中点,则布=成，B正确。

又NZME=60°,/.ZADE=30°,

\BD\=2\BM\=2\BF\，C正确。

[18

由C选项知|8用=司。月=胡4月=§,D错误.故选ABC。

17.【解析】

设直线/的方程为4（%,%）,8（孙％）。

⑴由题设得用，0），故|AF|+忸川=%+々+，

又|AF|+|BFl=4,所以％+%2=g。

由f2可得9『+