江苏省无锡市南菁某中学2023年高三数学理模拟试卷含解析

江苏省无锡市南菁高级中学2023年高三数学理模拟试

卷含解析

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共5()分。在每小题给出的四个选

项中，只有是一个符合题目要求的

1.若命题“？yG(0,+8),都有(x+y)29"为真命题，则正实数a的最小值是()

A.2B.4

C.6D.8

参考答案：

B

略

2.已知函数/(x)=(x-o)(x-b)(其中a＞方)的图象如下面右图所示，则函数

A.B.C.D.

参考答案:

A

3.加强体育锻炼是青少年生活学习中非常重要的组成部分.某学生做引体向上运动，处于

如图所示的平衡状态时，若两只胳膊的夹角为60。，每只胳膊的拉力大小均为400N,则该

学生的体重（单位：kg）约为（）

（参考数据：取重力加速度大小为广10"//力”】.732）

A.63B.69C.75D.81

参考答案：

B

【分析】

根据平行四边形法则得到该学生的体重iq二四，利用余弦定理即可求出得解.

【详解】

如图，设该学生的体重为6,则6==.

|FpsOtf+W-lx400x400x006（—）=3x400\I

由余弦定理得3^

所以|G|=400\£69电

故选：B

【点睛】本题主要考查向量的平行四边形法则和余弦定理解三角形，意在考查学生对这些

知识的理解掌握水平.

4.函数/3）=21-6.+7在（0,2）内零点的个数为（）

A.0B.1C.2

D.4

参考答案：

B

5.下列四个判断，正确的是

①某校高二某两个班的人数分别是血爪懵*n）,某次测试数学平均分分别是a/（a工坊,

则这两个班的数学平均分为六一；

②10名工人某天生产同一零件，生产的件数是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12,设其平均数

为。，中位数为5,众数为C,则有a<3<c；

5J2）<占J2）.…若记X=

③从总体中抽取的样本,则回归

直线y=bx+a必过点（X.y）.

④已知6服从正态分布及（°,曷，且《2"40）=04,则的>2）=0」.

（A）①②③（B）①③④（C）②③④（D）

①②③④

参考答案：

C

7T

6.已知函数f(x)=Asin(3x+巾)(A>0,w>0,小IV2)的部分图象如图所示,

为了解函数g(x)=Asin(wx)的图象，只要将y=f(x)的图象()

71

B.向右平移下个单位长度

7T兀

C.向左平移了个单位长度D.向右平移百个单位长度

参考答案:

D

【考点】函数y=Asin(ax+e)的图象变换.

【专题】三角函数的图像与性质.

【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出3,由五点法作图求出4)的值,

可得函数的解析式，再利用函数尸Asin(sx+e)的图象变换规律，得出结论.

7T

【解答】解：根据函数f(x)=Asin(3x+6)(A>0,3>0,|6|<攵)的部分图

象，可得A=2,

T2兀17171

4^­GT?4=T-T2,求得3=2.

7T7THTT

再根据五点法作图可得2?12+6=2,求得3,/.f(x)=2sin(2x+3),

兀冗

故把f(x)=2sin(2x+3)的图象向右平移6个单位长度，可得g(x)=2sin[2(x-

7T兀

6)+3]=2sin(2x)的图象,

故选：D.

【点评】本题主要考查由函数y=Asin(3x+e)的部分图象求解析式，由函数的图象的顶

点坐标求出A,由周期求出3,由五点法作图求出6的值，函数y=Asin(3x+小)的图

象变换规律，属于中档题.

3

_7TX14

7.在下列命题中，①“0一£”是“sina=l”的充要条件;②T?'的展开式中的常

数项为2；③设随机变量若汽CD=P,则"7"<3"厂匕其中所有正

确命题的序号是()

A.②B.②③c.③D.①③

参考答案：

A

略

8.已知函数/&》的定义域为R,对任意的.葡0>3却(-[)=3,则

/(x)<3x+6的解集为()

A.(-1,1)B.(-1,8)C.(-00,-1)D.(-00,+

8)

参考答案：

C

9.己知集合A={x|0WxW2},B={y|l<y<3},则AC1B=()

A.[1,2)B.[0,3)C.(1,2]D.[0,3]

参考答案：

C

10.已知集合M=(肛-3},N=卜附+71+3<0,1词,如果则，"等

于

3

A.-1B.-2C.一二或1D.2

参考答案：

C

二、填空题:本大题共7小题,每小题4分，共28分

XTV,

Cz―«♦f=1(。>b>0)c-JAJ

11.已知椭圆ab‘和圆+V=b,若C上存在点尸，使得过点

P引圆。的两条切线，切点分别为A,8,满足ZAPB=12O。,则椭圆C的离心率的取值范围

是.

参考答案：

12.函数/(X),欧0的定义域都是Q,直线工=4(苍>04)，与尸={©,尸=8”)

的图象分别交于4,6两点，若I/仞I的值是不等于0的常数，则称曲线>=/(劝，

y=爪工)为“平行曲线”，设=(a>0,c,0),且>={劝，

产D为区间3同的“平行曲线”，*)=♦,虱在区间(Z笏上的零点唯一，则

a的取值范围是.

参考答案：

试麴分析：在为y=*(x)为区间(QXD)的“书亍曲线”，丽龙市工㈤是由由H/(x)的图象

SU上下平修再到的，♦入+A,又fd)，*一0hl,c+A・-+c♦人・♦,

BDKx)=，-ahx,4x)=/-olnx=0傅。=^-=Hx),明gOO在区间(2.3)上

lax

♦Yhx—)

有唯一尊与等价于的By="幻与硼y=。有唯一交治，*r(x>=——T•,当x>2呵，*(劝>0,

伽X)

的的Mx)在区阍(2.3)±£i»£«，所I油热y=鬣外与由触y=。即应一交点等价于*(2)<fl<M3>,

不<a<=7'即。3串配8度IT~Z.T-T|.

1B2IB3\ln2h3J

考点：1.新定义问题；2,函数与方程；3.导数与函数的单调性.

【名师点睛】本题考查新定义问题、函数与方程、导数与函数的单调性，以及学生综合运

用知识的能力及运算能力，属难题；高考对函数零点的考查多以选择题或填空题形式出

现，根据函数零点或方程的根所在区间求参数的范围应分三步：1.判断函数的单调性；2.

利用函数存在性定理，得到参数所满足的不等式；3.解不等式求参数范围.

13.设/1（X）=COSX,定义41（1）为工《（X）的导数，即4.1。）=/'*（力，*CN,若

AX5C的内角/满足'⑷⑷+…则sin24的值是.

参考答案：

逑

14.集合S={】23.•】0；的四元子集7={/@•0•4）中，任意两个元素的差的绝对

值都不为1,这样的四元子集T的个数为X用数字作答）

参考答案：

35

略

15.函数尸4cl的图象在点广）处的切线与X轴的交点的横坐标为％*其中

JteN*,q=0,则为+%+%=.

参考答案：

6

n

一4Ae=-SwK）

16.在极坐标系中，圆户"451nd的圆心到直线6的距离

是.

参考答案：

招

17.定义在我上的偶函数外幻满足/卜*1)=-/卜)，且在［-1,0］上是增函数，下面

是关于/(x)的判断：

2

①了(外关于点p(5'0。)对称②/G)的图像关于直线x=1对称；

③丁⑺在［(),1］上是增函数；④/⑵=").

其中正确的判断是.(把你认为正确的判断都填上)

参考答案：

①②④

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算

步骤

18.(12分)设"'"=1+以2,其中a>0.

4

(1)当°=弓时-，求/5)的极值点；

(2)若为R上的单调函数，求”的取值范围.

参考答案：

对/(x)求导得,。+4)’①

(1)当“■5时,若」'(x)=0,则4i-8x+3=0,解得“¥"5

结合①，可知

:3、

X

22(产

+0—0+

/（x）/极大值、极小值

3J

所以，"=2是极小值点，"=2是极大值点.-6分

（2）若/（x）为R上的单调函数，则/'（x）在R上不变号，结合①与条件a〉0,知

o?-2ax+l>0^R±-|g^,因此4=4。2_4tf=4a（a_［）so,

由此并结合a>0,知0<a41.12分

19.在一次水稻试验田验收活动中，将甲、乙两种水稻随机抽取各6株样品，单株籽粒数

制成如图所示的茎叶图：

（1）一粒水稻约为0.1克，每亩水稻约为6万株，估计甲种水稻亩产约为多少公斤？

（2）分别从甲、乙两种水稻样品中任取一株，甲品种中选出的籽粒数记为a,乙品种中选

出的籽粒数记为b,求aW[180,189]且be[180,189]的概率.

f乙

8L6

961715

8618246

5194

参考答案:

【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；BA：茎叶图.

【分析】（1）由茎叶图能求出甲种水稻样本单株平均数，由此能求出甲种水稻亩产.

（2）甲种水稻样品按从小到大编号为a”az…比，乙种水稻样品按从小到大编号为b”

也…be,分别从甲、乙两种水稻样品中任取一株共有36中，利用列举法能求出aG[180,

189]且be[180,189]的概率.

【解答】解：（1）由茎叶图知：

1

甲种水稻样本单株平均数为：1=182粒，

把样本平均数看做总体平均数，则甲种水稻亩产约为:

]

60000X182X0.1X1000=1092（公斤）.

（2）甲种水稻样品按从小到大编号为a”az…ac,乙种水稻样品按从小到大编号为b”

b?…b(s,

分别从甲、乙两种水稻样品中任取一株共有36中，其中ad[180,189]且be[180,189]

有：

,,,,,共6种情况,

二甲种水稻样本单株平均数为182粒「一36-6.

x=5cost

{厂4sint(t为参数)，

(1)化3为直角坐标方程，化Cz为普通方程；

(2)若M为曲线C?上一动点，N为曲线G上一动点，求MN|的取值范围.

参考答案：

【考点】简单曲线的极坐标方程.

【专题】计算题；转化思想；配方法；坐标系和参数方程.

【分析】(1)直接根据极坐标和直角坐标互化公式求解即可；

(2)利用已知，得到|MC?|-WlMCzl+1,然后,得到小©「=(5cos4>-1)

■+16sin"4)=9cos2<l>-lOcos4>+17,借助于三角函数的取值情况进行求解即可.

【解答】解：⑴；曲线3：P=2cos。,

PJ2Pcos0,

/.x2+y2=2x,

故它的直角坐标方程为x2+y2-2x=0,

即：Ci：(x-1)2+y2=L

Jx=5cost

•.•曲线Cz：ly=4sint(t为参数)，

f

X

cost二丁

5

・一工

：.sint-彳1为参数)，

平方相加后可得：25|+16=I.

(2)设点M(5cost,4sint),则

|MC2|-1W|MNWlMCj+1,

222

MC2=(5cost-1)'+16sin't=9cost-10cost+17=9(cost-m)+9^1,

当cost=-l时，得|MC2k=36,|MC2|.ax=6,

d鸣8A/2

当COStV时，得,9LIMC2111in=3,

8&

3-IWlMCzl-1W|MN|W|MCz|+lW5+l,

8A/2

.•JMN|的取值范围［三,6L

【点评】本题重点考查极坐标和直角坐标的互化公式、距离问题处理思路和方法等知识,

属于中档题.

21.(本小题满分12分)

s2

已知函数/(x)-3-I--(o+1")1+r--3('aeJ?)

(1)若a＜。，求函数〃◎的极值；

(2)是否存在实数。使得函数〃。在区间上有两个零点，若存在，求出a的取值范

围；若不存在，说明理由.

参考答案：

八1)-£-(4+1)“+1

(1)

(V卜1(汕

(L+9〉

a

/(£)•T3T

幔卜。极大遇，

加).◎4"

(2)舟-"♦如-1-(0~1/14>1)

6a*

/(2)=|(2a-l)

1当“<2时・,/(力在刚上为增函数，在心】上为减函数，八°A产，

/0尸-1(。-1//(2)-；3-1)4。

0,3,

所以/(X)在区间［叫，(以上各有一个零点，即在［0»2］上有两个零点；

②当时，/㈤在回1上为增函数，在(七)上为减函数，(1)上为增函

数，小尸卜，川尸加小，电卜^

"2'*-'X,所以/(x)只在区间【川上有一个零点，故在1°»2|上只有一个零

点；

2当aX时，/(*)在,2上为增函数，在(?)上为减函数，(；)上为增函

数，

m)T<。mT(-)e所以

/(x)只在区间婚)上有一个零点，故在［0»2］上只有一个零点；

故存在实数4,当"G时，函数/W在区间102|上有两个零点。

22.在如图所示的空间几何体中，平面ACDJ_平面ABC,4ACD与AACB是边长为2的等边

三角形，BE=2,BE和平面ABC所成的角为60°,且点E在平面ABC上的射影落在NABC的

平分线上.

(I)求证：DE〃平面ABC；

(II)求二面角E-BC-A的余弦值.

D

E

参考答案：

【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何

综合题.

【专题】空间位置关系与距离；空间向量及应用.

【分析】（I）取AC中点0,连接BO,D0,由题设条件推导出DO,平面ABC,作EFL平

面ABC,由已知条件推导出/EBF=60°,由此能证明DE〃平面ABC.

（1【）法—：作FGLBC,垂足为G,连接EG,能推导出/EGF就是二面角E-BC-A的平

面角，由此能求出二面角E-BC-A的余弦值.

法二：以0A为x轴，以0B为y轴，以0D为z轴，建立空间直角坐标系0-xyz,利用向

量法能求出二面角E-BC-A的余弦值.

【解答】（本小题满分12分）

解：