新教材2024年秋高中数学第5章一元函数的导数及其应用5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数学生用书无答案新人教A版选择性必修第二册

5.2导数的运算5.2.1基本初等函数的导数学习任务1．了解利用定义求函数的导数．(数学运算)2．驾驭基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简洁函数的导数．(数学运算)3．能利用基本初等函数的导数公式求函数的导数、解决与曲线的切线有关的问题．(数学运算)高铁是一种特别受欢迎的交通工具，既低碳又快捷．设一高铁走过的路程s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数为s＝f(t)＝2t2，求它的瞬时速度，即求f(t)的导数．依据导数的定义，就是求当Δt→0时，ΔsΔt所趋近的那个定值，运算比较困难，而且，有的函数如y＝sinx，y＝lnx学问点1几个常用函数的导数原函数导数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xf′(x)＝1f(x)＝x2f′(x)＝2xf(x)＝x3f′(x)＝3x2f(x)＝1f′(x)＝－1f(x)＝xf′(x)＝1这6个函数都是幂函数f(x)＝xα，对它们的求导要娴熟记住公式，就没必要再利用定义求导了．学问点2基本初等函数的导数公式原函数导数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝__f(x)＝xα(α∈R，且α≠0)f′(x)＝___________f(x)＝sinxf′(x)＝__________f(x)＝cosxf′(x)＝__________f(x)＝ax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝___________f(x)＝exf′(x)＝___________f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)f′(x)＝_________f(x)＝lnxf′(x)＝________________函数f(x)＝lnx与f(x)＝logax的求导有什么内在联系？1．(多选)下列结论正确的是()A．若y＝2023，则y′＝0B．若y＝x，则y′＝1C．若y＝x-1，则y′＝－x-2D．若y＝x12，则y2．已知函数f(x)＝cos2π3，则f′(A．sin2π3C．cos2π类型1利用导数公式求函数的导数【例1】求下列函数的导数．(1)y＝cosπ6；(2)y＝1x5；(3)y(4)y＝lgx；(5)y＝5x；(6)y＝cosπ2[尝试解答]求简洁函数的导函数的基本方法(1)用导数的定义求导，但运算比较烦琐；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程，降低运算难度．解题时依据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．[跟进训练]1．求下列函数的导数：(1)y＝x3x(2)y＝xx(x(3)y＝sin(π－x)．类型2利用导数公式解决切线问题【例2】(源于人教B版教材)已知函数f(x)＝x2，而l是曲线y＝f(x)的切线，且l经过点(2，3)．(1)推断(2，3)是否是曲线y＝f(x)上的点；(2)求l的方程．[思路引导]利用导数的几何意义求解，但要留意(2，3)点不在曲线上，应另设切点求解．[尝试解答][母题探究]1．将本例变为“求曲线f(x)＝x-2在(a，a-2)(a>0)”处的切线方程．2．将本例变为“已知y＝kx是曲线y＝lnx的一条切线”，试求k的值．利用导数的几何意义解决切线问题的两种状况(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．(2)假如已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解．[跟进训练]2．(1)求曲线y＝x在点B(1，1)处的切线方程；(2)求曲线y＝lnx的斜率等于4的切线方程．类型3导数公式的实际应用【例3】某城市近10年间房价年均上涨率为10%，房价p(单位：万元)与时间t(单位：年)有如下函数关系：p(t)＝p0(1＋10%)t，假定p0＝1，那么在第5个年头，房价上涨的速度大约是多少(精确到0.01万元/年)？(参考数据：1.15≈1.611，ln1.1≈0.095)[尝试解答]由导数的定义可知，导数是瞬时改变率，所以求某个量的改变速度，就是求相关函数在某点处的导数．[跟进训练]3．从时刻t＝0起先的t(s)内，通过某导体的电量(单位：库仑)可以由公式q＝cost表示．求第5秒和第7秒时的电流强度(单位：安)．1．已知f(x)＝x2，则f′(3)等于()A．0 B．2xC．6 D．92．下列结论正确的个数为()①若y＝ln2，则y′＝12②若f(x)＝1x2，则f′(3)＝－③若y＝2x，则y′＝x2x-1；④若y＝log2x，则y′＝1xA．4 B．3C．2 D．13．曲线f(x)＝x3在点(1，f(1))处的切线的斜率为________．4．函数y＝sinx＋ex在点(0，1)处的切线方程为________________．回顾本节学问，自主完成以下问题：(1)如何理解常见的几个幂函数的求导？(2)对于三角函数关系式，如何求导？(3)求函数“在”或“过”某点处的切线方程时，有什么策略？遵循什么步骤？导数法探讨圆的面积与周长的关系我们知道，圆周长l是圆的半径r的函数，即l＝2πr．你知道吗？利用前面我们学习过的导数学问，可以由圆的周长计算公式得到圆的面积计算公式！如图1所示，设半径为r时圆的面积为S，且半径增加Δr时，圆的面积增加ΔS．半径为r时圆的周长为2πr，