2024年高考数学微专题专练5含解析文

PAGEPAGE2专练5函数的单调性与最值命题范围：函数的单调性、最值．[基础强化]一、选择题1．下列函数中，在区间(－1，1)上为减函数的是()A．y＝eq\f(1,1－x) B．y＝cosxC．y＝lnx D．y＝2－x2．函数f(x)＝logeq\f(1,2)(x2－4)的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)3．函数y＝|x|(1－x)在区间A上是增函数，那么区间A是()A．(－∞，0)B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))C．[0，＋∞)D．(eq\f(1,2)，＋∞)4．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝eq\f(a,x＋1)在区间[1，2]上都是减函数，则a的取值范围是()A．(－1，0)∪(0，1)B．(－1，0)∪(0，1]C．(0，1)D．(0，1]5．[2024·全国甲卷]下列函数中是增函数的为()A．f(x)＝－x B．f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(x)C．f(x)＝x2 D．f(x)＝eq\r(3,x)6．已知函数f(x)＝2|x|，a＝f(log0.53)，b＝f(log45)，c＝f(coseq\f(π,3))，则()A．a>c>bB．a>b>cC．b>a>cD．c>a>b7．[2024·全国卷Ⅱ]若2x－2y<3－x－3－y，则()A．ln(y－x＋1)>0 B．ln(y－x＋1)<0C．ln|x－y|>0 D．ln|x－y|<08．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋4x，x≥0，,4x－x2，x<0，))若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B．(－1，2)C．(－2，1)D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)9．[2024·河南省六市高三联考]函数f(x)是定义在R上的单调函数，f(f(x)－x＋1)＝1，则f(3)＝()A．9 B．8C．3 D．1二、填空题10．已知函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，若f(a2－a)>f(a＋3)，则实数a的取值范围为________．11．已知函数f(x)＝loga(－x2－2x＋3)(a>0且a≠1)，若f(0)<0，则此函数f(x)的单调递增区间是________．12．已知函数f(x)＝eq\f(x＋1,x－1)，x∈[2，5]，则f(x)的最大值是________．[实力提升]13．[2024·河南省郑州市高三质量预料]若函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2，x≤m,x2－2x，x＞m))是定义在R上的增函数，则实数m的取值范围是()A.(－∞，1]∪{2} B．{1}∪[2，＋∞)C．(－∞，1] D．[2，＋∞)14．[2024·安徽省高三联考]已知函数f(x)＝log2(2x＋1)－eq\f(1,2)x，若f(a－2)≥f(2a－1)恒成立，则实数a的取值范围是()A．[－1，1]B．(－∞，－1]C．[0，＋∞)D．(－∞，－1]∪[0，＋∞)15．函数f(x)＝(eq\f(1,3))x－log2(x＋2)在[－1，1]上的最大值为________．16．f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ax，x<1，,（a－3）x＋4a，x≥1，))满意对随意x1≠x2，都有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)<0成立，则a的取值范围是________．专练5函数的单调性与最值1．DA项，x1＝0时，y1＝1，x2＝eq\f(1,2)时，y2＝2>y1，所以y＝eq\f(1,1－x)在区间(－1，1)上不是减函数，故A项不符合题意．B项，由余弦函数的图像与性质可得，y＝cosx在(－1，0)上递增，在(0，1)上递减，故B项不符合题意．C项，y＝lnx为增函数，故C项不符合题意．D项，由指数函数可得y＝2x为增函数，且y＝－x为减函数，所以y＝2－x为减函数，故D项符合题意．2．D由x2－4>0得x>2或x<－2，∴f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为(－∞，－2).3．By＝|x|(1－x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（1－x），x≥0，,－x（1－x），x<0))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋x，x≥0，,x2－x，x<0))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－（x－\f(1,2)）2＋\f(1,4)，x≥0，,（x－\f(1,2)）2－\f(1,4)，x<0.))画出函数的图像，如图．由图易知原函数在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上单调递增．4．D由于g(x)＝eq\f(a,x＋1)在区间[1，2]上是减函数，所以a>0；由于f(x)＝－x2＋2ax在区间[1，2]上是减函数，且f(x)的对称轴为x＝a，则a≤1.综上有0<a≤1.5．D解法一(解除法)取x1＝－1，x2＝0，对于A项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以A项不符合题意；对于B项有f(x1)＝eq\f(3,2)，f(x2)＝1，所以B项不符合题意；对于C项有f(x1)＝1，f(x2)＝0，所以C项不符合题意．解法二(图像法)如图，在坐标系中分别画出A，B，C，D四个选项中函数的大致图像，即可快速直观推断D项符合题意．6．B由题意，f(－x)＝2|－x|＝2|x|＝f(x)，故函数f(x)＝2|x|为偶函数，且x＞0时，f(x)＝2x，故函数在(0，＋∞)单调递增，∵log23＞log45＝log2eq\r(5)＞log22＝1，coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，∴a＝f(log0.53)＝f(log23)＞b＞c.7．A因为2x－2y<3－x－3－y，所以2x－3－x<2y－3－y.设f(x)＝2x－3－x，则f′(x)＝2xln2－3－x×ln3×(－1)＝2xln2＋3－xln3，易知f′(x)>0，所以f(x)在R上为增函数．由2x－3－x<2y－3－y得x<y，所以y－x＋1>1，所以ln(y－x＋1)>0.8．Cf(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋4x＝（x＋2）2－4，x≥0，,4x－x2＝－（x－2）2＋4，x<0.))由f(x)的图像可知f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，由f(2－a2)>f(a)得2－a2>a，即a2＋a－2<0，解得－2<a<1.9．C因为函数f(x)是定义在R上的单调函数，且f(f(x)－x＋1)＝1，所以f(x)－x＋1为常数，记f(x)－x＋1＝m，则f(x)＝x＋m－1，所以f(1)＝m，f(m)＝1，不妨设函数f(x)单调递增，且m＞1，则f(m)＞f(1)，即1＞m(冲突)，故m＝1.所以f(x)＝x，故f(3)＝3.10．答案：(－3，－1)∪(3，＋∞)解析：由已知可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－a>0，,a＋3>0，,a2－a>a＋3，))解得－3<a<－1或a>3，所以实数a的取值范围为(－3，－1)∪(3，＋∞).11．答案：[－1，1)解析：∵f(0)＝loga3<0，∴0<a<1，由复合函数的单调性可知，函数的单调增区间为[－1，1).12．答案：3解析：f(x)＝eq\f(x＋1,x－1)＝eq\f(x－1＋2,x－1)＝1＋eq\f(2,x－1)，明显f(x)在[2，5]上单调递减，∴f(x)max＝f(2)＝1＋eq\f(2,2－1)＝3.13．By＝x－2在R上单调递增，y＝x2－2x＝(x－1)2－1在(1，＋∞)上单调递增．要使函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2，x≤m,x2－2x，x＞m))是定义在R上的增函数，只需eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m≥1,m－2≤m2－2m))，解得：m＝1或m≥2.所以实数m的取值范围是{1}∪[2，＋∞).14．A因为函数f(x)的定义域为R，所以f(－x)＝log2(2－x＋1)＋eq\f(1,2)x＝log2(2x＋1)－eq\f(1,2)x＝f(x)，即函数f(x)为偶函数．又当x＞0时，f′(x)＝eq\f(2x,2x＋1)－eq\f(1,2)＝eq\f(2x－1,2（2x＋1）)＞0，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增．而f(a－2)≥f(2a－1)等价于f(|a－2|)≥f(|2a－1|)，所以|a－2|≥|2a－1|，化简得，a2≤1，所以－1≤a≤1.15．答案：3解析：∵y＝(eq\f(1,3))x在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，∴f(x)在[－1，1]上