1.4.1用空间向量研究直线平面的位置关系(1)课件高二上学期数学人教A版选择性

第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系(1)内容索引学习目标活动方案检测反馈学习目标1.能用向量语言描述空间中点、直线和平面等基本要素，理解直线的方向向量与平面的法向量．2.会求平面的法向量．活动方案牌楼与牌坊类似，是中国传统建筑之一，最早见于周朝．在园林、寺观、宫苑、陵墓和街道常有建造．旧时牌楼主要有木、石、木石、砖木、琉璃几种，多设于要道口．牌楼中有一种有柱门形构筑物，一般较高大．如图，牌楼的柱子与地面是垂直的，如果牌楼上部的下边线与柱子垂直，我们就能知道下边线与地面平行．这是为什么呢？活动一

情境导学思考1►►►能否用空间向量的知识解决以上问题？【解析】

略1.点的位置向量思考2►►►如何用向量表示空间中的一个点的位置？活动二空间中点、直线和平面的向量表示2.空间直线的向量表示式思考3►►►空间中给定一个点A和一个方向就能唯一确定一条直线l，这个方向我们可以用直线的方向向量来表示，则如何用向量来表示这条直线l?①式和②式都称为空间直线的向量表示式．由此可知，空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定．3.空间平面的向量表示式思考4►►►一个定点和两个定方向能否确定一个平面？如何用向量表示这个平面？4.平面的法向量概念辨析下列说法中，正确的是(

)A.直线的方向向量是唯一的B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量C.直线的方向向量有两个D.平面的法向量是唯一的【解析】

因为直线l上的非零向量a以及与a共线的向量都是直线l的方向向量，不唯一，同理平面的法向量也是不唯一的，故B正确．【答案】B例1如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点，以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．(1)求平面BCC1B1的法向量；(2)求平面MCA1的法向量．活动三会求平面的法向量【解析】(1)因为y轴垂直于平面BCC1B1，所以n1＝(0,1,0)是平面BCC1B1的一个法向量．(2)因为AB＝4，BC＝3，CC1＝2，M是AB的中点，所以点M，C，A1的坐标分别为(3,2,0)，(0,4,0)，(3,0，2)，取z＝3，则x＝2，y＝3，所以n2＝(2,3,3)是平面MCA1的一个法向量．在空间直角坐标系下，求平面的法向量的一般步骤：(1)设平面的法向量为n＝(x，y，z)；(2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)；【解析】

因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，所以AB，AD，AP两两垂直．

若跟踪训练1的条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量？例2在空间直角坐标系中，设平面α经过点P(x0，y0，z0)，平面α的法向量为e＝(A，B，C)，M(x，y，z)为平面α内任意一点，求x，y，z满足的关系式．即(A，B，C)·(x－x0，y－y0，z－z0)＝0，即A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0，所以满足题意的关系式为A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0.1.在空间直角坐标系中，三元一次方程表示一个平面．2.方程

A(x－x0)＋B(y－y0)＋C(z－z0)＝0的几何意义是：经过点P(x0，y0，z0)且法向量为e＝(A，B，C)的平面．又AB∩AD＝A，AB⊂平面ABCD，AD⊂平面ABCD，检测反馈245131.(2022·鄂州期中)若点A(2,1,1)，B(1,2,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量为(

)A.(2,1,2) B.(－2,2,3)C.(－1,1,1) D.(1,0,0)【答案】C245132.(2022·福州三校期中联考)已知点A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，则下列向量中是平面ABC法向量的是(

)A.(－1,1,1) B.(1，－1,1)【答案】C2453A.P(3,2,1) B.P(－2,5,4)C.P(－3,4,5) D.P(2，－4,8)124531【答案】ACD24534.在空间直角坐标系Oxyz中，设平面α经过点P(1,0,0)，平面α的法向量为e＝(1,0,0)，M(x，y，z)为平面α内任意一点，则x，y，z满足的关系是______________.1【答案】

x＝1，y∈R，z∈R2453(1)平面ABCD的一个法向量；(2)平面SAB的一个法向量；(3)