安徽省合肥庐阳区六校联考2022年数学九年级第一学期期末学业质量监测模拟试题含解析

2022-2023学年九上数学期末模拟试卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．图1是一个地铁站入口的双翼闸机．如图2，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为10cm，双翼的边缘AC＝BD＝54cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA＝∠BDQ＝30°．当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A．(54+10)cm B．(54+10)cm C．64cm D．54cm2．下列汽车标志中，可以看作是中心对称图形的是A． B． C． D．3．如图，中，，若，，则边的长是（）A．2 B．4 C．6 D．84．关于x的一元二次方程有两个实数根，，则k的值（）A．0或2 B．-2或2 C．-2 D．25．关于抛物线y＝x2﹣6x+9，下列说法错误的是（）A．开口向上 B．顶点在x轴上C．对称轴是x＝3 D．x＞3时，y随x增大而减小6．如图，为的直径，点是弧的中点，过点作于点，延长交于点，若，，则的直径长为（）A．10 B．13 C．15 D．1．7．下列说法正确的是（）A．打开电视机，正在播放广告是必然事件B．天气预报明天下雨的概率为％，说明明天一定会下雨C．买一张体育彩票会中奖是可能事件D．长度分别为3，5，9厘米的三条线段不能围成一个三角形是随机事件8．把抛物线先向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线的表达式是（）A． B．C． D．9．如图，四边形与四边形是位似图形，则位似中心是（）A．点 B．点 C．点 D．点10．下列函数中，y关于x的二次函数是()A．y＝ax2+bx+c B．y＝x(x﹣1)C．y= D．y＝(x﹣1)2﹣x211．一个不透明的袋子装有除颜色外其余均相同的2个白球和个黑球．随机地从袋中摸出一个球记录下颜色，再放回袋中摇匀．大量重复试验后，发现摸出白球的频率稳定在1．2附近，则的值为（）A．2 B．4 C．8 D．1112．如图，面积为的矩形在第二象限，与轴平行，反比例函数经过两点，直线所在直线与轴、轴交于两点，且为线段的三等分点，则的值为（）A． B．C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是_____．14．一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，他们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在25%附近，估计口袋中白球有__________个．15．如图，矩形ABOC的顶点B、C分别在x轴、y轴上，顶点A在第一象限，点B的坐标为（，0），将线段OC绕点O顺时针旋转60°至线段OD，若反比例函数（k≠0）的图象进过A、D两点，则k值为_____．16．化简：-（sin60°﹣1）0﹣2cos30°=________________．17．关于的一元二次方程的一个根，则另一个根______.18．如图，点A（m，2），B（5，n）在函数（k＞0，x＞0）的图象上，将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A′、B′．图中阴影部分的面积为8，则k的值为．三、解答题（共78分）19．（8分）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积(矩形面积)八百六十四步(平方步)，只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少一十二步)，问阔及长各几步．”其大意是：一矩形田地面积为864平方步，宽比长少12步，问该矩形田地的长和宽各是多少步？请用已学过的知识求出问题的解．20．（8分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，且B点的坐标为(3，0)，经过A点的直线交抛物线于点D(2，3).（1）求抛物线的解析式和直线AD的解析式；（2）过x轴上的点E(a，0)作直线EF∥AD，交抛物线于点F，是否存在实数a，使得以A、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出满足条件的a；如果不存在，请说明理由.21．（8分）老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形统计图(如图1)和不完整的扇形图(如图2)，其中条形统计图被墨迹遮盖了一部分．(1)求条形统计图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；(2)随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没有改变，则最多补查了____人．22．（10分）如图，一位篮球运动员在离篮圈水平距离4处跳起投篮，球运行的高度（）与运行的水平距离（）满足解析式，当球运行的水平距离为1．5时，球离地面高度为2．2，球在空中达到最大高度后，准确落入篮圈内．已知篮圈中心离地面距离为2．35．（1）当球运行的水平距离为多少时，达到最大高度？最大高度为多少？（2）若该运动员身高1．8，这次跳投时，球在他头顶上方3．25处出手，问球出手时，他跳离地面多高？23．（10分）如图，在中，，，．动点从点出发，沿线段向终点以/的速度运动，同时动点从点出发，沿折线以/的速度向终点运动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动，以、为邻边作设▱与重叠部分图形的面积为点运动的时间为．（1）当点在边上时，求的长（用含的代数式表示）；（2）当点落在线段上时，求的值；（3）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．24．（10分）如图，在中，，以为直径作交于点.过点作，垂足为，且交的延长线于点.（1）求证：是的切线；（2）若，，求的长.25．（12分）某超市销售一种书包，平均每天可销售100件，每件盈利30元.试营销阶段发现：该商品每件降价1元，超市平均每天可多售出10件.设每件商品降价元时，日盈利为元.据此规律，解决下列问题：（1）降价后每件商品盈利元，超市日销售量增加件（用含的代数式表示）；（2）在上述条件不变的情况下，求每件商品降价多少元时，超市的日盈利最大？最大为多少元？26．某校网络学习平台开通以后，王老师在平台上创建了教育工作室和同学们交流学习．随机抽查了20天通过访问王老师工作室学习的学生人数记录，统计如下：（单位：人次）2020281520253020121330251520101020172426“希望腾飞”学习小组根据以上数据绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如图：频数分布表分组频数（单位：天）10≤x＜15415≤x＜20320≤x＜25a25≤x＜30b30≤x＜352合计20请根据以上信息回答下列问题：（1）在频数分布表中，a的值为，b的值为，并将频数分布直方图补充完整；（2）求这20天访问王老师工作室的访问人次的平均数．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则可得AE和BF的长，依据端点A与B之间的距离为10cm，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度．【详解】如图所示，过A作AE⊥CP于E，过B作BF⊥DQ于F，则Rt△ACE中，AE=AC=×54=27（cm），同理可得，BF=27cm，又∵点A与B之间的距离为10cm，∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64（cm），故选C．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值应用广泛，一是它可以当作数进行运算，二是具有三角函数的特点，在解直角三角形中应用较多．2、A【详解】考点：中心对称图形．分析：根据中心对称图形的性质得出图形旋转180°，与原图形能够完全重合的图形是中心对称图形，分别判断得出即可．解：A．旋转180°，与原图形能够完全重合是中心对称图形；故此选项正确；B．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；C．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；D．旋转180°，不能与原图形能够完全重合不是中心对称图形；故此选项错误；故选A．3、C【分析】由，∠A=∠A，得∆ABD~∆ACB，进而得，求出AC的值，即可求解.【详解】∵，∠A=∠A，∴∆ABD~∆ACB，∴，即：，∴AC=8，∴CD=AC-AD=8-2=6，故选C.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质定理，掌握相似三角形的判定定理，是解题的关键.4、D【分析】将化简可得，，利用韦达定理，，解得，k＝±2，由题意可知△＞0，可得k＝2符合题意.【详解】解：由韦达定理，得：＝k－1，,由，得：，即，所以，,化简，得：，解得：k＝±2，因为关于x的一元二次方程有两个实数根，所以，△＝＝〉0，k＝－2不符合，所以，k＝2故选D.【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.5、D【分析】直接利用二次函数的性质进而分别分析得出答案．【详解】解：，

则a=1＞0，开口向上，顶点坐标为：（3，0），对称轴是x=3，故选项A，B，C都正确，不合题意；

x＞3时，y随x增大而增大，故选项D错误，符合题意．

故选：D．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，正确掌握相关性质是解题关键．6、C【分析】连接OD交AC于点G，根据垂径定理以及弦、弧之间的关系先得出DF=AC，再由垂径定理及推论得出DE的长以及OD⊥AC，最后在Rt△DOE中，根据勾股定理列方程求得半径r，从而求出结果．【详解】解：连接OD交AC于点G，∵AB⊥DF，∴，DE=EF．又点是弧的中点，∴，OD⊥AC，∴，∴AC=DF=12，∴DE=2．设的半径为r，∴OE=AO-AE=r-3，在Rt△ODE中，根据勾股定理得，OE2+DE2=OD2，∴(r-3)2+22=r2，解得r=．∴的直径为3．故选：C．【点睛】本题主要考查垂径定理及其推论，弧、弦之间的关系以及勾股定理，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形，是中考常考题型．7、C【分析】根据必然事件，随机事件发生的可能性逐一判断即可．【详解】A.打开电视机，正在播放广告是随机事件，故错误；B.天气预报明天下雨的概率为％，明天也不一定会下雨，故错误；C.买一张体育彩票会中奖是可能事件，故正确；D.长度分别为3，5，9厘米的三条线段不能围成一个三角形是必然事件，故错误；故选：C．【点睛】本题主要考查随机事件和必然事件，掌握随机事件和必然事件发生的可能性是解题的关键．8、B【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【详解】解：抛物线y=-x1的顶点坐标为（0，0），

先向左平移1个单位再向下平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（-1，-1），

所以，平移后的抛物线的解析式为y=-（x+1）1-1．

故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．9、B【分析】根据位似图形的定义:如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点的连线交于一点,对应边互相平行或在一条直线上,那么这两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心,判断即可.【详解】解:由图可知,对应边AG与CE的延长线交于点B，∴点B为位似中心故选B.【点睛】此题考查的是找位似图形的位似中心，掌握位似图形的定义是解决此题的关键.10、B【分析】判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项）后，能写成y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是.【详解】A.当a=0时，y=ax2+bx+c=bx+c，不是二次函数，故不符合题意；B.y=x（x﹣1）=x2-x，是二次函数，故符合题意；C.的自变量在分母中，不是二次函数，故不符合题意；D.y=（x﹣1）2﹣x2=-2x+1，不是二次函数，故不符合题意；故选B.【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，据此求解即可.11、C【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目，二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：依题意有：=1.2，

解得：n=2．

故选：C．【点睛】此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=是解题关键．12、C【分析】延长AB交x轴于点G，延长BC交y轴于点H，根据矩形面积求出的面积，通过平行可证明∽，∽，∽，然后利用相似的性质及三等分点可求出、、的面积，再求出四边形BGOH的面积，然后通过反比例函数比例系数的几何意义求出k值，再利用的面积求出b值即可．【详解】延长AB交x轴于点G，延长BC交y轴于点H，如图：∵矩形ABCD的面积为1，∴，∵B、D为线段EF的三等分点，∴，，，∵，∴，，∴∽，∴，即，∴，∵，∴，，∴∽，∴，即，∴，∵，∴，，∴∽，∴即，∴，∴，∵四边形ABCD是矩形，∴，∵，，∴，，又∵，∴四边形BGOH是矩形，根据反比例函数的比例系数的几何意义可知：，∴，∴又∵，即，∴，∴直线EF的解析式为，令，得，令，即，解得，∴，，∵F点在轴的上方，∴，∴，，∵，即，∴．故选：C．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数比例系数的几何意义，一次函数与面积的结合，综合性较强，需熟练掌握各性质定理及做题技巧．二、填空题（每题4分，共24分）13、（﹣3，﹣4）【分析】根据反比例函数与正比例函数的中心对称性解答即可.【详解】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝的两个分支关于原点对称，所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），则另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）．故答案是：（﹣3，﹣4）．【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的性质，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称．14、15【分析】由摸到红球的频率稳定在25%附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．【详解】解：设白球个数为：x个，∵摸到红色球的频率稳定在25%左右，∴口袋中得到红色球的概率为25%，∴，解得x=15，检验：x=15是原方程的根，∴白球的个数为15个，故答案为：15.【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出和分式方程的解法解题关键．15、4【分析】过点D作DH⊥x轴于H，四边形ABOC是矩形，由性质有AB＝CO，∠COB＝90°，将OC绕点O顺时针旋转60°，OC＝OD，∠COD＝60°，可得∠DOH＝30°，设DH＝x，点D（x，x），点A（，2x），反比例函数（k≠0）的图象经过A、D两点，构造方程求出即可．【详解】解：如图，过点D作DH⊥x轴于H，∵四边形ABOC是矩形，∴AB＝CO，∠COB＝90°，∵将线段OC绕点O顺时针旋转60°至线段OD，∴OC＝OD，∠COD＝60°，∴∠DOH＝30°，∴OD＝2DH，OH＝DH，设DH＝x，∴点D（x，x），点A（，2x），∵反比例函数（k≠0）的图象经过A、D两点，∴x×x＝×2x，∴x＝2，∴点D（2，2），∴k＝2×2＝4，故答案为：4．【点睛】本题考查反比例函数解析式问题，关键利用矩形的性质与旋转找到AB＝CO＝OD，∠DOH＝30°，DH＝x，会用x表示点D（x，x），点A（，2x），利用A、D在反比例函数（k≠0）的图象上，构造方程使问题得以解决．16、-1【分析】根据实数的性质即可化简求解．【详解】-（sin60°﹣1）0﹣2cos30°=-1-2×=-1-=-1故答案为：-1．【点睛】此题主要考查实数的运算，解题的关键是熟知特殊三角函数值的求解．17、1【分析】设方程的另一个根为x2，根据根与系数的关系可得出4+x2=4，解之即可得出结论．【详解】设方程的另一个根为x2，根据题意得：4+x2=4，∴x2=1．故答案为：1．【点睛】本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于、两根之积等于是解题的关键．18、2．【解析】试题分析：∵将该函数图象向上平移2个单位长度得到一条新的曲线，点A、B的对应点分别为A′、B′，图中阴影部分的面积为8，∴5﹣m=4，∴m=2，∴A（2，2），∴k=2×2=2．故答案为2．考点：2．反比例函数系数k的几何意义；2．平移的性质；3．综合题．三、解答题（共78分）19、矩形的阔为24步，长为36步．【解析】设阔为x步，则长为(x+12)步，根据面积为864，即可得出方程求解即可．【详解】设阔为x步，则长为(x+12)步，由题意可得：x(x+12)＝864，解得：x1＝24，x2＝﹣36(舍)，24+12=36，答：矩形的阔为24步，长为36步．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，为面积问题，掌握好面积公式即可进行正确解答；矩形面积=矩形的长×矩形的宽．20、（1）y=-x2+2x+3；y=x+1；（2）a的值为-3或．【分析】（1）把点B和D的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c得出方程组，解方程组即可；由抛物线解析式求出点A的坐标，设直线AD的解析式为y=kx+a，把A和D的坐标代入得出方程组，解方程组即可；（2）分两种情况：①当a＜-1时，DF∥AE且DF=AE，得出F（0，3），由AE=-1-a=2，求出a的值；②当a＞-1时，显然F应在x轴下方，EF∥AD且EF=AD，设F（a-3，-3），代入抛物线解析式，即可得出结果．【详解】解：（1）把点B和D的坐标代入抛物线y=-x2+bx+c得：解得：b=2，c=3，∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；当y=0时，-x2+2x+3=0，解得：x=3，或x=-1，∵B（3，0），∴A（-1，0）；设直线AD的解析式为y=kx+a，把A和D的坐标代入得：解得：k=1，a=1，∴直线AD的解析式为y=x+1；（2）分两种情况：①当a＜-1时，DF∥AE且DF=AE，则F点即为（0，3），∵AE=-1-a=2，∴a=-3；②当a＞-1时，显然F应在x轴下方，EF∥AD且EF=AD，设F（a-3，-3），由-（a-3）2+2（a-3）+3=-3，解得：a=；综上所述，满足条件的a的值为-3或．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；待定系数法求二次函数解析式及平行四边形的判定，综合性较强．21、(1)被遮盖的数是9，中位数为5；(2)1.【分析】（1）用读书为6册的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数分别减去读书为4册、6册和7册的人数得到读书5册的人数，然后根据中位数的定义求册数的中位数；（2）根据中位数的定义可判断总人数不能超过27，从而得到最多补查的人数．【详解】解：（1）抽查的学生总数为6÷25%=24（人），读书为5册的学生数为24-5-6-4=9（人），所以条形图中被遮盖的数为9，册数的中位数为5；（2）因为4册和5册的人数和为14，中位数没改变，所以总人数不能超过27，即最多补查了1人．故答案为1．【点睛】本题考查了统计图和中位数，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．22、（1）当球运行的水平距离为时，达到最大高度为；（2）球出手时，他跳离地面3.2．【分析】（1）根据待定系数法，即可求解；（2）令时，则，进而即可求出答案．【详解】（1）依题意得：抛物线经过点和，∴，解得：，∴，∴当球运行的水平距离为时，达到最大高度为；（2）∵时，，∴，即球出手时，他跳离地面3.2．【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．23、（1）；（2）；（3）详见解析【分析】（1）根据动点从点出发，沿折线以/的速度向终点运动，得出，即可表达出AE的表达式；（2）由，可得，可得，列出方程即可求解；（3））分当时，当时，当时，三种情况进行画图解答即可．【详解】解：（1）当点在边上时,,∴∴．（2）如图：当点落在线段上时，此时：在中，，，∴∴在▱中：，，，，解得．（3）依题意得：在中，，，∴∴当时，此时E在CB边上，此时如图：过D作DM⊥BC于M∴∵∴∴∴∴∴∴当时，E在AB边上，F在BC的下方，此时：如图：过E作EP⊥AC于E,EF交BC于Q,连接CE∴∴∵∴∴∴∴∴在▱中EQ//AC∴∴∴∴∴当时，E在AB边上，F在BC的上方，此时：如图：过E作EP⊥AC于E,∴∴∵∴∴∴∴∴∴综上所述：与之间的函数关系式是：【点睛】本题考查了相似三角形的性质、二次函数的应用，掌握三角形的性质是解题的关键．24、（1）见解析；（2）BD长为1．【分析】（1）连接OD，AD，根据等腰三角形三线合