数列的概念 高二年级上册数学人教A版（2019）选择性必修第二册

4.1数列的概念

知识点1数列及其有关概念

(1)按照排列的称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的-数列中的每一

项都和它的序号有关，排在第一位的数称为这个数列的(通常也叫做),排在第二位的数称

为这个数列的……排在第〃位的数称为这个数列的-

(2)数列的一般形式可以写成,简记为-

知识点2通项公式

如果数列｛斯｝的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列

的.

知识点3数列的分类

(1)按项数分类，项数有限的数列叫做数列，项数无限的数列叫做数列.

(2)按项的大小变化分类，

从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做；

从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做；

各项相等的数列叫做;

从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列叫做_______一

知识点4递推公式

如果数列｛〃“｝的第1项或前几项已知，并且数列｛斯｝的任一项如与它的前一项如t(或前几项)间的关系可

以用一个式子来表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是数列的一种表示方法.

知识点5数列的表示法

数列的表示方法有通项、、、.

知识点6数列的单调性

判断一个数列的单调性，可以利用递增数列、递减数列、常数列的定义进行，通常转化为判断一个数列｛匾｝

的任意相邻两项之间的大小关系来确定.

(1)若an+i-a„0恒成立，则数列｛斯｝是递增数列；

(2)若a„+]-a„0恒成立，则数列｛飙｝是递减数列；

(3)若an+]-an-0恒成立，则数列｛斯｝是常数列.

典例讲解

考向一根据通项求某项

【例1】已知数列4=烹不，则数列｛%｝的第4项为()

3n-2,n>IO,

【变式1】若数列｛%｝的通项公式为4h〃£N*),则%=()

3n-2,n<9

A.27B.21C.15D.13

【变式2】已知数列，1,百，石，不…,—1，…，则是它的()

A.第22项B.第23项C.第24项D.第28项

【变式3]己知数列｛4｝的通项公式为q=4〃-3,则生的值是()

A.9B.13C.17D.21

考向二根据项写通项公式

【例2】数列1,一3,5,-7,9「-的一个通项公式为()

B.«„=(-1)"(2n-l)

A.an=2n-1

C.«„=(-l)，，+1(2n-l)D.a„=(-l)n+，(2n+l)

【变式1】数列百，3,岳,后，…,则屈是这个数列的第（)

A.8项B.7项C.6项D.5项

【变式2】数列3,7,13,21,31,…的通项公式是（）

32

A.an=4n-1B.an=n-n+n+2C.=/+〃+lD.不存在

考向三根据递推公式求项

【例3】数列｛4｝满足4=1,an=«„_,+3/7（〃为正整数，〃N2）,则％=（)

A.43B.28C.16D.7

,、1,1

【变式1】在数列｛风｝中，4=[,。用=1一一，则28=（）

3。n

13

A.-2B.1C.-D.-

32

11

【变式2]已知数列｛fqj满足4一1,%+|“"=〃（〃+i），则一（）

9101921

A.—B.——C.—D.—

10111011

【变式3】数列｛风｝中,若q=2,%：

=2。"+3,则al0=()

A.29B.2563C.2569D.2557

考向四公式法求通项

【例4】已知数列｛小｝的前项和为S“，S“=4"一3,则数列｛4｝的通项公式为

【变式1】已知数列｛%｝的前〃项和S“=3+2",贝ija“=.

【变式2］己知数列｛4｝的前n项和为S”="一2〃+2,则数列｛4“｝的通项公式为.

考向5数列的单调性

（3~a）x—3,xW7,

【例5】设函数/（x）=+数列｛〃“｝满足斯=A〃），”《N*,且数列｛%｝是递增数列，则实

a'",x>7.

数a的取值范围是.

【变式】已知数列｛处｝，其通项公式为斯=3/—〃（〃WN*）,判断数列｛为｝的单调性.

课后练习（一）

1.下列叙述正确的是（）

A.数列1,3,5,7与7,5,3』是相同的数列

B.数列0,123,…可以表示为｛〃｝

C.数列0,10,1,…是常数列

D.数列｛式不是递增数列

2.数列2,3,4,5,…的一个通项公式为（）

A.an=nfB.an=n+1,

C.an=n+2fD.an=2n,

1+（—1"

3.已知数列｛斯｝的通项公式为斯=--2',则该数列的前4项依次为（）

A.1,0,1,0B.0,1,0,1

C.1,0,0D.2,0,2,0

4.已知数列｛〃〃｝的通项公式为〃“=层一〃一50,则一8是该数列的（）

A.第5项B.第6项

C.第7项D.非任何一项

5.数列1,3,6,10,…的一个通项公式是（）

„n(n—l)

A.—n+1B.an—2

—2D.%=/+1

6.数列|,专,Q

…的第10项是（）

7.如图1是第七届国际数学教育大会(简称ICME-7)的会徽图案，会徽的主体图案是由如图2的一连串

直角三角形演化而成的，其中O4=4A2=A2A3=­=47A8=1，如果把图2中的直角三角形继续作下去,

记04,OAi，04,”…的长度构成数列｛&｝,则此数列的通项公式为()

A.Cln~~Hf71£NB.1,

D.。〃=层，

8.设斯=在|+百万+/值卜・・•+石(〃£N*),那么斯+】一诙等于(

A-2«+lB-2n+2

c--+--

2n+l2n+2%〃+「2w+2

9.已知数列｛如｝的通项公式斯=:匕一，〃GN*,贝

10.数列3,5,9,17,33,…的一个通项公式是.

II.323是数列｛〃(〃+2)｝的第项.

12.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.

(1)-1,7,一13,19,…；

(2)0.8,0.88,0.888,...：

13.在数列｛&｝中,a1=2,©7=66,通项公式即是〃的一次函数.

(1)求｛aj的通项公式；

(2)判断88是不是数列｛斯｝中的项？

,9〃'■一9〃+2

14.已知数列〈----------->,“CN*.

9n2-l

(1)求这个数列的第10项；

(2)裔98是不是该数列中的项，为什么？

(3)求证：该数列是递增数列；

(4)在区间内有无数列中的项？若有，有几项？若没有，请说明理由.

课后练习(二)

1.数列1,3,6,10,15,...的递推公式是()

A.=。〃+小

B.斯ii>2

C.ai=+(〃+1),〃£N*

D.+(〃—1),,?>2

2.已知数列｛〃“｝满足0=2,%+i—q〃+l=0(〃£N*),则此数列的通项期等于()

A./+1B./?+1C.1—nD.3—〃

3.已知。〃+1—小一3=0,则数列｛斯｝是()

A.递增数列B.递减数列

C.常数列D.不能确定

4.已知数列｛”“｝的首项为0=1,且满足加=*+/，则此数列的第4项是()

1

5.数列｛〃〃｝中，41=1,对所有的论2,〃£N*,都有41・3〃3则俏+。5等于()

-31

C16D15

6.已知4|=1,an=an-i+3（n>2,〃GN*）,则数列的通项公式为（）

A.m=3〃+1B.0i=3〃

C.斯=3〃-2D.%=3(〃—1)

7.若卬=1,斯+|=不看，则给出的数列｛m｝的第4项是（）

jClnII

1

A记B17

Jc-oLD-25

8.已知数列｛斯｝中，斯=-2/+29"+3,则数列中最大项的值是（）

A.107B.108

C.1081

D.109

9.在数列｛小｝中，,4=1---则々2019的值为（）

4%

41

A.-B.---

54

C.5D.以上都不对

10.已知数列｛%｝的通项公式为4=1+2〃，则为）=（）

A.100B.110C.120D.130

r1

2an,

11.已知数列｛%｝满足”"+l=j[若41=7，则。2017=.

2。〃一1,1.

12.数列｛〃“｝的通项公式为an=-2n2+;tn（nGN*,九eR）,若｛斯｝是递减数歹ij,则入的取值范围是（）

A.(-oo,4)B.(—oo,4]C.(—co,6)D.(—oo,6]

13.已知数列｛%｝的通项公式是。，=—―,那么这个数列是（）

3〃+1

A.递增数列B.递减数列C.摆动数列D.常数列

2%,0<<z(t<—,

14.数列｛如｝满足4+1=，若q=［，则。2021等于（)

2a„-l,-<an<\,

、乙

1234

A.-B.-(八一D.-

5555

15.若数列｛斯｝满足0ss•…•斯=/+3〃+2,则数列仅“｝的通项公式为.

16.己知数列｛小｝中，0=。,42=2—。,。“+2—。"=2,若数列｛斯｝单调递增，则实数a的取值范围为

4.1数列的概念参考答案

典例讲解

考向一根据通项求某项

441

【例1】【答案】B【解析】依题意％—=—=一.故选：B.

42+8246

3n-2,n>10,*、

【变式1】【答案】A【解析】因为。〃=仔_2〃<9(〃wN),所以％=35-2=33=27,故选：A.

【变式2】【答案】B【解析】因为题中数列的第〃项为^2〃-1，而36=a=J2x23-1，

所以是题中数列的第23项.故选：B.

【变式3】【答案】C【解析】把n=5代入。,=4n—3中得到所求为17.故选C.

考向二根据项写通项公式

【例2】【答案】C【解析】数列1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式％=(——2〃).故选C.

【变式1】【答案】C【解析】列百，3,岳，后,…，可化为：数列出，亚,V15.后,…,

则数列的通项公式为：an=,6〃-3,''ian=j6〃-3=y/330寸，则6〃—3=33,

解得：〃=6,故庖是这个数列的第6项.故选：C.

【变式2】【答案】C【解析】依题意可知a“=a,i+2〃，4=3,所以

a„=(%-4-1)+(%-2-4-3)+…+(。2-4)+4

=2"+2(=-1)+…+2X2+3=T《-1)+3=〃2+〃+1.故选:c

考向三根据递推公式求项

【例3】【答案】C

【解析】因为4=1,=«n-i+3n(〃为止整数，n>2),

令〃=2,所以%=4+3*2=7：令〃=3，所以％=%+3*3=7+9=16.故选：C.

【变式1】【答案】C

1,131

【解析】因为q=§，。“+1=1-7，所以。2=-2,«3=-,%=1=4，

所以数列｛q｝是周期为3的周期数列，所以。28=%=—.故选：C

【变式2】【答案】C

111

［解析】因为a-a==------—,

n+tn+nn+l

所以(4。—%)+(q0-q)+•,•+(%—%)+(%—4)

>…+9{)+(1—1H—寻/T解得4。端•故选;C

19

【变式3】【答案】D【解析】数列｛4｝中，若q=2,a,l+l=2a,,+3,

可得+3=2(4+3),所以｛a,,+3｝是等比数列，公比为2,首项为5,

所以/+3=5X2"T,《0=5x29-3=2557.

考向四公式法求通项

1,(〃=1)

【例4】【答案】

3x4n-,,(rt>2)

【解析】当〃=1时，4=5|=下一3=1；

当〃22时，%=S“_S,T=(4"_3)_(4"T_3)=3X4"T,而3X4-=3#L

1,(〃=1)

故数列｛4｝的通项公式为4=<

3x4,,-l,(n>2)'

,5,〃=1

【变式1】【答案】

2，1,〃22且“€可*

【解析】当;%=工时，靴=q=杼，当然电久时，飒*=典；、一,％41=曾闻，经验证，当即：=工时,，峋=2潜技，

5,〃=1

所以数列的通项公式是勺

l,n=1

【变式2】【答案】«„=<

2n-3,«>2.

aS.,H=1

【解析】n=\c而S[=l—2+2=l,

【5"-S“T，”22

]IT—1l,n=l

当〃22时，S"—S,I=〃2—(”—1)2—2=2〃—3,故4,=；二>0•填4

乙，IJ,ft乙2«-3,n>2

考向5数列的单调性

【例5］［答案］2<a<3

［分析］分段数列递增首先要确保各段递增，再使得两段相邻处满足一定的条件即可.

(3—4)〃-3,

［解析］由题意知r因为数列｛m｝递增，所以

［a"6,n>7,

当n<7时,3—〃>0,即a<3；当n>7时，a>］；

且ai<a8,即(3—〃)x7-3<*—6,解得a>2或〃<一9,故a的取值范围为2<«<3.

22

【变式】解：方法一：an=3n—nfan+\=3(n+1)-(n+1),则a”+i—〃〃=3(〃+1)?—(〃+1)—(3/—〃)=6〃

+2>0,即a〃+i>%(〃£N)故数列｛斯｝是递增数列.

方法二：小=3/一〃，m+1=3(〃+1)2—(〃+1),则

〃”+13(〃+Ip—(〃+1)〃+13〃+2

cin3"一〃n3〃一1'

又如>0,故狐+1>而即数列｛〃〃｝是递增数列.

课后练习(一)

1.答案D

解析由数列的通项％=已知，型+|一%=噜1q、＞0,即数列｛士｝是递增数列

n.+1〃+2n+1(n+2)(n+1)n~\~1

2.答案B

解析这个数列的前4项都比序号大1,所以，它的一个通项公式为斯=〃+1,〃£N*.

3.答案A解析当〃分别等于1,2,3,4时，0=1,422=0,43=1，44=0.

4.答案C解析解〃2—〃-50=—8,得〃=7或〃=—6(舍去).

5.答案C解析令〃=1,2,3,4,代入A、B、C、D检验,即可排除A、B、D,故选C.

6.答案C解析由数列的前4项可知，数列的一个通项公式为小=总7,"UN*,

2〃十1

%一“、12x1020

当〃一10时，⑶。-2x1()+]—百

7.答案C

解析,**0A।=1,OA2=y[^2,0/43=^3f…，OAn=y[nf…，tzi=1,4/2=^2,ci3=y[^»…，cin=t\[^-

8.答案D

解析•••4"=±+±+±+••・++，斯+产士+W+…+1+旺？+4?

n+1n+2n+32〃〃+2n+32n2n+12〃+2

・一_1।11_।1

..a"+i""—2〃+i十2〃+2n+l-2n+l2〃+2，

a(一1)"(〃+1)

9.答案I赤一

解析fll=2x1-1=L斯+L2(n+l)-l=2〃+l-

n

10.答案an=2+1,"GN"

11.答案17

解析由斯=/+2"=323,解得”=17(负值舍去).

二323是数列｛“(”+2)｝中的第17项.

12.解(1)符号问题可通过(-1)"或(一1)一|表示，其各项的绝对值的排列规律：后面数的绝对值总比前面

数的绝对值大6,故通项公式为斯=(-1)"(6〃-5),"6N*.

(2)将数列变形为|(1-0.01),1(1-0.001),....-孟)，"GN*.

(3)各项的分母分别为。喈0丁，…，易看出第2,3,4项的分子均比分母小3.因此把第1项变为

因此原数列可化为一gU，22-323—32—3

23，249…'

2"-3*

.♦.%=(一“WN*.

(4)将数列统一3为5宓7言9…,对于分子3,5,7,9,…是序号的2倍加1,可得分子的通项公式为d=

2〃+1,对于分母2,5,10,17,…,联想到数列1,4,9,16,…，即数列｛〃｝,可得分母的通项公式为金=」+1,

.•.可得原数列的一个通项公式为斯=^*，〃WN*.

=k+b=2,4=4,

13.解⑴设小=如+。，厚0,则，一“解得.•必=4〃-2,〃£N*.

ai7=17k+b=66,[h=-2.

(2)令诙=88,即4〃-2=88,解得〃=22.5CN*.

，88不是数列｛〃〃｝中的项.

9〃2~~9〃+2(3〃-1)(3〃-2)3〃~~2

14.⑴解设/〃)=

9n2—1(3/?—1)(3〃+1)3n+T

令”=10,得第10项0o=/(IO)=||.

⑵解令3苏”—^2=常98［，得9"=300.此方程无正整数解，.•.9爵8不是该数列中的项.

、十n口3/7-23n+1-33

(3)证明•••斯=乔7=3〃+]=1一而7'

._(3>[3、3[(3〃+4)—(3”+1)]________9.

二斯+i—斯=11-3(〃+1)+1厂1-3〃+==(3“+1)(3〃+4)=(3〃+1)(3〃+4)>°'”N

•••{%}是递增数列.

(4)解令geo”3〃一223〃+1<9/7-6,

3〃+1319"一6<6〃+2,

二当且仅当〃=2时，上式成立，

故区间(｝，|)内有数列中的项，且只有一项为“2=4

课后练习(二)

1.答案B

解析由已知得〃—20=2,43—42=3,44—6=4,

。5—々4=5,...»a,t—a,t-i=nt〃£N*,w>2,故选B.

2.答案D

解析:小+1——1.

••・a〃=m+(〃2—〃i)+(〃3—。2)+・一+(。〃—〃〃-1)=2+(—1)+(—1)+-+(-1)=2+(—1)x(〃—1)=3—

、___________V___________/

共｛1)个

3.答案A解析«n+|-a„=3>0,故数列｛斯｝为递增数列.

4.答案B解析。2=%|+,=1；。3=52+.=(；―=/仅十^二；.

5.答案C

329522561

解析042a3=32,002=22,©a24344a5=5，064344=42,则〃3=玄=7"5=於=/.故。3+。5=而

6.答案C

解析•4”=〃”-1+3,••(Xn-〃1=3.・・〃2-〃|=3,〃3—。2=3,〃4-43=3,...9Cln-L1=3,

以上各式两边分别相加，得小一〃]=3(〃-1),+3(〃-1)=1+3(〃-1)=3〃-2,故选C.

11

7答案C解析G=―--=G=―——=-^—44=———=-^—=—

口呆。廨忻"23。|+13+14,"33a2+13,.T3的+1310-

工十]7+1

8.答案B

解析由已知得即=-2