2024年湖南省湘潭市部分学校中考数学一模试卷

第1页（共1页）2024年湖南省湘潭市部分学校中考数学一模试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分30分）1．（3分）下列四个数中最小的数是（）A．π B．3.14 C．0 D．2．（3分）下列汽车图标既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（）A．东风汽车 B．五菱汽车 C．长安汽车 D．奔腾汽车3．（3分）下列计算正确的是（）A．2a•3a＝6a B．a6÷a3＝a2 C．5x﹣x＝4x D．（x2）3＝x54．（3分）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，被视为数学界的诺贝尔奖，其规定获奖数学家年龄不得超过40岁．截止目前，27，31，31，29，31，则该组由年龄组成的数据的众数和中位数是（）A．29，31 B．29，29 C．31，30 D．31，315．（3分）已知一元二次方程x2+kx﹣2＝0有一个根是﹣1，则k的值是（）A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣26．（3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．守株待兔 B．水中捞月 C．三角形三边之长为4cm，5cm，10cm D．若a＝b，则|a|＝|b|7．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（2，0），（0，﹣4），当y＞0时（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣4 D．x＜﹣48．（3分）某校为落实“双减”政策，每周星期三下午开展“七彩课堂”活动，为学生全面发展搭建平台．小田在素描课堂上观察一几何体的主视图如图所示，则∠A+∠E+∠C的度数为（）A．180° B．270° C．360° D．540°9．（3分）如图，点A、B、C、D在同一直线上，AE∥DF，添加以下条件不能判定△AEC≌△DFB的是（）A．AE＝DF B．∠E＝∠F C．EC＝BF D．EC∥BF10．（3分）如图，等边△ABC的边长为2，△ABC在直线l上绕其右下角的顶点C顺时针旋转120°至图①位置，…，以此类推，这样连续旋转9次后（）A．8π B．9π C．10π D．12π二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案写在答题卡相应的位置上）11．（3分）﹣2024的相反数是．12．（3分）某校为了了解各班是否落实了“双减”政策，切实减轻了学生作业负担，在九（1），调查数据统计如下表：时长/h2.521.510.5人数12421请你估计九（1）班学生每天完成作业的平均时长约是h．13．（3分）国家能源局印发《2023年能源工作指导意见》提出，结构转型深入推进.2023年，风电、光伏发电量占全社会用电量的比重不断增大（光伏电池）产量达5.4亿千瓦．数据5.4亿用科学记数法表示为．14．（3分）分解因式：xy2﹣2xy+x＝．15．（3分）如图，点A、B、C、D都在圆O上，顺次连接AB、BC、CD、DA，则∠A＝度．16．（3分）如图，平行于x轴的直线l与函数和的图象分别相交于A，分别连接AO、BO，则△ABO的面积为．17．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧；②分别以点E、F为圆心，大于，两弧相交于点G；③作射线AG，则BD＝cm．18．（3分）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，锯道长六寸．问：径几何？”意思是：如图，CD为⊙O的直径，垂足为E，CE＝1寸，则直径CD的长度为寸．三、解答题（本大题8个小题，共66分．19、20题各6分；21、22题各8分；23、24题各9分；25、26题各10分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：．20．（6分）先化简，再求值：，其中a＝2．21．（8分）如图，正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，（1）求证：△EAF∽△ABG；（2）求∠EOG的度数．22．（8分）2022年4月21日新版《义务教育课程标准》颁布．某校结合“双减”政策和新课标要求，优化了课程设计，决定增设“足球”、“篮球”、“书法”、“木工”及“编程”等五门校本课程以进一步提升课后服务质量，学校面向参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程”（要求必须选修一门且只能选修一门）的随机问卷调查请结合上述信息，解答下列问题：（1）共有名学生参与了本次问卷调查；“篮球”在扇形统计图中所对应的圆心角是度；（2）补全调查结果的条形统计图；（3）小刚和小强分别从“足球”、“篮球”、“编程”三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人中至少有一人选到“编程”这门课程的概率．23．（9分）为深入贯彻党的二十大精神，全面落实习近平总书记关于“把红色资源利用好、把红色基因传承好”的重要指示精神，培养学生的爱国情怀和责任担当，每日租金960元，一台B型大巴车可以坐乘客37人（1）若计划租赁A型大巴车比租赁B型大巴车多2辆，要让每一位师生都有座位，且每辆汽车恰好坐满（2）为确保研学活动安全与效果，学校决定再增派两位校级领导带队，若计划租赁两种型号的大巴车共32台，共有哪几种租赁方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．24．（9分）如图①是放置在水平桌面上的台灯的截面示意图，台灯底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，如图②，求连杆端点D离桌面的高度DE是多少cm？（2）将图②中的连杆BD绕点B顺时针旋转，使∠ABC＝150°，再将连杆CD绕点C逆时针旋转，如图③，此时连杆端点D离桌面的高度DE又是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：2≈1.41，25．（10分）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．（1）请你直接写出B、C两点的坐标，并求直线BC的表达式．（2）如图②，点P为直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，当⊙P的半径最大时，求m的值．（3）设点Q是抛物线对称轴上任意一点，点R是抛物线y＝﹣x2+2x+3上任意一点．是否存在这样的点R，使以B、C、R、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点R的坐标，请说明理由．26．（10分）【问题探究】综合实践课上，老师给出这样一个问题要求同学们进行小组合作探究：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在边BC上，∠DAE＝45°．探究图中线段BD，CE之间的数量关系．小红同学这一个学习小组探究此问题的方法是：将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，连接EF（如图②），可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．即可得出BD，CE之间的数量关系．（1）请你根据小红同学这一学习小组的探究方法，写出探究结论：在图②中，∠FCE＝度，BD，DE．【问题延伸】（2）小明同学这一学习小组在上述探究的基础上，又进行了如下问题的探究：如图③，在正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点，若∠EAF＝45°．请你帮小明同学这一学习小组完成如下猜想：（ⅰ）线段BM、MN、DN的数量关系是；（ⅱ）线段BE、EF、DF的数量关系是；请任选一个你的猜想说明理由．【问题解决】（3）请根据上述探究方法，解决如下问题：如图④，已知点A（﹣6，0）（0，﹣3），点C位于y轴正半轴，∠BAC＝45°

2024年湖南省湘潭市部分学校中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题有且只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号涂在答题卡相应的位置上，每小题3分，满分30分）1．（3分）下列四个数中最小的数是（）A．π B．3.14 C．0 D．【解答】解：∵，∴最小的数是，故选：D．2．（3分）下列汽车图标既不是轴对称图形，也不是中心对称图形的是（）A．东风汽车 B．五菱汽车 C．长安汽车 D．奔腾汽车【解答】解：A、该图形是中心对称图形，故此选项不符合题意；B、该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、该图形是轴对称图形，故此选项不符合题意；D、该图形既不是轴对称图形，故此选项符合题意；故选：D．3．（3分）下列计算正确的是（）A．2a•3a＝6a B．a6÷a3＝a2 C．5x﹣x＝4x D．（x2）3＝x5【解答】解：A、2a•3a＝2a2，原计算错误，不符合题意；B、a6÷a6＝a3，原计算错误，不符合题意；C、5x﹣x＝2x，符合题意；D、（x2）3＝x2，原计算错误，不符合题意；故选：C．4．（3分）菲尔兹奖是数学领域的一项国际大奖，被视为数学界的诺贝尔奖，其规定获奖数学家年龄不得超过40岁．截止目前，27，31，31，29，31，则该组由年龄组成的数据的众数和中位数是（）A．29，31 B．29，29 C．31，30 D．31，31【解答】解：∵31出现的次数最多，∴这组数据的众数是31，把这些数从小到大排列为：27，29，29，31，31，则中位数是：＝30；故选：C．5．（3分）已知一元二次方程x2+kx﹣2＝0有一个根是﹣1，则k的值是（）A．2 B．﹣1 C．1 D．﹣2【解答】解：把x＝﹣1代入x2+kx﹣4＝0得：1+k﹣7＝0，解得k＝1．故选：C．6．（3分）下列事件中，是必然事件的是（）A．守株待兔 B．水中捞月 C．三角形三边之长为4cm，5cm，10cm D．若a＝b，则|a|＝|b|【解答】解：A、守株待兔是随机事件；B、水中捞月是不可能事件；C、三角形三边之长为4cm，10cm是不可能事件；D、若a＝b，符合题意；故选：D．7．（3分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点（2，0），（0，﹣4），当y＞0时（）A．x＞2 B．x＜2 C．x＞﹣4 D．x＜﹣4【解答】解：观察函数图象，可知：当y＞0时．故选：A．8．（3分）某校为落实“双减”政策，每周星期三下午开展“七彩课堂”活动，为学生全面发展搭建平台．小田在素描课堂上观察一几何体的主视图如图所示，则∠A+∠E+∠C的度数为（）A．180° B．270° C．360° D．540°【解答】解：∵∠B+∠D+∠A+∠E+∠C＝（5﹣2）×180°＝540°，∠B+∠D＝180°，∴∠A+∠E+∠C＝540°﹣180°＝360°．故选：C．9．（3分）如图，点A、B、C、D在同一直线上，AE∥DF，添加以下条件不能判定△AEC≌△DFB的是（）A．AE＝DF B．∠E＝∠F C．EC＝BF D．EC∥BF【解答】解：∵AE∥DF，∴∠A＝∠D，∵AB＝CD，∴AC＝DB，∴A、添加条件AE＝DF，故此选项不合题意；B、添加条件∠E＝∠F，故此选项不合题意；C、添加条件EC＝BF，故此选项符合题意；D、添加条件EC∥BF，可以利用ASA定理证明△AEC≌△DFB；故选：C．10．（3分）如图，等边△ABC的边长为2，△ABC在直线l上绕其右下角的顶点C顺时针旋转120°至图①位置，…，以此类推，这样连续旋转9次后（）A．8π B．9π C．10π D．12π【解答】解：如图所示，旋转1次后，点A经过的路程是圆心角为120°，旋转2次后，点A对应点的位置没变，旋转3次后，点A经过的路程是圆心角为120°，所以每旋转三次，点A经过的路程是圆心角为240°，又因为9÷3＝4，所以旋转9次后，点A所经过的路程之和为：．故选：A．二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案写在答题卡相应的位置上）11．（3分）﹣2024的相反数是2024．【解答】解：﹣2024的相反数是2024，故答案为：2024．12．（3分）某校为了了解各班是否落实了“双减”政策，切实减轻了学生作业负担，在九（1），调查数据统计如下表：时长/h2.521.510.5人数12421请你估计九（1）班学生每天完成作业的平均时长约是1.5h．【解答】解：根据题意得：＝1.5（h），答：估计九（1）班学生每天完成作业的平均时长约是3.5h．故答案为：1.6．13．（3分）国家能源局印发《2023年能源工作指导意见》提出，结构转型深入推进.2023年，风电、光伏发电量占全社会用电量的比重不断增大（光伏电池）产量达5.4亿千瓦．数据5.4亿用科学记数法表示为5.4×108．【解答】解：5.4亿＝540000000＝6.4×108．故答案为：2.4×108．14．（3分）分解因式：xy2﹣2xy+x＝x（y﹣1）2．【解答】解：xy2﹣2xy+x，＝x（y6﹣2y+1），＝x（y﹣4）2．15．（3分）如图，点A、B、C、D都在圆O上，顺次连接AB、BC、CD、DA，则∠A＝60度．【解答】解：∵四边形ABCD为圆O的内接四边形，∴∠C+∠A＝180°，∵∠C＝120°，∴∠A＝180°﹣120°＝60°，故答案为：60．16．（3分）如图，平行于x轴的直线l与函数和的图象分别相交于A，分别连接AO、BO，则△ABO的面积为2．【解答】解：∵点A在反比例函数y＝图象上，∴S△AOC＝＝3，∵点B在反比例函数y＝图象上，∴S△BOC＝＝1，∴S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝3﹣7＝2．故答案为：2．17．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，按以下步骤作图：①以点A为圆心，小于AC的长为半径．画弧；②分别以点E、F为圆心，大于，两弧相交于点G；③作射线AG，则BD＝10cm．【解答】解：如图：由图可知，AG是∠CAB的角平分线，∵∠C＝90°，∠ABC＝30°，∴∠CAB＝60°，∴∠DAC＝30°，∵AD＝10cm，∴DC＝5cm，AC＝5，∴BC＝（cm），∴BD＝15﹣5＝10（cm），故答案为：10．18．（3分）“圆材埋壁”是我国古代数学名著《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，锯道长六寸．问：径几何？”意思是：如图，CD为⊙O的直径，垂足为E，CE＝1寸，则直径CD的长度为10寸．【解答】解：连接OA，设⊙O的半径是r寸，∵直径CD⊥AB，∴AE＝AB＝，∵CE＝1寸，∴OE＝（r﹣6）寸，∵OA2＝OE2+AE7，∴r2＝（r﹣1）3+32，∴r＝2，∴直径CD的长度为2r＝10寸．故答案为：10．三、解答题（本大题8个小题，共66分．19、20题各6分；21、22题各8分；23、24题各9分；25、26题各10分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）19．（6分）计算：．【解答】解：原式＝2×+2﹣＝+2﹣＝3．20．（6分）先化简，再求值：，其中a＝2．【解答】解：原式＝＝＝＝当a＝2时，原式＝＝2．21．（8分）如图，正方形ABCD中，点E、G分别是边AD、BC的中点，（1）求证：△EAF∽△ABG；（2）求∠EOG的度数．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠EAF＝∠ABG＝90°，AB＝BC＝AD，又∵点E，G分别是边AD，∴AE＝AD＝，BG＝AB，又∵AF＝AB，∴＝＝，∴△EAF∽△ABG；（2）解：∵△AEF∽△BAG，∴∠AEF＝∠BAG，∵∠BAG+∠EAO＝90°，∴∠AEF+∠EAO＝90°，∴∠AOE＝90°即∠EOG＝90°．22．（8分）2022年4月21日新版《义务教育课程标准》颁布．某校结合“双减”政策和新课标要求，优化了课程设计，决定增设“足球”、“篮球”、“书法”、“木工”及“编程”等五门校本课程以进一步提升课后服务质量，学校面向参与课后服务的部分学生开展了“你选修哪门课程”（要求必须选修一门且只能选修一门）的随机问卷调查请结合上述信息，解答下列问题：（1）共有60名学生参与了本次问卷调查；“篮球”在扇形统计图中所对应的圆心角是120度；（2）补全调查结果的条形统计图；（3）小刚和小强分别从“足球”、“篮球”、“编程”三门校本课程中任选一门，请用列表法或画树状图法求出两人中至少有一人选到“编程”这门课程的概率．【解答】解：（1）参与了本次问卷调查的学生人数为：6÷＝60（名），则“篮球”在扇形统计图中所对应的圆心角为：360°×＝120°，故答案为：60，120；（2）条形统计图中，选修“木工”的学生人数为：60×20%＝12（名），则选修“书法”的学生人数为：60﹣15﹣20﹣12﹣6＝7（名），补全调查结果的条形统计图如下：（3）把“足球”、“篮球”、B、C，画树状图如下：共有9种等可能的结果，其中小刚和小强两人中至少有一人选到“编程”这门课程结果有5种，∴两人中至少有一人选到“编程”这门课程的概率为．23．（9分）为深入贯彻党的二十大精神，全面落实习近平总书记关于“把红色资源利用好、把红色基因传承好”的重要指示精神，培养学生的爱国情怀和责任担当，每日租金960元，一台B型大巴车可以坐乘客37人（1）若计划租赁A型大巴车比租赁B型大巴车多2辆，要让每一位师生都有座位，且每辆汽车恰好坐满（2）为确保研学活动安全与效果，学校决定再增派两位校级领导带队，若计划租赁两种型号的大巴车共32台，共有哪几种租赁方案？请指出费用最低的一种方案，并求出相应的费用．【解答】解：（1）设租赁A型大巴车x辆，B型大巴车y辆，由题意得：，解得，答：租赁A型大巴车16辆，B型大巴车14辆；（2）设租赁A型大巴车a辆，租赁B型大巴车（32﹣a）辆，则由题意得：，解得：10≤a≤12，∵a为正整数，∴a＝10，11，32﹣a＝22，20，∴共有三种方案，第一种：A型大巴车10辆，B型大巴车22辆，第二种：A型大巴车11辆，B型大巴车21辆，第三种：A型大巴车12辆，B型大巴车20辆，设租车总费用为w元，则w＝960a+780（32﹣a）＝180a+24960，∵180＞0，∴当a＝10时，总费用w有最小值．即租A型大巴车10辆，B型大巴车22辆费用最低．24．（9分）如图①是放置在水平桌面上的台灯的截面示意图，台灯底座的高AB为5cm，长度均为20cm的连杆BC、CD与AB始终在同一平面上．（1）转动连杆BC，CD，使∠BCD成平角，如图②，求连杆端点D离桌面的高度DE是多少cm？（2）将图②中的连杆BD绕点B顺时针旋转，使∠ABC＝150°，再将连杆CD绕点C逆时针旋转，如图③，此时连杆端点D离桌面的高度DE又是多少cm？（结果精确到0.1cm，参考数据：2≈1.41，【解答】解：（1）如图②中，作BO⊥DE于O，∵∠OEA＝∠BOE＝∠BAE＝90°，∴四边形ABOE是矩形，∴∠OBA＝90°，AE＝OB＝5cm，∴∠DBO＝120°﹣90°＝30°，∴OD＝BD•sin30°＝20（cm），∴DE＝OD+OE＝20+5＝25（cm），∴连杆端点D离桌面的高度DE是25cm；（2）过点C作CP⊥DE于P，过点B作BG⊥DE于G，如图③，由题意得：GE＝AB＝2cm，CH＝PG，∵∠ABC＝150°，∴∠CBH＝∠ABC﹣∠ABH＝60°，∴∠BCH＝90°﹣∠CBH＝30°，∵∠BCD＝165°，∴∠DCP＝∠BCD﹣∠BCH﹣∠HCP＝45°，在Rt△BCH中，BC＝20cm，∴CH＝BC•sin60°＝20×＝（cm），∴PG＝CH＝cm，在Rt△DCP中，DC＝20cm，∴DP＝DC•sin45°＝20×＝（cm），∴连杆端点D离桌面的高度DE＝DP+PG+GE＝++5≈36.4（cm），∴连杆端点D离桌面l的高度为36.6cm．25．（10分）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC．（1）请你直接写出B、C两点的坐标，并求直线BC的表达式．（2）如图②，点P为直线BC上方抛物线上一动点，设点P的横坐标为m，当⊙P的半径最大时，求m的值．（3）设点Q是抛物线对称轴上任意一点，点R是抛物线y＝﹣x2+2x+3上任意一点．是否存在这样的点R，使以B、C、R、Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点R的坐标，请说明理由．【解答】解：（1）对于y＝﹣x2+2x+4，当x＝0时，令y＝﹣x2+5x+3＝0，则x＝﹣4或3，则点B、C的坐标分别为：（3、（3，设直线BC的表达式为：y＝kx+3，将点B的坐标代入上式得：0＝4k+3，解得：k＝﹣1，则直线BC的表达式为：y＝﹣x+4；（2）设圆P的半径为r，过点P作PH∥y轴交BC于点H，作PN⊥BC于点N，由点C、B的坐标知，则PH＝PN＝r，故当PH最大时，r最大，设点P（m，﹣m4+2m+3），则点H（m，则PH＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+4）＝﹣m2+3m，∵﹣4＜0，故函数PH有最大值，当m＝时，PH取得最大值，即m＝时，符合题设要求；（3）R（m，﹣m8+2m+3），Q（7，当BC为对角线时，由中点坐标公式得：3＝m+1，解得：m＝2，则点R的坐标为：（2，3）；当BR或BQ为对角线时，同理可得：5+m＝1或3+5＝m，解得：m＝﹣2或4，则点R的坐标为：（﹣3，﹣5）或（4．综上，R的坐标为：（5，﹣5）或（4．26．（10分）【问题探究】综合实践课上，老师给出这样一个问题要求同学们进行小组合作探究：如图①，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在边BC上，∠DAE＝45°．探究图中线段BD，CE之间的数量关系．小红同学这一个学习小组探究此问题的方法是：将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACF，连接EF（如图②），可证△FAE≌△DAE，得FE＝DE．即可得出BD，CE之间的数量关系．（1）请你根据小红同学这一学习小组