2025届新高考数学冲刺复习：导数的概念及运算

2025届新高考数学冲刺复习导数的概念及运算考情清单考点清单题型清单目录题型1利用导数的几何意义求曲线的切线方程及其参数题型2曲线的公切线问题考点1导数的概念及几何意义考点2导数的运算考点3复合函数的导数考点1导数的概念及几何意义1.导数的概念一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是

=

,称为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0)或y'

,即f'(x0)=

=

.注意f'(x)与f'(x0)的区别与联系:f'(x)是一个函数,f'(x0)是函数f'(x)在x0处的函数值(常数),所

以[f'(x0)]'=0.2.导数的几何意义函数f(x)在x=x0处导数的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处切线的斜率.相应地,切线

方程为y-y0=f'(x0)(x-x0).函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势,|f'(x)|的大小反映了f(x)图象变

化的快慢,|f'(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.考点2导数的运算1.基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)=c(c为常数)f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q且α≠0)f'(x)=αxα-1f(x)=sinxf'(x)=cosxf(x)=cosxf'(x)=-sinxf(x)=ax(a>0,且a≠1)f'(x)=axlnaf(x)=exf'(x)=exf(x)=logax(a>0,且a≠1)f'(x)=

f(x)=lnxf'(x)=

2.导数的运算法则[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);[f(x)·g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);

'=

(g(x)≠0).考点3复合函数的导数由函数y=f(u)和u=g(x)复合而成的函数y=f(g(x)),它的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导

数间的关系为y'x=y'u·u'x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积.即练即清判断正误(对的打“√”,错的打“✕”)(1)求f'(x0)时,可先求f(x0),再求f'(x0).

(

)(2)函数y=xcosx-sinx的导数为y=xsinx.

(

)(3)曲线y=

在点(-1,-3)处的切线方程为y=5x+2.

(

)××√题型1利用导数的几何意义求曲线的切线方程及其参数1.求曲线的切线方程有两种情况:(1)求曲线y=f(x)在点P(x0,y0)处的切线方程,即求y-f(x0)=f'(x0)(x-x0).(2)求曲线y=f(x)过点P(x0,y0)的切线方程,此时P点一般不是切点.步骤如下:①设切点为P'(x1,f(x1)).②写出在点P'(x1,f(x1))处的切线方程:y-f(x1)=f'(x1)·(x-x1).③将P(x0,y0)代入切线方程,求出x1.④将x1代入y-f(x1)=f'(x1)(x-x1)即可求出.2.已知切线方程求参数的方法当曲线的切线方程是已知条件时,常合理选择以下三个条件的表达式解题:(1)切点在切线上;(2)切点在曲线上;(3)在切点横坐标处的导数等于切线的斜率.例1

(2023全国甲文,8,5分)曲线y=

在点

处的切线方程为

(

)A.y=

x

B.y=

xC.y=

x+

D.y=

x+

解析

由y=

,可得y'=

,则y'|x=1=

,∴曲线在点

处的切线方程为y-

=

(x-1),即y=

x+

,故选C.

答案

C即练即清1.已知函数f(x)=x+

.若曲线y=f(x)存在两条过点(2,0)的切线,则a的取值范围是(

)A.(-∞,1)∪(8,+∞)B.(-∞,-1)∪(8,+∞)C.(-∞,0)∪(8,+∞)D.(-∞,-8)∪(0,+∞)D题型2曲线的公切线问题1.求曲线的公切线的方法设公切线l与曲线y=f(x)和y=g(x)的切点分别是P1(x1,f(x1))和P2(x2,g(x2)),求出切线方程分

别为y=f'(x1)x+f(x1)-x1

f'(x1)和y=g'(x2)x+g(x2)-x2g'(x2),则这两条直线的斜率和纵截距分别

相等,即

解得x1和x2,代入切线方程求得公切线.2.已知公切线求参数值(范围)的步骤(1)分别设切点坐标,求出两曲线的切线方程;(2)根据斜率和纵截距相等列关于切点横

坐标的方程组;(3)消元得含参数的方程;(4)分离参数,通过求函数的值域求参数的取值

范围.3.判断或证明公切线条数的步骤(1)分别设切点,求出切线方程;(2)利用两切线重合,建立关于切点横坐标的方程组;(3)

消元得某一切点横坐标的方程;(4)通过判断方程在规定范围内解的个数判断公切线的

条数.例2

(2016课标Ⅱ理,16,5分)若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)

的切线,则b=

.

解析

直线y=kx+b与曲线y=lnx+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2).由y=lnx+2得y'=

,由y=ln(x+1)得y'=

,∴k=

=

,∴x1=

,x2=

-1,∴y1=-lnk+2,y2=-lnk.即A

,-lnk+2