2018年高考数学二轮复习 12 空间的平行与垂直教学案 理

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专题12空间的平行与垂直

1.以选择、填空题形式考查空间位置关系的判断，及文字语言、图形语言、符号语言的转换，难度适

中;

2.以客观题形式考查有关线面平行、垂直等位置关系的命题真假判断或充要条件判断等.

3.以多面体或旋转体为载体(棱锥、棱柱为主)命制空间线面平行、垂直各种位置关系的证明题或探索

性问题，以大题形式呈现.

重点知识梳理

1.点、线、面的位置关系

(1)平面的基本性质

名称图形文字语言符号语言

如果一条直线上的两点在一个AG1、

BG1

公理1平面内，那么这条直线在此平>=7ca

jea

面内BG*

若4、B、C三点不共线，

过不在一条直线上的三点有且

公理2则4、B、C在同一平面

只有一个平面

a内且a是唯一的.

如果两个不重合的平面有一个平面a与。不重合，

公理3公共点，那么它们有且只有一若-e。，且尸e£,则

%"]条过该点的公共直线.on/3—a,且。ea

(2)平行公理、等角定理

公理4：若allc,b//c,则a〃4

等角定理：若力〃OB//aBx,则//加=N4Q5或N/仍+N4a3=180°.

2.直线、平面的平行与垂直

定理名称文字语言图形语言符号语言

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闻a'

线面平行平面外一条直线与平面内的________a

Zxza}=

的判定定一条直线平行，则这条直线与

a//b,

理此平面平行/，/

a

一条直线与一个平面平行，则

线面平行

过这条直线的任何一个平面a〃a,acP,a

的性质定

与此平面的交线与该直线平AB=b,=a〃b

理二

行

面面平行如果一个平面内有两条相交ZX：/aca,bea,a

的判定定的直线都平行于另一个平面，Ab=P,a〃B,b

理那么这两个平面平行k__/〃a〃B

面面平行如果两个平行平面同时和第a〃B且YAa

的性质定三个平面相交，那么它们的交F\1=a且丫ClB=

理线平行22b=a〃b

线面垂直一条直线和一个平面内的两aca,bea,a

的判定定条相交直线都垂直，则该直线J0b=A,1±a,1

理与此平面垂直±b=>l±Q

线面垂直ab

垂直于同一平面的两条直线a±a,b±a=a

的性质定7

平行z〃b

理

面面垂直

一个平面过另一个平面的垂Aa±a,acB,0a

的判定定a

线，则这两个平面垂直/13

理/V

面面垂直两个平面垂直,则一个平面内%a_LB,b£B,a

/

的性质定垂直于交线的直线与另一个03=a,b±a=>b

理平面垂直A/1a

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3.熟练掌握常见几何体（柱、锥、台、球）的儿何特征，明确各种几何体的直观图与三视图特征及相关

面积体积的计算公式，熟练掌握线线、线面、面面平行与垂直等位置关系的判定与性质定理及公理，熟练

进行线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化是解答相关几何题的基础.

【误区警示】

1.应用线面、面面平行与垂直的判定定理、性质定理时，必须按照定理的要求找足条件.

2.作辅助线（面）是立体几何证题中常用技巧，作图时要依据题设条件和待求（证）结论之间的关系结合

有关定理作图.注意线线、线面、面面平行与垂直关系的相互转化.

a/\b

3.若a、b、。代表直线或平面，△代表平行或垂直，在形如的命题中，要切实弄清有

a/\cA\

a_L

哪些是成立的，有哪些是不成立的.例如a、b、c中有两个为平面，一条为直线，命题〃万

al.pJ

a//a}

是成立的.〃=a〃£是不成立的.

a//P]

卜高频考点突破

考点一空间中点、线、面的位置

例1.已知加〃是两条不同直线，％?是两个不同平面，则下列命题正确的是（）

A.若a,£垂直于同一平面，则a与£平行

B.若m,〃平行于同一平面，则加与〃平行

C.若。，万不平行，则在a内不存在与尸平行的直线

D.若皿，口不平行，则卬与〃不可能垂直于同一平面

解析对于A,a,£垂直于同一平面，a,产关系不确定，A错；对于B,m,n平行于同一平面，m,n

关系不确定，可平行、相交、异面，故B错：对于C,a,产不平行，但a内能找出平行于A的直线，如a

中平行于a,产交线的直线平行于？，故C错；对于D,若假设m,n垂直于同一平面，则其逆否命

题即为D选项，故D正确.

答案D

【变式探究】已知孙〃表示两条不同直线，。表示平面.下列说法正确的是（）

A.若m//a,n//a,则m//n

B.若R_La,nua,则ZB_L〃

C.若而_La,mln,则"〃a

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D.若m//a,mVn,则nX.a

解析对于选项A,若mlta,nila,则m与n可能相交、平行或异面，A错误；显然选项B正确；对

于选项C,若m_La,mln,贝ijnca或n/a,C错误3对于选项D,若mt!a,m_Ln,则n，a或nca或n

与a相交.D错误.故选B.

答案B

考点二空间中平行的判定与垂直

例2.【2017江苏，15]如图，在三棱锥力-腼中，ABLAD,BCX,BD,平面4初上平面8a),点色

F(E与A,〃不重合)分别在棱44BD上,且阮1".

求证：(1)哥1〃平面46a

(2)ADLAC.

【答案】⑴见解析(2)见解析

【解析】证明：(1)在平面A8D内，因为4?，力〃，EF1AD,所以E/AB.

A

又因为EF<Z平面ABC,ABu平面ABC,所以如〃平面ABC.

(2)因为平面平面6(力，

平面ABDC平面BCD=BD,

BCu平面6微BCLBD,

所以8C,平面

因为AOu平面ABO,所以8CJ.AD.

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又4B_L4D,BCCAB=B,ABu平面46C,8Cu平面4%?,

所以平面ABC,

又因为ICu平面

所以4Mle

【变式探究】【2016高考江苏卷】（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱4吐454中，D,«分别为4氏a'的中点，点厂在侧棱区6上，且/

求证：（1）直线庞〃平面4GA

（2）平面氏场_L平面4GE

（第16题）

【答案】（1）详见解析（2）详见解析

【解析】证明：（D在直三棱柱在。-4与。1中，/c"4G

在三角形ABC中，因为D,E分别为AB,BC的中点.

所以于是DE“AG

又因为DEe平面4G尸，4GU平面A^F

所以直线DE//平面4GF

（2）在直三棱柱A8C—4与0中，A41_L平面A|B£

因为AGU平面AB|C1,所以44,_1A£

又因为ACJAA，u平面A3耳u平面A54A，A£A4,=/1,

所以AGJ■平面ABB|A

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因为8Qu平面ABB|A，所以

又因为AGu平面ACF，A尸u平面AGF，4GAF=A

所以平面AC|F

因为直线4。U平面片OE,所以平面gOE1平面4GE

【变式探究】如图，在直三棱柱用C—484中，B^llACVBC,8C=CG.设9的中点为〃，&CCBC\=

求证：(1)然〃平面/4GG

(2)6G_L4瓦

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证明国由题意知，E为BK的中点，

又。为的中点，因此瓦"AC.

又因为平面AA*GC,ACU平面XWiQC,

所以。£“平面她乩式.

⑵因为棱柱ABC-A止Ki是直三棱柱，

所以01平面ABC.

因为ACu平面ABC,所以AClCti.

又因为AC1BC,%u平面58跖BCu平面^型!，孙0=。,

所以AC1平面BCC皿.

又因为BQu平面BCC皿,

所以BQ1AC.

因为BC=CClf

所以矩形6(当是正方形，

因此BQlfliC.

因为/C,瓜比平面比IC,ACCBiC=C,

所以6G_L平面RAC.

又因为ARu平面BMC,

所以比」熊.

【举一反三】【2016高考新课标2理数】如图，菱形A5C。的对角线AC与80交于点。，

A8=5,AC=6,点瓦产分别在49,8上，AE=CF=2,EF交BD于点H.将AOEF沿E尸折到

4

△D'EF位置,OD'=M.

(I)证明：D'H，平面ABC。；

(II)求二面角8—O'A—C的正弦值.

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【答案】（I）详见解析；（H）

【解析】

（I）由已知得AD=CD,又由/E=CF得名=竺，故EF.

ADCD

因此即_LED,从而即_LZTff.由NB=5,，。=6得。。=笈0=，^亡而1=4.

由即“4C得也=必=白.所以Qff=l,D'H=DH=3.

DOAD4

于是D'H1+OH2=32+12=10=D，C»2

板DH工OH.

又DH工即,而OHflEF=H,

所以DR_L平面3CD.

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（II）如图，以H为坐标原点，丽的方向为x轴正方向,建立空间直角坐标系笈-书，则H（0,0,0）,

/(T-L0),5(0-5,0),C(3-1,0),少色0,3),屈=(3,-4,0),就=(6,0,0),石=(3,1,3).

设m=(冯是平面期少的法向量，则(_.，即L八，所以可取洲=(4,3,-5).

LmAD'=0M+M+3ZI=°

/、\n-AC=Qf6x.=0

设MnQiJz.Za)是平面4CD'的法向量，则｛—.，即L,八,所以可取加=(0,-3,1).

nAD'=0[3x2+y1+3z1=0

于是8s箭=高篇=¥'E（风MX甯.因此二面角3-D'/-C的正弦值

m诉

25

【变式探究】如图，己知△/比；〃是48的中点，沿直线切将翻折成△/'CD,所成二面角4

A.AA,际aB.AA'Dff^a

C.N/'C晾aD.N4ga

解析极限思想：若。=口则CB<nr,排除D；若<z=0,如图，则/HDB,N4'⑦都可以

大于0,排除A,C.故选B.

答案B

考点三平面图形的折叠问题

例3、（2016•全国甲卷）如图，菱形4腼的对角线"'与切交于点。，点笈厂分别在445上，AE

=CF,以交班于点〃将△麻沿必1折到△少牙■的位置.

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（2）若4?=5,AC=6,4£=*OD'=272,求五棱锥〃'表的体积.

【解析】（1）证明：由已知得/C13D,AD=CD.

又由花=5得第=若，故月翻现

由此得助故部1电））所以月Cl五H

⑵由W"4C彳端=*=*

由刖=5,NC=6得D0=B0=7AB2Tg4.

r

所以0H-\fDH=DH=3.

于是ODn+附=（2/）2+12=9=。用，

故OD'VOH.

由（1）知，ACLHD',又ACLBD,BDCHD'=H,

所以“"L平面加'，于是1力_如.

又由如'VOH,ACCOH=O,所以如'_L平面力总

「JFDH,.9

又由褶而得""=]

11969

五边形/比7诂的面积5=5*6义8—5乂5乂3=了.

所以五棱锥〃一4?。龙的体积乎X2#=q但.

【方法技巧】

平面图形翻折问题的求解方法

（1）解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量，一般情况下，线段的长度是不变

量，而位置关系往往会发生变化，抓住不变量是解决问题的突破口.

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(2)在解决问题时，要综合考虑折叠前后的图形，既要分析折叠后的图形，也要分析折叠前的图形.

【变式探究】如图1,在正方形/版中，点反尸分别是四，比'的中点，加与跖交于点，，点&R

DGBR

分别在线段加/,加上，且弁=用将△/胆，XCFD,△戚分别沿龙；DF,折起，使点4B,C重合于

(7/7Kn

点尸，如图2所示.

(1)求证：G儿L平面板1；

(2)若正方形465的边长为4,求三棱锥尸一麻的内切球的半径.

解析：(1)证明：在正方形初8中，ZA,4,NC为直角.

，在三棱锥P-DM中，PE,PF,PD两两垂直.

二.PDl平面PEF.

嚼嚼，艮嚼啜，，在△的中，RGIIPD.

，南1平面PEF.

(2)正方形ABCD边长为4.

由题意知，PE=PF=2,PD=\,即=2丑DF=2小.

•e•S^FEf^2，S&DPF=S〉DPli=4.

8断X2y[2X7*\/5~~y12~%—6.

设三棱锥户一吹内切球的半径为八

则三棱锥的体积/-斯=：X)X2X2X4=；(Sw+2Skw+Sw)•r,解得户；.

三棱锥一一叱的内切球的半径为

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真题感悟

1.（2017•全国卷I）如图，在下列四个正方体中，A,8为正方体的两个顶点，MN,0为所在棱的中

点，则在这四个正方体中，直线4?与平面，册Q不平行的是（）

解析:B选项中，4BIIMQ,且口平面MNQ,地口平面乂胆,则ABII平面AfiVO^C选项中，HB〃M0,

且□平面MA9,阳口平面MVg,则48〃平面尺\9；D选项中，ABHNQ,且45口平面闻口

平面MNQ,则AB/平面故选A.

答案：A

2.（2017•山东卷）由四棱柱/腼一464〃截去三棱锥。一5必后得到的几何体如图所示.四边形力时

为正方形，0为AC与BD的交点,£为/。的中点，4氏1平面4阅9.

（1）证明：4。〃平面为口；

⑵设"是阳的中点，证明：平面4EJLL平面A5.

证明：（1）取5〃的中点。，连接C4,44,

由于18（力一464〃是四棱柱，

所以4Q〃笫A,a=OC,

因此四边形40s为平行四边形，所以40〃QC

又acu平面8KB,4a平面反切，

所以40〃平面区6

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⑵因为4c1BD,E,M分别为加和。。的中点，

所以EMLBD,

又4止1平面48CD,BD口平面488,

所以4遮1BD,

因为

所以EMlBiA,AiElBiDi.

又4止，EM□平面由EMAiETiEM=E?

所以S1A1平面/且M

又S1A□平面比CDi,

所以平面4话Ml平面BiCDi.

3.【2017江苏，15]如图，在三棱锥4-及力中，ABVAD,BCX.BD,平面/皮小平面腼，点反F〈E

与4〃不重合）分别在棱/〃，BD上,且£7」/〃

求证：（1）用〃平面力比'；

（2）ADLAC.

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】证明：（1）在平面A3。内，因为四,在，EF1AD,所以EFAB.

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又因为平面力AC,A8u平面49C,所以£F〃平面力纪

(2)因为平面月即1平面颇，

平面ABDn平面BCABD,

5Cu平面以4BC1BD,

所以方C_L平面KSD.

因为/Du平面所以夕C_LAD.

又疑13，BCcAB=B>3u平面板，ECu平面即；，

所以皿1平面ABC,

又因为SCU平面ABC,

所以AD1AC.

1.12016高考浙江理数】已知互相垂直的平面〃/?交于直线］.若直线卬，〃满足机〃则()

A.m//1B.m//nC.〃_!_/I),mln

【答案】C

【解析】由题意知。〃=/,.,./(=/?,故选C.

2.12016高考新课标2理数】是两个平面，"2,〃是两条直线，有下列四个命题：

(1)如果m_1_〃,〃2_1。,〃//尸，那么a_L〃.

(2)如果，〃_La,〃//a,那么加_L〃.

(3)如果a//△加ua,那么机//4.

(4)如果机//〃，。//力，那么相与a所成的角和〃与夕所成的角相等.

其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号)

【答案】②③④

【解析】对于①，mLn,mLa,n///3,则a,夕的位置关系无法确定，故错误；对于②，因为〃〃c,

所以过直线“作平面,与平面夕相交于直线c,贝！］〃〃c,因为m_La,:./n_Lc,.•.〃?_!_”，故②正确；对于

③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的有

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②③④.

3.12016高考浙江理数】如图，在回中，AB=B(=2,N4除120°.若平面4%外的点―和线段/C

上的点。，满足厩%,PB=BA,则四面体7®力的体积的最大值是.

【答案】-

2

【解析】△皿，中，因为加=EC=Z乙仿C=120°,所以NfiKD=NSa=3(r.

由余弦定理可得幺。2=/52+方。2-2疑力。80方=22+22-2X2X2COS1200=12,所以

47=2后.设皿=工，则0<x<2百，PC=2W-x.在&的中，由余弦定理可得

方。2=32+_2和4cos/=，+2?-2x28s3O°=/-2^x+4.故

」。=々-2岳+4.

在APBO中，PD=AD=x,PB=BA=2.

-人■，…m一口PD2+PB2-BD2x2+22-(x2-2y/3x+4)百,,

由余弦定理可得cosNBPD=----------------=-----------------------=>一，所cr以

2PDPB2-X-22

NBPD=30.

由此可得，将aABD沿BD翻折后可与△PBD重合，无论点D在任何位置，只要点D的位置确定，当平

面PBDJ_平面BDC时，四面体PBCD的体积最大(欲求最大值可不考虑不垂直的情况).

过产作直线8。的垂线，垂足为。.设尸。=4,则SAP",=；8Oxd=gpO-P8sinN8P。，

即，JX2-2后x+4xd='x-2sin30,解得d=/”.

226一2氐+4

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而^BCD的面积S=gcr>BCsinNB8=g(2百一x>2sin30=g(2石一x).

当平面PBD_L平面BDC时：

四面体PBCP的体积V=；S=sX，=：x；(2G—x)…*=：：(2、厂)一

33242_2屈+46次一2岳+4

观察上式，易得x(—x)Vx+2坐一」,当且仅当x=2j§—尤，即x=G时取等号，同时我们可

2

以发现当x=6时，J》2一26X+4取得最小值,故当X=J§时，四面体PBCD的体积最大，为g.

4.12016高考新课标1卷】平面a过正方体力〃的顶点4a//平面外〃，al平面ABC代砾al

平面ABB、A、=n,则m、n所成角的正弦值为

(A)B(B)—(0立(1))-

2233

【答案】A

【解析】如图，设平面CflQi。平面ABCD^m',平面CfiRi0平面ABBxAx=n',因为a"平面

SR,所以加成*,则叫〃所成的角等于相，所成的角.过D】作引/与C,交3的延长线

于点E,连接CE,则CE为“.连接4方，过B,作出用/1匈8,交友】的延长线于点及，则与片为曾’.连

接BD,则BD/CE,3用I邓,则*所成的角即为所成的角，为60。，故冽/所成角的正弦

值为当选A.

5.【2016高考新课标3理数】在封闭的直三棱柱ABC—A4G内有一个体积为V的球，若4BL3C,

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A3=6,BC=8,A4,=3,则V的最大值是()

Qjrq2仃

(A)4n(B)——(C)6Ji(D)-——-

23

【答案】B

【解析】要使球的体积。最大，必须球的半径K最大.由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时,

球的半径取得最大值：，此时球的体积为:溷'荻=2"，故选B.

6.12016高考天津理数】已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单

位：m),则该四棱锥的体积为ml

(■II

【答案】2

【解析】由三视图知四棱锥高为3,底面平行四边形的一边长为2,其对应的高为1,

因此所求四棱锥的体积V=1x(2xl)x3=2.故答案为2.

3

1.12015高考浙江，理8】如图，已知A43C,。是A3的中点，沿直线CO将A4co折成AA'CD,

所成二面角A-CO—8的平面角为a,则()

A.ZA'DB<aB.ZA'DB>aC.ZA'CB<aD.ZA'CB<a

【答案】B.

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【解析】设设2=2,则由题意ao=AD=i,在空间图形中，设

A,D2+DB1-AB212+12-?2-?

在&TC5中，ssN/DB=

2/DxDB2x1x12

在空间图形中，过H作/N_LPC,过方作BM_LDC,垂足分别为"，M,

过N作花叱约，连结HP,「.”PJLDC,

则NHAT就是二面角H—CD—5的平面角，

在RtAA'ND中，=ADssNHDC=cos8,A'N=A'DsinZA'DC=sin9,

同理，BM=PN=Aa8,DM=cos0,BP=MN=2cos0,

显然3P_L面/WP,故3P_LHP,

2

在Rt^A'BP中，A/?=A'B-BP2=t2-（2cos0）2=？2-4cos20,

cosa二cosNA,NPZ+优-*sir?6+sM”（户—4c#6）

在AA'NP中,

2ArNxNP2sin6xsine

2+2cos0-t-2-tcos"<91八，八ncos8

----------z-------=z—+—z—=—z—cosNADB+—―

2sirr。2sin~0sin~0sin~0sin~0,

—>0堂NOe=上

Vsin20,sin-0,cosa>cosZA'DB（当2时取等号）,

...a,ZA'OBefO,%］,而旷=3》在［0,万］上为递减函数，...。〈/4刀8,故选区

【考点定位】立体几何中的动态问题

2.12015高考湖南，理10】某工件的三视图如图3所示，现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可

能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用

新工件的体积

原工件的体积

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4(0-IpD12(0-1)3

71

侧视图

【答案】A.

【解析】分析题意可知，问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值，设长方体体的长，宽，高分

别为x,>,h,长方体上底面截圆锥的截面半径为。，则，+尸=（幼尸=32,如下图所示，圆锥的轴

截面如图所示，则可知巴上士=—a,而长方体的体积

12

x24-y2g

y=xyh<-^-h=2a21h=2a2(2-2a)

.IOO1。

<2x(—~—)3=—,当且仅当％=>，a=2—2ana=—时，等号成立，此时利用率为

3273

16

Q

27—,故选A.

1[209万

一九xlx2

3

【考点定位】1.圆锥的内接长方体；2.基本不等式求最值.

3.12015高考福建，理7】若/,〃？是两条不同的直线，加垂直于平面a,则“/J•机”是“///a

的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

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【答案】B

【解析】若,因为m垂直于平面a,贝或，ua；若〃/a,又m垂直于平面a,贝",

所以”是的必要不充分条件，故选B.

4.12015高考四川，理14】如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点

M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点。设异面直线EM与AF所成的角为。，则88。的最大值为.

【答案】|

AF=(1,-,O),E(-,O,O)八小/一八

【解析】建立坐标系如图所示.设A8=l,则22.设则

171

EM=(--,y,D(0,-]

2,由于异面直线所成角的范围为2,所以

2(1-y)

644yl+5[2(1_/_j_町+1

l

44y+54/+5令8y+l=t」WtW9,则

名义=之"当，=1时取等号.所以

"+55

)当歹=0时，取得最大值.

6府石木布5

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5.【2015高考浙江，理13】如图，三棱锥A-BCO中，AB=AC=BD^CD=3,AD=BC=2,

点M,N分别是AO,8c的中点，则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是

【解析】如下图，连结DN,取。射中点尸，连结尸叫PJ则可知々MC即为异面直

PM=-AN=^/2

线3,CM所成角（或其补角）易得2

PC=JPN、CN'=及71=后,CM=4AC1-AM1=2^/2

2x2夜xa8,即异面直线AN,CM所成角的余弦值为8.

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6.12015高考新课标2,理19］（本题满分12分）

如图，长方体ABC£>—44CQ中，A3=16,BC=1（）,A4,=8,点E,尸分别在其4，CR上,

4石=。尸=4.过点E,F的平面。与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.

（I）在图中画出这个正方形（不必说出画法和理由）;

（II）求直线AF与平面。所成角的正弦值.

475

【答案】（I）详见解析；（H）—.

15

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【解析】(I)交线围成的正方形即GF如图：

(H)作垂足为M,则.=4后=4,皿=必=8,因为丽?尸为正方形，所以

Eff=EF=BC=10.于是MH=同五国产=6,所以团=10.以D为坐标原点，应的方向为

工轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系。一孙2,则次1000),"(10,10,0),即048),

n-FE=0,

♦————.

尸(0,4,8),FE=(I0,0,0),班：=(0,Y8).设〃=(x»,z)是平面EffG真的法向蚩，贝=即

产=。，_孤菠万＞卜分=华

+及=。，所以可痴=(。43).又万=(-1。,4,咏故叩回15.所以直

述

线〃与平面区所成角的正弦值为1T.

7.12015江苏高考，16](本题满分14分)

如图,在直三棱柱48。一44。1中，已知47_13。，8。=。6，设44的中点为。，=E.

求证：(1)OE〃平Wl41clC；

(2)BQ±ABf.

【答案】(1)详见解析(2)详见解析

【解析】(1)由三棱锥性质知侧面8用C。为平行四边形,因此点£为8。的中点，从而由三角形中位线

性质得OE//AC,再由线面平行判定定理得。£〃平面A4.GC(2)因为直三棱柱ABC—ABC中

BC=CCi，所以侧面BBC。为正方形，因此B£_LBC，又ACJ.BC,ACICC,(可由直三棱柱推导),

因此由线面垂直判定定理得AC_L平面,从而ACJ.BC},再由线面垂直判定定理得BC,，平面，

进而可得_LAg

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试题解析：（1）由题意知，E为BQ的中点，

又D为AB|的中点，因此DE//AC.

又因为DEZ平面AAJC,ACu平面AA|JC,

所以DE〃平面AA|CQ.

（2）因为棱柱ABC-A]B】G是直三棱柱，

所以eg,平面ABC.

因为ACu平面ABC,所以AC_LCG.

又因为AC_LBC,CGu平面BCGB],BCu平面BCGBi，BCf|CG=C,

所以ACJ_平面BCC1Kl.

又因为BGu平面BCGB]，所以BG-LAC.

因为BC=CG,所以矩形BCGBI是正方形，因此BG，B1c.

因为AC,B1c<=平面耳AC,人€：08£=€：,所以86，平面0八€：.

又因为AB】u平面B|AC,所以BC|_LAB].

8.12015高考浙江，理17】如图，在三棱柱ABC—A4G-中，ABAC=90,AB=AC=2,A,A=4,

A在底面ABC的射影为8c的中点，。为4G的中点.

（1）证明：4口_|_平面48。；

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(2)求二面角A「BD-8|的平面角的余弦值.

【答案】(1)设E为8c的中点，由题意得4E_L平面ABC,AELAE,•••A5=AC,

AAEVBC,故AEL平面ABC,由O,E分别8c的中点，得且

DE=B}B,从而。£〃AA,.•.四边形A4ED为平行四边形，故AO//AE,又1•AEJ.

平面...平面A8C1；(2)作4尸，80,且A尸BD=F,连结57，

由AE=E8=&,ZAyEA=ZA]EB=90,得4B=AA=4,由

AB=B]B,得。DB三ABIDB,由AELB。，得BF工BD,因此乙4,五用为二面角

A—30—4的平面角，由&，AB=4,ZDAlB=90,得80=3上，

41

4尸=4尸=一，由余弦定理得，cosN4FA=——.

38

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1.【2014高考安徽卷理第8题】从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为60°

的共有（）

A.24对B.30对C.48对D.60对

【答案】C

【解析】在正方体松CD—4BO中，与上平面Z'3'C'D'中一条对角线4C'成60*的直线

有5b,B'C,A'D,AD',A'B7AB',ZT共八对直线，与上平面⑷5,C'D'中另一条对角

线60。的直线也有八对直线，所以一个平面中有16对直线，正方体6个面共有16x6对直线，去掉重复，

则有位丝=48对.故选&

2

2.12014辽宁高考理第4题】已知加，〃表示两条不同直线，a表示平面，下列说法正确的是（）

A.若mlla,nJla,班ml/nB.若m_La,〃ua,则〃zJL〃

C.若机_La,m.Ln,则〃