八年级数学竞赛培优及答案 29 几何变换

专题29几何变换

阅读与思考

几何变换是指把一个儿何图形《变换成另一个几何图形6的方法，若仅改变图形的位置，而不改

变图形的形状和大小，这种变换称为合同变换，平移、对称、旋转是常见的合同变换.

平移变换前后的对应线段相等且平行，对应角的两边分别平行且方向一致.

2.对称变换

如图2,将平面图形片变换到与它成轴对称的图形居，这样的几何变换就叫做关于直线/（对称轴）

的对称变换.

对称变换前后的对应线段相等，对应角相等，其对称轴是连结各对应点线段的垂直平分线.

3.旋转变换

如图3,将平面图形耳绕这一平面内一定点M旋转一个定角a,得到图形鸟，这样的变换叫旋转

变换，M叫旋转中心，a叫旋转角.

旋转变换前后的图形是全等的，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段的夹角等于旋转角.

例题与求解

【例1】如图，NAOB=45°,角内有点P,尸0=10,在角的两边上有两点Q,R（均不同于O）,则△PQR

的周长的最小值为.（黄冈市竞赛试题）

解题思路：作P点关于040B的对称点，确定Q,R的位置，化折线为直线，求△PQR的最小值.

\/

P

OB

【例2】如图，尸是等边△ABC的内部一点，ZAPB,ZBPC,/CB4的大小之比是5:6:7,则以力,

PB,PC为边的三角形的三个角的大小之比（从小到大）是（）

A.2:3:4B,3:4:5

C.4:5:6D.不能确定

（全国通讯赛试题）

解题思路：解本例的关键是如何构造以B4,PB,PC为边的三角形，若把△PBC,△PC4中的

任一个，绕一个顶点旋转60°,就可以把以，PB,PC有效地集中在一起.

【例3】如图，在△ABC中，ADJ_BC于。，ZB=2ZC,求证：AB+BD=CD.

（天津市竞赛试题）

解题思路：用截长法或补短法证明，实质都利用AD翻折造全等.

【例4】如图，六边形A8COEF中，AB//DE,BC//FE,CD//AF,对边之差BC-FE=ED-AB=AF-CD

>0,求证：该六边形的各角都相等.

（全俄数学奥林匹克竞赛试题）

解题思路：设法能将复杂的条件8。-在=匹％8=4/00,用一个基本图形表示，题设条件有平行

条件，考虑实施平移变换.

A

B-

D

【例5】已知RtZvWC中，AC=BC,ZACB=90°,ZMC7V=45°

（1）如图1,当A/、N在A8上时，求证：MN2=AM2+BN2

（2）如图2,将NMCN绕C点旋转，当M在区4的延长线时，上述结论是否成立？若成立，请证明;

若不成立，请说明理由.

（天津市中考试题）

解题思路：MN2=+BN2符合勾股定理的形式，需转化为直角三角形可将△ACM沿直线CM对

折，得ADCM.连QN,只需证DN=BN,ZMDN=9Q°；或将△ACM（或△BCM）旋转.

【例6】如图，ND4C=12°,ZDBC=24°,NC48=36°,ZAB£>=48°,求NOCA的度数.

（日本算术奥林匹克试题）

解题思路：已知角的度数都是12的倍数，36°+24°=60°,这使我们想到构作正三角形.

AB

能力训练

1.在如图所示的单位正方形网格中，将△ABC向右平移3个单位后得到△A'B'C,则的度数是

（泰安市中考试题）

2.如图，P是等边△ABC内一点，%=6,PB=S,PC=10,则/APB=.

4k49

3.如图，直线,=-x与双曲线上=一（左＞°）交于点A，将直线,=一%向右平移一个单位后，与双曲

3x32

kAO

线必=之交于点-与X轴交于点C.若一匕=2,则％=.（武汉市中考试题）

xBC

4.如图，△ABC中，/BAC=45°,ADLBC,DB=3,DC=2,则△ABC的面积是.

5.如图，P为正方形内一点，若PA:PB:PC=1:2:3,则NAPB的度数是（）.

A.120°B,135°C.145°D,150°

（第4题）（第5题）（第6题）

6.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线交于点O,把边BA、CD分别绕点B、C同时逆时针旋转60°,

得四边形A'BC。'，下列结论：①四边形A'BC。'为菱形；②S四边形*8。，=35正方形相8；③线段的

长为6—1.其中正确的结论有（）.

A.0个B.1个C.2个D.3个

7.如图，A,8两个电话机离电话线/的距离分别是3米，5米，C/X6米，若由乙上一点分别向A,B

连电话线，最短为（）.

A.11米B.10米C.9米D.8米

8.如图，在aABC中，ZBAC=120°,P是△A8C内一点，若记x=PA+P8+PC,y=AB+AC,

则（）.

A.x<yB.x=yC.x>yD.x与y的大小关系不确定

9.如图，已知。是△ABC中BC边的中点，过。作。E1.OF,分别交48于E,交AC于尸，求证:

BE+CF>EF.

（天津市竞赛试题）

10.如图，△ABC,△A'8'C'其各边交成六边形DEFGHK,且EF//KH,GH//DE,FG//KD,

KH-EF=FG-KD=DE-GH>0.求证：△ABC,△A'B'C'均为为正三角形.

（“缙云杯”邀请赛试题）

BEC

A'

11.如图，已知△ABC中，AB=AC,P,Q分别为AC,AB匕的点，jaAP=PQ=QB=BC,求/PC。

(北京市竞赛试题)

12.如图，已知在平面直角坐标系中，A,B两点的坐标分别为4(2,—3),8(4,-1).

(1)若P(x,O)是X轴上的一个动点，当的周长最短时，求x的值;

(2)若C(a,0),£)(a+3,0)是x轴上的两个动点，当四边形A8CQ的周长最短时，求。的值;

(3)设M,N分别为％轴，y轴上的动点，问：是否存在这样的点M(相,0)和N(0,〃)，使四边形A8MN

的周长最短？若存在，求出机〃的值；若不存在，请说明理由.

(浙江省湖州市中考试题)

13.如图，梯形ABC£＞中，AD//BC,分别以两腰AB,C。为边向两边作正方形45施和正方形〃。户，设

线段力，的垂直平分线改线段E尸于点M,EPL于P,尸。JJ于。，求证：EP=FQ.

(全国初中数学联赛试题)

14.如图所示，已知RfZXABC中，AB=BC,在中，AD=DE,连结EC,取EC中点连结

DM和BM.

（1）若点。在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图1,求证：BM=DM,且BM_LDW；

（2）如图2中的△4£>£绕点4逆时针旋转小于45°的角，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立,

请举出反例；如果成立，请给予证明.

（广州市中考试题）

15.如图，在△ABC中，/BAC=45°,AD_LBC于。，若80=3,8=2,求△ABC的面积.

（山东省竞赛试题）

B3D2C

专题29几何变换

例1IOA/2

例2A提示：将A43尸绕3点顺时针旋转60。得ACBO,则A4所丝强力。，岫PD为等边三角形.

例3提示：延长BZ)至E,使3E=A3,连接AE,NA8C=2NE-

例4提示:过E作ER〃CD过C作CP〃AB,过A作AQ〃£/，则\PQR为等边三角形.

例5⑴如图a,由AQCM丝A4CM则。C=AC,£)M=AM,/OCM=ZACM,NCDM=乙4.又由

CA=CB,得CO=CB,由NDCN=45°-NDCM

得ZDCN=NBCN，又CN=CN,

则SDCN也XBCN，有DN=BN,2CDN=NB

二ZMDN=NCDM+NCDN=NA+NB=90°

MN2=MD1+DN'即MN-=AM2+BN2图agb

(2)关系式：MN"=AM°+BN°仍成立,方法同上,如图b

例6如图，作AACD关于A。所在直线的轴对称图形APD,则

ZAPD=ZACD,ZPAiy=ZCAD=l2,ZE4B=60,AP=AB=AC,连接PB,贝UPAB为正三角，得

NPBD=12,ZDAB=12+36=48=ZDBA,:.AD=BD,PAD=PBD,

故ZAP。=ZBP。=30...ZAC。==30

能力训练

1.45

2.150

3.12提示：如图，设A(agq)过A作AO，x轴，交于点。，过3作BE1x轴，交于点E

由■OZ)BCE,—=—=—=2,则CE=2,BE=-a,B(-+-a,-a)

BCBECE23223

4oni

A,3都在双曲线上，.•；0“=54(1+上/，解得4=3,a,=0(舍去).^=3x4=12

3322

4.15提示：分别以AB,4c为对称轴作。点的对称点及尸，连接FC,EB相交于G,证明四边形AFGE

为正方形

5.B

6.C

7.B

8.D

9.提示：延长皿至G,使。G=FQ,连接EG

10.提示：作EQ//FG,PG//KH,KR//DE,交成等边三角形PQR

11.提示：作CO&8。，连PO,CO,.•.四边形QBCZ)为菱形，DQ=QB,由AP=QB=CD4Q=PC

ZA=NPCD,得—CP=PAQ,PD=PQ=QB=QD,QPZ为等边三角形，

又ZCDP=ZA=ZPQA,ZQPC=2ZA,NQP£>=3ZA=6O

NA=20,NB=ZACB=80

又QB=BC,ZQCB=5()ZPC0=30

A

12.提示：

(1)作B(4,-l)关于x轴对称点9(4,1),连交x轴于P,PAB周长最短，.■.尸(3.5,0)

(2)将点8(4,-1)向左平移3个单位得4(1,-1),再作用关于x的对称点生(1,1),连A2交x轴于C,

再将C向右平移3个单位得点O,25,0),a=1.25

(3)作点A关于y轴对称点A'(-2,-3),作点8关于x轴的对称点夕(4,1),连W9交x轴于M,交y

轴于N.-.^(2.5,0),^(0,--)

13.提示：过N作NQ'HDF，作NP'UAE,作NS//DC,NR//AB.由ZPP'N=ZLNR,RN=AB=AE=P'N

则由PP'N=RtLNR：.PP