中考数学一轮复习考点+题型讲练测第14讲 二次函数的应用（练习）（解析版）

【淘宝店铺：向阳百分百】【淘宝店铺：向阳百分百】【淘宝店铺：向阳百分百】第14讲二次函数的应用目录【淘宝店铺：向阳百分百】TOC\o"1-3"\n\h\z\u题型01最大利润/销量问题题型02方案选择问题题型03拱桥问题题型04隧道问题题型05空中跳跃轨迹问题题型06球类飞行轨迹题型07喷泉问题题型08图形问题题型09图形运动问题题型10二次函数综合问题-线段、周长问题题型11二次函数综合问题-面积周长问题题型12二次函数综合问题-角度问题题型13二次函数综合问题-特殊三角形问题题型14二次函数综合问题-特殊四边形问题【淘宝店铺：向阳百分百】题型01最大利润/销量问题1．（2022·山东青岛·统考中考真题）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？【答案】(1)y=−0.2x+8.4(1≤x≤10且x为整数)．(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．【分析】（1）根据题意列出y=8.2−0.2(x−1)，得到结果．（2）根据销售利润=销售量×（售价-进价），利用（1）结果，列出销售利润w与x的函数关系式，即可求出最大利润．【详解】（1）解：由题意得y=8.2−0.2(x−1)=−0.2x+8.4∴批发价y与购进数量x之间的函数关系式是y=−0.2x+8.4(1≤x≤10，且x为整数)．（2）解：设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w元则w=[12−0.5(x−1)−y]⋅10x=[12−0.5(x−1)−(−0.2x+8.4)]⋅10x=−3∵a=−3<0∴抛物线开口向下∵对称轴是直线x=∴当1≤x≤416时，w的值随∵x为正整数，∴此时，当x=6时，w当416≤x≤10时，w的值随∵x为正整数，∴此时，当x=7时，w∵140>138∴李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．【点睛】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用，最大销售利润的问题常利用二次函数的增减性来解答，解题关键是理解题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案进行解决．2．（2022·四川广元·统考中考真题）为推进“书香社区”建设，某社区计划购进一批图书．已知购买2本科技类图书和3本文学类图书需154元，购买4本科技类图书和5本文学类图书需282元．(1)科技类图书与文学类图书的单价分别为多少元？(2)为了支持“书香社区”建设，助推科技发展，商家对科技类图书推出销售优惠活动（文学类图书售价不变）：购买科技类图书超过40本但不超过50本时，每增加1本，单价降低1元；超过50本时，均按购买50本时的单价销售．社区计划购进两种图书共计100本，其中科技类图书不少于30本，但不超过60本．按此优惠，社区至少要准备多少购书款？【答案】(1)科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．(2)社区至少要准备2700元购书款．【分析】（1）设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，然后根据题意可列出方程组进行求解；（2）设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书m本，则文学类图书有（100-m）本，由（1）及题意可分当30≤m<40时，当40≤m≤50时及当50<m≤60时，进而问题可分类求解即可．【详解】（1）解：设科技类图书的单价为x元，文学类图书的单价为y元，由题意得：2x+3y=1544x+5y=282，解得：x=38答：科技类图书的单价为38元，文学类图书的单价为26元．（2）解：设社区需要准备w元购书款，购买科技类图书m本，则文学类图书有（100-m）本，由（1）可得：①当30≤m<40时，则有：w=38m+26100−m∵12＞0，∴当m=30时，w有最小值，即为w=360+2600=2960；②当40≤m≤50时，则有：w=38−m+40∵-1＜0，对称轴为直线m=26，∴当40≤m≤50时，w随m的增大而减小，∴当m=50时，w有最小值，即为w=−50③当50<m≤60时，此时科技类图书的单价为78−50=28（元），则有w=28m+26100−m∵2＞0，∴当m=51时，w有最小值，即为w=102+2600=2702；综上所述：社区至少要准备2700元的购书款．【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用、一次函数与二次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，注意分类讨论．3．（2021·贵州遵义·统考中考真题）为增加农民收入，助力乡村振兴．某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售，已知草莓的种植成本为8元/千克，经市场调查发现，今年五一期间草莓的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）（8≤x≤40）满足的函数图象如图所示．

（1）根据图象信息，求y与x的函数关系式；（2）求五一期间销售草莓获得的最大利润．【答案】（1）y=−3x+216(8≤x≤32)【分析】（1）分为8≤x≤32和32＜x≤40求解析式；（2）根据“利润＝（售价−成本）×销售量”列出利润的表达式，在根据函数的性质求出最大利润．【详解】解：（1）当8≤x≤32时，设y＝kx＋b（k≠0），则22k+b=15032k+b=120解得：k=−3b=216∴当8≤x≤32时，y＝−3x＋216，当32＜x≤40时，y＝120，∴y=−3x+216(8≤x≤32)（2）设利润为W，则：当8≤x≤32时，W＝（x−8）y＝（x−8）（−3x＋216）＝−3（x−40）2＋3072，∵开口向下，对称轴为直线x＝40，∴当8≤x≤32时，W随x的增大而增大，∴x＝32时，W最大＝2880，当32＜x≤40时，W＝（x−8）y＝120（x−8）＝120x−960，∵W随x的增大而增大，∴x＝40时，W最大＝3840，∵3840＞2880，∴最大利润为3840元．【点睛】点评：本题以利润问题为背景，考查了待定系数法求一次函数的解析式、分段函数的表示、二次函数的性质，本题解题的时候要注意分段函数对应的自变量x的取值范围和函数的增减性，先确定函数的增减性，才能求得利润的最大值．题型02方案选择问题4．（2023·安徽合肥·统考三模）为响应政府巩固脱贫成果的号召，某商场与生产水果的脱贫乡镇签订支助协议，每月向该乡镇购进甲、乙两种水果进行销售，根据经验可知：销售甲种水果每吨可获利0.4万元，销售乙种水果获利如下表所示：销售x（吨）34567获利y（万元）0.91.11.31.51.7(1)分别求销售甲、乙两种水果获利y1（万元）、y2（万元）与购进水果数量(2)若只允许商场购进并销售一种水果，选择哪种水果获利更高？(3)支助协议中约定，商场每个月向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨，且m，n满足n=20−1【答案】(1)y1=0.4x，(2)当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；当进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大；(3)商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元．【分析】（1）通过表格信息建立函数关系式即可；（2）通过购买数量来选择哪种水果即可；（3）建立二次函数关系式，转化为求最值问题即可．【详解】解：（1）由题意得y1在直角坐标系中描出以x,y坐标的对应点，易得y2设y2=kx+b，则解得k=0.2b=0.3∴y（2）当y1=y解得x=1.5；∴当进货数量小于1.5吨时，销售乙种水果获利大；当进货数量等于1.5吨时，销售两种水果获利一样；当进货数量大于1.5吨时，销售甲种水果获利大．（3）当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为m、n吨时，获得利润：w=0.4m+0.2n+0.3=0.4m+0.220−即w=−0.1m2+0.4m+4.3当m=2时，n=18，w有最大值，答：当商场向乡镇购进甲、乙两种水果的数量分别为2和18吨时，获得利润最大为4.7万元．【点睛】本题考查了一次函数二次函数的实际应用，解此题的关键是根据题意熟练掌握函数关系的建立，求出解析式．5．（2023·山东潍坊·统考二模）2023年国际风筝会期间，某经销商准备采购一批风筝，已知用20000元采购A型风筝的只数是用8000元采购B型风筝的只数的2倍，一只A型风筝的进价比一只B型风筝的进价多20元．(1)求一只A，B型风筝的进价分别为多少元？(2)经市场调查发现：A型风筝售价的一半与A型风筝销量的和总是等于130，B型风筝的售价为120元/只．该经销商计划购进A，B型风筝共300只，其中A型风筝m50≤m≤150【答案】(1)一只A型风筝的进价为100元，一只B型风筝的进价为80元；(2)当购进50只A型风筝，80只B型风筝时，销售这批风筝的利润最大，最大利润为13000元．【分析】（1）设一只A型风筝的进价为x元，一只B型风筝的进价为x+20元，根据“用20000元采购A型风筝的只数是用8000元采购B型风筝的只数的2倍”列分式方程，解之即可求解；（2）设销售这批风筝的利润为w元，根据题意得w=−2m−30【详解】（1）解：设一只A型风筝的进价为x元，一只B型风筝的进价为x+20元，根据题意得20000x+20解得x=80，经检验，x=80是所列方程的解，且符合题意，∴x+20=80+20=100，答：一只A型风筝的进价为100元，一只B型风筝的进价为80元；（2）解：设销售这批风筝的利润为w元，根据题意得：w=[2(130−m)−100]m+120−80整理得w=−2m−30∵−2<0，50≤m≤150∴当m=50时，w取得最大值，最大值为13000，此时130−m=130−50=80，答：当购进50只A型风筝，80只B型风筝时，销售这批风筝的利润最大，最大利润为13000元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、二次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）利用二次函数的性质求出最大利润．6．（2020·山西太原·统考模拟预测）垃圾分类作为一个公共管理的综合系统工程，需要社会各个方面共同发力．洛阳市某超市计划定制一款家用分类垃圾桶，独家经销，生产厂家给出如下定制方案：不收设计费，定制不超过200套时．每套费用60元；超过200套后，超出的部分8折优惠．已知该超市定制这款垃圾桶的平均费用为56元1套(1)该超市定制了这款垃圾桶多少套？(2)超市经过市场调研发现：当此款垃圾桶售价定为80/套时，平均每天可售出20套；售价每降低1元．平均每天可多售出2套，售价下降多少元时．可使该超市平均每天销售此款垃圾桶的利润最大？【答案】(1)该超市定制这款垃圾桶300套(2)售价下降7元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大【分析】（1）设该超市定制了这款垃圾桶x套，根据题意，列出方程，即可；（2）设售价下降m元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为y元，根据题意，列出方程，解出方程，即可．【详解】（1）设该超市定制了这款垃圾桶x套，∵56<60，∴x>200，∴60×200+60×x−200解得：x=300，答：该超市定制了这款垃圾桶300套．（2）设售价下降m元，平均每天销售此款垃圾桶的利润为y元，∴y=80−56−my=−2m∵−2<0且0<m<24，∴当m=7时，y有最大值，答：售价下降7元时，平均每天销售此款垃圾桶的利润最大．【点睛】本题考查一元一次方程和二次函数的知识，解题的关键是掌握一元一次方程和二次函数的运用，根据题意，列出等式．7．（2023·江苏南通·统考一模）某商家购进一批产品，成本为10元/件，现有线上和线下两种销售方式，售价均为x元/件（10<x<24）．调查发现，线上的销售量为600件；线下的销售量y（单位：件）与售价x（单位：元/件）满足一次函数关系，部分数据如表：x（元/件）1213141516y（件）120011001000900800(1)求y与x的函数关系式；(2)求当售价为多少元时，线上销售利润与线下销售利润相等；(3)若商家准备从线上和线下两种销售方式中选一种，怎样选择才能使所获利润较大．【答案】(1)y=−100x+2400(2)18元(3)当10<x<18时选择线上销售利润大；当18<x<24时选择线下销售利润大；当x=18时候，两种销售方法利润一样【分析】（1）根据表格可知y与x满足一次函数的关系，再利用待定系数法求得一次函数即可；（2）利用销售利润=销售数量×（销售单价−销售成本），结合题意列代数式，即可解答；（3）根据二次函数的性质和（2）中求得的结果，即可解答．【详解】（1）解：∵y与x满足一次函数的关系，∴设y=kx+bk≠0将x=14,y=1000；x=13,y=1100代入得：14k+b=100013k+b=1100解得：k=−100b=2400∴y与x的函数关系式为：y=−100x+2400；（2）解：根据题意得：线上销售利润为W1线下销售利润为W2当W1=解得x1=18或答：当售价为18元时，线上销售利润与线下销售利润相等；（3）解：由（2）知，当10<x<18时，W1∴当10<x<18时选择线上销售利润大；当18<x<24时，W1∴当18<x<24时选择线下销售利润大．综上，当10<x<18时选择线上销售利润大；当18<x<24时选择线下销售利润大；当x=18时候，两种销售方法利润一样．【点睛】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用（销售问题），能结合题意列出正确的函数关系式是解题的关键．题型03拱桥问题8．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考一模）如图，有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20m，当水位上升3m时，水面宽(1)按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；(2)有一条船以5km/ℎ的速度向此桥径直驶来，当船距离此桥35km，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，当水位达到CD处时，将禁止船只通行．如果该船的速度不变继续向此桥行驶【答案】(1)y=−(2)水面宽是15m【分析】（1）以拱桥最顶端为原点，建立直角坐标系，根据题目中所给的数据设函数解析式为y=ax（2）计算出船行驶到桥下的时间，由这个时间按计算水位上升的高度，从而得出此时水面宽度，再比较就可以求出结论．【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=ax2(a不等于0)，桥拱最高点O到水面CD则D(5,−ℎ)，B(10,−ℎ−3)∴25a=−ℎ100a=−ℎ−3解得a=−1∴抛物线的解析式为y=−1（2）解：由题意，得船行驶到桥下的时间为：35÷5=7小时，水位上升的高度为：0.25×7=1.75米．设此时水面宽为EF，，由（1）知：B10,−4∴F纵坐标为−4+1.75=−2.25，把y=−2.25代入y=−1−2.25=−1解得：x1=−7.5，∴EF=7.5−−7.5∵15m∴船的速度不变，它能安全通过此桥．答：该船的速度不变继续向此桥行驶35km时，水面宽是15【点睛】本题考查了运用待定系数法求二次函数的解析式的运用，行程问题的数量关系的运用，有理数大小的比较的运用，解答时求出函数的解析式是关键．9．（2023·北京房山·统考一模）如图1，某公园在入园处搭建了一道“气球拱门”，拱门两端落在地面上．若将拱门看作抛物线的一部分，建立如图2所示的平面直角坐标系．拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=a(x−ℎ)(1)拱门上的点的水平距离x与竖直高度y的几组数据如下：水平距离x23681012竖直高度y45.47.26.440根据上述数据，直接写出“门高”（拱门的最高点到地面的距离），并求出拱门上的点满足的函数关系y=a(x−ℎ)(2)一段时间后，公园重新维修拱门．新拱门上的点距地面的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=−0.288(x−5)2+7.2，若记“原拱门”的跨度（跨度为拱门底部两个端点间的距离）为d1，“新拱门”的跨度为d2，则d1__________d2【答案】(1)y=−0.2(2)>【分析】（1）由表格得当x=2时，y=4，当x=10时，y=4，从而可求顶点坐标，即可求解；（2）由表格可以直接求出d1，由y=−0.288(x−5)2【详解】（1）解：由表格得：∵6−2=10−6，∴顶点坐标为6,7.2，∴y=a(x−6)∴a(2−6)解得：a=−0.2，∴y=−0.2(x−6)（2）解：由表格得当x=12时，y=0，原拱门中：d1=12（新拱门中：当y=0时，−0.288解得：x1=0，∴d2=∵12>10，∴d故答案：>．【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，理解函数中自变量和应变量的实际意义是解题的关键．10．（2023·广东佛山·校考三模）古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻，中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约1400年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敝肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．(1)某桥A主桥拱是圆弧形（如图①中ABC），已知跨度AC=40m，拱高BD=10m，则这条桥主桥拱的半径是______(2)某桥B的主桥拱是抛物线形（如图②），若水面宽MN=10m，拱顶P（抛物线顶点）距离水面4(3)如图③，某时桥A和桥B的桥下水位均上升了2m【答案】(1)25(2)y=−(3)此时桥A的水面宽度为821m，桥B【分析】（1）设ABC所在圆的圆心为点O，连接OA,OD，则OB⊥AC，AD=CD=20m，再设这条桥主桥拱的半径是rm，则OA=OB=rm，OD=（2）以水面所在直线为x轴，MN的中点为原点O，建立平面直角坐标系，则N5,0（3）根据（1）可得OF=25m,OD=15m,OB⊥FG,DE=2m，利用勾股定理可求出EF的长，再利用垂径定理即可得此时桥A的水面宽度；根据（2）的结论求出y=2【详解】（1）解：如图，设ABC所在圆的圆心为点O，连接OA,OD，

由垂径定理得：点O,D,B共线，则OB⊥AC，AD=CD=1设这条桥主桥拱的半径是rm，则OA=OB=r∴OD=OB−BD=r−10在Rt△AOD中，AD2解得r=25，故答案为：25．（2）解：如图，以水面所在直线为x轴，MN的中点为原点O，建立平面直角坐标系，

由题意得：N5,0则设桥拱抛物线的解析式为y=ax将点N5,0,P0,4代入得：25a+c=0所以桥拱抛物线的解析式为y=−4（3）解：如图，桥A中，由（1）可知：OF=25m

由题意得：OB⊥FG,DE=2m∴OE=17m在Rt△EOF中，EF=由垂径定理得：FG=2EF=821即此时桥A的水面宽度为821如图，桥B中，y=−4

当y=2时，−4解得x=522所以此时桥B的水面宽度为52答：此时桥A的水面宽度为821m，桥B的水面宽度为【点睛】本题主要考查了垂径定理的应用、二次函数的应用等知识点，熟练掌握垂径定理和二次函数的性质是解题关键．题型04隧道问题11．（2022·北京通州·统考一模）如图1是某条公路的一个单向隧道的横断面．经测量，两侧墙AD和与路面AB垂直，隧道内侧宽AB＝4米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面AB上取点E，测量点E到墙面AD的距离和到隧道顶面的距离EF．设AE=x米，EF=y米．通过取点、测量，工程人员得到了x与y的几组值，如下表：x（米）00.51.01.52.02.53.03.54.0y（米）3.003.443.763.943.993.923.783.423.00(1)隧道顶面到路面AB的最大高度为______米；(2)请你帮助工程人员建立平面直角坐标系，描出上表中各对对应值为坐标的点，画出可以表示隧道顶面的图象．(3)今有宽为2.4米，高为3米的货车准备在隧道中间通过（如图2）．根据隧道通行标准，其车厢最高点到隧道顶面的距离应大于0.5米．结合所画图象，请判断该货车是否安全通过：______（填写“是”或“否”）．【答案】(1)3.99(2)见解析(3)是【分析】（1）根据二次函数的对称性可知：当x=2时，y有最大值；（2）根据题意，以点A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立直角坐标系；（3）在y=−0.2475x−22+3.99中，令x=0.8【详解】（1）解：根据二次函数的对称性可知：当x=2时，y有最大值为3.99；故答案为：3.99；（2）解：如图，建立直角坐标系，（3）解：将D(0,3)代入y=ax−24a+3.99=3，解得：a=−0.2475，∴抛物线的表达式为y=−0.2475x−2在y=−0.2475x−22+3.99y=−0.24750.8−23.6336−3=0.6336>0.5∴车厢最高点到隧道顶面的距离大于0.5米，∴该货车能安全通过；故答案为：是．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合、理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法是解题的关键．12．（2023·河南信阳·二模）2023年3月15日新晋高速全线通车，它把山西往河南路程由2小时缩短为1小时前期规划开挖一条双向四车道隧道时，王师傅想把入口设计成抛物线形状（如图），入口底宽AB为16cm，入口最高处OC为12.8(1)求抛物线解析式；(2)王师傅实地考察后，发现施工难度大，有人建议抛物线的形状不变，将隧道入口往左平移2m，最高处降为9.8(3)双向四车道的地面宽至少要15米，则（2）中的建议是否符合要求？【答案】(1)抛物线解析式为y=−0.2(2)抛物线解析式为y=−0.2(3)不符合要求，理由见解析【分析】（1）根据图形和题意设出抛物线解析式，再把A点坐标代入解析式即可；（2）根据平移的性质求抛物线解析式即可；（3）令（2）中解析式的y=0，解方程即可．【详解】（1）由图知，此抛物线对称轴为y轴，顶点坐标C(0,12.8)，故设抛物线解析式为y=ax把A点坐标代入解析式得：64a+12.8=0，解得a=−0.2，∴抛物线解析式为y=−0.2x（2）由题意可知，抛物线向左平移2m，向下平移使最高点降为9.8∴抛物线解析式为y=−0.2(x+2)（3）（2）中的建议不符合要求，理由：令y=−0.2x2+0.8x+9则−0.2x整理得x2解得x1=−5，∴x∵14<15，∴（2）中的建议不符合要求．【点睛】本题考查二次函数的应用，关键是求出函数解析式．题型05空中跳跃轨迹问题13．（2022·河北保定·统考二模）如图，某跳水运动员进行10米跳台跳水训练，水面边缘点E的坐标为−32,−10．运动员（将运动员看成一点）在空中运动的路线是经过原点O的抛物线．在跳某个规定动作时，运动员在空中最高处A

(1)求运动员在空中运动时对应抛物线的解析式并求出入水处B点的坐标；(2)若运动员在空中调整好入水姿势时，恰好距点E的水平距离为5米，问该运动员此次跳水会不会失误？通过计算说明理由；(3)在该运动员入水点的正前方有M，N两点，且EM=212，EN=272，该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=a（x−ℎ）2+k，且顶点C距水面4米，若该运动员出水点【答案】(1)y=−54(2)该运动员此次跳水失误了，理由见解析(3)1【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a0x−12+54（2）求出距点E水平距离为5米的点的纵坐标即可进行判断；（3）分别求出当抛物线经过点M、N时的a的值即可．【详解】（1）解：设抛物线的解析式为y=将0,0代入解析式得：a∴抛物线的解析式为y=−令y=−10，则−10=−解得：x∴入水处B点的坐标4（2）解：距点E的水平距离为5米，对应的横坐标为：x=5−将x=72∵−∴该运动员此次跳水失误了（3）解：∵EM=212，EN=272∴点M、N的坐标分别为：9,−10∵该运动员入水后运动路线对应的抛物线解析式为y=a（x−ℎ）y=a(x−∴当抛物线经过点M时，把点M9,−10代入得：a=同理，当抛物线经过点N12,−10时，a=由点D在MN之间可得：1【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用．涉及了抛物线的顶点式、求抛物线上的点的坐标等．熟记二次函数的相关形式是解题关键．14．（2023·山东青岛·统考二模）跳台滑雪简称：“跳雪”，选手不借助任何外力，从起滑台P处起滑，在助滑道PE上加速，从跳台E处起跳，最后落在山坡MN或者水平地面上．运动员从P点起滑，沿滑道加速，到达高度OE=42m的E点后起跳，运动员在空中的运动轨迹是一条抛物线．建立如图所示平面直角坐标系，OM=38m，ON=114m，设MN

甲运动员起跳后，与跳台OE水平距离xm、竖直高度y水平距离x010203040竖直高度y4248504842(1)求甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式；(2)运动员得分由距离得分＋动作分＋风速得分组成．距离得分：运动员着陆点到跳台OE水平距离为50m，即得到60分，每比50m远1米多得2分；反之，当运动员着陆点每比50m近1米扣2分．距离分计算采取“2舍3入法”，如60.2米计为60米，60.3动作得分：由裁判根据运动员空中动作的优美程度打分．风速得分：由逆风或者顺风决定．甲运动员动作分、风速加分如下表：距离分动作分风速加分50−2.5请你计算甲运动员本次比赛得分．【答案】(1)y=−(2)127.5分【分析】（1）利用待定系数法可得结论；（2）先确定MN的解析式，联立一次函数和二次函数的解析式，解方程组可得x的值，代入到总分的式子即可算出．【详解】（1）解：∵抛物线经过点10,48，30,48∴对称轴是：直线x=10+30∴顶点坐标为：20,50，设甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式为：y=ax−20将代入得0,42代入得：a0−202+50=42∴甲运动员空中运动轨迹抛物线的关系式为：y=−1（2）解：∵OM=38∴M(0,设MN的解析式为y=kx+b，∴b=38114k+b=0，解得k=−∴MN的解析式为y=−1当−1解得：x1=60，则60+2×60−50∴甲运动员本次比赛得分127.5分．【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键在于：会用待定系数法求解析式、能求出与x轴的交点．15．（2023·河南开封·统考一模）某校开展“阳光体育”活动，如图①是学生在操场玩跳长绳游戏的场景，在跳长绳的过程中，绳甩到最高处时的形状是抛物线型，如图②所示是以点O为原点建立的平面直角坐标系（甲位于点O处，乙位于x轴的D处），正在甩绳的甲、乙两名同学握绳的手分别设为A点、B点，且AB的水平距离为6米，他们到地面的距离AO与BD均为0.9米，绳子甩到最高点C处时，最高点距地面的垂直距离为1.8米．(1)请求出该抛物线的解析式；(2)跳绳者小明的身高为1.7米，当绳子甩到最高处时，求小明站在距甲同学多远时，绳子刚好过他的头顶上方；(3)经测定，多人跳长绳时，参与者同方向站立时的脚跟之间距离不小于0.4米时才能安全起跳，小明与其他3位同学一起跳绳，如果这3名同学与小明身高相同，通过计算说明他们是否可以安全起跳？【答案】(1)y=−0.1(2)小明站在距甲2米或4米时，绳子刚好过他的头顶上方(3)他们可以安全起跳，理由见解析【分析】（1）根据题意可知抛物线顶点的坐标为3,1.8，可设抛物线的解析式为y=ax−32+1.8，将点A（2）将y=1.7代入y=−0.1x−32+1.8（3）由（2）可知当y=1.7时，x1=2，x2=4，可以站立跳绳的距离为4−2=2米，小明与其他3位同学一起跳绳需要站立的最短距离为【详解】（1）解：由题意设抛物线的解析式为y=ax−3将点A0,0.9代入y=ax−32∴该抛物线的解析式是y=−0.1x−3（2）解：将y=1.7代入y=−0.1x−3解得x1=2，∴小明站在距甲2米或4米时，绳子刚好过他的头顶上方．（3）解：他们可以安全起跳，理由如下：当y=1.7时，x1=2，∴可以站立跳绳的距离为4−2=2米，又∵4−1×0.4=1.2∴1.2<2，∴他们可以安全起跳．【点睛】本题考查了求二次函数的表达式，和二次函数的实际应用，利用待定系数法求出二次函数的表达式是解答本题的关键．题型06球类飞行轨迹16．（2023·陕西西安·交大附中分校校考一模）卡塔尔世界杯完美落幕．在一场比赛中，球员甲在离对方球门30米处的O点起脚吊射（把球高高地挑过守门员的头顶，射入球门），假如球飞行的路线是一条抛物线，在离球门14米时，足球达到最大高度8米．如图所示，以球员甲所在位置O点为原点，球员甲与对方球门所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．(1)求满足条件的抛物线的函数表达式；(2)如果葡萄牙球员C罗站在球员甲前3米处，C罗跳起后最高能达到2.88米，那么C罗能否在空中截住这次吊射？【答案】(1)y=−(2)能【分析】（1）根据题意得出二次函数的顶点坐标，进而求出二次函数解析式；（2）将x=3代入函数表达式，与2.88相比较即可得出答案．【详解】（1）解：由题意可得，足球距离点O(30−14)=16米时，足球达到最大高度8米，设抛物线解析式为：y=a(x−16)把(0,0)代入解析式得：0=a(0−16)解得：a=−1故抛物线解析式为：y=−1（2）当x=3时，y=−1故C罗能在空中截住这次吊射．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，正确求出二次函数解析式是解题关键．17．（2022·山东青岛·统考一模）手榴弹作为一种威力较大，体积较小，方便携带的武器，在战争中能发挥重要作用，然而想把手榴弹扔远，并不是一件容易的事．军训中，借助小山坡的有利地势，小刚在教官的指导下用模拟弹进行一次试投：如图所示，把小刚投出的手榴弹的运动路线看做一条抛物线，手榴弹飞行的最大高度为12米，此时它的水平飞行距离为6米，山坡OA的坡度为1:3．(1)求这条抛物线的表达式；(2)山坡上A处的水平距离OE为9米，A处有一棵树，树高5米，则小刚投出的手榴弹能否越过这棵树？请说明理由；(3)求飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是多少米．【答案】(1)抛物线的解析式为y=−13x2+4(2)能越过，理由见解析；(3)12112【分析】（1）设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+12，将点（0，0）代入，求出a，得到抛物线解析式；（2）由坡比求出AE，将x=9代入函数解析式，与3+5=8比较可得结论；（3）由（2）知A的坐标为（9，3），求出直线OA的解析式，作直线MNy轴，交抛物线于点M，交直线OA于点N，设点M（x，−13x2+4x），则点N的坐标为（x，13x），求出MN=-13x2+4x-1【详解】（1）解：由题意设抛物线的解析式为y=a（x-6）2+12，将点（0，0）代入，得36a+12=0，解得a=−1∴抛物线的解析式为y=−13（x-6）2+12=−13x（2）能越过，理由如下：∵山坡OA的坡度为1:3，∴AE：OE=1：3，∵OE=9米，∴AE=3米，当x=9时，y=−13（9-6）∵3+5=8<9，∴小刚投出的手榴弹能越过这棵树；（3）由（2）知A的坐标为（9，3），∴直线OA的解析式为y=1作直线MNy轴，交抛物线于点M，交直线OA于点N，设点M（x，−13x2+4x），则点N的坐标为（x，1∴MN=-13x2+4x-13x=∴当x=112时，MN有最大值，最大值为121∴飞行的过程中手榴弹离山坡的最大高度是12112【点睛】此题考查了求二次函数的解析式，二次函数的最值，二次函数的性质，属于二次函数的综合题，正确掌握二次函数的知识是解题的关键．18．（2022·浙江台州·统考二模）鹰眼系统能够追踪、记录和预测球的轨迹，如图分别为足球比赛中某一时刻的鹰眼系统预测画面（如图1）和截面示意图（如图2），攻球员位于点O，守门员位于点A，OA的延长线与球门线交于点B，且点A，B均在足球轨迹正下方，足球的飞行轨迹可看成抛物线．已知OB=28m，AB=8m，足球飞行的水平速度为15m/s，水平距离s（水平距离=水平速度×时间）与离地高度h的鹰眼数据如下表：s/m…912151821…h/m…4.24.854.84.2…(1)根据表中数据预测足球落地时，s=m；(2)求h关于s的函数解析式；(3)守门员在攻球员射门瞬间就作出防守反应，当守门员位于足球正下方时，足球离地高度不大于守门员的最大防守高度视为防守成功．已知守门员面对足球后退过程中速度为2.5m/s，最大防守高度为2.5m；背对足球向球门前进过程中最大防守高度为1.8m．①若守门员选择面对足球后退，能否成功防守？试计算加以说明；②若守门员背对足球向球门前进并成功防守，求此过程守门员的最小速度．【答案】(1)30(2)ℎ=−(3)①守门员不能成功防守；说明见解析；②守门员的最小速度为359m/【分析】（1）由函数图象顶点坐标信息可得答案；（2）由数据表得抛物线顶点（15，5），设解析式为ℎ=a(s−15)（3）①设守门员到达足球正下方的时间为ts．由题意得15t=20+2.5t，解得t=85，再计算足球此时的高度即可；②由题意判断：当h=1.8m且守门员刚好到达足球正下方时，此时速度最小．再求解此时足球飞行的水平距离s=27m【详解】（1）解：由函数图象信息可得：顶点坐标为：15，所以预测足球落地时，s=30.故答案为：30（2）解：由数据表得抛物线顶点（15，5），故设解析式为ℎ=a(s−15)把（12，4.8）代入ℎ=a(s−15)2+5所以解析式为ℎ=−1（3）解：设守门员到达足球正下方的时间为ts．①由题意得15t=20+2.5t，解得t=85，即s=24m把s=24代入解析式得ℎ=165，而所以守门员不能成功防守．②当h=1.8m且守门员刚好到达足球正下方时，此时速度最小．所以把h=1.8代入解析式得：1.8=−解得：s=27或s=3（不合题意舍去）所以足球飞行时间t=2715=95所以守门员速度为359m/s【点睛】本题考查的是二次函数的实际应用，利用待定系数法求解二次函数的解析式，理解题意，明确函数图象上点的横坐标与纵坐标的含义是解本题的关键．19．（2023·河北衡水·统考二模）如图，春节期间，某同学燃放一种手持烟花，烟花弹的飞行路径是一段抛物线，喷射出时距地面2米，在与他水平距离是20米，达到最大高度18米时爆炸．若是哑弹（在空中没有爆炸的烟花弹），会继续按原有的抛物线飞落，在他的正前方33米处有一栋高15米的居民楼（截面矩形ABCD与抛物线在同一平面上）．(1)求抛物线的解析式（不必写出x的取值范围），请通过计算说明若是哑弹，会落在几层居民楼的外墙或窗户上（每层楼高按3米计算）；(2)该同学沿x轴负半轴至少后退几米，才能避免哑弹落在居民楼的外墙或窗户上？（结果保留根号）(3)若居民楼宽AB=CD=12m，该同学沿x轴向居民楼走n米，可使哑弹落在楼顶CD上（不含点C，D），直接写出n【答案】(1)y=−0.04x−20(2)该同学沿x轴负半轴至少后退152(3)13−5【分析】（1）依题意，设y=ax−202+18，将点0,2代入，待定系数法求解析式，将x=33代入求得y=（2）设抛物线解析式为y=−0.04x−20+m2+18（3）该同学沿x轴向居民楼走n米，则抛物线解析式为：y=−0.04x−20−n2+18，根据题意求得点D【详解】（1）解：依题意，设y=ax−202+1820解得：a=−0.04，∴抛物线解析式为y=−0.04∵D33,15当x=33时，y=−0.0433−20∵9<11.24<12，每层楼高按3米计算，∴若是哑弹，会落在4层居民楼的外墙或窗户上；（2）设该同学沿x轴负半轴后退mm>0米，则抛物线解析式为y=−0.04x−20+m将33,0代入得，0=−0.0433−20+m解得：m=152−13或该同学沿x轴负半轴至少后退152（3）∵AB=CD=12，D33,15∴C45,15该同学沿x轴向居民楼走n米，则抛物线解析式为：y=−0.04将点D33,15，C得15=−0.0433−20−n2+18，解得：n=13−515=−0.0445−20−n2+18，解得：n=25−5∴13−5【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．20．（2023·北京海淀·统考二模）小明发现某乒乓球发球器有“直发式”与“间发式”两种模式．在“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线．如图1和图2分别建立平面直角坐标系xOy．

通过测量得到球距离台面高度y（单位：dm）与球距离发球器出口的水平距离x（单位：dm）的相关数据，如下表所示：表1

直发式x02468101620…y3.843.9643.96m3.642.561.44…表2

间发式x024681012141618…y3.36n1.680.8401.402.4033.203…根据以上信息，回答问题：(1)表格中m=________，n=________；(2)求“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式；(3)若“直发式”模式下球第一次接触台面时距离出球点的水平距离为d1“间发式”模式下球第二次接触台面时距离出球点的水平距离为d2，则d1【答案】(1)3.84，2.52(2)y=−0.01(3)=【分析】（1）根据直发式”模式下，表1数据，可知对称轴为直线x=4，根据对称性即可求得m的值，根据在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，待定系数法求直线解析式，进而将x=2代入即可求解．（2）根据题意设抛物线解析式为y=ax−42+4（3）令y=0，即−0.01x−42+4=0，得出d1=24，设抛物线解析式为y1=ax−162+3.20，将点【详解】（1）解：∵直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；由表1数据，可知对称轴为直线x=4，∴当x=8时的函数值与x=0时的函数值相等，∴m=3.84，∵在“间发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条直线，设直线解析式为y=kx+b，将点0,3.36，4,1.68代入得，b=3.364k+b=1.68解得：k=−0.42b=3.36∴y=−0.42x+3.36，当x=2时，y=−0.42×2+3.36=2.52，故答案为：3.84，2.52．（2）“直发式”模式下，球从发球器出口到第一次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线；由（1）可得对称轴为x=4，顶点坐标为4,4，设抛物线解析式为y=ax−42+4得，3.84=16a+4解得：a=−0.01∴抛物线解析式为y=−0.01（3）解：∵“直发式”模式下，球第一次接触台面前的运动轨迹的解析式为y=−0.01x−4令y=0，即−0.01x−4解得x=−16（舍去）或x=24∴d1∵在“间发式”模式下，球第一次接触台面到第二次接触台面的运动轨迹近似为一条抛物线，由表2可得抛物线的顶点坐标为16,3.20设抛物线解析式为y1=ax−16得，0=64a+3.20解得：a=−0.05∴抛物线解析式为y令y=0，即−0.05x−16解得x=8（舍去）或x=24∴d2∴d1故答案为：=．【点睛】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，熟练掌握待定系数法求二次函数解析式是解题的关键．题型07喷泉问题21．（2022·北京西城·统考一模）要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，记喷出的水与池中心的水平距离为xm，距地面的高度为ym．测量得到如下数值：x/m00.511.522.533.37y/m2.443.153.493.453.042.251.090小腾根据学习函数的经验，发现y是x的函数，并对y随x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：(1)在平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点x,y，并画出函数的图象；(2)结合函数图象，出水口距地面的高度为_______m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为_______m（结果保留小数点后两位）；(3)为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，如果只调整水管的高度，其他条件不变，结合函数图象，估计出水口至少需要_______（填“升高”或“降低”）_______m（结果保留小数点后两位）．【答案】(1)见解析；(2)出水口距地面的高度为2.44m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.20m；(3)出水口至少需要降低0.52m．【分析】（1）根据表格中的数据，描点，连线画出图象；（2）设y=ax²+bx+2.44，将点(1，3.49)，(2，3.04)代入求出解析式，然后求出对称轴即可；（3）根据水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，得出a，b不变，只有c改变，将x=3.2代入求解即可．【详解】（1）如图所示：（2）由图象可得：当x=0时，y=2.44，∴c=2.44，设y=ax²+bx+2.44，将点(1，3.49)，(2，3.04)代入得：3.49=a+b+2.443.04=4a+2b+2.44，解得：a=−0.75∴y=-0.75x²+1.8x+2.44，∴抛物线的对称轴为：x=−b∴y=-0.75×1.2²+1.8×1.2+2.44=3.52，∴出水口距地面的高度为2.44m，水达到最高点时与池中心的水平距离约为1.20m；（3）为了使水柱落地点与池中心的距离不超过3.2m，此时y=ax²+bx+c中，a，b不变，只有c改变，∴y=-0.75×3.2²+1.8×3.2+c，解得c=1.92，2.44-1.92=0.52(m)，∴出水口至少需要降低0.52m．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，解题的关键是数形结合并熟练掌握待定系数法．22．（2023·安徽亳州·统考二模）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形DEFG．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离OD为dm．当OH=1.5m，DE=3m，EF=0.5m时，解答下列问题：(1)①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程OC；②求出点B的坐标；(2)要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围．【答案】(1)①y=−18(2)2≤d≤2【分析】（1）①设函数解析式为y=ax−22+2，利用待定系数法求出函数解析式，令y=0，求出抛物线与x轴的交点坐标，即可得出结论；②利用对称轴得到点H0,1.5的对称点为（2）根据EF=0.5，求出点F的坐标，利用增减性可得d的最大值和最小值，从而得出答案．【详解】（1）解：①由题意，得A2,2是上边缘抛物线的顶点，设y=a∵上边缘抛物线过点H0,1.5∴1.5=4a+2，解得a=−1∴上边缘抛物线的函数解析式为y=−1当y=0时，−18x−22+2=0∴点C的坐标为6,0，∴喷出水的最大射程OC为6m；②由①知，上边缘抛物线的对称轴为直线x=2，∴点H0,1.5的对称点为4,1.5∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4m得到的．又∵点C的坐标为6,0，∴点B的坐标为2,0；（2）∵EF=0.5，∴点F的纵坐标为0.5，∴0.5=−1解得x=2±23∵x>0，∴x=2+23当x>2时，y随x的增大而减小，∴当2<x≤6时，要使y≥0.5，则x≤2+23∵当0≤x≤2时，y随x的增大而增大，且x=0时，y=1.5>0.5，∴当0≤x≤6时，要使y≥0.5，则0≤x≤2+23∵DE=3，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，∴d的最大值为2+23由下边缘抛物线可知，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是d≥OB，∴d的最小值为2．综上所述，d的取值范围是2≤d≤23【点睛】本题考查二次函数的实际应用．正确的求出函数解析式，利用二次函数的性质进行求解，是解题的关键．题型08图形问题23．（2022·湖南湘潭·统考中考真题）为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21(1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE=1m的水池且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG(2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？【答案】(1)CG长为8m，DG长为4m(2)当BC=72m时，围成的两块矩形总种植面积最大=1474【分析】（1）两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，再由矩形面积公式求解；（2）设两块矩形总种植面积为y，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，围成的两块矩形总种植面积最大=BC×DC，代入有关数据再把二次函数化成顶点式即可.【详解】（1）解：两块篱笆墙的长为12m，篱笆墙的宽为AD=GH=BC=(21-12)÷3=3m，设CG为am，DG为(12-a)m，那么AD×DC-AE×AH=32即12×3-1×（12-a）=32解得：a=8∴CG=8m，DG=4m．（2）解：设两块矩形总种植面积为ym2，BC长为xm，那么AD=HG=BC=xm，DC=(21-3x)m，由题意得，两块矩形总种植面积=BC×DC即y=x·(21-3x)∴y=-3x2+21x=-3(x-72)2+∵21-3x≤12∴x≥3∴当BC=72m时，y最大=1474m【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意找到等量关系列出方程．24．（2020·山东日照·中考真题）如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）y=−6【分析】（1）由题意易得AM＝2ME，故可直接得证；（2）由（1）及题意得2AB+GH+3BC＝100，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2即可得出函数关系式．【详解】解：（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，∴ME＝BE，AM＝GH．∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMDND＝2S矩形MEFN，∴AM＝2ME，∴AE＝3BE；（2）∵篱笆总长为100m，∴2AB+GH+3BC＝100，即2AB+1∴AB=40−设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，则y=BC⋅AB=x40−∵AB=40−6∴EB=40解得x＜100∴y=−6【点睛】本题主要考查二次函数的实际应用，关键是根据题意得到线段的等量关系，然后列出函数关系式即可．25．（2023·广东肇庆·统考一模）如图，抛物线y=ax2+3x+c(a≠0)与x轴交于点A(−2,0)和点B，与y轴交于点C(0,8)，点P为直线BC上方抛物线上的动点，连接CP,PB，直线BC与抛物线的对称轴l(1)求抛物线的解析式；(2)求直线BC的解析式；(3)求△BCP的面积最大值．【答案】(1)抛物线的解析式为y=−(2)y=−x+8(3)△BCP的面积最大值为32【分析】（1）把点A(−2,0)，C(0,8)代入抛物线，利用待定系数法即可求解；（2）根据抛物线的解析式，令y=0，可求出抛物线与x轴的交点，根据待定系数法即可求解；（3）如图所示，过点P作PG∥y轴交BC于G，设Pt,−12t2+3t+8，则【详解】（1）解：将A(−2,0)，C(0,8)代入y=ax∴4a−6+c=0c=8，解得a=−∴抛物线的解析式为y=−1（2）解：令y=0，则−12x2+3x+8=0∴B(8,0)，且C(0,8)，设直线BC的解析式为y=kx+b，∴b=88k+b=0，解得k=−1∴直线BC的解析式为y=−x+8．（3）解：如图所示，过点P作PG∥y轴交BC于G，设Pt,−12∴PG=−1∴S△CBP∴当t=4时，△BCP的面积有最大值，最大值为32，∴△BCP的面积最大值为32．【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数的综合，掌握待定系数法求解析式，函数图像的性质特点及面积的计算方法是解题的关键．26．（2023下·湖北武汉·九年级校联考期中）春回大地，万物复苏，又是一年花季到．某花圃基地计划将如图所示的一块长40m，宽20m的矩形空地划分成五块小矩形区域．其中一块正方形空地为育苗区，另一块空地为活动区，其余空地为种植区，分别种植A，B，C三种花卉．活动区一边与育苗区等宽，另一边长是10m．A，B，C三种花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元、4百元．(1)设育苗区的边长为xm，用含x的代数式表示下列各量：花卉A的种植面积是_____m2，花卉B的种植面积是______m2，花卉C的种植面积是_______(2)育苗区的边长为多少时，A，B两种花卉的总产值相等？(3)若花卉A与B的种植面积之和不超过560m2，求A，B，【答案】(1)(x2−60x+800)；(2)32m或10m(3)168000元【分析】（1）根据正方形和长方形的面积计算公式可直接得到答案；（2）根据A，B两种花卉的总产值相等建立一元二次方程，解方程即可得到答案；（3）先根据花卉A与B的种植面积之和不超过560m2建立不等式，得到x≥8，再设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，得到y关于【详解】（1）解：∵育苗区的边长为xm，活动区的边长为10m，∴花卉A的面积为：40−x20−x=(x花卉B的面积为：x40−x−10=(−x花卉C的面积为：x20−x=(−x故答案为：(x2−60x+800)；(−（2）解：∵A，B花卉每平方米的产值分别是2百元、3百元，∴A，B两种花卉的总产值分别为2×x2−60x+800∵A，B两种花卉的总产值相等，∴200×x∴x2解方程得x=32或x=10，∴当育苗区的边长为32m或10m时，A，B两种花卉的总产值相等；（3）解：∵花卉A与B的种植面积之和为：x2−60x+800+−∴−30x+800≤560，∴x≥8，∵设A，B，C三种花卉的总产值之和y百元，∴y=2x∴y=−5x∴y=−5(x−5)∴当x≥8时，y随x的增加而减小，∴当x=8时，y最大，且y=−5(8−5)故A，B，C三种花卉的总产值之和的最大值168000元．【点睛】本题考查一元二次方程和二次函数的应用，解题的关键是根据题意建立正确的方程和函数表达式．题型09图形运动问题27．（2023·江苏苏州·统考一模）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=3cm，BC=4cm．点P从点A出发，以1cm/s的速度沿AB运动：同时，点Q从点B出发，以2cm/s的速度沿BC运动．当点Q到达点C(1)当t为何值时，△PBQ的面积为2cm(2)求四边形PQCA面积的最小值．【答案】(1)t=1s或2s时，△PBQ的面积为(2)四边形PQCA面积的最小值为154【分析】（1）利用两点运动的速度表示出PB，BQ的长，进而表示出△PBQ的面积S△PBQ（2）利用配方法求出函数顶点坐标求得△PBQ面积的最大值，即得四边形PQCA面积的最小值．【详解】（1）解：由题意得：PB=3−tcm，S△PBQ由题意得：−t解得t=1或t=2，∴t=1s或2s时，△PBQ的面积为（2）解：∵S△PBQ=−t∵−1<0，∴当t=32s时，△PBQ此时，四边形PQCA面积取得最小值，最小值为12【点睛】此题是三角形和二次函数的综合题，主要考查了动点运动问题，三角形的面积，二次函数的应用，难度适中，正确表示出PB，28．（2021下·吉林·九年级统考阶段练习）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，P，Q两点同时从C出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿CB向终点B运动；点Q以每秒1个单位长度的速度沿CA向终点A运动，以CP，CQ为邻边作矩形CPMQ．当点P停止运动时，点Q继续向终点A运动．设点Q的运动时间为t秒．（1）在点P的运动过程中，CQ＝________，BP＝________（用含t的代数式表示）；（2）当点M落在AB边上时，t＝_________s；（3）设矩形CPMQ与△ABC重合部分图形的面积为S，求S与t之间的函数关系式；【答案】（1）t，4—2t；（2）43；（3）【分析】（1）根据路程、速度、时间的关系即可求解；（2）先由运动知CP=2t，BP=4−2t，CQ=t，AQ=4−t，再判断出ΔAQM∽ΔACB得出比例式，建立方程即可得出结论；（3）分三种情况，当0<t⩽43时，直接是矩形的面积，当43【详解】解：（1）∵点P以每秒2个单位长度的速度沿CB向终点B运动，点Q以每秒1个单位长度的速度沿CA向终点A运动，∴CP=2t，CQ=t，∵AC=BC=4，∴BP=4−2t，故答案为：t，4−2t；（2）∵CP=2t，CQ=t，∴AQ=AC−CQ=4−t，BP=4−2t，∵四边形CPMQ是矩形，∴QM=CP=2t，当点M在边AB上时，∵QM//BC，∴ΔAQM∽ΔACB，∴AQAC∴4−t4∴t=4故答案为：43（3）当0<t⩽4∵CQ=t．，CP=2t．∴S=CP⋅CQ=2t⋅t=2t当43设QM与AB相交于点D，设PM与AB相交于点E．则PE=PB=4−2t，∴ME=MD=t−(4−2t)=3t−4．∴S==−5当2<t⩽4时，如图③，设QM与AB相交于点D．则MD=ME=t．∴S=S综上所述：S={2【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．29．（2023·山东青岛·统考一模）如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，动点P从点D出发沿DA向终点A运动，同时动点Q从点A出发沿对角线AC向终点C运动．过点P作PE∥DC，交AC于点E，动点P、Q的运动速度是每秒1个单位长度，当点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动．设运动时间为(1)当E、Q重合时，求t的值；(2)设四边形BQPE的面积为S，当线段PE在点Q右侧时，求出S与t之间的函数关系式；(3)当BE∥PQ时，求(4)是否存在这样的点P和点Q，使P、Q、E为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)t=(2)S=2740(3)0或4(4)存在；2827或43或20【分析】（1）根据运动的特点有：AQ=t，PD=t，AP=AD−PD=4−t，当E、Q重合时，由PE∥DC，可得APAD（2）过Q点作QM⊥AD于M点，作QN⊥AB于N点，延长PE交BC于点F，（3）根据运动的特点，矩形的性质以及平行线分线段成比例的知识，可表示出FC=PD=t，PF=CD=3，BF=AP=4−t，PE=12−3t4，EF=34t，QM=35t，QN=45t，EC=54（4）在（1）、（2）中得出：AP=4−t，AQ=PD=t，EC=54t，PE=12−3t4，进而可得AE=AC−CE=5−5t4，QE=AE−AQ=5−9t4，第一大类：当点PE在点Q右侧时，分当QE=PE时；当QP=PE时，过P点作PT⊥QE于T点；当PQ=QE时，过P点作QG⊥PE于G点，三种情况讨论；第二大类：当点PE在点Q左侧时，此时△PEQ是钝角三角形，则只有PE=QE一种情况，由AE=5−【详解】（1）在矩形ABCD中，AB=CD=3，BC=AD=4，AD⊥CD，则有：AC=A根据运动的特点有：AQ=t，PD=t，∴AP=AD−PD=4−t，当E、Q重合时，如图，∵PE∥∴APAD∴4−t4=t即当E、Q重合时，t=20（2）过Q点作QM⊥AD于M点，作QN⊥AB于N点，延长PE交BC于点F，如图，根据运动的特点有：AQ=t，PD=t，即AP=AD−PD=4−t，在矩形ABCD中，由PE∥DC可得：四边形PDCF、四边形∴FC=PD=t，PF=CD=3，BF=AP=4−t，∵PE∥∴APAD即：4−t4∴PE=12−3t∴EF=PF−PE=3−12−3t∵QM⊥AD，CD⊥AD，∴QM∥∴AQAC=QM∴QM=3同理可得：QN=45t∵S△AQP=12×AP×QM，S△AQB=∴S△AQP=12×4−t×35∵S四边形∴代入整理，可得：S=S∵线段PE在点Q右侧，∵在（1）中求得当E、Q重合时，t=20∴0≤t＜即：S=2740t（3）当t≠0时，如图，∵PQ∥∴∠PQE=∠BEQ，∴180°−∠PQE=180°−∠BEQ，∴∠PQA=∠BEC，在矩形ABCD中，有AD∥∴∠PAQ=∠BCE，∴△PAQ∽△BCE，∴APAQ∵在（2）中得到EC=54t∴4−tt解得：t=45，或者经检验，t=0是方程的增根，舍去；当t=0时，此时点Q与A点重合，P点与D点重合，则有E点与C点重合，∴此时有：PQ∥综上：当BE∥PQ时，t=4（4）在（1）、（2）中得出：AP=4−t，AQ=PD=t，EC=54t∴AE=AC−CE=5−5t∴QE=AE−AQ=5−5t第一大类：当点PE在点Q右侧时，当QE=PE时，即有：12−3t4解得：t=43当QP=PE时，过P点作PT⊥QE于T点，如图，∵PT⊥QE，QP=PE，∴QT=TE=1∴AT=AQ+QT=t+5∵cos∠DAC=∴在Rt△APT中，cos∴52解得：t=28经检验，t=28即此时t=28当PQ=QE时，过P点作QG⊥PE于G点，如图，∵QG⊥PE，PQ=QE，∴PG⊥GE，即G点为PE中点，∵PE∥CD，∴PE⊥AD，∴QG∥∴QEAQ∴QE=AQ，∴t=5−9t解得：t=20第二大类：当点PE在点Q左侧时，此时△PEQ是钝角三角形，则只有PE=QE一种情况，如图，∵AE=5−5t4，∴QE=AQ−AE=t−5−∵PE=12−3t4，∴9t4解得t=8此时存在t=8综上所述：t的值可以为：2827或43或2013【点睛】此题属于相似三角形的综合题，涉及的知识有：二次函数，锐角三角函数，矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，平行线的性质以及等腰三角形的性质，利用了数形结合及分类讨论的数学思想，分类讨论时要做到不重不漏，考虑问题要全面．30．（2023·吉林长春·校考模拟预测）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=6cm．动点P从点A出发，以1cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交直线AC于点Q，以PQ为边向左侧作矩形PQMN，使QM=3PQ．设矩形PQMN与△ABC

(1)当点Q在边AC上时，求QM的长（用含t的代数式表示）；(2)当点M在边BC上时，求t的值；(3)求S与t之间的函数关系式．(4)连接BQ，沿直线BQ将矩形PQMN剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形时，直接写出t的值．【答案】(1)QM=3t(2)t=(3)S=(4)t=67或t=3【分析】（1）由题意可知：AP=tcm，再根据特殊角的锐角三角函数即可求出PQ=3t（2）画出图形，由矩形的性质得出MN=PQ=3tcm，PN=QM=3tcm．再根据特殊角的锐角三角函数可求出BN=MN=3tcm，由AB=AP+PN+BN（3）分类讨论：①当0<t≤67时，此时，矩形PQMN与ΔABC重叠部分图形的面积S=矩形PQMN的面积，利用矩形的面积公式解答即可；②当67≤t<32时，此时，矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积S=五边形PQEFN的面积，利用直角三角形的边角关系定理求得ME，MF的长度，利用S=S矩形PQMN−S△MEF解答即可；③当（4）分类讨论：①当点P在C点左侧时，根据题意可判断MG=NG，即易证△QMG≌△BNGASA，得出QM=BN=PN=3tcm，最后列出关于t的等式，解出t即可；②当点Q和点C重合时，即得出AB=AP+BP，列出关于t的等式，解出t即可；③当点P在C点右侧时，根据题意可判断PB=BN=12PN，从而可求出32t【详解】（1）解：由题意可知AP=tcm∵∠A=60°，PQ⊥AB，∴PQ=tan∵QM=3∴QM=3tcm（2）解：如图，

∵四边形PQMN为矩形，∴MN=PQ=3t，∵∠C=90°，∠A=60°，∴∠B=30°，∴BN=MN∴AB=AP+PN+BN=(t+3t+3t)，∵AB=6cm∴t+3t+3t=4，解得：t=6（3）解：①当0<t≤67时，此时，矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积S=矩形∴S=PQ⋅QM=3t×3②当67≤t<

设矩形PQMN与BC交于点E，F，此时，矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积S=五边形PQEFN的面积，由题意：∠A=60°，AB=3，AP=t，QM=3t，∴AC=3，AQ=2t，∴CQ=3−2t，∵QM∥∴∠CQE=∠A=60°，∴EQ=CQ∴EM=QM−EQ=3t−(6−4t)=7t−6．∵∠MEF=∠CEQ=30°，∴MF=ME⋅tan∴S==3=3=−31∴S=−31③当32≤t≤6时，如图，设PQ交BC于点E，此时，矩形PQMN与△ABC重叠部分图形的面积S为

由题意：∠A=60°，AB=3，AP=t，∴BP=AB−AP=6−t，∠B=30°，∴PE=BP⋅tan∴S====3综上，S与t之间的函数关系式为：S=3（4）解：①如图，当点P在C点左侧时，如图，

∵沿直线BQ将矩形PQMN剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形，∴MG=NG，又∵∠QMG=∠BNG=90°，∠QGM=∠BGN，∴△QMG≌△BNGASA∴QM=BN=PN=3t，∴AB=7t，∴7t=6，解得：t=6②如图，当点Q和点C重合时，此时，点N与点B重合，

∴PB=QM=3t，∵AB=AP+BP=t+3t=4t，∴4t=6，解得：t=3③如图，当点P在C点右侧时，此时，点Q在AC的延长线上，

∵沿直线BQ将矩形PQMN剪开的两部分可以拼成一个无缝隙也不重叠的三角形，∴PB=BN=1∵PQ=3∴PN=QM=3∴PB=3∵AB=AP+BP=5∴52解得：t=12综上可知，t的值为67或32或【点睛】本题主要考查了矩形的性质，直角三角形的性质，特殊角的三角函数值，直角三角形的边角关系定理，分类讨论的思想方法，此题是动点问题，利用含t的代数式表示出相应线段的长度是解题的关键．题型10二次函数综合问题-线段、周长问题31．（2022·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)，点B(3,0)，与y(1)求抛物线的表达式；(2)在对称轴上找一点Q，使△ACQ的周长最小，求点Q的坐标；(3)点P是抛物线对称轴上的一点，点M是对称轴左侧抛物线上的一点，当△PMB是以PB为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点M的坐标．【答案】(1)y=(2)（1，-2）(3)（-1，0）或（1−2，-2）或（1−【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）先求出点C的坐标和抛物线的对称轴，如图所示，作点C关于直线x=1的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），根据轴对称最短路径可知AE与抛物线对称轴的交点即为点Q；（3）分两种情况当∠BPM=90°和当∠PBM=90°两种情况讨论求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线y=ax2+bx−3(a≠0)与x轴交于点A(−1,0)∴a−b−3=09a+3b−3=0∴a=1b=−2∴抛物线解析式为y=x（2）解：∵抛物线解析式为y=x2−2x−3=x−12∴抛物线对称轴为直线x=1，点C的坐标为（0，-3）如图所示，作点C关于直线x=1的对称点E，连接AE，EQ，则点E的坐标为（2，-3），

由轴对称的性质可知CQ=EQ，∴△ACQ的周长=AC+AQ+CQ，要使△ACQ的周长最小，则AQ+CQ最小，即AQ+QE最小，∴当A、Q、E三点共线时，AQ+QE最小，设直线AE的解析式为y=k∴−k∴k