5.1.1复数的概念课件高一下学期数学北师大版

第五章复数

复数的概念情

境

引

入

复数系统在科学上的作用可大了，没有复数，便没有电磁学，便没有量子力学，便没有近代文明！

—陈省身（1911-2004）有理数集计数的需要引入了自然数自然数集整数集实数集刻画相反意义的量引入了负数引入了分数引入了无理数解决度量正方形对角线等问题角度一：解决实际问题的需要探究新知

数是人类文明进程中的伟大创造.随着实际和运算的需要，经过长时间的发展，人们逐步把数从自然数扩充到有理数、实数.解决测量等分问题在自然数集中，方程

有解吗?在整数集中，方程

有解吗?在有理数集中，方程

有解吗?在实数集中，方程

有解吗?角度二：解方程的需要扩充到整数集呢?扩充到有理数集呢?扩充到实数集呢?自然数整数有理数实数负整数分数无理数？在数自身的发展中，求解方程是数系扩充的重要动力.

方程

有没有解?

我们知道，方程

在实数集中无解.

从方程的角度看，

能不能开平方?

联系从自然数集到实数集的扩充过程，我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，这个方程有解呢?

虽然负数的开方运算是由求一元二次方程的解引发的，但迫使人们认真对待却是因为求一元三次方程的解.

1545年意大利数学家卡尔达诺(GirolamoCardano，1501—1576)出版著作《重要的艺术》，书中在讨论一元三次方程的求根公式时，无可避免地导致求解负数的平方根.探究新知思考交流思考：数系经历了四次扩充，扩充的基本原则是什么?2.原数集中的运算性质仍然成立;1.增加新元素;

数系的扩充就像移动通讯技术的发展一样，保留原有功能，并不断更新换代，以满足人们对于移动网络更高标准的需要.移动电话收发短信收发图文移动视频万物互联3.新数系能解决旧数系中的矛盾.数系的5G时代是什么?日常生活中有什么也是不断更新换代的?

依照这种思想，为了解决

这样的方程在实数集中无解的问题，我们设想引入一个新数

，使得

是方程

的解，即使得

.

解决问题欧拉(L.Euler，1707-1783)

1777年，瑞士数学家欧拉在其论文中首次用符号“”表示

，称为虚数单位.解决问题你能利用新数

的定义解方程

吗？

把新引进的数

添加到实数集中，我们希望数

和实数之间仍然能像实数那样进行加法和乘法运算，并希望加法和乘法都满足交换律、结合律，以及乘法对加法满足分配律.那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成呢?形成概念（1）把实数

与

相乘，结果记作

;（2）把实数

与

相加，结果记作

;

所有实数以及

都可写成

的形式，从而这些数都在扩充后的新数集中，我们把形如

的数叫作复数.复数的概念复数的代数形式形成概念全体复数所构成的集合

叫作复数集.我们把形如

的数叫作复数，其中

叫作虚数单位.复数通常用字母

表示,即

.其中

称为复数的实部，记作

；

称为复数的虚部，记作

.注意：虚部是

，不是.复数集虚数集纯虚数集实数集复数的分类当且仅当

时，它是实数，当且仅当

时，它是虚数，当且仅当

时，它是实数0;对于复数当且仅当

时，它是纯虚数.形成概念当且仅当

时，它是非纯虚数.非纯虚数集练习

判断下列复数哪些是实数，纯虚数，非纯虚数？

，

与

能比较大小么？两个复数相等若两个复数相等，则它们的实部和虚部分别相等！

在复数集中的两个数

，

形成概念答：虚数不能比较大小，只有相等或不相等；实数可以比较大小.即：

.

当且仅当

能比较大小么?两个复数思考：例深化概念思考：自然数集

，整数集

，有理数集

，实数集

，复数集

之间有什么关系?例题讲解例1说出下列三个复数的实部、虚部，并指出它们是实数还是虚数，如果是虚数，请指出是否为纯虚数.(1)

；(2)

；(3).解

它是虚数，但不是纯虚数.(1)

的实部与虚部分别是

和

，(2)

的实部与虚部分别是

和

，它是虚数，而且是纯虚数.(3)

的实部与虚部分别是

和

，它是实数.例3解一元二次方程.例题讲解例2设

，求

的值.

解

由复数相等的定义，得解方程组，得解

，但在复数集中有解.课堂练习1.当实数

分别取什么值时，复数

（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数；（4）是0?解

（1）当

，即

或

时，复数

是实数；（2）当

，即

且

时，复数

是虚数；（3）当

且

时，即

时，复数

是纯虚数；（4）当

且

时，即

时，复数

是0.由复数相等的定义，得课堂练习2.设

，求

的值.

解

解得

或3.

若

，求实数

的值.

解