吉林省长春市绿园区2023-2024学年七年级下学期7月期末考试数学试题

2023-2024学年吉林省长春市绿园区七年级（下）期末数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）方程2x﹣4＝0的解是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C． D．2．（3分）如图，从一个平衡的天平两边分别加上一个砝码，天平仍平衡（）A．如果a＝b，那么a+c＝b+c B．如果a＝b，那么a﹣c＝b﹣c C．如果a＝b，那么ac＝bc D．如果a＝b，那么a2＝b23．（3分）不等式2x＞3x+1的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．4．（3分）如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框ABCD，这样做的数学根据是（）A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．同角的余角相等 D．三角形具有稳定性5．（3分）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（）A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是6．（3分）如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是（）A．6 B．8 C．10 D．127．（3分）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为（）A．22.5° B．45° C．60° D．135°8．（3分）如图，将四边形CDFE沿AB折叠一下，如果CD∥EF，那么∠2是（）A．110° B．115° C．120° D．130°二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）已知4x+y＝6，用含x的代数式表示y，则y＝．10．（3分）若是方程x+ay＝3的一个解，则a的值为．11．（3分）不等式x﹣9＞3x﹣5的最大整数解是．12．（3分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题，这道题大意是：快马每天行320里，慢马先行10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马．13．（3分）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠ACP＝50°，则∠P＝°．14．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△A′B′C，且点A在边A′B′上．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）解方程：．16．（6分）解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集．17．（6分）已知一个n边形的内角和是1260°，求这个多边形的边数．18．（7分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，线段CD平分∠ACB，求∠B的度数．19．（7分）已知关于x、y的方程xa﹣2﹣2ya﹣b+3＝1是二元一次方程，求（a﹣b）3的值．20．（7分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，在图①、图②、图③中画出不同的△DEF，使△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称．21．（8分）列二元一次方程组解决图形探究问题．如图，用八块相同的长方形拼成一个宽为48cm的大长方形，则每块小长方形的长和宽分别是多少cm？22．（9分）如图，已知△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转α°（0°＜α°＜90°）后所得的图形，∠AOD＝5∠COB＝90°．（1）求∠AOC的度数；（2）求证：OC平分∠ACD．23．（10分）某电器商店销售每台进价分别为190元、160元的A、B两种型号的电饭锅，如表是近两天的销售情况：销售时段销售数量利润A种型号B种型号第一天2台6台500元第二天5台7台770元（1）求A、B两种型号电饭锅的销售单价分别是多少；（2）现超市准备再次采购这两种型号的电饭锅共40台且全部售出后，利润不低于2660元，求A种型号的电饭锅至少要采购多少台？24．（12分）如图，在长方形ABCD中，AB＝4，沿折线AB﹣BC以每秒2个单位的速度向点C运动，同时点Q从点C出发，当点P到达点C时，点P、Q同时停止运动．设点P的运动时间为t秒．（1）当点P在边BC上运动时，PB＝（用含t的代数式表示）；（2）当点P与点Q重合时，求t的值；（3）当BQ＝2PB时，求t的值；（4）若点P关于点B的中心对称点为点P′，直接写出△PDP′的面积是△QDC面积的一半时t的值．

2023-2024学年吉林省长春市绿园区七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）方程2x﹣4＝0的解是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C． D．【分析】解形如ax﹣c＝0形式的一元一次方程的一般步骤是：移项、系数化为1．【解答】解：移项得：2x＝4，系数化6得：x＝2，故选：A．【点评】本题考查解一元一次方程，掌握一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项和系数化为1是关键．2．（3分）如图，从一个平衡的天平两边分别加上一个砝码，天平仍平衡（）A．如果a＝b，那么a+c＝b+c B．如果a＝b，那么a﹣c＝b﹣c C．如果a＝b，那么ac＝bc D．如果a＝b，那么a2＝b2【分析】从一个平衡的天平两边分别加上一个砝码，天平仍平衡，根据等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式，可得：如果a＝b，那么a+c＝b+c．【解答】解：从一个平衡的天平两边分别加上一个砝码，天平仍平衡，那么a+c＝b+c．故选：A．【点评】此题主要考查了等式的性质和应用，解答此题的关键是要明确：（1）等式两边加同一个数（或式子），结果仍得等式．（2）等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．3．（3分）不等式2x＞3x+1的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【分析】本题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，先根据不等式的性质：先移项，然后合并同类项即可解得不等式，进而在数轴上表示解集，即可求解．【解答】解：移项得，2x﹣3x＞4，合并同类项得，﹣x＞1，解得：x＜﹣1，在数轴上表示如图，故选：B．【点评】本题考查的是解一元一次不等式及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解题的关键．4．（3分）如图所示，工人师傅在砌门时，通常用木条BD固定长方形门框ABCD，这样做的数学根据是（）A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．同角的余角相等 D．三角形具有稳定性【分析】三角形具有稳定性，由此即可得到答案．【解答】解：工人师傅在确门时，通常用木条BD固定长方形门纸ABCD，这样做的数学根据是三角形具有稳定性．故选：D．【点评】本题考查三角形的稳定性，关键是掌握三角形的稳定性．5．（3分）王老汉要将一块如图所示的三角形土地平均分配给两个儿子，则图中他所作的线段AD应该是△ABC的（）A．角平分线 B．中线 C．高线 D．以上都不是【分析】根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答．【解答】解：由三角形的面积公式可知，三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分，∴他所作的线段AD应该是△ABC的中线，故选：B．【点评】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分是解题的关键．6．（3分）如图是用边长相等的正三角形和正多边形两种地砖铺设的部分地面示意图，则这种正多边形地砖的边数是（）A．6 B．8 C．10 D．12【分析】根据平面镶嵌的条件，先求出正n边形的一个内角的度数，再根据内角和公式求出n的值．【解答】解：设正多边形地砖的边数是n，则正边形的一个内角＝（360°﹣60°）÷2＝150°，则150°n＝（n﹣2）•180°，解得n＝12．故选：D．【点评】本题考查了平面镶嵌，体现了学数学用数学的思想，掌握多边形的内角和公式是解题的关键．7．（3分）我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，如图1所示，其轮廓是一个正八边形，景色宛如镶嵌于一个画框之中．图2是八角形窗户的示意图，它的一个外角∠1的大小为（）A．22.5° B．45° C．60° D．135°【分析】由多边形的外角和定理直接可求出结论．【解答】解：∵正八边形的每一个外角都相等，外角和为360°，∴它的一个外角∠1＝360°÷8＝45°．故选：B．【点评】本题考查了多边形外角和定理，平面镶嵌等知识点，掌握外角和定理是解题的关键．8．（3分）如图，将四边形CDFE沿AB折叠一下，如果CD∥EF，那么∠2是（）A．110° B．115° C．120° D．130°【分析】由CD∥EF得到∠DAG＝∠1＝130°，由轴对称的性质得到∠GAB＝∠DAB，即可求出∠DAB＝∠DAG＝65°，而∠2+∠DAB＝180°，即可得到答案．【解答】解：∵CD∥EF，∴∠DAG＝∠1＝130°，由题意得：∠GAB＝∠DAB，∴∠DAB＝∠DAG＝65°，∵∠2+∠DAB＝180°，∴∠2＝180°﹣65°＝115°．故选：B．【点评】本题考查角的计算，关键是掌握轴对称的性质．二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）已知4x+y＝6，用含x的代数式表示y，则y＝﹣4x+6．【分析】把x看作已知数求出y即可．【解答】解：方程4x+y＝6，解得：y＝﹣7x+6．故答案为：﹣4x+2．【点评】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y．10．（3分）若是方程x+ay＝3的一个解，则a的值为﹣1．【分析】根据二元一次方程的解的定义解决此题．【解答】解：由题意得：2+a×（﹣1）＝5．∴a＝﹣1．故答案为：﹣1．【点评】本题主要考查二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解决本题的关键．11．（3分）不等式x﹣9＞3x﹣5的最大整数解是﹣3．【分析】先求出不等式的解集，再求出最大整数解即可．【解答】解：x﹣9＞3x﹣7，移项，合并同类项得，系数化为1得，x＜﹣2，∴不等式x﹣8＞3x﹣5的最大整数解是﹣7．故答案为：﹣3．【点评】本题考查解一元一次不等式．熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．12．（3分）元朝朱世杰所著的《算学启蒙》中，记载了这样一道题，这道题大意是：快马每天行320里，慢马先行10天，快马几天可追上慢马？若设快马x天可追上慢马320x＝200（x+10）．【分析】由慢马先行10天，可得出快马追上慢马时慢马行了（x+10）天，利用路程＝速度×时间，结合快马追上慢马时快马和慢马行过的路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解．【解答】解：∵慢马先行10天，快马x天可追上慢马，∴快马追上慢马时，慢马行了（x+10）天．根据题意得：320x＝200（x+10）．故答案为：320x＝200（x+10）．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．13．（3分）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∠ACP＝50°，则∠P＝30°．【分析】根据角平分线的定义以及一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和，可求出∠P的度数．【解答】解：∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，∴∠ABP＝∠CBP＝20°，∠ACP＝∠MCP＝50°，∵∠PCM是△BCP的外角，∴∠P＝∠PCM﹣∠CBP＝50°﹣20°＝30°，故答案为：30°．【点评】本题考查了三角形外角性质以及角平分线的定义，解题时注意：一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．14．（3分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△A′B′C，且点A在边A′B′上50°．【分析】根据三角形内角和定理可得∠BAC的度数，根据旋转的性质，可得△A′AC是等腰三角形，由此即可求解．【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣25°＝65°，∵△ABC绕点C旋转得到△A′B′C，∴∠A′＝∠BAC＝65°，CA′＝CA，∴∠CAA′＝∠A＝65°，在△CAA′中，∠A′CA＝180°﹣（∠A′+∠CAA′）＝180°﹣（65°+65°）＝50°，∴旋转角的度数为50°，故答案为：50°．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的运用，掌握旋转的性质是解题的关键．三、解答题（本大题共10小题，共78分）15．（6分）解方程：．【分析】利用去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程即可．【解答】解：原方程去分母得：4（2x+2）﹣3（x﹣3）＝12，去括号得：5x+4﹣3x+2＝12，移项，合并同类项得：5x＝﹣1，系数化为7得：x＝．【点评】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．16．（6分）解不等式组：，并在数轴上表示出它的解集．【分析】先求出每一个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再在数轴上进行表示即可．【解答】解：，由①得：x＞﹣2；由②得：x≤8；∴不等式组的解集为：﹣2＜x≤3；数轴表示解集如图：【点评】本题考查求不等式组的解集，并用数轴表示解集，解题的关键是掌握不等式组的解法．17．（6分）已知一个n边形的内角和是1260°，求这个多边形的边数．【分析】设边数为n，由多边形内角和公式可列方程，可求得边数．【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意可得：（n﹣2）×180°＝1260°，解得n＝9．答：这个多边形的边数为3．【点评】本题主要考查多边形的内角和，掌握多边形的内角和公式是解题的关键，即多边形的内角和＝（n﹣2）180°．18．（7分）如图，在△ABC中，∠A＝70°，线段CD平分∠ACB，求∠B的度数．【分析】由角平分线的定义可得∠ACD＝∠BCD＝32°，由三角形的内角和可求得∠ADC的度数，再利用三角形的外角性质即可求∠B的度数．【解答】解：∵∠BCD＝32°，线段CD平分∠ACB，∴∠ACD＝∠BCD＝32°，∴∠ADC＝180°﹣∠A﹣∠ACD＝78°，∵∠ADC是△BCD的外角，∴∠B＝∠ADC﹣∠BCD＝46°．【点评】本题主要考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚各角的关系．19．（7分）已知关于x、y的方程xa﹣2﹣2ya﹣b+3＝1是二元一次方程，求（a﹣b）3的值．【分析】根据二元一次方程的定义，可列方程组求解，再代入代数式求值．【解答】解：依题意，得，解得，故（a﹣b）3＝（﹣2）3＝﹣8．【点评】此题考查了二元一次方程定义，掌握二元一次方程的定义是解题的关键．20．（7分）图①、图②、图③均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点称为格点，在图①、图②、图③中画出不同的△DEF，使△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称．【分析】根据轴对称的性质作图即可．【解答】解：如图所示．【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．21．（8分）列二元一次方程组解决图形探究问题．如图，用八块相同的长方形拼成一个宽为48cm的大长方形，则每块小长方形的长和宽分别是多少cm？【分析】设矩形的长为xcm，宽为ycm，根据题意，可列得方程组，解方程组即可求解．【解答】解：设矩形的长为xcm，宽为ycm，根据题意得，，解得，答：矩形的长为36cm，宽为12cm．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找到等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．22．（9分）如图，已知△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转α°（0°＜α°＜90°）后所得的图形，∠AOD＝5∠COB＝90°．（1）求∠AOC的度数；（2）求证：OC平分∠ACD．【分析】（1）由旋转的性质可得∠AOC＝∠BOD＝α°，OA＝OC，由角的数量关系可求解；（2）由旋转的性质可得OA＝OC，△OAB≌△OCD，由等腰三角形的性质和全等三角形的性质可得∠A＝∠OCA＝∠OCD．【解答】（1）解：∵∠AOD＝5∠COB＝90°，∴∠COB＝18°，∵△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转后所得的图形，∴∠AOC＝∠BOD＝α°，OA＝OC，∵∠AOD＝∠AOC+∠COB+∠BOD＝α°+18°+α°＝90°，∴α°＝36°，∴∠AOC＝36°；（2）证明：∵△COD是△AOB绕点O顺时针方向旋转后所得的图形，∴OA＝OC，△OAB≌△OCD，∴∠A＝∠OCA，∠OCD＝∠A，∴∠OCA＝∠OCD，∴OC平分∠ACD．【点评】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键．23．（10分）某电器商店销售每台进价分别为190元、160元的A、B两种型号的电饭锅，如表是近两天的销售情况：销售时段销售数量利润A种型号B种型号第一天2台6台500元第二天5台7台770元（1）求A、B两种型号电饭锅的销售单价分别是多少；（2）现超市准备再次采购这两种型号的电饭锅共40台且全部售出后，利润不低于2660元，求A种型号的电饭锅至少要采购多少台？【分析】（1）设A种型号电饭锅的销售单价是x元，B种型号电饭锅的销售单价是y元，利用总利润＝每台A种型号电饭锅的销售利润×A种型号电饭锅的销售量+每台B种型号电饭锅的销售利润×B种型号电饭锅的销售量，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出结论；（2）设采购m台A种型号的电饭锅，则采购（40﹣m）台B种型号的电饭锅，利用总利润＝每台A种型号电饭锅的销售利润×购进A种型号电饭锅的数量+每台B种型号电饭锅的销售利润×购进B种型号电饭锅的数量，结合总利润不低于2660元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．【解答】解：（1）设A种型号电饭锅的销售单价是x元，B种型号电饭锅的销售单价是y元，根据题意得：，解得：．答：A种型号电饭锅的销售单价是260元，B种型号电饭锅的销售单价是220元；（2）设采购m台A种型号的电饭锅，则采购（40﹣m）台B种型号的电饭锅，根据题意得：（260﹣190）m+（220﹣160）（40﹣m）≥2660，解得