《数字信号处理》课件1第2章

第2章离散时间信号与系统的频域分析2.1

Z变换

2.2逆Z变换

2.3

Z变换的性质与定理

2.4离散时间傅里叶变换

2.5离散时间系统的频域分析

习题

2.1

Z变换

2.1.1

Z变换的定义和收敛域

1.定义

序列x(n)的Z变换定义为

式中，z是一个复变量，所在的复平面称为Z平面，如图2.1.1所示。(2.1.1)图2.1.1

Z平面若采用极坐标形式，则有

z=rejω

其中，r为半径，r≥0；ω

介于－π～π或者0～2π之间。Z变换表征了x(n)的复频域特性。

需要说明的是，式(2.1.1)中，对n求和是从－∞到∞求和，故称双边Z变换。与此相对应，可定义单边Z变换为

单边Z变换中对n求和是从0到∞。显然，单边Z变换中只考虑n≥0的情况，对于因果序列，当n<0时，有x(n)=0，双边Z变换与单边Z变换计算结果相同。本书如无特殊说明，采用双边Z变换定义。(2.1.2)

2.收敛域

Z变换是以z为变量的无穷项幂级数，若Z变换存在，则要求式(2.1.1)等号右边级数收敛，即满足绝对可和条件：

上式成立时z变量的取值范围称为收敛域(ROC)。在求序列的Z变换时，必须指明相应的收敛域。(2.1.3)

Z变换的收敛域一般是某个环状域，即

Rx－<|z|<Rx+

(2.1.4)

其中，Rx+和Rx－为收敛半径。Rx－可以小到0，Rx+可以大到∞，即0≤Rx－，Rx+≤∞。考虑到z=rejφ，则有Rx－<r<Rx+。因此，收敛域是以圆点为中心，分别以Rx+和Rx－为半径的两个圆所构成的环状域，如图2.1.2所示。图中阴影部分表示收敛域。图2.1.2

Z变换的收敛域通常情况下，Z变换X(z)是一个有理函数，可以用两个多项式之比表示：

分子多项式P(z)的根称为X(z)的零点，分母多项式Q(z)的根称为X(z)的极点。在极点处，Z变换不存在，故收敛域中没有极点，或者说，收敛域总是以极点为边界的。利用该特性，可以由X(z)的极点很方便地确定收敛域。(2.1.5)2.1.2收敛域与序列特性的关系

序列x(n)的特性决定了X(z)的收敛域，了解序列特性与收敛域的关系对于学习和掌握Z变换的知识是非常重要的。考虑到X(z)定义式(2.1.1)可以看做z－n的加权和形式，因此，X(z)收敛域的特点可依次从如下两个层面进行分析。

(1)z－n存在：根据n的正负取值，决定|z|是否能取0或者∞。

若n>0：－n<0，则|z|≤∞；

若n≤0：－n≥0，则|z|≥0。

(2)X(z)存在：根据绝对可和条件，确定|z|的收敛域Rx－<|z|<Rx+。

1.有限长序列

有限长序列是指在某个有限区间n1≤n≤n2内具有非零有限值，区间外均为零值的序列，即

x(n)=0，n<n1，n>n2

(2.1.6)

那么，Z变换为(2.1.7)由于X(z)是有限项幂级数之和，若z－n存在，则X(z)一定存在。因此只需讨论第一个层面z－n存在的问题。显然，有限长序列的收敛域至少包含0<|z|<∞，剩下就是|z|能否取0或者∞的问题。根据n1、n2与0的关系，收敛域具体可分为三种情况：

n1<0，n2≤0时，0≤|z|<∞；

n1<0，n2>0时，0<|z|<∞；

n1≥0，n2>0时，0<|z|≤∞。

例2.1.1求序列x(n)=RN(n)的Z变换及收敛域。

解

序列RN(n)为因果序列，即0≤n≤N－1，因此收敛域为0<|z|≤∞。

需要说明的是，X(z)表达式看似有极点z=1，但对于分子多项式，z=1同时也是一个零点，极点和零点对消，故收敛域中包含|z|=1。

2.右边序列

右边序列是指在区间n≥n1上具有非零的有限值，区间n<n1上均为零值的序列，是一个有始无终的序列，即

x(n)=0，n<n1

(2.1.8)

右边序列的Z变换为

(2.1.9)根据n1与0的关系，序列x(n)可以分为因果序列和非因果序列两种情况进行讨论。

(1)当n1≥0时，右边序列为因果序列。此时，|z|能取∞，不能取0，即收敛域中|z|无上界，一定具有非零下界，因此，收敛域包含∞，即为Rx－<|z|≤∞。收敛域示意图如图2.1.3所示。图2.1.3右边序列Z变换的收敛域

(2)当n1<0时，右边序列为非因果序列。此时，以n=0为分界点，序列可以分解为有限长序列和因果序列之和的形式，相应Z变换为

上式中第一项为有限长序列Z变换，收敛域为0≤|z|<∞；第二项为因果序列Z变换，收敛域为Rx－<|z|≤∞。取两个收敛域的交集，可得公共收敛域为Rx－<|z|<∞。

例2.1.2求序列x(n)=anu(n)的Z变换及收敛域。

解

上式中收敛域为|az－1|<1，即|z|>|a|。

3.左边序列

左边序列是指在区间n≤n2上具有非零有限值，区间n>n2上均为零值的序列，是一个无始有终的序列，即

x(n)=0，n>n2

(2.1.10)

左边序列的Z变换为：

根据n2与0的关系，序列x(n)同样可以分为两种情况进行讨论。(2.1.11)

(1)当n2≤0时，n≤0，－n≥0，此时，|z|能取0，不能取∞，一定具有非∞上界，因此，收敛域包含0，即为0≤|z|<Rx+。收敛域示意图如图2.1.4所示。

(2)当n2>0时，以n=0为分界点，序列可以分解为两部分之和的形式，相应Z变换为

上式中第一项收敛域为0≤|z|<Rx+，第二项收敛域为0<|z|≤∞。取两个收敛域的交集，可得公共收敛域为0<|z|<Rx+。图2.1.4左边序列Z变换的收敛域

例2.1.3求序列x(n)=－anu(－n－1)的Z变换及收敛域。

解

上式中收敛域为|a－1z|<1，即|z|<|a|。

4.双边序列

双边序列是指在区间(－∞，∞)上具有非零有限值的序列，是一个无始无终的序列，可以看做一个右边序列和一个左边序列之和，其Z变换为

上式中第一项为左边序列的Z变换，其收敛域为0≤|z|<Rx+；第二项为右边序列的Z变换，其收敛域为Rx－<|z|≤∞。而由两个收敛域交集所构成的公共收敛域则是双边序列的Z变换。此时，分为两种情况：(2.1.12)

(1)若Rx－<Rx+时，收敛域为Rx－<|z|<Rx+，是一个环状区域，如图2.1.5所示。

(2)若Rx－>Rx+时，无收敛域，即X(z)不存在。图2.1.5双边序列Z变换的收敛域

例2.1.4求序列x(n)=a|n|的Z变换及收敛域。

解

式中，第一项收敛域为|az|<1，即|z|<|a|－1；第二项收敛域为|az－1|<1，即|a|<|z|。此时分两种情况讨论：

(1)若|a|≥1，则|a|－1≤|a|，无公共收敛域；

(2)若|a|<1，则|a|<|a|－1，公共收敛域为|a|<|z|<|a|－1，相应Z变换为

当a为实数，且0<a<1时，x(n)波形及X(z)收敛域如图2.1.6所示。图2.1.6例2.1.4中双边序列a|n|(0<a<1)及Z变换的收敛域通过对上述几类序列及其收敛域的讨论，序列Z变换及收敛域的特点可归纳如下：

(1)左边序列Z变换收敛域的形式为|z|<Rx+，是否包含0取决于z－n。若序列非零值范围包括n>0，有|z|>0；否则，|z|≥0。

右边序列Z变换收敛域的形式为|z|>Rx－，是否包含∞也取决于z－n。若序列非零值范围包括n<0，有|z|<∞；否则，|z|≤∞。

双边序列收敛域形式为Rx－<|z|<Rx+。

(2)不同序列可能有相同的Z变换，只是收敛域不同；或者说，同一个Z变换，收敛域不同，对应的序列是不相同的。如例2.1.2和例2.1.3属于这类情况。

(3)收敛域总是以极点为界，如果求出序列Z变换，找出其极点，则可以根据序列特性简单地确定其收敛域。

2.2逆Z

变换

本节介绍Z变换的反变换，即逆Z变换(InverseZ-Transform，简称IZT)。逆Z变换的求法有三种：留数定理法(围线积分法)、部分分式法和幂级数法(长除法)。

2.2.1留数定理法

根据复变函数理论，X(z)的逆Z变换可以表示成围线积分的形式(2.2.1)式中，c表示X(z)环状收敛域(Rx－，Rx+)中一条逆时针的闭合曲线，如图2.2.1所示。直接根据上式计算围线积分比较困难，可以通过留数定理来求逆Z变换，故称为留数定理法，也可称为围线积分法。图2.2.1围线积分路径设在Z平面上，X(z)zn－1在围线c内的极点用zk表示。根据柯西留数定理，有

其中，Res［X(z)zn－1，zk］表示被积函数X(z)zn－1在极点zk的留数，逆Z变换则是围线c内所有极点的留数之和。对于Res［X(z)zn－1，zk］的求解，与zk为单阶或者多阶极点有关。(2.2.2)若zk为单阶极点，根据留数定理，极点留数求解式为

由上式可知，只需要将被积函数X(z)zn－1乘以z－zk，代入z=zk即可。

若zk为N阶极点，根据留数定理，多阶极点的留数计算式为

可以看出，上式需要求N－1阶导数，比较麻烦。此时可以利用留数辅助定理求解。(2.2.3)(2.2.4)假设X(z)zn－1在Z平面上有M个极点，收敛域内的围线c将极点分成两部分：围线c内部极点共有N1个，用z1，k表示；围线c外部极点共有N2个，用z2，k表示。根据留数辅助定理，可得

当X(z)zn－1在z=∞处有二阶或者二阶以上的零点，即X(z)zn－1的分母多项式的阶数比分子多项式的阶数高二阶或者二阶以上时，z=∞处的留数为0。结合式(2.2.2)及式(2.2.5)，序列x(n)可表示为(2.2.5)

需要说明的是：采用留数定理法来求逆Z变换时，可以采用式(2.2.2)或者式(2.2.6)，视具体情况而定。如果围线c内的极点是多阶极点，而外部极点阶数较小，就可以采用式(2.2.6)，改求围线c外部极点留数之和，最后加上负号。(2.2.6)

例2.2.1已知 ，用留数定理法求逆Z变换x(n)。

解本题中没有指明收敛域，为求出x(n)，必须首先确定收敛域。由于收敛域总是以极点为边界的，有

故X(z)有两个极点：z=2和z=3，如图2.2.2所示。因此，收敛域可分为三种情况：

(1)|z|>3，对应x(n)为右边序列；

(2)|z|<2，对应x(n)为左边序列；

(3)2<|z|<3，对应x(n)为双边序列。图2.2.2例2.2.1中X(z)极点分布图下面根据收敛域的不同，分别利用留数法求解x(n)。

(1)收敛域|z|>3。

由于x(n)为右边序列，无需考虑n<0的情况。实际上，当n<0时，被积函数X(z)zn－1在围线c内包含单阶极点z=2、z=3和多阶极点z=0，但是围线c外部无极点，利用留数辅助定理，可得x(n)=0。当n≥0时，围线c内有两个单阶极点z=2和z=3，因此

综合n<0情况，x(n)表示为

x(n)=(3n－2n)u(n)

(2)收敛域|z|<2。

由于x(n)为左边序列，无需考虑n≥0的情况。实际上，当n≥0时，被积函数X(z)zn－1

围线c内无极点，因此x(n)=0。当n<0时，围线c有n阶极点z=0，此时，根据留数辅助定理，改求围线c外极点留数之和，可得

综合n≥0情况，x(n)表示为

x(n)=(2n－3n)u(－n－1)

(3)收敛域2<|z|<3。

此时x(n)为双边序列，按照n<0和n≥0两种情况分别计算。

当n<0时，X(z)zn－1在围线c内包含单阶极点z=2和多阶极点z=0，围线c外只包含内单阶极点z=3。利用留数辅助定理，改求围线c外的极点留数可得当n≥0时，X(z)zn－1在围线c内只包含单阶极点z=2，利用留数定理，可得

综合两种情况，x(n)可表示为

x(n)=－3nu(－n－1)－2nu(n)2.2.2部分分式法

序列Z变换通常是有理函数，若X(z)=ZT［x(n)］，那么将X(z)展开成简单的部分分式之和的形式，再由各个部分分式的逆Z变换相加即可得到x(n)，这就是部分分式法的基本思想。各个部分分式通常具有单阶极点，容易直接获得逆Z变换表达式。

设X(z)具有N个单阶极点，展开如下：(2.2.7)对于A0、Am的求法，将上式两侧同除以z可得

上式表明：X(z)/z在极点z=0的留数就是A0，在极点z=zm的留数就是Am，分别用下面两式表示：

求出系数A0、Am后，就很容易得到序列x(n)。(2.2.8)(2.2.9)(2.2.10)

例2.2.2已知 ，2<|z|<3，试用部

分分式法求逆Z变换x(n)。

解将X(z)/z进行因式分解，可得

其中，系数A1、A2为那么

即有

考虑到收敛域为2<|z|<3，上式中第一项极点是z=3，收敛域为|z|<3；第二项极点是z=2，收敛域为|z|>2。利用例2.1.2和例2.1.3，x(n)可表示为

x(n)=－3nu(－n－1)－2nu(n)2.2.3幂级数法

根据Z变换定义式(2.1.1)可知，X(z)可以视为z+的幂级数，即

在给定收敛域内，若将X(z)展开为幂级数形式，级数的系数就是序列x(n)，这正是幂级数法的基本思想。通常情况下，X(z)是一个有理函数，其分子分母都是z的多项式，直接用分子多项式除以分母多项式，就可以得到幂级数展开式，从而得到x(n)。因此，幂级数法也称为长除法。(2.2.11)由于幂级数展开式有正幂和负幂之分，必须根据收敛域情况，确定展开为左边序列还是右边序列。若x(n)为右序列，则X(z)展开为负幂级数，若x(n)为左序列，则X(z)展开为正幂级数。

例2.2.3已知 ，|z|>|a|，试用幂级数法求逆Z变换x(n)。

解由于收敛域位于圆的外部区域，x(n)为右边序列，且为因果序列，X(z)展开为负幂级数形式，利用长除法可得：即

因此

x(n)=anu(n)

例2.2.4已知

，试用幂级数法求逆Z变换x(n)。

解由于收敛域位于圆的内部区域，x(n)为左边序列，X(z)展开为正幂级数形式，利用长除法可得即

因此

x(n)=－anu(－n－1)

表2.2.1给出了常用序列的Z变换及其收敛域。从表中可以看出，不同序列Z变换结果可能是相同的，只是收敛域有所不同；或者说同一Z变换表达式，收敛域不同，逆Z变换得到的序列是不同的。表2.2.1常用序列的Z变换及其收敛域 2.3

Z变换的性质与定理

Z变换有许多重要的性质和定理，本节中将首先介绍Z变换的基本性质和定理，然后讨论如何利用Z变换求解差分方程，最后探讨序列Z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换的关系。

2.3.1

Z变换的基本性质

1.线性

Z变换是一种线性变换，满足累加和数乘特性。若w(n)=ax(n)+by(n)，且

X(z)=ZT［x(n)］，Rx－<|z|<Rx+

Y(z)=ZT［y(n)］，Ry－<|z|<Ry+

则有

W(z)=ZT［ax(n)+by(n)］=aX(z)+bY(z)，Rw－<|z|<Rw+

(2.3.1)

其中，a、b为常数。这里要注意，相加后Z变换的收敛域一般是X(z)和Y(z)的公共收敛域，即

Rw－=max［Rx－，Ry－］，Rw+=min［Rx+，Ry+］

通常收敛域范围会变小。但是，如果线性组合中出现新的零点抵消原来极点的情况，收敛域范围可能会扩大。

例2.3.1求序列x(n)=u(n)－u(n－N)的Z变换，N≥1。

解查表2.2.1可知

又故

可以看出：这就是表2.2.1中序列RN(n)的Z变换，相对于u(n)、u(n－N)的收敛域|z|>1，线性组合后的序列RN(n)收敛域扩大了，是除|z|=0之外的全部Z平面。

2.序列的移位

若X(z)=ZT［x(n)］，Rx－<|z|<Rx+，则有

证明按照Z变换定义

(2.3.2)从式(2.3.2)可以看出，序列移位后，其收敛域是相同的。对于双边序列，收敛域为环状区域，Rx－、Rx+均不为0和∞，移位后收敛域不会变化。对于单边序列，移位后收敛域可能在z=0和z=∞有变化。

例如，ZT［δ(n)］=1，收敛域为全部Z平面；ZT［δ(n－1)］=z－1，收敛域为|z|>0，在z=0处不收敛；ZT［δ(n+1)］=z，收敛域为|z|<∞，在z=∞处不收敛。

3.乘以指数序列

若X(z)=ZT［x(n)］，Rx－<|z|<Rx+，则有

ZT［anx(n)］=X(a－1z)，|a|Rx－<|z|<|a|Rx+

(2.3.3)

其中，a为常数，可为实数或者复数。

证明按照Z变换定义，

相应的收敛域为Rx－<|a－1z|<Rx+，即|a|Rx－<|z|<|a|Rx+。序列乘以指数序列an也称为指数加权，体现了z域尺度变换特性，使Z变换的零极点位置发生移动。若X(z)在z=z1处为极(零)点，则X(a－1z)对应的极(零)点为z=a－1z1。根据a的幅度和相位特性，极(零)点位置将会产生相应的幅度伸缩和角度旋转。

4.乘以n

设X(z)=ZT［x(n)］，Rx－<|z|<Rx+，则

(2.3.4)

证明观察Z变换定义式可知，将等式两侧对z求导，可以产生序列nx(n)，即

因此

序列乘以n也称为线性加权，其Z变换与z域求导有关，因此也称为z域求导数。照此推广，通过多次求导，可以依次得到序列n2x(n)、n3x(n)以及nmx(n)的Z变换。

其中符号 表示对X(z)进行m次 运算。

5.序列的翻转

若X(z)=ZT［x(n)］，Rx－<|z|<Rx+，则

证明根据Z变换定义

相应的收敛域为Rx－<|z－1|<Rx+，即 。(2.3.5)

6.序列的共轭

若复序列x(n)的共轭序列为x*(n)，X(z)=ZT［x(n)］，Rx－<|z|<Rx+，则有

证明根据Z变换定义(2.3.6)(2.3.7)

相应的收敛域为 ，即 。

7.初值定理

如果x(n)为因果序列，X(z)=ZT［x(n)］，则可以由X(z)求出序列初值x(0)。用公式表示为

证明由于x(n)为因果序列，当n<0时，x(n)=0，因此有

将z→∞代入上式，可得(2.3.8)

8.终值定理

如果x(n)为因果序列，X(z)=ZT［x(n)］，并且X(z)的全部极点除在z=1处可以有单阶极点外，其余极点都在单位圆内，则

证明利用序列的移位特性，可得(2.3.9)由于x(n)为因果序列，当n<0时，x(n)=0；当n<－1时，x(n+1)=0；带入上式可得由于X(z)在单位圆上至多有单阶极点z=1，因此(z－1)X(z)在单位圆上无极点。将上式两端对z=1取极限：由于等式左侧可用X(z)在z=1点的留数表示，即

因此，终值定理也可以用留数的形式表示：

x(∞)=Res［X(z)，1］ (2.3.10)

若X(z)在单位圆上无极点，则z=1是(z－1)X(z)的零点，即有x(∞)=0。

9.时域卷积定理

如果两个序列进行线性卷积，则卷积结果的Z变换等于两个序列Z变换的乘积，这就是时域卷积定理。若w(n)=x(n)*y(n)，且 X(z)=ZT［x(n)］，Rx－<|z|<Rx+

Y(z)=ZT［y(n)］，Ry－<|z|<Ry+

则

W(z)=ZT［x(n)*y(n)］=X(z)·Y(z)，Rw－<|z|<Rw+

(2.3.11)

其中

Rw－=max［Rx－，Ry－］，Rw+=min［Rx+，Ry+］

这里W(z)的收敛域(Rw－，Rw+)是X(z)和Y(z)的公共收敛域。与线性性质类似，如果一个序列的Z变换收敛域边界上的极点与另一个序列的Z变换的零点相互抵消，收敛域可能扩大。

证明

利用序列移位特性，移位序列y(n－m)的Z变换为z－mY(z)，代入上式可得在第1章中，如果线性时不变系统的单位冲激响应为h(n)，输入为x(n)，则输出y(n)是x(n)和h(n)的线性卷积，即y(n)=x(n)*h(n)。利用Z变换的时域卷积定理，可知输入输出Z变换之间的关系为Y(z)=X(z)·H(z)，这样通过求X(z)·H(z)的逆Z变换也可以求输出y(n)。

例2.3.2已知线性时不变系统的单位冲激响应h(n)=

u(n)，输入序列x(n)=anu(n)，|a|<1，求系统输出序列y(n)。

解求y(n)有两种方法：一种是直接计算线性卷积，另一种是用Z变换法。

(1)直接计算线性卷积：

(2)Z变换法：由收敛域可以判定，y(n)为因果序列，即当n<0时，y(n)=0；而当n≥0时，利用留数定理法，可得

综合两种情况，输出y(n)可表示为

10.z域复卷积定理

两个序列乘积的Z变换等于各自Z变换的复卷积，这就是z域复卷积定理。若w(n)=x(n)·y(n)，则

其中，c是v所在的V平面上X(v)和收敛域内的一条逆时针的闭合曲线，被积函数收敛域为(2.3.12)(2.3.13)

证明根据X(z)、Y(z)的收敛域可得

因此，W(z)和被积函数的收敛域分别为

11.帕斯维尔(Parseval)定理

利用z域复卷积定理可以证明帕斯维尔定理。若

X(z)=ZT［x(n)］，Rx－<|z|<Rx+

Y(z)=ZT［y(n)］，Ry－<|z|<Ry+

且满足Rx－Ry－<1<Rx+Ry+，则

其中，c是V平面上X(v)和收敛域内的一条逆时针的

闭合曲线，被积函数收敛域为

证明令w(n)=x(n)·y*(n)，由序列共轭性质可知

ZT［y*(n)］=Y*(z*)

利用z域复卷积定理，可得

按照假设Rx－Ry－<1<Rx+Ry+，W(z)在单位圆上收敛。将z=1带入上式，有

而

故若序列x(n)和y(n)都在单位圆上收敛，令v=ejω，上式中对于围线c的积分相当于对变量ω在－π～π上积分，将v代入上式可得

令x(n)=y(n)，则有

上式就是序列的傅里叶变换的帕斯维尔定理，它表明序列时域的总能量与频域的总能量相等。该特性将在下节离散时间傅里叶变换中也给予介绍。

Z变换的基本性质和定理如表2.3.1所示。

(2.3.16)(2.3.17)表2.3.1

Z变换的基本性质2.3.2

Z变换求解差分方程

对于一个离散时间线性时不变系统，可用N阶线性常系数差分方程描述：

若给定输入序列x(n)以及输出序列y(n)的初始条件，求解差分方程就可以得到序列y(n)的表达式。在第1章中介绍了线性常系数差分方程的时域求解方法，本节将讨论Z变换求解方法。Z变换求解差分方程的基本思想是利用Z变换的移位性质，将差分方程转化为代数方程，使求解过程变得简单。(2.3.18)根据输入序列x(n)加到系统输入端的时间不同，求解可以分为两种情况：一种是稳态解，另一种是暂态解。

1.稳态解

如果输入序列x(n)是在n=0时刻以前加到系统输入端，并且系统已经处于稳定状态，此时n时刻的输出y(n)是稳态解。对差分方程表达式(2.3.18)求Z变换，可得

将上式进行重新表述，有(2.3.19)

令

则有

Y(z)=H(z)·X(z)

(2.3.22)(2.3.21)(2.3.20)将上式进行逆Z变换，得到系统输出序列为

y(n)=IZT［Y(z)］

(2.3.23)

需要说明的是，求逆Z变换时，需要根据X(z)和H(z)的收敛域情况，确定Y(z)的收敛域，才可求出合适的输出序列y(n)。X(z)的收敛域由给定的x(n)确定，H(z)收敛域的确定通常以系统因果可实现为原则，即系统单位冲激响应h(n)为因果序列，收敛域包含z=∞。逆Z变换的求解过程与例2.3.2中Z变换法求线性卷积类似，这里不再举例。

2.暂态解

如果输入序列x(n)是在n=0时刻加到系统输入端，即x(n)为因果序列，当n<0时x(n)=0。对于因果序列，双边Z变换与单边Z变换是一样的，但是对于输出序列y(n)，移位序列的双边Z变换与单边Z变换不一样。由于y(n)与y(n－1)，y(n－2)，…，y(n－N)有关，为了便于求解y(n)，采用单边Z变换，并假定已知序列y(n)的初始条件为y(－1)，y(－2)，…，y(－N)。

输出序列y(n)的单边Z变换为对y(n)的移位序列y(n－m)求单边Z变换，有(2.3.24)对差分方程表达式(2.3.18)求单边Z变换，可得

即有(2.3.25)上式中Y(z)的第一项与输入序列x(n)有关，与初始条件无关，称为零状态解；第二项与输入序列无关，只与初始条件有关，称为零输入解。若系统初始条件为0，那么Y(z)第二项为0，只有第一项，表达式与式(2.3.20)相同。采用逆Z变换由Y(z)求y(n)的过程与稳态解相同，即根据式(2.3.23)求解，但是要特别注意收敛域的判定。

例2.3.3已知线性时不变系统的差分方程y(n)=by(n－1)+x(n)，初始条件y(－1)=2，输入序列x(n)=anu(n)，求输出序列y(n)。

解由于输入x(n)为因果序列，可以得到y(n)的暂态解。对差分方程进行单边Z变换，可得

Y(z)=bz－1Y(z)+by(－1)+X(z)

故

其中，输入序列Z变换为

，|z|>|a|。系统函

数为 ，保证系统因果可实现的收敛域为

|z|>|b|。因此

相应的收敛域为|z|>max(|a|，|b|)，求逆Z变换可得

式中，第一项与初始条件有关，为零输入解；第二项与输入序列有关，为零状态解。2.3.3

Z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换的关系

在第1章中，讨论了连续时间信号、采样信号和离散时间信号(序列)三者在时域上的关系，这里将研究它们在复频域上的关系，即序列Z变换、连续时间信号和采样信号的拉普拉斯变换之间的联系，并探讨Z平面与S平面的映射关系。

假定连续时间信号、采样信号和序列分别为xa(t)、和x(n)，三者相互关系描述如下：(2.3.27)(2.3.26)其中，Pδ(t)为单位采样脉冲信号，即

1.序列Z变换(ZT)与采样信号的拉普拉斯变换(LT)的关系

采样信号的拉普拉斯变换(LT)为

将式(2.3.26)代入上式，可得(2.3.28)(2.3.29)

而序列x(n)的Z变换(ZT)为(2.3.30)(2.3.31)对比式(2.3.30)和式(2.3.31)，可以看出

上式表明：当z=esT时，序列的Z变换就等于采样信号的拉普拉斯变换。这两个变换的关系也体现了S平面和Z平面这两个复平面的映射关系，即

下面讨论S平面和Z平面的映射关系。将S平面用直角坐标系表示，Z平面用极坐标系表示，即有

s=σ+jΩ，z=rejω

(2.3.33)(2.3.32)代入z=esT，可得

rejω=e(σ+jΩ)T=eσT·ejΩT

因此

r=eσT

(2.3.34)

ω=ΩT

(2.3.35)

根据式(2.3.34)关系r=eσT，可以看出，当σ=0时，r=1，S平面的jΩ虚轴映射为Z平面上的单位圆；当σ<0时，r<1，S平面的左半平面映射为Z平面上的单位圆内部；当σ>0时，r>1，S平面的右半平面映射为Z平面上的单位圆外部。S平面到Z平面的映射关系如图2.3.1所示。图2.3.1

S平面到Z平面的映射关系根据式(2.3.35)关系ω=ΩT，可以看出，当Ω从－π/T增加到+π/T时，ω由－π到+π，旋转一周，整个Z平面映射一次。而当Ω每增加2π/T，ω相应增加2π。因此，S平面上宽度为2π/T的水平带映射为整个Z平面；水平带左半部分映射为单位圆内部，如图2.3.1所示；水平带右半部分映射为单位圆外部。因此，S平面到Z平面的映射关系是“多对一”的关系。

2.序列Z变换(ZT)与连续时间信号的拉普拉斯变换(LT)的关系

连续时间信号xa(t)的拉普拉斯变换(LT)为

要获得X(z)与Xa(s)的关系，在已经建立的X(z)和关系的基础上，必须考虑Xa(s)和的关系，即连续时间信号xa(t)和采样信号的拉普拉斯变换之间的关系。

由于单位采样脉冲信号Pδ(t)是周期信号，因此可以展开为傅里叶级数形式：(2.3.36)

其中，。将上式依次代入表达式(2.3.26)以及定义式(2.3.29)中，并交换积分与求和次序可得

结合Xa(s)定义式(2.3.36)，可得(2.3.37)(2.3.38)(2.3.39)上式表明：连续时间信号xa(t)经过等间隔采样后得到的采样信号的拉普拉斯变换，是连续时间信号xa(t)的拉普拉斯变换在S平面上沿jΩ虚轴的周期延拓，延拓周期为。

将和Xa(s)的关系式(2.3.39)代入式(2.3.32)，得到X(z)与Xa(s)的关系为

上式表明：由z=esT体现的“多对一”映射关系实质上是Xa(s)周期延拓与X(z)的关系。(2.3.40) 2.4离散时间傅里叶变换

离散时间傅里叶变换，即序列的傅里叶变换，简称DTFT，对于分析序列频谱、研究离散时间系统的频域特性，都是非常重要的变换工具。本节将学习DTFT的定义、基本性质以及与ZT的关系。

2.4.1

DTFT的定义

序列x(n)的傅里叶变换定义为

其中，ω为数字频率。(2.4.1)与连续时间信号傅里叶变换类似，X(ejω)同样表征了信号在频域上的分布规律。但不同的是，由于e－jωn是ω的以2π为周期的周期函数，因此，X(ejω)也是ω的周期函数，周期为2π，即

式中，M为整数；ω=0和ω=2πM处表示直流分量；ω=π，ω=2πM+π表示最高频率。考虑到DTFT的周期性，通常只分析－π～π或者0～2π之间的频谱特性。(2.4.2)

X(ejω)通常为ω的复函数，可以表示为

其中，Re［·］表示实部，Im［·］表示虚部，|·|表示幅度，arg［·］表示相位，都是ω的连续周期函数，周期为2π，|X(ejω)|～ω称为幅度特性，arg［X(ejω)］～ω称为相位特性。

从式(2.4.1)可知，X(ejω)展开为傅里叶级数形式，x(n)是系数，那么如何由X(ejω)表示x(n)呢？(2.4.3)考虑X(ejω)的一个周期－π～π，对式(2.4.1)两边同时乘以ejωm，并在－π～π内对ω积分，可得

由于(2.4.4)因此

将上式中m替换成n，则有

式(2.4.6)称为离散时间傅里叶逆变换(InverseDiscreteTimeFourierTransform，简称IDTFT)，与式(2.4.1)的DTFT构成一对傅里叶变换对。(2.4.5)(2.4.6)下面讨论DTFT的存在条件，即序列的傅里叶变换的收敛问题。要使式(2.4.1)成立，即要求|X(ejω)|<∞。而

如果(2.4.7)(2.4.8)则有|X(ejω)|<∞。式(2.4.8)称为绝对可和条件。上述分析说明，若序列x(n)满足绝对可和条件，其傅里叶变换是存在的。

当然，式(2.4.8)只是离散时间傅里叶变换存在的充分条件。如果序列不满足绝对可和条件，如u(n)、ejωn或者周期序列等，傅里叶变换式(2.4.1)并不收敛，可以认为DTFT不存在。但是，如果引入ω的冲激函数δ(ω)后，也可以表示序列的傅里叶变换，该内容留待以后学习。

例2.4.1设x(n)=RN(n)，求x(n)的DTFT。

解根据DTFT的定义，有(2.4.9)其幅度和相位为

图2.4.1给出了N=4幅度和相位随ω的变化曲线。可以看出，幅度|X(ejω)|随ω呈现周期性，相位arg［X(ejω)］与ω成线性关系，限定在－π～π之间。|X(ejω)|在一个周期0～2π内有4个瓣，在直流分量ω=0两侧为主瓣，高频ω=π两侧为副瓣。若N=5，根据|X(ejω)|表达式，0～2π将会出现5个瓣。图2.4.1

R4(n)的DTFT幅度和相位曲线2.4.2

DTFT与Z变换的关系

将序列Z变换的定义式(2.1.1)和DTFT定义式(2.4.1)进行对比，可得

其中，z=ejω表示Z平面上半径r=1的圆，该圆称为单位圆。上式表明：序列的傅里叶变换就是序列在Z平面单位圆上的Z变换。(2.4.10)由于Z变换存在收敛域，如果已知Z变换X(z)，并且收敛域包含单位圆，根据式(2.4.10)，可以方便求出傅里叶变换X(ejω)；但是若收敛域不包含单位圆，那么DTFT不存在。也就是说，Z变换存在时，DTFT不一定存在，除非Z变换收敛域中包含单位圆；若DTFT存在，则Z变换一定存在。

例2.4.2设x(n)=anu(n)，试讨论Z变换和DTFT是否存在，并求出相应结果。

解序列x(n)Z变换存在，计算式及收敛域为(2.4.11)关于DTFT是否存在，一方面可以从序列是否满足绝对可和条件来判断，另一方面可以观察收敛域|z|>|a|是否包含单位圆。显然，若|a|≥1，则DTFT不存在。若|a|<1，则DTFT存在，即为

2.4.3

DTFT与连续时间信号的傅里叶变换的关系

基于DTFT与Z变换的关系，结合序列Z变换与连续时间信号拉普拉斯变换的关系，就可以建立DTFT与连续时间信号的傅里叶变换的关系。(2.4.12)假设连续时间信号为xa(t)，其拉普拉斯变换和傅里叶变换分别为Xa(s)、Xa(jΩ)；xa(t)经等间隔T采样后得到的序列为x(n)，其傅里叶变换和Z变换分别为X(ejω)、X(z)。那么，连续时间信号xa(t)的一对傅里叶变换(FT)式可表示为

对比拉普拉斯变换(LT)公式(2.3.36)，可知傅里叶变换Xa(jΩ)与拉普拉斯变换Xa(s)的关系为(2.4.15)(2.4.14)(2.4.13)根据序列Z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换的关系式(2.3.40)，有

式中Ωs=2π/T。考虑到S平面和Z平面的映射关系为z=esT，令s=σ+jΩ，z=rejω，则r=eσT，ω=ΩT。当z=ejω，即r=1时，则有σ=0，s=jΩ。由此可见，S平面的jΩ虚轴映射为Z平面上的单位圆。(2.4.16)综合DTFT与Z变换关系式(2.4.10)、Z变换与拉普拉斯变换关系式(2.4.16)以及连续时间信号拉普拉斯变换与傅里叶变换关系式(2.4.15)，X(ejω)、X(z)、X(s)和Xa(jΩ)之间的相互关系可以表示如下：

即DTFT和连续时间信号的傅里叶变换关系为(2.4.17)(2.4.18)上式表明：序列的傅里叶变换(DTFT)是连续时间信号的傅里叶变换以周期Ωs=2π/T进行的周期延拓，频率轴上的对应关系为ω=ΩT。对比采样信号和连续时间信号的傅里叶变换之间的关系，该周期延拓特性是一样的。

为了更清楚地表现周期延拓关系，可以通过数字频率ω模拟角频率Ω以及模拟频率f的归一化形式来表示一个周期，这就形成了三个归一化频率：

其中fs=1/T，Ωs=2π/T。上述三个归一化频率均无量纲，刻度是一样的，它们和ω、Ω以及f的关系可以采用归一化度量来表示，如图2.4.2所示。(2.4.19)图2.4.2数字频率与模拟频率之间的对应关系图2.4.2给出了数字频率和模拟频率之间的对应关系，可以看出，模拟折叠频率fs/2对应着数字频率π，表示最高频率；如果采样定理满足，则要求模拟最高频率fc不能超过fs/2；否则，则会在ω=π附近或f=fs/2附近引起频谱混叠。上述几个频率之间的对应关系很重要，尤其在模拟信号数字处理系统中，经常要用到这种对应关系。例如，若采样频率fs=4fc，则数字频率π/2对应着模拟最高频率fc。2.4.4

DTFT的基本性质

序列的傅里叶变换是Z平面单位圆上的Z变换，因此，序列傅里叶变换的特性与Z变换的特性基本是一样的，只需要将z=ejω代入到Z变换某些性质中，即可得到相应的DTFT性质。当然，两种变换有各自特别之处，Z变换以复变量z为参数，而DTFT以实变量ω为参数，结合序列的自变量n，使得DTFT具有特别的对称性。在对序列和系统进行频域分析时，DTFT的这些性质是非常重要的。

1.线性

DTFT是线性变换，设X(ejω)=DTFT［x(n)］，Y(ejω)=DTFT［y(n)］，a、b为常数，那么

DTFT［ax(n)+by(n)］=aX(ejω)+bY(ejω)

(2.4.20)

2.序列的移位

序列的移位特性也称为时移性。如果序列延迟n0，那么其傅里叶变换在相位上减少ωn0。设X(ejω)=DTFT［x(n)］，则(2.4.21)

3.乘以复指数序列

序列乘以复指数序列后，其傅里叶变换将产生频率上的移位，因此也称为频移性。如果傅里叶变换频移ω0，那么序列在相位上增加ω0n，相当于乘以复指数序列。设X(ejω)=DTFT［x(n)］，则(2.4.22)

4.乘以指数序列

若X(ejω)=DTFT［x(n)］，则

上式表明：时域乘以an，对应于频域用代替ejω。

5.乘以n

若X(ejω)=DTFT［x(n)］，则(2.4.23)(2.4.24)

证明利用DTFT的定义式(2.4.1)，两侧对ω求导，能够生成序列nx(n)。即有

故

6.序列的翻转

若X(ejω)=DTFT［x(n)］，则

DTFT［x(－n)］=X(e－jω)

(2.4.25)

7.序列的共轭

若复序列x(n)的共轭序列为x*(n)，X(ejω)=DTFT［x(n)］，则

DTFT［x*(n)］=X*(e－jω) (2.4.26)

DTFT［x*(－n)］=X*(ejω) (2.4.27)

8.时域卷积定理

两个序列线性卷积的DTFT等于两个序列DTFT的乘积，即时域卷积对应于频域乘积。该性质表明：可以通过DTFT和IDTFT求线性卷积。设X(ejω)=DTFT［x(n)］，Y(ejω)=DTFT［y(n)］，w(n)=x(n)*y(n)，则

W(ejω)=DTFT［x(n)*y(n)］=X(ejω)·Y(ejω)

(2.4.28)

证明令k=n－m，即n=m+k，则

9.频域卷积定理

两个序列乘积的DTFT等于两个序列DTFT的线性卷积，即时域乘积对应于频域卷积。设X(ejω)=DTFT［x(n)］，Y(ejω)=DTFT［y(n)］，w(n)=x(n)·y(n)，则(2.4.29)证明

10.帕斯维尔(Parseval)定理

设X(ejω)=DTFT［x(n)］，则

证明由于序列的傅里叶变换是Z变换在Z平面单位圆上的一个特例，因而Z变换的帕斯维尔定理同样适用于DTFT。在2.3节中，式(2.3.16)和式(2.3.17)给出了从Z变换的帕斯维尔定理到DTFT的推广过程。这里将从DTFT本身出发来证明该定理。(2.4.30)

式(2.4.30)表明：与连续时间信号的傅里叶变换一样，DTFT具有时域总能量等于频域总能量的特性。因此，帕斯维尔定理也称能量守恒定理，|X(ejω)|2称为能量谱密度。

11.对称性

下面讨论序列及DTFT的对称性，这里对称性指关于坐标原点对称，即序列x(n)关于n=0对称、DTFTX(ejω)关于ω=0对称，对自变量而言，n与－n对应，ω与－ω对应。

1)序列的对称性

这里将学习两个对称概念：共轭对称和共轭反对称，在此之前，首先回顾一下已有的序列对称性相关概念和表述。设x(n)=Re［x(n)］+jIm［x(n)］，有

偶函数：x(n)=x(－n)

奇函数：x(n)=－x(－n)

实部：xR(n)=Re［x(n)］虚部：xI(n)=Im［x(n)］

共轭：x*(n)=xR(n)－jxI(n)

在偶函数的基础上引入共轭，定义共轭对称序列xe(n)：

xe(n)=x*e(－n)

(2.4.31)

在奇函数的基础上引入共轭，定义共轭反对称序列xo(n)：

xo(n)=－x*o(－n)

(2.4.32)

若x(n)为实序列，那么共轭对称与偶函数等价，共轭反对称与奇函数等价；若x(n)为复序列，由于共轭的差异，它们互不等价。共轭对称序列xe(n)和共轭反对称序列xo(n)可分别表示为实部、虚部的形式：

xe(n)=xeR(n)+jxeI(n)

xo(n)=xoR(n)+jxoI(n)

根据共轭对称和共轭反对称的含义，可得到式(2.4.33)中各实部、虚部的对称特性。

偶函数：xeR(n)=xeR(－n)xoI(n)=xoI(－n)

奇函数：xeI(n)=－xeI(－n)xoR(n)=－xoR(－n)

即共轭对称序列的实部为偶函数，虚部为奇函数；共轭反对称序列正好相反，实部为奇函数，虚部为偶函数。(2.4.33)

任何序列x(n)可以表示为共轭对称序列xe(n)、共轭反对称序列xo(n)之和，即

x(n)=xe(n)+xo(n)

(2.4.34)

结合式(2.4.31)、式(2.4.32)，可得

x*(－n)=x*e(－n)+x*o(－n)=xe(n)－xo(n)

(2.4.35)

因此，序列xe(n)、xo(n)与x(n)的关系可表示为(2.4.36)表2.4.1给出了关于序列对称性的几种形式。从表中可以看出，序列x(n)可表示为三种和的形式：实部与虚部之和、共轭对称与共轭反对称之和、奇函数与偶函数之和。此外，针对共轭对称和共轭反对称序列，表中还给出了实部和虚部的奇偶特性。表2.4.1序列对称性的几种形式

例2.4.3试分析序列ejωn和jejωn的对称性。

解将ejωn和jejωn分别展开为实部、虚部形式，可得

ejωn=cos(ωn)+jsin(ωn)，jejωn=－sin(ωn)+jcos(ωn)

可以看出，ejωn实部为偶函数，虚部为奇函数；jejωn正好相反，实部为奇函数，虚部为偶函数。因此，ejωn为共轭对称序列，jejωn为共轭反对称序列，两者并不单纯属于奇函数或者偶函数。

2)DTFT的对称性

与序列一样，作为一个函数，序列的傅里叶变换具有类似的对称性，只是关于ω=0对称。为叙述简便，表2.4.2给出了关于DTFT对称性的几种形式。与表2.4.1序列的对称性相比，序列的傅里叶变换同样可表示为三种和的形式，共轭对称和共轭反对称部分的实部和虚部的奇偶特性也相同。

对于序列的傅里叶变换X(ejω)，其共轭对称部分、共轭反对称部分可分别定义为共轭对称函数Xe(ejω)、共轭反对称函数Xo(ejω)，满足下列特性：

Xe(ejω)=X*e(e－jω)

Xo(ejω)=－X*o(e－jω)(2.4.37)用X(ejω)可以分别表示为：表2.4.2

DTFT对称性的几种形式(2.4.38)

3)序列和DTFT的对称性的关系

利用DTFT的共轭性质，即式(2.4.26)，序列x(n)的实部以及j和虚部的傅里叶变换分别为(2.4.39)(2.4.40)上述两式表明：序列实部对应于DTFT的共轭对称部分，序列虚部和j对应于DTFT的共轭反对称部分。

利用式(2.4.27)，序列x(n)的共轭对称和共轭反对称部分的傅里叶变换分别为(2.4.42)(2.4.41)上述两式表明：序列的共轭对称部分对应于DTFT的实部，序列的共轭反对称部分对应于DTFT的虚部和j。

根据以上讨论，可以归纳如下：对于序列或者DTFT，其实部、j和虚部，与另外一方的共轭对称、共轭反对称部分均存在对应关系。即序列(DTFT)实部对应于DTFT(序列)的共轭对称部分，序列(DTFT)虚部和j对应于DTFT(序列)的共轭反对称部分。表2.4.3给出了序列和DTFT的对称性的对应关系。表2.4.3序列和DTFT的对称性的对应关系

例2.4.4试分析实序列及其DTFT的对称性。

解对于实序列，虚部为0，因此，共轭对称序列为偶函数，共轭反对称序列为奇函数；

对于DTFT，只有共轭对称部分，共轭反对称部分为0。

序列傅里叶变换的基本性质见表2.4.4所示，供大家参考。表2.4.4序列傅里叶变换的基本性质

2.5离散时间系统的频域分析

在前几节中，学习了序列Z变换和傅里叶变换DTFT的定义和性质，下面将探讨如何利用Z变换来分析系统的因果性和稳定性，并研究如何利用几何方法来确定系统的频率响应。

2.5.1系统函数与频率响应

对于一个线性时不变离散时间系统，其时域特性可用单位脉冲响应序列h(n)加以描述，即系统初始状态为零，输入为单位脉冲序列δ(n)时，系统的输出为单位脉冲响应序列h(n)。对于系统的频域特性，用h(n)的傅里叶变换表示，即

H(ejω)称为系统的频率响应。当h(n)满足绝对可和条件时，H(ejω)存在且是ω的连续周期性函数，系统是稳定的。

对于系统的复频域特性，则用h(n)的Z变换表示，即

为了区别频率响应H(ejω)，H(z)称为系统函数。可见，Z平面单位圆(z=ejω)上的系统函数就是系统的频率响应H(ejω)，条件是H(z)收敛域中包含单位圆。(2.5.1)(2.5.2)系统频率响应H(ejω)反映了系统对输入序列频谱的处理作用。假设输入是频率为ω的复序列，即

通过线性时不变系统后，输出序列为

上式表明：当输入为复指数序列ejωn时，输出为同频率的复指数序列乘以频率响应H(ejω)。可以说，H(ejω)反映了复指数序列通过系统后幅度和相位随ω的变化规律。因此，H(ejω)称为系统频率响应是合适的。(2.5.3)(2.5.4)若输入序列x(n)的频谱为X(ejω)，利用式(2.4.28)所示的DTFT时域卷积定理，输出序列y(n)的频谱可以表示为

Y(ejω)=X(ejω)·H(ejω)

(2.5.5)

对于系统函数H(z)，若X(z)=ZT［x(n)］，Y(z)=ZT［y(n)］，利用Z变换时域卷积定理，系统输入、输出及系统函数三者的关系为

Y(z)=X(z)H(z)

(2.5.6)

即有(2.5.7)上式表明：系统函数可表示为输出序列Z变换和输入序列Z变换之比，因此，系统函数也称为传递函数。

鉴于系统时域描述可采用N阶线性常系数差分方程，根据式(2.3.19)和式(2.3.20)，系统函数用差分方程的各个系数表示为

若H(z)用零点和极点表示，则有(2.5.8)

式中，A为实数，且A=b0/a0，cr和dk分别为零点和极点。当H(z)收敛域中包含单位圆时，令z=ejω，则系统的频率响应为(2.5.9)

(2.5.10)2.5.2系统因果性与稳定性分析

因果性和稳定性是离散时间系统很重要的一类性质，是在实际应用中必须考虑的问题。第1章针对线性时不变系统，从单位脉冲响应序列h(n)出发，讨论了系统因果性和稳定性的判断条件。由于单位脉冲响应序列h(n)和系统函数H(z)是一对Z变换，分别表征了系统的时域和复频域特性。下面将从系统函数H(z)出发，探讨如何分析系统的因果性和稳定性。

基于系统函数H(z)的分析是这样考虑的：由于因果性与稳定性的h(n)判断条件决定了系统函数H(z)的收敛域，而收敛域内不包含极点，因此，可以利用系统函数H(z)的极点分布规律，来判断系统因果性和稳定性。首先讨论因果性。在第1章中，对于一个线性时不变系统，如果系统具有因果性，那么单位脉冲响应序列h(n)是因果序列，即

h(n)=0，n<0

(2.5.11)

可见，h(n)是一个典型的右边序列，对应的系统函数H(z)收敛域中应包含∞，即收敛域可表示为

Rx－<|z|≤∞

(2.5.12)

上式表明：极点分布在半径为Rx－的圆的内部，收敛域位于圆的外部。也可以说，如果极点分布在某个圆内，收敛域在该圆的圆外，包含∞，那么该系统一定是因果系统。

对于稳定性，如果系统稳定，单位脉冲响应序列h(n)满足绝对可和，即

上式绝对可和条件也是式(2.4.8)所示的h(n)傅里叶变换的存在条件，即频率响应H(ejω)存在；而H(ejω)是H(z)在Z平面单位圆(|z|=1)上的特例，因此，系统函数H(z)收敛域中应包含单位圆。也可以说，若系统函数收敛域中包含单位圆，那么系统一定稳定。(2.5.13)对于因果稳定系统，综合考虑因果性和稳定性对应的系统函数极点分布规律，