2023-2024学年陕西省西安市周至县高一下学期7月期末教学质量检测数学试题（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年陕西省西安市周至县高一下学期7月期末教学质量检测数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(−2,3),b=(1,−1)，若(ka+A.−52 B.52 C.−2.某公司在职员工有1200人，其中销售人员有400人，研发人员有600人，现采用分层随机抽样的方法抽取120人进行调研，则被抽到的研发人员人数比销售人员人数多(

)A.20 B.30 C.40 D.503.投掷一枚质地均匀的骰子，则向上的点数是3的倍数的概率为(

)A.16 B.13 C.144.已知α，β是两个不重合的平面，直线l⊥α，则“l//β”是“α⊥β”的(

)A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件5.在一个港口，有一艘船以每小时30海里的速度向正东方向行驶，在某时观测到在该船北偏东75∘方向上有一座灯塔A，2小时后，灯塔A在该船的东北方向上，该船继续向正东方向行驶足够长时间，则该船与灯塔A之间的最短距离是(

)A.15(3+1)海里 B.30(6−2)6.若z=1+2i+i2，则|z|=(

)A.0 B.1 C.2 D.7.已知某圆柱的轴截面是正方形，且上、下底面圆周上的所有点都在球O的表面上，则该圆柱的体积与球O的体积的比值是(

)A.223 B.4238.若向量a，b是一组基底，向量m=xa+yb(x,y∈R)，则称(x,y)为向量m在基底a，b下的坐标.如图，某人仿照赵爽弦图，用四个三角形和一个小的平行四边形拼成一个大平行四边形，其中E，F，G，H分别是DF，AG，BH，CE的中点.已知向量e1，e2分别是向量AB，AD方向上的单位向量，且向量AG在基底e1，e2下的坐标为(4,2)，则AH在基底A.(4,3) B.(3,4) C.(4,1) D.(2,4)二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.某商场评选金牌销售员，现将该商场所有销售员某月的销售额进行整理，得到如图所示的统计图，则(

)

A.该商场有20名销售员

B.该商场这个月所有销售员销售额的平均数为7万元

C.该商场这个月有30%的销售员的销售额超过7万元

D.该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是8.5万元10.已知事件A,B,C两两互斥，若P(A)=16，P(B)=13，P(A∪C)=A.P(C)=14 B.P(A∪B)=12

C.11.如图，点P在正方体ABCD−A1B1C

A.三棱锥A−D1PC的体积不变 B.

A1P//平面ACD1

C.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知复数z=1−3i1+i，则z=

13.某圆台形花坛的上底面圆的半径是2米，下底面圆的半径是4米，高是3米，则该花坛的侧面积是

平方米．14.已知▵ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若c=3，且(a+b)2=c2四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题12分)为了了解一片林木的生长情况，某科研机构成员随机检测了其中100棵树木的底部周长(单位：cm)，所得数据都在[80,130]内，按[80,90),[90,100),[100,110),[110.120),[120.130]分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．

(1)求图中a的值;(2)估计这片林木中树木底部周长的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(3)若这片林木有10000棵树木，估计这片林木中底部周长在[90,110)内的

树木的数量．16.(本小题12分)

如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，四边形ACC1A1是菱形，△ABC是等边三角形，平面ACC1A1⊥平面ABC，D，E，F分别棱AA1，BB1，B1C17.(本小题12分)在▵ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知4a=3b，且cosA=(1)求sinB(2)若c=3，求▵ABC的周长．18.(本小题12分)如图，这是某种型号的奖杯，它是用一个正四棱台、一个正四棱柱和一个球焊接而成的球的半径为R.正四棱柱的底面边长为2R，高为7R.正四棱台的上、下底面边长分别为4R和6R，斜高(即侧面梯形的高)为3R．(1)求这种型号的奖杯的表面积(用R表示，焊接处对面积的影响忽略不计)；(2)已知R=3cm，若为奖杯表面镀金所用的

材料每1.6g可以涂1m2，且该种型号的奖杯底面(图中正四棱台的下底面作为该种型号的奖杯的底面，一般底面采用其他村质)不需要镀金，则为100个这种型号的奖杯镀金约需要多少材料？(π取3.14，精确到19.(本小题12分)甲、乙、丙三人进行台球比赛，比赛规则如下：先由两人上场比赛，第三人旁观，一局结束后，败者下场作为旁观者，原旁观者上场与胜者比赛，按此规则循环下去.若比赛中有人累计获胜3局，则该人获得最终胜利，比赛结束，三人经过抽签决定由甲、乙先上场比赛，丙作为旁观者.根据以往经验，每局比赛中，甲、乙比赛甲胜概率为12，乙、丙比赛乙胜概率为13，丙、甲比赛丙胜概率为(1)比赛完3局时，求甲、乙、丙各旁观1局的概率；(2)已知比赛进行5局后结束，求甲获得最终胜利的概率．

答案解析1.D

【解析】因为a=(−2,3),b=(1,−1)因为(ka+b)⊥b，所以(k故选：D2.A

【解析】解：由题意可得被抽到的研发人员有600×1201200=60人，

销售人员有400×12012003.B

【解析】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，有6种结果，每种结果等可能出现，

出现“向上的点数为3的倍数”的情况有2种，

故所求概率为P=2故选B．4.A

【解析】解：由l⊥α，l//β⇒α⊥β，充分性得证;

而由α⊥β时，l⊥α，直线l可能平行于平面β也可能在平面β内，故必要性不成立;

故本题选A．5.D

【解析】解：设该船的初始位置为B，2小时后的位置为C，过A作AD⊥BC，垂足为D，则AD为所求的最短距离．

由题意可知∠ABC=15∘，∠ACB=135∘，BC=60海里，则∠BAC=30∘．

在△ABC中，由正弦定理可得ABsin∠ACB=BCsin∠BAC，则AB=BC6.D

【解析】因为z=1+2i−1=2i，所以|z|=2，故选：D7.D

【解析】解：设该圆柱的底面圆半径为r，高为ℎ，则ℎ=2r．

设球O的半径为R，则R=2r.

由圆柱的体积公式可得V圆柱=πr2⋅ℎ=2πr8.B

【解析】解：由题意可得AG=AB+BG=AB+12BH=AB+12(BC+CH)=AB+12BC+14CE．

因为EFGH是平行四边形，

所以AG=−CE，

所以AG=AB+19.ACD

【解析】解：由统计图可知该商场有20名销售员，则A正确；

该商场这个月所有销售员销售额的平均数为4+5×2+6×4+7×7+8×3+9×2+1020=6.95万元，则B错误；

该商场这个月销售额超过7万元的销售员有6人，占总人数的百分比为620=30%，则C正确；

因为20×85%=17，所以该商场这个月所有销售员销售额的第85百分位数是10.ABD

【解析】因为

事件A,B,C两两互斥，所以P(A∪C)=P(A)+P(C).因为P(A)=16，P(A∪C)=512，所以因为P(A)=16，P(B)=13，所以因为事件A,B,C两两互斥，所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=34，则因为P(B)=13,P(C)=14故选：ABD11.ABD

【解析】解：如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，

AB//DC//D1C1，AB=DC=D1C1，

所以四边形ABC1D1为平行四边形，所以BC1//AD1，

因为AD1⊂平面ACD1，BC1⊄平面ACD1，

所以BC1//平面ACD1，

于是得点P到平面ACD1的距离是定值，

而△ACD1面积是定值，

因此三棱锥A−D1PC，即三棱锥P−ACD1的体积不变，A正确；

由选项A知，BC1//平面ACD1，

同理可得A1C1//AC，

因为AC⊂平面ACD1，A1C1⊄平面ACD1，

所以A1C1//平面ACD1，而BC1∩A1C1=C1，BC1,A1C1⊂平面A1BC1，

所以平面A1BC1//平面ACD1，又A1P⊂平面12.−1+2i

【解析】因为z=1−3i所以z=−1+2i故答案为：−1+2i13.6【解析】由题意可得该花坛为圆台，它的母线长l=则该花坛的侧面积S=πr1+故答案为：614.3【解析】因为(a+b)2=因为ab≤a+b22所以(a+b)2−所以(a+b)2≤4则a+b+c≤33，即▵ABC周长的最大值为故答案为：315.解：(1)由频率分布直方图可得0.015+a+0.035+0.020+0.005×10=1，解得a=0.025(2)设这片林木中树木底部周长的平均值为x，则x(3)由频率分布直方图可知这片林木中树木的底部周长在[90,110)内的频率是(0.025+0.035)×10=0.6，则这片林木中底部周长在[90,110)内的树木的数量的估计值是10000×0.6=6000．【解析】(1)由所有分组的频率之和为1，求a的值；(2)利用频率分布直方图求出数据的平均值；(3)由范围内的频率计算频数．16.(1)证明：由三棱柱的定义可知AA1/​/BB1，AA1=BB1．

因为D，E分别是棱AA1，BB1的中点，所以A1D//BE，A1D=BE，

所以四边形A1DBE是平行四边形，则A1E//BD．

因为BD⊂平面BC1D，A1E⊄平面BC1D，所以A1E/​/平面BC1D.

因为E，F分别是棱BB1，B1C1的中点，所以EF/​/BC1．

因为BC1⊂平面BC1D，EF⊄平面BC1D，所以EF//平面BC1D.

因为A1E，EF⊂平面A1EF，且A1E∩EF=E，

所以平面A1EF//平面BC1D.

(2)解：作C1H⊥AC的延长线于点H，连接BH．

因为平面ACC1A1⊥平面ABC，且平面ACC1A1∩平面ABC=AC，

【解析】(1)先证明A1E/​/平面BC1D和EF//平面BC1D，由面面平行的判定即可得证；

(2)作C1H⊥AC的延长线于点17.解：(1)由A∈(0,π)，且cosA=23又因为4a=3b，由正弦定理得4sinA=3sin(2)由4a=3b，可得ab=34，可设因为c=3，由余弦定理得a2=b即7k2−16k+9=0，解得k=1当k=1时，a=3,b=4，此时▵ABC的周长为a+b+c=10；当k=97时，a=277,b=

【解析】(1)根据题意，求得sinA=5(2)设a=3k,b=4k，由余弦定理得出方程7k2−16k+9=0，解得k=1或k=18.解：(1)球的表面积为4πR正四棱柱的表面积为(2R)正四棱台的表面积为(6R)故这种型号的奖杯的表面积为112R(2)因为1个这种型号的奖杯需要镀金的面积为168=132×3所以100个这种型号的奖杯需要镀金的面积为1301.04×100=130104cm因为为奖杯表面镀金所用的材料每1.6g可以涂1m所以为100个这种型号的奖杯镀金约需要材料13.0104×1.6=20.81664g≈20.82g．【解析】(1)分别求得棱台、棱柱、球的表面积后相加即可得出该奖杯的表面积；(2)求出奖杯需要镀金的表面积，再根据镀金材料的每平方米的重量可求得为100个这种型号的奖杯镀金所需要的材料．19.解：(1)由题可知，甲、乙、丙各旁观1局只需讨论前两局的胜负情况，可分为：甲胜乙