2020-2021学年新教材数学北师大版（2019）第二册学案与作业：3.2半角公式

3.2半角公式

基础通关一水平一》

门5分钟35分）

1o已女口cos~~总8£（IT,2TT）,贝1sin，+cosg=（

A.—Bo-

55

C.--Do-

55

【解析】选D.因为0W（ir,2球所以

所“以，sm,-0+cos0-=1"o

225

1a

2.（2020•西安高一检测）已如cosa=-g,a£（n,9），%+：：&=（）

12

Ao二B.-2C.-D.2

22

【解析】选B。由cos（x=―|，a£（m引，

QQ,.a2d4.Q

,0.31+ta%cos-+sin-i+sina-i1-ta丐

何a=~,---------<?=-I,----=-^=——，所以---

sin51-tan—cos一—sm—cosa—21+tan^-=-2o

22252

3.（2020•济南高一检测）>$.△ABC中，若sinBsinC=cos2*划下面

等式一定成立的为（）

A.A=BBoA=C

C.B=CD.A=B=C

【解析】选C.在△ABC中，因为sinBsinC=cos2g=巴鲁，

所以2sinBsinC=—cosBcosC+sinBsinC+l,

所以cosBcosC+sinBsinC=cosfB一CJ=1,

因为—7i〈B-C〈兀，所以B—C—0,B—Co

4o（2020•福州高一检测）4知sin--cos450°<a<540°,

225

则tan］的值为o

2

【解析】由题意得（s呜-cos

即1-sina=3所以sina=-,

55

因为450°<a〈540°,所以cosa=--,

5

vu,a1-cosaMw）c

所以tan一二----=\5-2.

2sina一

5

答案：2

5.（2020・永安高二检测）若代卜祠,

=

化简：-+-I--j--cos2（zo

J22\22--------------------

【解析】因为aW（n,1）,

所以支&引，

所以cosa<0,sin^>0,

J-1+-1cos2a=|cosa|=-cosa.

所以原式二l---cosa=sin-=sin-.

\2222

答案:sinS

2

6o(2020•浦东高二检测)已知a,(o,g且a〈0,若sina=g,cos

刃喑

求：C)cos0的值；(2)tang的值.

【解析】(1)因为a,0£(0,T),sina=*

所以cosa='

因为a<P，所以a—p£($0),

又cos(a-6)二||,

所以sin(0邛)二系,

所以cosp=cos[a-(a-^)]

=cosacos(a-^)+sinasin(a-^)

_4X123X533

51351365,

(2)由(1)彳导cosP=||,所以sin[3=||,

sin/74

所以tan-=33-o

21+COS01+—7

65

I能力进阶一水平二》

（30分钟60分）

一、单选题（每小题5分，共20分）

1.(2020•洛阳高二检测)已知cos^=|,a^(0,2n),贝1sin(宁)

)

A等By/10c3，10Do

.10°10io

【解析】选C.因为角m是:的2僖,

YQY3

1-cos-1--1

所以sin2«_2—5—

4225’

因为a£(0,2n),

所以苦（。,*

4

1_Vs

所以si・na-=

45-5，

aL.aL12V5

92

所以cos-=l-sm-=l--=——9.

44«55

所以sin(笠/=si唱+"

=s•ina-cos1-1+,cosa-s•inn-

4444

=^x—+—X—

525210

2.(2020・延安高一检测)设cos(x+y)sinx一sin(x+y)cosx=!|,且

y是第叩象F艮角，则ta*的值是()

A。二B。土三C.—D+-

3223

【解析】选A。因为cos(x+y)sinx-sinfx+y)cosx二!|,所以siny=sin

[(x+y)-x]

=sin(x+yjcosx-cos(x+y)sinx=——,

因为y是第二象F艮角，所以cosy=Jl-sin2尸J1-（胃*由半角

12

公式得tan3二、吨一一咚=_工*星=.

21+cosy1+213183

3o（2020•三亚高一检测）若3兀<X<4TI,则111^+（）

A.V2COSQ-0BO-V2COSQ-0

CoV2sin^-f)D.-企sin《-§

【解析】Co因为3兀〈x<4兀，

所以当<2K,sinm<0,cos|>0。

cosf|+|sin^cosf-sin^V2(^cosx---y/2si.nx-\

2227

=V2sinQ-|)o

【补楂训练】

给出下列等式:

(,11)\—1zr4tcana-=----2-

tan-2tana

2

业竺空码竺生小fa—PJ;

，2sinasin0+cos(a+0)r

5n一57i

、tan—+tan——

412

C3J5n=-V3；

1-tan—

12

14幅心=必匕

21+cosa

其中正确的等式序号兵__________o(将你认为正确的等式序号全

部写出来)

*1—t^oY\^—1一tan2gc

【解析】对于等式(D,左边二一f=2x一声3,等式(1)不成

tan-2tan-tana

22

立；

对于等式(2),左边二

_sinacos0+cosasin0-2sinacos0

2sinasin/?+cosacos/?-sinasin^

sinacos^-cosasin/?

cosacos/y+sinasin°

二/m—tan(a邛)，等式(2)不成立;

cos(a-pJ\7

5n一5n

,一i.tan—+tan—

对于等式(3),左边二一45n繇

1-tan—tan—

412

=tan(—+—)=tan—

\41273

=tan(2ir-^=-tan^=一V3,等式j(3)成立;

/2a\.2Ct

对于等式(4),等式右边二1广S：a21=：sm.darP*等式(4)成立.

l+(2cos2--lJ2cos2-2

答案：(3)C4)

4.已知函数f(a)=4(sin2a―cos2a)+2,在锐角三角形ABC中f(AJ

=6,且cos2B=cos2C,则tanB的值为(J

A.lB.V2-1

CoV2+1D.0

2

【解析】选C。因为函数f(a)=4(sin2a-cos2a)+2

=4V2sin(2a-；)+2,

又因为在锐角三角形ABC中，f(A)=6,

所以f(A)=4V2sin(24-?)+2=6,

即sin(24-与=立，所以2A—2A3=邺，解得A二或A=*舍

\4/2444442

去)，

又因为cos2B=cos2C,

所以2B=2C,即B=C=-,

8

匹

所以tanB=S1112g=^^=V2+1。

l+cos2B］上

2

【误区警示】注意本题中锐角三角形的限制，产生多解后要对其

进行检验。

二、多选题(每小题5分，共10分，全部选对得5分，选对但不会的

得3分，有选错的得。分）

5o（2020•长沙嵩一检测）下列三角式中，值为1的是（）

A.4sin15°cos15°Bo2(cos2^-sin2^)

【解析】选ABC.A。4sin15°cos15°=2sinC2xl5°）=2sin30°=l,

本选项符合题意；

B.2（cos2-sin2]=2COS（2X£）=2COS台1,本选项符合题意；

2tan225：

C.7=tan（2x22.5。）=tan45。=1,本选项符合题意；

l-tan222.5°~

DoCOS^JcOS2X^=COS^7^1,本选项不符意。

6.已知知数f（x）=Ltan：x_2sinXCOSX,则下列选项正确的是（）

j.।ianx

A.函数f（x）的最小正周期是兀

Bo函数f（x）在区间卜,，上单调遹增

Co函数f（x）的图象关于点（、，0）对称

Do函数f（x）的图象关于x=」对称

8

-1-COS2X

【解析】选AD.因为f(x)二言悬-2sinxcosx

H-1-+-C-O--S2-X

=cos2x-sin2x=V2cos^2x+*

对选项A,函数的最小正周期为T=*TI,故正确；

对选项B,因为—^<x<^<2x+^<p

所以f（x）在［、，外上单调遹减，故错误；

对选项C,fd=V^cos（-B+；）=声,函数不关于点（一：，0）对称，故

错误.

对选项D,f（f=&cos（-；+；）=&,函数f（x）的图象关于x=—^对

称，故正确。

【光速解题】B选项可以将区间端点值代人验证得

f（-f〉鸣），故不成立，由对称中心在平衡住置处及对称轴对应

的函数值为最大或最小值易知C错D对。

三、填空题（每小题5分,共10分）

7。（2020•杭州高一检测）若a的终边上的点（x,y）满足y=2x（%<0）,

贝］sina-cosa=,tan|=。

【解析】在a的终边上，任意取一点（-1,-2）,

.--22

贝n1sma=-^==——产，

V1+4

~11

cosa=V"l+=4=-V5-,

r1VS

贝n1sma-cosa=--=——,

Vs5

/tana-=-1---c-o-s-a='i+Vs

2sina2

8.（2020•上海高一检测）若△ABC为等腰三角形，顶角为A,cos

A=I，贝」sinB=.

【解题指南】利用等腰三角形进行A,B两角的关系转化,从而由

A角的函数值得B角的函数值。

【解析】因为△ABC为等腰三角形，顶角为A,

所以B=一,sinB=sin（告上cos*

由半角公式得cos台土产冥=±*

又cosA〈0,故A为钝角:£（;当，

2\427

所以sinB=cos-=-o

210

令水'10

叩、斛答题（每小题10分，共20分）

rLCw,\4COS4X-2COS2X-1

9O已知函数f（X）二行\——

tan^—+xj•siM匕-叼

⑴求f（-部）的值；

C2）x£0,；时，求g（x）=；f（xj+sin2x的最大值和最小值。

【解析】（l）f（x）=差干3"

tan^—+xj•$111/匕一叼

/1+COS2X\2--a

41-------j-2cos2x-l

os2(5%)

COS22X_COS22X

sin(三+%)(:05(三+%)|sin^+2x

COS22X,C

,J-------2cos2xo

-cos2x

2

所以«一加=2cos等=2cos千-低

(2)由(1)如f(x)=2cos2x,

g(x)=：f(x)+sin2x=cos2x+sin2x

—V2sin^2x+Z).

因为x£[o,*所以三2x十三水

2J444

所以g(x)max=V^,g(x)min