【高中数学竞赛大全】竞赛3三角函数（50题竞赛真题强化训练）解析版

【高中数学竞赛专题大全】

竞赛专题3三角函数

(50题竞赛真题强化训练)

一、单选题

1.(2018•吉林•高三竞赛)已知〃冷=二心，则对任意xeR,下列说法中错误的

2+cosx

是()

A./(x)>|sinA-B.|/(x)|<|x|

C.|/(x)|<^yD./(^+x)+/(^-x)=0

【答案】A

【解析】

【详解】

由/(x)Ngsinx得sinx(l-cosx)*0,・.T-cosx±0,所以该式不一定成立，sinx有可能

是负数，所以选项A错误；

|〃力|=广卜间4W.所以选项B正确；

।『(/斗忌Isinxl『届sinx国—0康示单位圆上的点和(2。)所在直线的斜率的绝对

值，数形结合观察得到|/(x)归立，所以选项C正确;

-sinxsinx

./■（乃+犬）+/（万一x）=----------------1---------------中=。，所以选项口正确.

2-cosx2-COSJC

故答案为A

11

2.(2018・四川•高三竞赛)函数丫:⑸"-"。/》-D(xeR)的最大值为().

2+sin2x

A.也B.IC.

+D

2IT-&

【答案】B

【解析】

【详解】

sinx-cosx一（sinx+cosx）+1,

因为yZ'*

2+2sinxcosx

t=sinx+cosx=啦sinIx+二71|£N，码,

4

则sinvcosx=g(l-,于是

1-2

令g«)=M(松一血，血'贝

由g'(f)=O知1=一1或1.

因为北&州-冬g(-l)=-g,g⑴=另(&)=4，于是g(r)的最小值是

g(-i)=—；，所以y的最大值是g-1-£)=i.

故答案为:B

3.(2019・全国•高三竞赛)函数y=binx-cosx]+kinx+cosx]的值域为()(卜]表示不

超过实数x的最大整数).

A.{-2-1,0,1,2}B.{-2,-1,0,1}

C.{-1,0,1}D.{-2,-1,1)

【答案】D

【解析】

【详解】

1.c一

y=—sinzx+

|_2J

下面的讨论均视

(1)当2%乃<x<2k]+工时，y=1；

2

7T3乃

(2)当2fcr+生<尤42攵4+小时，y=-i；

24

37r

(3)当2&万+2—<x<2k7T+万时，y=-2；

4

3乃

(4)当x=24;r+4或2左乃+—时，y=-1；

2

34

:

(5)当2k兀+7V<x<2k冗+—时，y=-2：

2

(6)当2%4+之37r<*<2攵4+匕时，y=-2；

24

(7)当+<尤<2%4+2万时，y=-l.

综上，ye{-2,-l,l}.

故答案为D

4.（2010・四川•高三竞赛）已知条件〃:Jl+sin2a=g和条件"sina+cosa1=g.则〃

是q的（）.

A.充分但不必要条件B.必要但不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【详解】

因Jl+sin2a=^(sina+cosa)2=|sina+cosa|»所以，。是4的充要条件.

5.(2018•全国♦高三竞赛)在AABC中，ZA<ZJ5<ZC,smA+sm8+s】n;二6,

cosA+cosB+cosC

则D8的取值范围是().

【答案】C

【解析】

【详解】

由条件有sinA+sinB+sinC=6(cosA+cosB+cosC)

=>(2Geos-2sin^^cos=sinB-限osB.

利用辅助角公式有kos^y^=sin(B_?

士叼-。+8-6。丁亩8-+。-6。。

1/=0

所以，/3—60。=0或者4一/。+/3—60°=0或者/8—4+/。一60°=0,

即NB=60。或者/C=60。或者Z4=60。.亦即NA、NB、NC中有一个为60。.

若NB<60。,则444/8<60。，所以，只能NC=60。，此时，NA+/B+NC<180。,矛

盾;

若N3>60。，则NC2N3>60。,所以，只能NA=60。，从而，ZA+ZB+ZC>180°,

亦矛盾.选C.

二、填空题

6.（2018•江西•高三竞赛）若三个角x、y、z成等差数列，公差为则

tanxtany+tanytanz4-tanztanx=.

【答案】-3

【解析】

【详解】

根据x=y-],z=y+],

tany-v3tany+V3

则rilltanx=-y=——,tanz=—,.

1+v3tany1-v3tany

..tan2y-V3tanytan2y+V3tanytan2y-3

明以taartany=-----尸------,tanytanz=-------j=-----,tanztanx=--------.

1+J3tany1-J3tanyl-3tan'y

9tan2y-3.

贝nlI]tarulany+tanytanz+tanztanx=-------=-3.

l-3tan-y

故答案为-3

7.(2018・广东•高三竞赛)己知△ABC的三个角A、B、C成等差数列，对应的三边为

4

a、b、c,且a、c、耳b成等比数列，则5必比：〃2=.

【答案】此

2

【解析】

【详解】

因为A、B、C成等差数列，28=A+C,3B=A+B+C=180°,因此8=60。.

又因为a、c、成等比数列，所以。=敦，b=&&.

734

a

—e岛,qa

由止弦定理——=­.”二.八”。一八，

sinA4sin60°sin(120°—A)

整理得sinA=,*COSA=[T，(q-2)[3q3+5g2+4+(4-2)]=0.

所以g=2,sinA=；,4=30。，C=90°.

故5MBe=；昉=*"，所以鼠改：/=#・

故答案为立

2

8.(2019・全国•高三竞赛)设锐角尸满足ax夕，且

(cos2a+cos2/7)(1+tana-tan/7)=2,贝lja+p=.

【答案】90

【解析】

【详解】

由己知等式得(2+tan%+tan2月)(1+tanstan£)=20++tan/),

(tan(2-tan/?)"(tancrtan/7-1)=0•

但锐角a。/,故tana.tan/7-l=。

ncos(a+尸)=0na+/?=90。.

故答案为90

9.(2021・全国•高三竞赛)函数y=sinx(l+tanx-tan5)的最小正周期为

【答案】In

【解析】

【详解】

解析：当x=2&/r,keZ时，y=sinx(l+tanx-tan'|J=(),

当xw2Z;r,ZeZ时，y=sinA~|1+s'nx.l__cosx|=tanx,其中xw%;r+工且

Icosxsinx)2

x丰2k兀*兀，

画出图象可得函数周期为2万.

故答案为：2乃.

10.(2021•浙江金华第一中学高三竞赛)设〃x)=(x2+4x+3)喈，为定义在R上的函

数.若正整数〃满足jl“％)=2021,则〃的所有可能值之和为.

k=l

【答案】12121

【解析】

【详解】

7tKn

/(6=(/二c+44+i\)COS—2A-=a+iCO)S—2.V伏+3)COS—2X,

Y[f(k)=(1+1)°(1+3)°(2+1)-*1(2+3)-1X...x(4/n-3+1)°(4w-3+3)°

A=l

x(4机一2+1尸(4加一2+3尸x(4机一1+1)°(4/n-1+3)°(4m+1)'(4m+3)),

TT

考虑cos的周期为4,分四种情况考虑

⑴当％=4加-3(m为正整数)时,

47n-3

I[/(幻=(2+1尸(2+3尸(4+W(4+3)|…x(4加-4+3)|(4机-3+1)"(4m一3+3)°

k=l

=3-IX(4/M-1)=2021.

目,以4m—1=6063,n=4/n-3=6061；

47??-2

(2)当人=4加一2时，nf(k)=3-'X(4m+1尸=2021,无正整数解；

*=1

4/M-I

(3)当左=4m-1时，[[/伏)=3TX(4/n+1尸=2021,无正整数解；

k=\

4/n-l

(4)当左二47n时,rw=3Tx(4m+3)1=2021，此时n=4m=6060,

K=1

综上,n=6060或〃=6061,

故答案为：12121.

11.(2021.全国•高三竞赛)在AABC中，A0=5,—彳+—不方=0,则比+加

tan—tan——tan一

222

的值为.

【答案】7

【解析】

【详解】

解析：记中A、B、C所对的边分别是a、b、c,

如图，设内切圆的半径为，

ArCrBr

.tan—=------tan—=---：---tan—=------

则ri2b+c-a,2a-vb-c,2a+c-br,

~~22T~

故b+c-a+a+b-c=5(a+c-b),故5(a+c)=7/7,

即a+c=7,

故答案为：7

59

12.（2021・全国・局三竞赛）已知△ABC满足2sinA+sin8=2sinC,则」一+「:的

sinAsine

最小值是.

【答案】16

【解析】

【详解】

解析：2sinA+sin3=2sinC=sinB=2(sinC-sinA)

A+CA+CA+C

•cos

222

nsink2sqtan^=3tan^

2222

.59595t2+527*+3

-------------1---------------

4-^=tan-,则^7sinC_2t6r2t2t

t2+19户+1

16产+4-/4,,

=―-->2J16r~=16.

iAir3A+「

当，=—,tan—=—,tan—=二时，tan----->0,所以A+Cvl80。，

222222

故(2=16.

UinAsinC；min

故答案为：16

71

13.(2020•浙江•高三竞赛)已知。,夕,7£0,y,则

cosa+2cosp+cos/-cos(a+y)-2cos(尸+y)的最大值为.

【答案】3vL

【解析】

【详解】

cosa-cos(a+y)=2sinjsina+办2s哆

2

同理cos/7-cos(/7+y)W2sin],

故cosa+2cos(5+cosy-cos(a+/)-2cos(6+y)<6sin-^+cosy,

11

而6sin—+cos/=-2sin2—+6sin—+1=-2|sin---4--，

222I222

因为0Wsin44,故—2（sir）2—H--3A/2.

22122

当且仅当7=5,a=〃=7时，各等号成立，

故答案为：3五.

14.（2021•全国•高三竞赛）已知三角形ABC的三个边长a、b、c成等比数列，并且满

足a262c.则乙4的取值范围为.

【答案】伶，与）

【解析】

【详解】

由条件从=皿结合余弦定理cos8==+c2-",yii]^cosB=^（-+--l）＞l,

2ac2ca2

从而8e（0,g,而A是最大角，从而会三；

故答案为：yt—I.

15.（2021・全国•高三竞赛）设0＜。＜2，Hcos30+sin30+1=m（cos0+sin0+I）3,则

2

实数m的取值范是.

35/2-41

【答案】2-'4

7

【解析】

【详解】

cos30+sin30+1

解析：加

(cos6+sin6+1)3

(cos0+sin0)(cos20-cossin6+sir?6)+1

(cos6+sin6+Ip

☆x=cos，+sin〃，则x=V^sin(1,&],且sinOcos®=,

JI)1

J-/4-iI2J2+3x—x'2.+x—x2—x31,

m—__-____________—__________—_________—________=___________

(x+1)3-2(X+1)3-2(x+l)2-2(x+l)-2(x+l)2

-r-

为然，“是(1,夜]上的减函数，所以f(&)4/(⑼<f⑴，即机€3

3夜-41、

故答案为:-2-'4

7

16.（2021•浙江•高三竞赛）在A43C中，ZB=ZC=30°,他=2.若动点P,。分别

在A3,8c边上，且直线PQ把AABC的面积等分，则线段PQ的取值范围为.

【答案】［"痒6,夕］

【解析】

【分析】

【详解】

如图所示，设8P=x,8Q=y,

所以醺眇2=g孙sin300=|久瓯=乎，所以孙=26，

c百22/212/

由余弦定理可得,2。2=/+/

-2xyx—=x~+y-6=x^+--6

易得xe［l,2］,所以

所以46-64P。？47,

则PQ的取值范围为［”6-6,77］.

故答案为：［“石-6,8.

17.（2021•浙江•高三竞赛）若xJ-,,。］,则函数y=4sinxcosx+3的最小值为

\44/sinx+cosx

【答案】2夜

【解析】

【分析】

【详解】

令£=sinx+cosx=&sin(x+?)e(0,3],

"亚土=丝工2"22万

ttt

当且仅当2f=!即/=正时取等号.

t2

故答案为：2&.

18.(2021・全国•高三竞赛)已知等腰直角APQR的三个顶点分别在等腰直角AABC的

三条边上，记，QR、A43C的面积分别为岂咿、S.ABC，则沁的最小值为

3AAsc

【答案】I

【解析】

【分析】

【详解】

（1）当APQR的直角顶点在AA3C的斜边上，如图1所示，则P,C、Q,R四点共

圆，ZAPR=ZCQR=180°-Z.BQR,所以sinZAPH=sinNBQR.

在LAPR、ABQR中分别应用正弦定理得%=.A^—，笑=.喋..

sinAsin/.APRsinBsmZ.BQR

又ZA=NB=45、PR=QR,故AR=BR,即/?为AB的中点.

过R作/W_LAC于，，则PR2R〃=gBC,

2fiC

所以力侬=p/?>（2）=1,此时沁的最小值为J.

BC2~4%，4

（2）当APQR的直角顶点在AABC的直角边上，如图2所示.

]^BC=\,CR=x（0<x<1）,NBRQ={0<a<?,

则ZCPR=90°-NPRC=NBRQ=a.

「Rj-

在R/ACPR中，PR=——=—,在ABRQ中，

smasina

x3

BR="x,RQ=PR=------,NRQB=7r-NQRB-NB=-7r-a,

sina4

x

RQRBsina

由正弦定理,硒=嬴与而0要二一W--------\-=---------b—，因此

3)sinacosa+2sina

上sin—sin—7i-a

44J

妆样S/QR_(______1]>__________1___________1

、S4ABelcosa+2sina)+22)(cos2a+sin2a)5

此时沁的最小值为]

当且仅当a=arctan2时取等号,

、4ABC5

故答案为：—.

3

19.（2021•全国•高三竞赛）满足方程cos2x+cos22x-2cosxcos2xcos4x=—,XG[0,2TT]

4

的实数x构成的集合的元素个数为.

【答案】14

【解析】

【分析】

【详解】

将方程变形为,cos2x+cos4x-4cosxcos2xcos4x=——.

2

两边同乘2sinx,运用积化和差和正弦的倍角公式，得:

(sin3x-sinx)+(sin5x-sin3x)-sin8x=-sinx,

即sin5x=sin8x,

故5x+8x=(2A+l)〃,Z£Z或8%=51+2%4,女cZ,

即'=筌1肛％€2或x=

又因为在方程两边同时乘sinx时，所以引入/增根x=M肛kwZ（代入原方程检弗可

得）.

再结合xl[0,2加，得所求结果为14.

故答案为：14.

20.（2021・全国•高三竞赛）设A4?C的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c,

若6+c-a=2,贝！|从$出，2+°2511120-2/70$皿4$1110$抽£值为.

22222-

【答案】1

【解析】

【分析】

【详解】

=—(b1+c1+2bc)-—ba-—ca+—a1=(生^一-)2=1.

42242

故答案为：1.

21.(2021•全国•高三竞赛)AMC中，4、B、C的对边分别为a、b、c,。是AASC的

外心，点P满足方=函+砺+诙，若8=5,且就.团=4，则AABC的面积为

【答案】2石

【解析】

【分析】

【详解】

由丽=丽+而+元，^OP-OA=OB+OC即丽=丽+南

___uuumai

注意到(O8+OC)，BC,所以APLBC.

同理，BP1AC＜所以？是AA8C的垂心，

BPBC=(BA+AP)BC=BABC,

所以accos8=4,ac=8,

所以SMBC=g«csinB=26.

故答案为：2K.

22.(2021・全国•高三竞赛)设的三个内角分别为4、B、C,并且

sinA、cosB、sinC成等比数列，cosA、sin8、cosC成等差数列，则B为.

【答案】y

【解析】

【分析】

【详解】

依题意，sinAsinC=cos2acosA+cosC=2sinB,

前一式积化和差可得cos(A-C)=2cos2B-cosB,

后一式和差化积可得cos与C=2cos《，

22

所以COS（A-C）=2COS2^——-1=8cos2--1=4cosB+3,

22

124

联立两式得cos8=-5或3（舍去），所以8=看.

故答案为：-

23.（2021•全国•高三竞赛）如果三个正实数万、，、z满足/+孙+y?=25,

y2+yz+z2=i44,z2+zx+x2=169，则呼+）'z+zx=.

【答案】40y/3

【解析】

【分析】

【详解】

x2+y2-2xycos120°=52,

易知三个等式可化为，y+z2-2yzcosl200=122,

z2+x2-2zxcos120°=132.

构造心AABC,其中A.B=13,BC=5,CA=12.

设尸为△ABC内•点，使得尸6=x,PC=y,PA=z,NBPC=NCa4=NAP6=120。.

因S.BPC+SQA+S.APB=S.ABC，则;⑶+»+zx）sin120。=gx5x12,

所以孙+yz+zx=40百.

故答案为：40G.

cosX

24.（2021•全国•高三竞赛）设f（x）=1s（30二二丁则〃1°）+/（2°）+…+〃60。）=

【答案】小叵

6

【解析】

【分析】

【详解】

cosX

因为“幻=许可’所以：

_cosx+cos（60°-x）_2cos30°cos（x-30°）

cos（x-30°）cos（x-30°）

令:5=/。。）+/（2。）+…+”59。），①

s=459。）+”58。）+…+”2。）+“1。）,②

①+②得：：

2s=[/（1。）+/（59。）]+卜（2。）+f（58°）]+-+[/（590）+f（1°）]=59^,

所以$=即川）+〃2。）+…+〃59）=学.

又/（60。）=/60。+昱

人,7cos（30°-60°）比31

2

则/（1。）+〃2。）+~+〃59。）+〃60。）=竽+*=1^.

故答案为：空5.

6

25.（2021・全国•高三竞赛）已知cosx+cosy=l,则sinx-siny的取值范围是

【答案】[-8,6]

【解析】

【分析】

【详解】

2

/2_]t—I

ijsinx-siny=t,cosxcosy-sinxsiny=,B|Jcos（x+y）=■.

由于-14cos（x+y）41,所以一14与241，

解得-GwVL

故答案为：[-6,6].

26.（2020・全国・高三竞赛）在AABC中，AB=6,BC=4,边AC上的中线长为加，

AA

则SH]+COS6]的值为.

211

【答案】赭

【解析】

【分析】

由中线长公式计算出AC的长度，然后运用余弦定理计算出cosA的值，化简后即可求

出结果.

【详解】

记M为AC的中点，由中线长公式得

4BM2+AC2=2（AB1+BC2）,

nJAC=^2（62+42）-410=8.

C片+时-BC?82+62-427

由余弦定理得cosA=所以

2CAAB2-8-68

+为s&g

44256

211

故答案为:

256

【点睛】

关键点点睛：解答本题关键是能够熟练运用中线长公式、余弦定理、倍角公式等进行

计算，考查综合能力.

27.（2019•江苏•高三竞赛）已知函数/（x）=4sin2x+3cos2x+2asinx+4acosx的最小

值为一6,则实数。的值为.

【答案】±72

【解析】

【详解】

令sinx+2cosx=则/G[-火,百J,

2/2=4sin2x+3cos2x+5,

・•・f（x）=gQ）=2/+2at-5,te[-6⑹,

当《4-6心2石时，

函数的最小值为：g（-百）=2x卜石）+2x（-石卜〃一5=-6,

解得：a=2^5f不合题意，舍去；

当一5~"，a~-2旧时，

函数的最小值为：g（石）=2乂（括）+2x（石）xa-5=-6,

解得：。=一乐，不合题意，舍去；

当一6<—<A/5,-2后<a<2石时，

函数的最小值为:gf-jl=2xf-^Y+2xf-jLa-5=-6>

解得：a=±近，满足题意.

故答案为：±及.

28.（2019・福建•高三竞赛）在△ABC中，若AC=O,A8=2,且

6sinA+cosA5万

=tan——，则8C=____________

6cosA-sinA12

【答案】y/2

【解析】

【详解】

厂2sin|A+—|

,>/3sinA+cosA5兀八、(6).5兀

由F~二行，得一7—anH'

V3cosA-sinA122cosA+七J12

即tan[A+、■)=tan,所以A+看=+k兀,keZ.

结合0<A<;r,得A+3=¥，A=j

所以由余弦定理，得:

所以BC=VL

故答案为：近.

29.（2018・全国•高三竞赛）设NA、乙8、NC是AABC的三个内角.若sinA=a,cos8=b,

其中,a>0,6>0,且/+b241,则tanC=

ab+\ll-a2\l\-b2

【答案】

ayjl-h2-by/l-a2

【解析】

【详解】

因为cos8=b>0,所以.NB为锐角,sinB=Jl_cos2B=Jl_/?2.

又/+b241,则sinA-a<\J\-b2-sinB

于是sin（万-A）VsinB.

若ZA为钝角，则乃-ZA为锐角.

又N3为锐角，则乃-ZAVNBnNA+2万矛盾.

从而,ZA为锐角，且cosA=Jl-sin%=y/l-a2-

sinAasinB_yj\-h2

故tanA=

^A~4]-a2'tanB=

cosBh

tanA+tanBah+\/l-a2yjl-h2

则tanC=

tanA♦tanB-1a\Jl-b2-b\l\-a2

30.（2018・全国•高三竞赛）在AABC中，已知。、b、。分别是NA、bB、NC的对

边.若g+?=4cosC,cos（A—B）=—,则8sC=______.

ba6

【答案】|

【解析】

【详解】

由题设及余弦定理知-+-=4-二旺©=a2+b2=2c2

balab

23

=>cosC=—或——.

34

3

而cosC+cos（A+3）=2sinAsinB>0=>cosC=一j（舍去）.

2

因此，cosC=-.

3

31.（2018•全国♦高三竞赛）若对任意的AABC,只要p+4=r（p、qwR）,就有

psin2A+qsin2B>pqsin?C,则正数厂的取值范围是.

【答案】0<r<1

【解析】

【详解】

设的三边长分别为。、b、J

则»sin2A+asin2B>pqsin2c@t=>—-+—b2>c2.

<7P

若7W1,则一片H—从2（q+p）（—-l—。-]2（a+人）->c'；

qpP）

若r>l,令p=q=：

当a=6,/C—>万时，&——,式①不成立.

c222

综上，0<r<l.

32.（2018•全国•高三竞赛）在锐角AABC中，cosA+cos5-sinA-sinB的取值范围是

【答案】（-2,0）

【解析】

【详解】

由0<ZA、NB、ZC<^=>^<ZA+ZB（^-=>ZA）^-ZB,ZB>y-ZA.

则0<cosA<sinB<1,0<cosB<sinA<1

故一2<cosA+cosB-sinA-sinB<0.所以取值范围是（-2,0）.

33.（2019・全国•高三竞赛）已知单位圆Y+y2=l上三个点A（X1,y）,凤七,必），

C(W，%)满足芯+W+W=弘+%+%=°.则x；+考+x；=y：+y；+y；=

3

【答案】4

【解析】

【详解】

设M=cosa,x2=cos/7,x3=cos/,y=sina,y2=sin/?y3=sin/.

由题设知A48c的外心、重心、垂心重合，其为正三角形.

故cos2a+cos2/?+cos2y=^+g(cos2a+cos2/7+cos27)=1-

sin%+sin2/7+sin2/=g-g(cos2a+cos2夕+cos27)=-|

3

故答案为5

34.（2021•全国•高三竞赛）在△ABC中，2cosA+3cos3=6cosC,则cosC的最大值

为_________________

【答案】①]

6

【解析】

【分析】

【详解】

2

令cosA=x,cos8=y,cosC=z,则2x+3y=6z,gpy=2z--x.

因为cos2A+cos2B+cos2C+2cosAcosBcosC=1,

所以x2+(2z-gx)+z2=l-2xf2z--|xjz

工曰42।4z13ZB,\/\A-1

]"7414z+------0n,\J1-Z<----------,

396

所以cosC的最大值为亚二1.

6

m-1

故答案为:

--6-

35.（2021・全国•高三竞赛）已知正整数〃、P,且。22,设正实数班,“，…，也满足

Xi*1~=1，则叫%…%的最小值为

【答案】（n-iy

【解析】

【分析】

【详解】

2

令m：=tanxnxiG

由题设可得cos?再+cos2%+…+COS2%=1,丁是:

2222

cos%+cosx2+­••+cosxn_{=sinxn,

2222•2

cosx}+cosx2+---+COSxn_2+cosxn=smX,,.),

2222

cosx2+cos+---+cosxn=sinx,,

将上述各式利用均值不等式得：

n2222

(〃-l)^cosx,cosx2•--cosxn_x<sinxn,

H22222

(n-l)^ycosX]cosx2•--cosxn_2cosxn<sinxn_x,

/:2222

(n-l)^cosx2cosx,•--cosxn<sin玉，

再把上述〃个不等式相乘，得

22222

(〃-1)"(cos2%cos々--cos<sin%sinx2---sinxn,

222w

即tanXjtanx2•••tanxn>(〃-l).

由于时=tan?%,i=1,2,...,〃，故仍巧...?之5一犷，

1

当且仅当叫=(〃_犷时上式等号成立.

故答案为：

36.(2021•全国•高三竞赛)设锐角A4?C的三个内角A、B、C,满足

sinA=sinBsinC,则tanA•tan8•tanC的最小值为.

・小田、16

【答案】—

【解析】

【分析】

【详解】

7T

由题设可知，。<4仇。<一，则cos3>0,cosC>。.

2

又由A+8+C=%及sinA=sinsinC

sin(^-(B+C))=sinB-sinCT

即sin(B+C)=sinSsinC,

则sinBcosC+cosBsinC=sinBsinC,①

由cos5>0,cosC>0,①式两边同时除以cosBcosC,

可得tanB+tanC=tanB-tanC.

设tan8+tanC=s,则tantanC=s,

由0<B,C<g知，tanB>0,tanC>0,贝ljs>0.

于是有tanB(s-tanB)=s,故tai?B-stanB+s=0,

《ST?c

从而有(tanB—)2=-----5=—(5—4).

244

又(tan8-1)220,得((s-4)N0,而s>().所以sN4.故sN4.

tan8+tanC—

=----------------------tanB-tanC=------.

1-tanB-tanC5-1

因为s",于是求tanATan8-tanC的最小值转化为求函数f(x)=——(x>4)的最小

x-l

值.

Y2工21

考虑函数f(x)=——(x>4),/(x)=—=(x-1)+——+2(x>4),

x-1x-1x-1

即/(x)在［4,用)上单调递增，从而x24J(x)N/(4).

因此〃x)的最小值在x=4时取得，为/(4)=去=个.

,,4

由1&口5+12!1。=10113,3。=4得，tanB=tanC=2,从而tanA=一,

3

416

故当lanA=§,tanS=tanC=2时,tanA-tanB-tanC取得最小值不.

故答案为：.

37.（2019・贵州•高三竞赛）在△ABC中，■+通+觉=6,西•赤=0.则

(tanA+tanB)tanC

tanA•tan8

【答案】3

【解析】

【详解】

设△ABC中角A、B、C所对的边分别为〃、b、c.

由痂+而+反=0,丽♦丽=0,知G为△ABC的重心.

GA2+GB2^C2

又GALG&所以+GB2=f|a

同+GT"

得到〃2+/=502.故:

_sin2c=2abe2_2c?__1_

22222

一sinAsin8cosc+b-c)~a+/,-c一2

故答案为：y.

38.(2019•江西・高三竞赛)AA8C的三个内角A、B、C满足：A=3B=9C,则

cosAcosB+cosBcosC+cosCeosA=.

【答案】:

【解析】

【详解】

TT

设C=a8=3。，A=9。，由6+36+96=万得0=2,

13

所以S=cosAcosB+cosBcosC+cosCcosA

注意括号中的诸角度构成公差为管的等差数列，两边同乘4sin^,得到

乃

=-sm——.

13

所以，S=~.

4

故答案为：-；.

4

三、解答题

39.（2021・全国•高三竞赛）在△MC中，三内角A、B、。满足

tanAtanB=tanBtanC+tanCtanA,求cosC的最小值.

【答案】I

【解析】

【分析】

【详解】

由tanAtanB=tanBtanC+tanCtanA,得：

sin2C

=，

cosAcos8cosc

2»22

所以sinAsinBcosC=sin2c.由正余弦定理，得ab"+........-=c2,

2ab

w、i27)c0「sin2cc2a1+krlab2

所以/+/r=3c",cosC=-------------=—=--------->——=-,

sinAsinBab3ab3ab3

当且仅"1。=b时等号成立，所以cosC的最小值为g.

40.(2021•全国・高三竞赛)解关于实数x的方程：*[34={靖侬

（这里

{x}=x-[.r],[x]为不超过实数x的最大整数)

【答案】{0}

【解析】

【分