2024-2025学年度北师版九上数学4.7相似三角形的性质（第一课时）【课件】

第四章图形的相似7相似三角形的性质（第一课时）数学九年级上册BS版01课前预习◎要点归纳相似三角形的对应高的比、对应角平分线的比、对应中线

的比都等于

⁠.相似比

数学九年级上册BS版课前导入02导入新课ACBA1C1B1问题1：△ABC与

△A1B1C1相似吗？ACBA1C1B1相似三角形对应角相等、对应边成比例.△ABC∽△A1B1C1思考：三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几何元素？高、角平分线、中线，周长、面积等高角平分线中线量一量猜一猜D1A1C1B1∟ACBD∟△ABC∽△A1B1C1CD和

C1D1分别是它们的高，你知道

等于多少吗？如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为

k，它们对应边上的高的比各是多少？ABCA'B'C'合作探究相似三角形对应高的比等于相似比解：如图，分别作出△ABC和△A'B'C'

的高AD和A'D’．

则∠ADB=∠A'D'B'=90°.

∵△ABC∽△A′B′C′，∴∠B=∠B'.∴△ABD∽△A'B'D'.ABCA'B'C'D'D由此得到：相似三角形对应边上的高的比等于相似比．类似的，我们可以得到其余两组对应边上高的比也等于相似比．归纳总结1.△ABC∽

△A1B1C1，BD和

B1D1

是它们的中线，已知

，B1D1=4cm，则

BD=

cm.62.△ABC∽

△A1B1C1，AD和

A1D1

是

BC和

B1C1边上的高，已知

AB

=8cm，

A1B1=3cm，则

△ABC与

△A1B1C1

的对应高之比为

.8:3练一练3.如图、电灯

P

在横杆

AB的正上方，AB

在灯光下的影子为

CD，AB∥CD，AB=2m，CD=4m，点

P

到

CD

的距离是3m，则

P

到

AB

的距离是

m.1.5PADBC24数学九年级上册BS版03典例讲练

如图，已知△ABC∽△A'B'C'，且△ABC与△A'B'C'的相似比为k.点D，E在边BC上，点D'，E'在边B'C'上.

【点拨】解这类问题的关键在于根据原来的两个三角形相似得

到新的三角形相似.

已知△ABC∽

△A'B'C'，求证：对应角平分线之比等于相似比.证明：设

△ABC中∠BAC的平分线交BC边于点D，△A'B'C'

中∠B'A'C'的平分线交B'C'边于点D‘.∵△ABC∽△A'B'C'，

∴∠B＝∠B'，∠BAC＝∠B'A'C‘.∴∠BAD＝∠B'A'D‘.∴△

ABD∽

△A'B'D‘.∴AD∶A'D'＝AB∶A'B'，即对应角平分线之比等于相似比.

一张锐角三角形的硬纸片如图所示,AD是边BC上的高,BC＝40cm,AD＝30cm，从这张硬纸片上剪下一个长HG

是宽HE的2倍的矩形EFGH，使它的一边EF在BC上，顶点

G，H分别在边AC，AB上，AD与HG的交点为点M.

求矩形EFGH的周长.

【点拨】三角形中截取矩形或正方形问题是相似图形知识应用的热点问题，解决它的方法一般是抽象为相似的数学模型，利用相似三角形中对应高之比等于相似比来解答.

如图，矩形EFGH内接于△ABC（矩形各顶点在三角形的边上）,点E,F在BC上，点H,G分别在AB,AC上,且AD⊥

BC于点D,交HG于点N.

若AD＝3,BC＝9，设EH＝x，矩形EFGH的面积为y，求出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围.

已知一块直角三角形木板的直角边AB的长为1.5m，面积为1.5m2.工人师傅要用它截取一个面积最大的正方形桌面，请甲、乙两位同学进行设计加工方案，甲同学设计方案如图1，乙同学设计方案如图2.你认为哪位同学设计的方案中的正方形面积大？

试说明理由.图1图2

【点拨】解本题的关键点有两个：一是用等面积法求出斜边上的高；二是运用相似三角形的对应高之比等于相似比进行计算.

如图，有一块锐角三角形卡纸余料ABC，它的边BC＝120cm，高AD＝80cm，为使卡纸余料得到充分利用，现把它裁剪成一个邻边之比为2∶5的矩形纸片EFGH和正方形纸片PMNQ，裁剪时，矩形纸片的较长边在BC上，正方形纸片的一边在矩形纸片的较长边EH上，其余顶点均分别在AB，AC上，AD分别交

PQ，EH于点K，R.

（1）求矩形纸片的较长边EH