【新教材教案】4.1数列的概念

4.1数列的概念（2）

教材分析

本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第四章《数列》，本节课主要学习数列的

递推公式及数列的前n项和与通项的关系。

“数列的概念与简单表示法”，主要涉及数列的概念、表示方法、分类、通项公式、数列和函数

之间的关系、数列的递推公式及数列的前n项和与通项的关系等。

教学过程教学设计意图

核心素养目标

数列作为一种特殊的函数，是刻画离散现象的数学模型，是一种离散型函数，在日常生活中

有着重要的应用.学习数列对深化函数的学习有着积极地意义，数列是以后学习极限的基础，因此,

数列在高中数学中占有重要位置。数列的概念是学习数列的起点与基础，因而建立数列的概念是本

章教学的重点，更是本节课教学的重点。学生主动自我建构概念，需要经历辨析、抽象、概括等过

程，影响概念学习过程的因素又是多样的，所以，数列特征的感知和描述，函数意义的概括和理解，

是教学的难点.

教学目标与核心素养

课程目标学科素养

A.理解数列递推公式的含义，会用递推公1.数学抽象：数列递推公式

式解决有关问题.2.逻辑推理：数列的前n项和与通项的关系

B.会利用数列的前n项和与通项的关系求3.数学运算：用递推公式求数列的特定项及通项

通项公式.

重点难点

重点：数列递推公式及数列的前n项和与通项的关系

难点：用递推公式解决有关问题、用数列的前n项和与通项的关系求通项公式

课前准备

多媒体

教学过程

一、课前小测

1.数列｛为｝的通项公式为斯=/〃-1)5+1),则〃5=()

A.10B.12C.14D.16

B解析：由题意，通项公式为。〃=义(〃一1)("+1)，通过课前小测，进步

深化学生对数列概念的

则〃5=；x(5—1)x(5+1)=12.故选B.

理解和运用。发展学生

2.由数列前四项：43，1,539，…，则通项公式%=______数学抽象、数学运算、

2oo

数学建模的核心素养。

娱【详解】由题意，该数列前四项可变为：

245_6_

，，，，•..，

24816

由此可归纳得到数列的通项公式为。“=岁〃+2.

3.已知数列的前几项是0、一1、；2、一3、…，写出这个数列的一

4916

个通项公式是.

。“=二("€"*)【详解】该数列的前四项可表示为

n

_0_」_2__3_

%=正，a2=^29〃3=茎，=不，

因此，该数列的一个通项公式为4=二(〃eN*).

二、新知探究

例4.图中的一系列三角形图案称为谢宾斯基三角形,在图中4个大

三角形中，着色的三角形的个数依次构成一个数列的前4项，写出这

个数列的通项公式

(1)(2)(3)(4)

解：在图中(1)(2)(3)(4)中，着色三角形个数依次为

1,3,9,27

即所求数列的前4项都是3的指数幕，指数为序号减1,

因此这个数列的通项公式是与=3底1

换个角度观察图中的4个图形，可以发现的=1,且每个图通过具体问题的思

形中的着色三角形都在下一个图形中分裂为3个着色小三角形和1考和分析，帮助学生认

个无色小三角形，于是从第2个图形开始，每个图形中着色三角形的识数列中的递推公式。

个数都是前一个图形中着色三角形个数的三倍，这样，例4中的数列发展学生数学抽象和数

的前4项满足学建模的核心素养。

=1,=3a1，Q3=3a2。4=3a3

由此猜测，这个数列满足公式

fl,n=l

an=)°

⑶一n>2

通项公式和递推公式的区别

通项公式直接反映了a与“之间的关系，即已知n的值,就可代入通项

n

公式求得该项的值。；递推关系则是间接反映数列的式子，它是数列任

n

意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，要求a，需将与之联系的各项

n

依次求出.

一、数列的递推公式

像与=3与_1(71>2)这样，如果一个数列的相邻两项或多

项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的

递推公式，知道了首项和递推公式就能求出数列的每一项了

1.设数列｛a｝满足a=l,a”=l+二-("eN*,“>l),则俏=_________.

n1an-l

解析:由已知，得〃2=1+」=2,〃3=1+~=~-

2

答案:|

二、数列的通项与前a项和

1.数列｛4｝从第1项起到第〃项止的各项之和，称为数列｛。｝的前"项

nn

和，记作S，即S=a+a+-+a.如果数列｛a｝的前n项和S与它的序

n«12nnn

号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个

数列的前〃项和公式.

S1，n

2a4="

点睛⑴已知数列｛a｝的前〃项和S,求Q，一般使用公式〃=S-S

nnnnnn-\通过数列的通项与

前w项和的认识，帮助

2),

*学生理解数列求和概

但必须注意它成立的条件且"GN).念。发展学生数学抽象、

⑵由S-S求得的a，若当”=1时,a的值不等于S的值，逻辑推理和数学建模的

nn-\n11

核心素养。

则数列的通项公式应采用分段表示，即5s式=:>7

2.判断(正确的打“小,错误的打“x”).

(1)递推公式也是表示数列的一种方法.()

(2)所有数列都有递推公式.()

(3)斯=S「ST成立的条件是〃GN*.()

(1)V(2)X(3)V

2

3.已知数列｝的前〃项和S=n+2,求数列｛Q｝的通项公式.

nnn

解:a=s=1+2=3,①

11

22

而〃而2时,〃=S-S=(n+2)-[(n-l)+2]=2〃-1.②

nnn-1

在②中，当九=1时,2X1-1=1,故。不适合②式.

1

.：数列｛aj的通项公式为an=^in>2

三、典例解析

例1已知数列且洞足诙=3斯一i+2("GN,且〃>1),与出数列

｛斯｝的前5项.

分析:由a的值和递推公式,分别逐一求出a,a,a,a的值.

12345

斛油题忌，得。2=3q+(2)，而。1=1,

所以02=3X1+/=(

问理。3=3。2+2=10,〃4=3〃3+2=2，〃5=3。4+?=91.

由递推公式写出数列的项的方法

根据递推公式写出数列的前几项,要弄清楚公式中各部分的关

系，依次代入计算即可.另外，解答这类问题时还需注意:若已知首项，通

常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式;若已知末项，通

常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式.

跟踪训练1已知数列｛a｝满足a=4a+3,且a=0,则此数列的第5

nnn-11

项是()

A.15B.255C.16D.63

解析:因为4=0,所以

1

a=4。+3=3,a=4〃+3=15,«=4〃+3=63,4=4a+3=255.

21324354

通过典型例题，加深

答案:B

跟踪训练2.已知数列｛斯｝,〃1=2,an+i=2an9写出数列的前5项，学生对数列递推公式的

并猜想通项公式.理解和运用，发展学生

解：由〃i=2,a+i=2af

nn逻辑推理，直观想象、

：〃2=2〃I=2x2=4=2?,

数学抽象和数学运算的

的=2〃2=2x4=8=2、

核心素

〃4=2a3~~2x8=16=2、

〃5=2〃4=2x16=32=2,,

...,

猜想斯=2"(〃£N*).

2

例2若数列｛。｝的前n项和S=-2〃+10〃,求数列｛〃｝的通项公式.

nnn

22

解：：'S=-2n+10n,・：S=-2(n-l)+10(n-l),

nn-\

22

・：a=S-S=-2n+10n+2(n-l)-10(n-1)=-4n+12(n2).

nnn-\

当n=l时,〃=-2+10=8=4X1+12.

1

此时满足a=-4n+12,

n

・：a=12-4孔.

n

变式探究：试求本例中S的最大值.

n

2*

解：：$=-2/+10〃=-2(n-|)+y,又：力GN,

.:当"=2或"=3时,S最大，即S或S最大.

n23

已知数列｛斯｝的前〃项和S”求通项公式的步骤：

(1)当n=1时,ai=Si.

(2)当〃三2时，根据S,写出ST,化简斯=SLSLI.

通过典型例题，帮助

(3)如果ai也满足当"22时，an=Sn-Sn-i的式子,

灵活运用数列前n项和

那么数列｛斯｝的通项公式为an=S”-Sn-i；

与通项公式的关系，发

如果©不满足当"22时，an^S„-Sn-i的式子，

[Sif〃=1,展学生逻辑推理，直观

那么数列｛以｝的通项公式要分段表示为斯=。。

Sn~1f〃z2.想象、数学抽象和数学

跟踪训练.已知数列｛斯｝的前n项和2则a„=

3S„=3n—2n+l,运算的核心素养。

，2

解析：：Sn=3n-2n+lf

二•S”-1=3(〃一l)2—2(n—1)+1=3/—8n+6.

・•・当〃三2时，

=

anSn-S〃-1=(3层-2n+1)—(3/-8孔+6)=6及-5.

又当〃=1时，〃i=Si=2不适合上式，

.」2,n=\,

••Clfi।

[6n—5,〃22.

三、达标检测

1.已知数列｛斯｝Mi=1,斯+1手〃+点则该数列的第3项等于（）通过练习巩固本节所

135学知识，通过学生解决

A.lB.-C.-D.-

448

问题，发展学生的数学

解析：。2=31+[=1,。3=32+套=

运算、逻辑推理、直观

答案:

C想象、数学建模的核心

2.已知数列｛〃｝,a=ma+1（〃>1）,且〃=3,a=5,则实数小等于（）

nn-\n23素养。

2

A.OB.-C.2D.5

5

解析:由题意，得〃-ma+1,即3=5徵+1,解得m=：

235

答案:B

2

3.若数列仅｝的通项公式为〃=-2n+252则数列｛〃｝的各项中最大项

nnn

是（）

A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项

解析:因为斯=-2〃2+25"=-2（n咛丫+学且“GN*,

所以当n=6时,诙的值最大,即最大项是第6项.

答案:C

*

4.己知数列｛a｝的前n项和为S,且S=n-5a+23/GN,则数歹!）｛。｝的

nnnnn

通项公式a=（）

n

A3x（旷-1B.3X（|）Z

C3x（旷+1D.3X（|）T

解析:当n=l时g=l-5〃i+23,解得6ZI=4.

当n>2时,4〃=3〃$.1=及-5斯+23-（〃-1-5〃〃.1+23）,即为〃一i+之

即314（斯一1-1）,故数列｛31｝是以3为首项[为公比的等比数列，

66

则为-l=3x(|)，所以斯=3x(g+1.故选C.

答案:C

5.(1)已知数列｛斯｝满足ai=-l,an+i=a„+^—^-,n£N*,

求数列的通项公式斯.

⑵在数列｛。〃｝中,=1,斯=(1-目斯一1(n>2),

求数列｛〃“｝的通项公式.

分析：(1)先将递推公式化为an+1-an=^-W，再利用累加法求通项公

式;(2)先将递推公式化为&=%,再利用累乘法求通项公式.

an-ln

-1-1

解:⑴'/a+i-a=-----,

nnnn+1

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